北师大版八年级数学上册 5.6 二元一次方程与一次函数教案

二元一次方程和一次函数
【教学目标】
1．教学知识点
二元一次方程和一次函数的关系。
2．能力训练要求
（1）使学生进一步加强二元一次方程与一次函数的联系。
（2）通过学生的思考和比较，进而获得从图象等信息确定一次函数表达式的方法。同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力。
3．情感与价值观要求
通过学生的自主探索、思考和比较，进而获得从图象等信息确定一次函数表达式的方法，加强一次函数与二元一次方程的联系。
【教学重点】
1．二元一次方程和一次函数的关系。
2．从图象等信息确定一次函数表达式的方法。
【教学难点】
方程和函数之间的对应关系即为数形结合的意识和能力。
【教学方法】
学生思考和比较——自主探索的方法。
学生通过自己思考，结合新旧知识的联系，自主探索出课后议题的解题方法。同时建立了“数”——二元一次方程组与“形”——函数的图象(直线)之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力。
【教学准备】
投影片一张：问题；
【教学过程】
一、创设情景，引入新课
出示投影片（议题）
A、B两地相距100千米，甲、乙两人骑车同时从A、B两地相向而行。假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（千米）都是骑车时间t（时）的一次函数。1小时后，乙与A地相距80千米；2小时后，甲与A地相距30千米。问经过多长时间两人将相遇？你是怎样做的？与同伴交流。
小明：可以分别作出两人s与t之间的图象（如右图所示），找出交点的横坐标就行了！
小颖：对于乙s是t的一次函数，可设s=kt+b，当t=0时，s=100； t=1时，s=80；将它们分别代入s=kt+b中可求出k、b的值，也即可求出s与t的函数表达式。
同样可以求出甲s与t的函数表达式，再联立这个表达式求解方程组就行了。
小彬：1时后乙与A地相距80千米，即乙的速度是20千米/时，2时后甲与A地相距30千米，也即甲速度是15千米/时，由此可以求出甲、乙两人的速度和为20+15=35（千米/时）所以两人相遇需要的时间为==2（小时），由此可以看出，一道题可用三种不同的方法来解：通过画图象解方程，用消元法解方程组，用解方程三种方法，由此可知，二元一次方程和一次函数密切相关——这节课我们继续研究：二元一次方程和一次函数的关系。
二、讲授讲课
1．提出问题，引发讨论
你明白他们的想法吗？用他们的方法做一做，看看和你的结果一致吗？小明的方法求出的结果准确吗？
小明的想法是：由于在前一课时已经有了用作图象的方法解方程组的经验，因此较为自然的做法是画图象，但画图的结果多是近似的难以精确。
小颖的想法是：确定甲、乙各自的s与t之间的函数表达式，再用消元法解方程组，能准确地求出结果。
小彬的想法是：根据行程问题中的相遇问题，找出等量关系列一元一次方程来解。
通过对上述几种方法的比较，发现小颖的想法很好，既利用了小明的想法的优点，克服了他的想法的缺点。优点：直观地获得问题的结果，考虑问题的思路清晰，借助图象帮助我们寻找解题途径，缺点：作图象的方法难以获得准确的结果，由此可见当遇到一次函数，二元一次方程有关的问题，要认真审清题意，必要时要借助数形结合，从图象信息确定一次函数表达式加强一次函数与二元一次方程的联系。
2. 导入知识，解释疑难
从上面的问题中，用作图象的方法可以直观地获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法。
例题讲解
某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千克）的一次函数。现知李明带了60千克的行李，交了行李费5元；张华携带90千克的行李，交了行李费10元。
（1） 写出y与x之间的函数表达式
（2） 旅客最多可免费携带多少千克的行李？
解：（1）设y=kx+b依题意得：
2 -①得30 k=5 k=，将k=代入①得b=-5，所以y=x-5
（2）当x=30时，y=0，所以旅客最多可免费携带30千克的行李。
三、随堂练习
1．下图中的两直线l1，l2的交点坐标可以看作方程组_________的解。
解：根据图象可知l1过点(1，3)、(0，1)。设l1是函数y=k1x+b1的图象，根据题意，得
解之得k1=2，b1=1．所以l1是函数y=2x+1的图象。
l1同理可得l2是函数y=4－x的图象。所以l1、l2交点的坐标可看做二元一次方程组的解。
四、课时小结
我们主要讲了如何根据题意，或图象获得相关信息确定一次函数表达式的方法，进一步理解二元一次方程和函数图象之间的对应关系，并利用它们之间的关系，解决相关问题，培养了我们运用数形结合的意识和能力。
【作业布置】
A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午从A地出发驶往B地，下图中，折线PQR和线段MN分别表示甲和乙，所行的里程S与该日下午时间t之间的关系。
（1） 甲出发多少小时乙开始出发？
（2） 乙行使多少小时就能追上了甲，这时两人离B地还有多少千米？
过程：从题目中只知甲于某日下午1时骑自行车从A地出发，要想知道甲出发多少小时，乙开始出发必须要找出乙出发的时间，而题目中未告之怎样办，应从图象中获得信息，乙是某日下午2时出发的，所以甲出发1小时乙开始出发的，要知他们什么时间相遇，这时两人离B地还有多远，如果从题目来看得不到相关信息，所以又要借助图象从图象上得到相关信息，从图象直观地看出在MN与QR的交点出追上，所以要知他们什么时间偶遇在一起，实际上就是求交点的坐标，而这个交点是两直线的交点，联想起二元一次方程和一次函数的关系要找到这两直线的表达式，再解联立方程即可。
解：（1）甲下午1时出发，乙下午2时出发，甲比乙提早1个小时出发。
（2）设QR的表达式为s=k1t+b1点Q (2，20)、R (5，50)。依题意得
解之得
所以QR的表达式为s=10t
设MN的表达式为s=k2t+b2点M (2，0)、N (3，50)。依题意得
解之得
所以MN的表达式为s=50t-100
解方程组 得
所以乙行使2．5-2=0.5（小时）就追上甲，此时两人离B地还有：50-25=25千米。
【板书设计】
二元一次方程和一次函数（二）一、［议一议］二、［例题］三、随堂练习(学生板演)四、课时小结
80
1 2 3
40
60
100
t/时
s/千米
20
5=60k+b ①
10=90k+b ②
1 2 3 4 5
10
20
30
40
50
N
R
M
P
Q
(B)
(A)
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