2021-2022学年度第一学期校际 11月月考
高二数学试卷答案
一、单项选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题
目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A C A C D B
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9 10 11 12
ABC BC AB ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，16 题第一空 2 分，第二空 3 分
13. 2 6 14. 1 15（. x 1）2 (y 1)2 10 16. 3 （ 1, )
5
四、解答题（（共 6 小题，70 分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)）
17．.(本大题满分 12 分)在 ABC中，内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c，且 asinB= .
（1）求角 A 的大小；
（2）①a=3，②sinC=2sinB，③ c 2 3 以上三个条件任选两个，求边 b，角C .
【详解】解：（1）由正弦定理，可将 asinB= 化为 sinAsinB= sinBcosA，------1 分
sinB≠ 0，----------------------------------------------2 分
则 sinA= cosA，--------------------------------3 分
即 tanA= ，---------------------------------4分
∵ 0 < A < π -----------------------5分
所以 A= ；--------------------------6 分
（2）若选①②，由 sinC=2sinB 可得 c=2b，--------------------7 分
因为 a=3，由余弦定理可得 2 2 2 8---------------， 2 分
则 9= 2 2 2 2 2
，解得 b= ，-------------------9 分
∴ c 2b 2 ---------------------------------------10分
因此有勾股定理 c 2 a 2 b 2 --------------------11 分
1
∴C ．--------------------12 分
2
若选①③，由正弦定理 ，则 sinC 1，----------------7 分
0 C ------------------------8 分
所以C ，---------------------9 分
2
则 A ；---------------------10 分
6
因此有勾股定理 c 2 a 2 b 2 ----------11 分
得 b= ．--------------------------12 分
若选②③，由 sinC=2sinB 可得 c=2b--------------7 分
，因为 c 2 3 ，所以 b= ，---------------------9分
因此有勾股定理 c 2 a 2 b 2 ---------------------------10 分
∴C ．-------------------------12 分
2
18．.(本大题满分 10 分)为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共 450 名学生同时参与了“我
运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方
法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取 10 名和 5 名学生进行测试.下表是高二年级的 5 名学生的测试
数据（单位：个/分钟）：
（1）求高一、高二两个年级各有多少人？
（2）设某学生跳绳m个/分钟，踢毽 n个/分钟.当m 175，且 n 75时，称该学生为“运动达人”.
从上述高二年级的 5 名学生中，随机抽取 3 人，求至少有 2 个为“运动达人”的概率
【详解】
解：（1）设高一年级有 a人，高二年级有b人.---------------------1分
10 5采用分层抽样，有 .---------------------------2 分
50 15 50 15
所以高一年级有 300 人，-------------------------------3分
高二年级有 150 人. ------------------------4 分
（2）从上表可知，从高二抽取的 5 名学生中，编号为 1，2，5 的学生是“运动达人”.-----------5 分
2
设 A={抽取的 3 名学生中至少有 2 个为“运动达人”}-------------------------------6 分
则样本空间为Ω {123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345} n Ω =10-------------------7 分
A={123, 124, 125,145, 235, 245 } n(A)=6--------------------------------------------------8 分
Ω
P A 6 所以 （ ） = ------------------------------------------------9分10 5
抽取的 2 名学生中至少有 2 个为“运动达人”的概率为 ---------------------------10分
5
19．.(本大题满分 12 分)如图，已知四棱锥 P ABCD的底面 ABCD是菱形，PA 平面 ABCD，点 E为PC
的中点.
（1）求证： PC BD .
（2）求证： PA// 平面 BDE
【详解】（1）证：连接 AC交 BD于O点∵底面 ABCD是菱形∴ AC BD ---------------1 分
∵ PA 平面 ABCD∴ PA BD ---------------------------2分
∵ AC PA A，------------------------------3分
∴ BD 平面PAC --------------------------4 分
PC 平面PAC，-----------------------5分
∴ BD PC ------------------------6分
（2）证：连接 EO -----------------7 分
∵底面 ABCD是菱形∴O为 AC的中点------------------------8 分
∵点 E为 PC的中点∴ PA//EO -------------------------------9分
∵ EO 平面 BDE ---------------------------------------10 分
且 PA 平面 BDE ------------------------------------11 分
∴ PA//平面 BDE ---------------------------------12 分
3
20.(本大题满分 12 分)．如图， AE⊥平面 ABCD，CF //AE ， AD//BC， AD AB，AB=AD=2，AE=BC=3，
CF=1
（1）求直线CE与平面 BDE所成角的正弦值；
（2）求平面 BDE与平面 BDF 的夹角．
【详解】
以A 为原点， AB, AD, AE分别为 x, y, z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
B（2,0,0），D(0,2,0)，E(0,0,3)，C(2,3,0)，F(2,3,1) -----------------------------------------1 分
1 BDE m x, y, z 2 2 0 2 0 2 2 0（ ）设平面 法向量 ， ， ，则 2 0，-----------2 分
令 z=2，则 x=3,y=3，∴ 2 -------------------------------- 分
因为 2 ，设直线CE与平面 BDE所成角为θ
sin cos CE,m CE m 6 9 6 9 --------------------------5 分
CE m 22 22 22
4
所以直线CE与平面BDE所成角的正弦值 9
-----------------------------------------6 分
22
（2）设平面 BDF 法向量 n x, y, z ， BD ( 2 2,0)，BF (0 3,1)，则， ， 2x 2y 0，-----7 分
3y z 0
令 x=1，则 y=1,z=-3 n (1，1, 3) -----------------------------------------------------8 分
由（1）知 2
设平面 BDE与平面 BDF 的夹角为
cos cos m,n m n 3 3 6 0 -------------10 分
m n 22 11
0 900 ---------------------------------------------------------------------------------11 分
所以平面 BDE与平面 BDF 的夹角为900 --------------12 分
21．.(本大题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy中，已知 ABC的顶点 A(4，1)，边 AB 边上的中线 CM 所在
直线方程为 2x-y-3=0,边 AC 上的高 BN 所在直线方程为 x-2y-5=0.
（1）求 AC 边在直线的方程；
（2）求顶点 C 坐标
（3）求 BC 边所在的直线方程.
【详解】
（1）
k 1AC kBN 1且kBN ------------------------------1 分2
∴AC 的斜率为 k 2，------------------------------------------2分AC
所以由点斜式得 AC 边所在直线的方程为：y-1=-2(x-4)即 2x+y-9=0----------------------3 分
（2）由（1）知 AC 边所在直线的方程为：2x+y-9=0，
由方程组 2x y 9 0 解得 x 3
----------------------------------------------4 分
2x y 3 0 y 3
顶点C的坐标是（3，3）--------------------------------------------------------5 分
（3）.设 B 坐标是(m,n)，代入 BN 方程为：m-2n-5=0 ①--------------------------------6 分
5
m 4 n 1 ----------------------------------------------7 分AB的中点M坐标标是（ , ），
2 2
CM m 4 n 1代入 方程为：2 3 0
2 2
即 2m-n+1=0 ②-----------------------------------------------------8 分
由①②联立方程组 m 2n 5 0 解得 7 ----------------------9 分
m
2m n 1 0 3
n 11 3
7 11 ----------------------------------------10 分
B（ ， ）
3 3
由 B,C 两点得 BC 得方程为：5x-4y-3=0-------------------------12 分
22．.(本大题满分 12 分)已知圆O：x2 y2 4 和点 M(—2,—4).
（1）过点M 向圆O引切线，求切线的方程；
（2）求以点M 为圆心，且被直线 y=2x-12 截得的弦长为 8 的圆M 的方程；
（3）设 P为（2）中圆M 上任意一点，过点 P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点
PQ
R，使得 为定值？若存在，请求出定点 R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.
PR
（1）①若过点M 的直线斜率不存在，直线方程为 x=—2，为圆O的切线；--------------------1 分
②当切线O的斜率存在时，设直线方程为 y+4=k(x+2)，即 kx-y+2k-4=0，
∴圆心O到切线的距离为 2k 4 解得 3 ，∴直线方程为 3 3
2 k x y 2 4 0
k 2 1 4 4 4
即 3x-4y-10=0-------------------------------------------------------------2分
综上切线的方程为 x=-2 或 3x-4y-10=0.-------------------------3分
（2）点 M(-2,-4)到直线 2x-y-12=0 的距离为 d= 2 2 4 12 12 ，----------4 分（ ）（ ）
22 （ 1）2 5
∵圆被直线 y=2x-15 截得的弦长为 8， 12 224 ，-----------------5 分
垂径定理得r2 （ ）2 42
5 5
∴圆M 的方程为 .------------------------------6分
（x 2）2 (y 4)2 224
5
6
PQ
3 PQ
2
（ ）假设存在定点 R，使得 为定值，设 R a,b ， P x, y ，
PR PR2
∵点 P在圆M 上，
∴
x 2 2 (y 4)2 224
，则 2
x y
2 4x 8y 25 ----------------7 分
（ ）
5
∵ PQ为圆O的切线，∴OQ PQ，∴PQ2 PO2 4 x2 y2 4，
PR2 x a 2 y b 2，∴ x2 y2 4 （[ x - a）2 (y b)2 ]
即 4x 8y 25 - 4 （ 4x 8y 25 2ax 2by a2 b2）
整理得 ( 4 4 2a )x ( 8 8 2b )y (21 25 a2 2b2 ) 0( ) -----------8分
若使 * 对任意 x， y恒成立，则 4 4 2a 0
8 8 2b 0 -------------------------9分
21 25 a
2 b2 0
∴ 2 2 代入得 2 2 4 4 ，a 21 25 ( )2 ( )
2 0
b
4 4
化简整理得 45 2 16 20 0，解得 5 4 ，---------------10 分 或
9 5
∴ 或
5
4
9 5
a 8 a
1
---------------------------------------------------------11 分
5 2
b 16 b 1
5
PQ PQ
∴存在定点 8 16 ，此时 为定值 5 或定点 1 ，此时 为定值R( , ) PR R( ,1) PR 2 5 ------------------12分
5 5 3 2 5
72021-2022学年度第一学期校际11月月考
高二数学试卷
单项选择题(共8小题,每小题5分,共计40分.在每小题给出的四个选项中,只
有一个是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上)
已知集合A0123},B={x25小,则A∩B=()
B.{0,}
C.{-14
-1,0,1,2}
2.已知复数满足1-i)-2+2i,其中为虚数单位,则=()
B.2
√2
3.在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中,E为CD中点,则直线AC1与BE所成角的余
弦值为()
A
4.在三棱柱4BC1-ABC中,D是四边形BBCC的中心,
AB=a,Ac =b, AA=c
则AD=()
B
A -a+-6+-cB-a--b+=c
C.-a+
D.--a+b+-c
5.已知直线1:3x+y2=0,L2ax6y+1=0,若⊥2,则a的值为()
C
高二数学试卷第1页(共6页)
6.直线y=2x+3与圆x2+(y+a)2=5相切,则实数a的值为(
C.2或-8
或-9
圆A:(x-3+y2=9与圆Bx2+y2-Bx-12y+48=0的位置关系是()
A.内切
B.外切
C.相交
D.外离
8如图,△ABC中,D为AB中点,点F在线段CD上,设AB=a,AC=6AF=xa+y
则=+-的最小值最小()
√2
、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多
项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分
9.有“好事者”记录了高州某山地区八月1日至10日的最高温度,分别为:32,33,3
36,34,38,39,36,34,34.(单位为℃),下列说法正确的有(
A.众数为34
B.中位数与第50百分位数相等
C.第80分位数是37
D.极差为6
10经过点B(4,3),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为()
1=0
1=0
D.x+y+7=0
1若两平行直线3x4y+1=0,6x+y十c=0之间的距离为2,则实数c的值是()
A.-18
B
D.-22
卷第2页(共
12如图,四棱柱ABCD-ABGD的底面ABCD是正方形,O为底面中心,4O⊥平面
ABCD,AB=AA=√2则下列说法正确的是()
A.B1坐标是(1,1,1)
B.平面OBB1的法向量→=(1,-1,1)
C.AC⊥平面OB1
D.点A到平面OB的距离为
、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
13已知a=(1,2,-3),b
14已知A(3,5),B(4,6),C(-1,x)三点共线,则x
15.园心在xy-2=0上,过(4,0),(0,-4)的圆的标准方程
g1(x-1)(x22)
16设函数
f(r)
则f(og2)=
不等式f(x)<2的解
(),(x<2)
集为
解答题(共6小题,70分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤))
17(本大题满分12分)在△ABC中,内角,B,C的对边分别为a,bC,且asiB=3 bosa
(1)求角A的大小
(2)④a-3,②snC2inB,③c=2√3以上三个条件任选两个,求边b,角C
高二数学试卷第3页(共6页)
