2021-2022学年沪科新版八年级上册数学第15章 轴对称图形与等腰三角形单元测试卷（word版有解析）

2021-2022学年沪科新版八年级上册数学《第15章 轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷
一．选择题
1．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，P是射线OA上一点，DP⊥OA，DP＝5，若点Q是射线OB上一个动点，则线段DQ长度的范围是（　　）
A．DQ＞5 B．DQ＜5 C．DQ≥5 D．DQ≤5
2．在日常生活中，有一些含有特殊数字规律的车牌号码，如川A80808，川A22222，川A12321等，这些牌照中的五个数字都是关于中间的一个数字“对称”的我们不妨把这样的牌照叫做数字对称牌照，如果让你负责制作以9为字母“A”后的第一个数字，且有五个数字的“数字对称”牌照，那么最多可制作（　　）
A．500个 B．300个 C．100个 D．50个
3．圆是轴对称图形，它的对称轴有（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
4．在下面由冬季奥运会比赛项目图标组成的四个图形中，其中可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．小明在镜子里看到自己的像在用右手拿着梳子向左梳头，那么他实际是（　　）
A．用右手向左梳头 B．用左手向右梳头
C．用右手向右梳头 D．用左手向左梳头
6．下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图所示，在3×3正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有（　　）
A．6种 B．5种 C．4种 D．2种
8．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中，错误的是（　　）
A．△AA′P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等
D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
9．一张正方形纸片经过两次对折，并在如图所示的位置上剪去一个小正方形，打开后的图形是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（3，2），点C是x上任意一点，当CA+CB有最小值时，C点的坐标为（　　）
A．（0，0） B．（1，0） C．（﹣1，0） D．（3，0）
二．填空题
11．如图所示，选择适当的方向击打白球，可以使白球反弹后将红球撞入袋中，此时∠1＝∠2，并且∠2+∠3＝90°如果红球与洞口连线和台球桌面边缘夹角∠3＝30°，那么∠1＝　 　，才能保证红球能直接入袋．
12．如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积是　 　．
13．正方形是轴对称图形，它的对称轴共有　 　条．
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D．若∠A＝30°，AE＝6cm，则BC＝　 　．
15．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是　 　．
16．在如图的方格纸上画有2条线段，若再画1条线段，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，则这条线段的画法最多有　 　种．
17．如图，在四边形纸片ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°．将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平．若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则CD＝　 　．
18．如图，在锐角△ABC中，AC＝10，S△ABC＝25，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是　 　．
19．国卫公司办公大楼前有一个15m×30m的矩形广场，广场中央已建成一个半径为4m的圆形花圃（其圆心与矩形对角线的交点重合）．现欲建一个半径为2米与花圃相外切的圆形喷水池，使得建成后的广场、花圃和喷水池构成的平面图形是一个轴对称图形．则符合条件的喷水池的位置有　 　个．
20．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形，这样的三角形共有　 　个，请在下面所给的格纸中一一画出．（所给的六个格纸未必全用）．
三．解答题
21．指出下列图形中的轴对称图形，并找出它们的对称轴．
22．如图所示，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点落在AB边上的点D、要使点D恰为AB的中点，问在图中还要添加什么条件？（直接填写答案）
（1）写出两条边满足的条件：　 　；
（2）写出两个角满足的条件：　 　；
（3）写出一个除边、角以外的其他满足条件：　 　．
23．一个台球桌的桌面PQRS如图所示，一个球在桌面上的点A滚向桌边PQ，碰着PQ上的点B后便反弹而滚向桌边RS，碰着RS上的点C便反弹而滚向点D．已知PQ∥RS，AB，BC，CD都是直线，且∠ABC的平分线BN⊥PQ，∠BCD的平分线CM⊥RS．
求证：CD∥AB．
24．△ABC的三边长分别为：AB＝2a2﹣a﹣7，BC＝10﹣a2，AC＝a，
（1）求△ABC的周长（请用含有a的代数式来表示）；
（2）当a＝2.5和3时，三角形都存在吗？若存在，求出△ABC的周长；若不存在，请说出理由；
（3）若△ABC与△DEF成轴对称图形，其中点A与点D是对称点，点B与点E是对称点，EF＝4﹣b2，DF＝3﹣b，求a﹣b的值．
25．今天是2003年9月1日，小明拿起一盒牛奶刚要喝，妈妈说：“儿子，牛奶保质期过了，别喝了”，小明从镜子里看到保质期的数字是，牛奶真的过期了吗？为什么？
26．已知，如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．求证：
（1）OC＝OD；
（2）OP是CD的垂直平分线．
27．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为A（﹣4，5），C（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格内作出x轴、y轴；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）写出点B1的坐标并求出△A1B1C1的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：如图，过点D作DE⊥OB于E，
∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，
∴DP＝DE，
由垂线段最短可得DQ≥DE，
∵DP＝5，
∴DQ≥5．
故选：C．
2．解：∵以9为字母“A”后的第一个数字且有五个数字的“数字对称”牌照，即牌照是9ABA9，
则A有0﹣9共10种可能，
B有0﹣9共10种可能，
所以9开头的组合最多是10×10＝100个．
故选：C．
3．解：圆的对称轴是经过圆心的直线，有无数条．
故选：D．
4．解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
5．解：根据镜面对称的性质，当你面对镜子的时候，右手拿着梳子向左梳头，对于镜子中的像来说是左手拿着梳子，向右梳头．
故选：B．
6．解：A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、不是轴对称图形，故选项错误；
C、是轴对称图形，故选项正确；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：C．
7．解：根据题意，涂黑每一个空格都会出现一种可能情况，共出现6种可能情况，
其中，涂左上角和右下角的方框所得到的黑色图案组成的图形是中心对称而不是轴对称，故一共有4种情形，
故选：C．
8．解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确，
直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误，
故选：D．
9．解：动手操作或由图形的对称性，因剪去的小正方形紧靠对折线，可得打开后是D．
故选：D．
10．解：作点A（1，0）关于x轴的对称点D，连接BD交x轴于C，
则D（0，﹣1），
此时CA+CB有最小值，
设直线BD的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线BD的解析式为：y＝x﹣1，
当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），
故选：B．
二．填空题
11．解：∵∠2+∠3＝90°，∠3＝30°，
∴∠2＝60°
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝60°．
故答案为：60°．
12．解：∵AD是三角形ABC的对称轴，
∴AD垂直平分BC，
即AD⊥BC，BD＝DC，
∴S△EFB＝S△EFC，
∴S阴影部分＝S△ABD＝S△ABC＝BD AD＝×2×3＝3．
故答案为3．
13．解：正方形是轴对称图形，它的对称轴共有4条：两边的垂直平分线2条，正方形的对角线2条．
14．解：在Rt△ADE中，∠A＝30°，
∴DE＝AE＝＝3，∠ABC＝60°，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CE＝DE＝3，∠EBC＝30°，
在Rt△CBE中，BC＝CE＝3（cm），
故答案为3cm．
15．解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51．
故答案为：10：51．
16．解：如图所示，共有4条线段．
故答案为：4．
17．解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，
当四边形ABCE为平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCE是菱形，
∵∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，BC∥AN，
∴∠ADC＝30°，∠BAN＝∠BCE＝30°，
则∠NAD＝60°，
∴∠AND＝90°，
∵四边形ABCE面积为2，
∴设BT＝x，则BC＝EC＝2x，
故2x2＝2，
解得：x＝1（负数舍去），
则AE＝EC＝2，EN＝＝，
故AN＝2+，
则AD＝DC＝4+2；
如图2，当四边形BEDF是平行四边形，
∵BE＝BF，
∴平行四边形BEDF是菱形，
∵∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，
∴∠ADB＝∠BDC＝15°，
∵BE＝DE，
∴∠AEB＝30°，
∴设AB＝y，则BE＝2y，AE＝y，
∵四边形BEDF面积为2，
∴AB×DE＝2y2＝2，
解得：y＝1，故AE＝，DE＝2，
则AD＝2+，
综上所述：CD的值为：2+或4+2．
故答案为：2+或4+2．
18．解：如图，∵AD是∠BAC的平分线，
∴点B关于AD的对称点B′在AC上，
过点B′作B′N⊥AB于N交AD于M，
由轴对称确定最短路线问题，点M即为使BM+MN最小的点，B′N＝BM+MN，
过点B作BE⊥AC于E，
∵AC＝10，S△ABC＝25，
∴×10 BE＝25，
解得BE＝5，
∵AD是∠BAC的平分线，B′与B关于AD对称，
∴AB＝AB′，
∴△ABB′是等腰三角形，
∴B′N＝BE＝5，
即BM+MN的最小值是5．
故答案为：5．
19．解：花圃建后整个图形还是轴对称图形，再建一个圆形喷水池后要使整个图形仍然是轴对称图形，喷水池的位置只能是建在花圃与矩形四边最靠近的地方，共有四种选择，但要考虑半径的大小．因为花圃半径4米，矩形宽15米，所以花圃与矩形长边的最小距离是3.5米，与短边的最小距离是11米，故要建半径2米的喷水池的位置只有2个．
20．解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形如图：
共5个．
三．解答题
21．解：
22．解：（1）①AB＝BC
证明：由轴对称的性质可得：BC＝BD，又因为BC＝AB＝BD
∴可得D在AB的中点位置．
（2）①∠ABC＝2∠A．
∵∠C＝90°，
∴∠ABC+∠A＝90°．
∵∠ABC＝2∠A，
∴∠A＝30°．
由轴对称的性质得：BC＝BD，CE＝DE，∠CBE＝∠DBE＝∠A＝30°．
∴△ADE≌△BCE，AD＝BC＝BD．
即点D在AB的中点；
（3）△BEC≌△AED
证明：∵△BEC≌△AED
∴可得：AD＝DB
故证得点D在AB的中点．
23．证明：∵PQ∥RS，CM⊥RS，BN⊥PQ，
∴CM∥BN，
∴∠MCB＝∠NBC，
∵CM平分∠BCD，BN平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠NBC，∠DCB＝2∠MCN，
∴∠ABC＝∠DCB，
∴CD∥AB．
24．解：（1）△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2a2﹣a﹣7+10﹣a2+a＝a2+3
（2）当a＝2.5时，AB＝2a2﹣a﹣7＝2×6.25﹣2.5﹣7＝3，BC＝10﹣a2＝10﹣6.25＝3.75，AC＝a＝2.5，
∵3+2.5＞3.75，
∴当a＝2.5时，三角形存在，周长＝a2+3＝6.25+3＝9.25；
当a＝3时，AB＝2a2﹣a﹣7＝2×9﹣3﹣7＝8，BC＝10﹣a2＝10﹣9＝1，AC＝a＝3，
∵3+1＜8．
∴当a＝3时，三角形不存在
（3）∵△ABC与△DEF成轴对称图形，点A与点D是对称点，点B与点E是对称点，
∴EF＝BC，DF＝AC，
∴10﹣a2＝4﹣b2，即a2﹣b2＝6；a＝3﹣b，即a+b＝3、把a+b＝3代入a2﹣b2＝6，得3（a﹣b）＝6
∴a﹣b＝2．
25．解： |20030824，
∴实际的保质期应是20030824，故牛奶已经过期．
26．解：（1）证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
在Rt△POC与Rt△POD中，
∵，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC＝OD；
（2）证明：∵P是∠AOB平分线上的一点，
∴∠COP＝∠DOP
∵由（1）知，OC＝OD，
∴在△COE与△DOE中，
，
∴△COE≌△DOE，
∴CE＝DE，OE⊥CD，即OP是CD的垂直平分线．
27．解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）B1（2，1），
S△A1B1C1＝3×4﹣×4×2﹣×1×2﹣×3×2，
＝12﹣4﹣1﹣3，
＝4．