2021-2022 学年度高二上学期数学期中测试
参考答案 2021.11
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．B 2．C 3．B 4．A 5．C 6．A 7．D 8．A
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求的．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. CD 10. AB 11．ACD 12．BCD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2 14
13． 4 14． x2 y 1 (答案不唯一) 15 10． 16． ，2
9 10 2
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．
17．(本小题满分 10分)
解：（1）由题意， ABC三个顶点坐标分别为 A 4, 2 ,B 6,6 ,C 0,6 ，
x , y x 4 6 1 y 2 6设 AB中点坐标为 0 0 ，由中点公式可得 0 ， 0 2，2 2
即 AB中点坐标为 1，2 ，又由斜率公式，可得 k 6 2MC 4，0 1
所以中线CM 所在直线的方程为 y 6 4 x 0 ，即 4x y 6 0 ----------------5分
6 2 4（2）由 A 4, 2 ,B 6,6 可得 kAB ,6 4 5
k 5所以 AB上的高所在直线的斜率为 ，
4
5
则 AB上的高所在直线的方程为 y 6 x 0 ，即5x 4y 24 0 . ----------------10分
4
18．(本小题满分 12分)
解：（1）设圆心坐标为C(a,b)，半径为 r，
因为圆心C在直线 2x y 0 上，所以 2a b .
又圆C与 y轴相切于点 (0,2)，所以b 2, r a 0
1
所以圆C的圆心坐标为C(1,2), r 1 ,则圆C的方程为 (x 1)2 y 2 2 1 ----------------6分
（2）如果选择条件①，因为 ACB 120 ,CA CB 1
所以圆心C到直线 l的距离 d CA cos60
1
---------------9分
2
1 2 m
d 1则 , 2解得m 1 --------------12分
1 1 2 2
如果选择条件②，因为 AB 3，CA CB 1
由垂径定理可知圆心C到直线 l的距离d
1
----------------9分
2
1 2 m 1 2
则 d ,解得m 1 ----------------12分
1 1 2 2
1 1
如果选择条件③，因为CA CB ,所以 CA CB cos ACB
2 2
得 ACB 120 ,又CA CB 1
所以圆心C到直线 l的距离 d CA cos60
1
---------------9分
2
1 2 m
则 d 1 ,解得m 1 2 --------------12分
1 1 2 2
19．(本小题满分 12分)
解：（1）动点 P满足 PF PF 10 FF ,所以 P点的轨迹是以 F ,F 为焦点的椭圆且
2a 10,a 5，
又因为F 4,0 ， F 4,0 是焦点，所以椭圆焦点在 x轴且 c 4， b a2 c2 3，
2 2
故动点P C x y的轨迹 的标准方程为 1. ----------------5分
25 9
（2）由（1）知， F ,F 是椭圆的两个焦点，设 P x0 , y0 ,
在 PFF 中，因为 FPF 90 ，所以 FF 2 PF 2 PF 2，即 PF 2 PF 2 64 ------- 7分
又PF PF 10，所以 PF PF 18， ----------------9分
2
1
在 PFF 中， S PFF PF PF 92
又 S 1 9 9 PFF FF y0 9，所以 y0 ，得P点的纵坐标为 ---------------12分2 4 4
20．(本小题满分 12分)
y2
解：（1）由双曲线 x2 1的右顶点为 1,0 ， ---------------- 2分
3
p
即可得抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 1,0 ， 1， 2p 4，
2
所以抛物线的方程为 y2 4x . ---------------- 4分
（2）由题意可得直线 l的方程： x y 3 0，
y2 4x
将直线与抛物线联立 ，整理可得 x2 10x 9 0， ----------------7分
x y 3 0
设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，所以 x1 x2 10， x1x2 9，
AB 1 k 2 x1 x 22 4x1x2 8 2 ， ----------------9分
0 0 3 3 2
原点到直线 l的距离 d ， ----------------11分
2 2
S 1 3 2所以 AOB 8 2 12 . ----------------12分2 2
21．(本小题满分 12分)
9
解：（1）∵点 P 2,3 在E上，∴ 4 2 1，得b2 3 .b
y2
∴双曲线 E的方程为 x2 1 . ----------------3分
3
（2）过点Q 0，1 的直线 l斜率显然存在， ---------------- 4分
设 l的方程为： y kx 1， A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
将 l的方程代入双曲线 E的方程并整理得 3 k 2 x2 2kx 4 0 ----------------6分
依题意3 k 2 0，且 0，
3
所以 k 2 4且 k 2 3，又 P l， k 1 ----------------7分
2k 4
因此，可得 x1 x2 2 ， x1x2 2 .3 k 3 k
k k y1 3 y2 3
----------------8分
PA PB x1 2 x2 2
kx1 1 3 kx 1 3 2
x1 2 x2 2
2k 2k 1 1 2 ----------------10分
x1 2 x2 2
2k 2k 2 x x 4 1 2
x1x2 2 x1 x2 4
2k 2k 2 2 2k 3 k 2
4 k 1 k 2
2k 3 2k 3 ----------------12分
22． (本小题满分 12分)
2c 2 2
a 2
c 2
解：（1）由题意得： ，解得 b 2
a 22 2
a b c
2 c 2
x2 y2
∴椭圆C的方程为： 1； ----------------3分
4 2
（2）设M x1, y1 ，N x2 , y2 ，
y kx m
由 x2 y2 得： 1 2k 2 x21 4mkx 2m
2 4 0 ----------------5分
4 2
∵直线 l : y kx m与椭圆C相交于M ,N 两点，
∴ 16m2k 2 4 1 2k 2 2m2 4 0得：2 4k 2 m2 0 （ ） ---------------- 6分
4
2
由韦达定理： x 4mk1 x2
2m 4
2 ， x1x2 ；1 2k 1 2k 2
∵以MN 为直径的圆过椭圆C的右顶点 A， AM AN，AM AN 0 ----------------8分
由于 A 2,0 ，所以 x1 2, y1 x2 2, y2 x1 2 x2 2 y1y2 0
x1 2 x2 2 kx1 m kx2 m 0
k 2 1 x1x2 mk 2 x1 x2 m2 4 0
k 2 1 2m
2 4 4mk 2从而 2 mk 2 m 4 01 2k 1 2k 2
即 3m2 8mk 4k 2 0 ----------------10分
2
m k或m 2k ，均符合（ ）
3
2 2
当m 2 k 时，直线 l : y kx 2 k ，即 y k x ，所以恒过定点 ，0 ，
3 3 3 3
当m 2k 时，直线 l : y kx 2k，过定点 2，0 ，舍去．
2
综上可知：直线 l过定点，该定点为 ，0 ． ----------------12分
3
52021-2022 学年度高二上学期数学期中测试
2021.11
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.直线 3x y 1 0的倾斜角为（ ）
3
A.
B. C. D．
4 3 4 6
2.若直线 l1 : x m 1 y 5 0与直线 l2 :mx 2y 2 0平行，则m的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D．1或 2
3.若抛物线 y2 16x上的点M 到焦点的距离为12，则它到 y轴的距离是（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D．10
4.已知圆 x2 y2 1与圆 x2 6x y2 8y m 6 0相外切，则m的值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D．6
2 2 1
5. x y已知椭圆 1的离心率为 ，则 k的值为（ ）
9 4 k 3
49 49
A. 4 B. 4 C. 4或 D． 4或
8 8
6.阿基米德是古希腊著名的数学家 物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于
x2 y2
椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积。已知在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C : 1 a b
a2 b2
0 的面积为8 3 ，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆C的标准方程是（ ）
A. x
2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2
1 B. 1 C. 1 D． 1
16 12 12 16 4 3 16 8
7.平面直角坐标系中，已知 A 6,8 ，在两坐标轴上分别有动点M ,N，且MN 6，P是MN的中
点，则 PA 长度的最小值是（ ）
A. 6 B. 13 C. 10 D．7
8. x
2 y2
若双曲线C : 1 a 0,b 0 的一条渐近线被以焦点为圆心的圆 x2 y2 4x 0所截
a2 b2
得的弦长为 2，则 a的值为（ ）
试卷第 1页，共 4页
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.下列说法正确的是（ ）
y y x xA x , y , x , y 1 1．过 1 1 2 2 两点的直线方程为 y2 y1 x2 x1
B．经过点 1，2 且在 x轴和 y轴上截距都相等的直线方程为 x y 3 0
C．若方程 x2 y2 2x 2y m 0表示圆，则m 2
D．圆 x2 y2 4上有且只有三点到直线 l : x y 2 0的距离都等于1
2 2
10. x y已知双曲线 1，对于 且2 2 k R k 0，则下列四个选项中因 k改变而变化的2k k
是（ ）
A．顶点坐标 B. 焦距 C. 渐近线方程 D．离心率
11.设抛物线 y2 4x，F 为其焦点， P为抛物线上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程是 x 1
B．当 PF x轴时， PF 取最小值
C．若 A 2,3 ，则 PA PF 的最小值为 10
D．以线段 PF 为直径的圆与 y轴相切
12.某同学利用图形计算器研究教材中一问题“设点 A 5,0 ，B 5,0 ，直线 AM ，BM 相交于点
4 4
M ，且它们的斜率之积为 ，求点M 的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为 ”拓
9 9
展为“斜率之积为常数 k k 0 ”之后，进行了如图所示的作图探究：
试卷第 2页，共 4页
参考该同学的探究，下列结论正确的有（ ）
A． k 0时，点M 的轨迹为椭圆（不含与 x轴的交点）
B． 1 k 0时，点M 的轨迹为焦点在 x轴上的椭圆（不含与 x轴的交点）
C． k 1时，点M 的轨迹为焦点在 y轴上的椭圆（不含与 x轴的交点）
D． k 0时，点M 的轨迹为焦点在 x轴上的双曲线（不含与 x轴的交点）
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共计 20 分.
13.抛物线 y2 4x的通径（过抛物线的焦点且与其对称轴垂直的弦）的长为__________．
14.已知双曲线C的渐近线方程为 y 3x，写出双曲线C的一个标准方程___________.
15.已知椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则该椭圆的离心率是__________.
16. 2已知圆C： x 3 y2 1，点M 在抛物线T : y2 4x上运动，过点M 引直线 l1 , l2与圆C相切，
切点分别为 A、 B，则 AB 的取值范围为__________.
四、解答题：本题共 6 小题，共计 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.在平面直角坐标系中， ABC三个顶点坐标分别为 A 4, 2 ，B 6,6 ，C 0,6 .
（1）设线段 AB的中点为M ，求中线CM 所在直线的方程；
（2）求边 AB上的高所在直线的方程.
18.已知圆C的圆心在直线 2x y 0上，且与 y轴相切于点 0，2 .
（1）求圆C的方程；
（2）若圆C与直线 l : x y m 0交于 A,B两点，_____________，求m的值.
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①： ACB 120 ；条件②：AB 3；
条件③：CA 1 CB .
2
19.已知平面上两点F 4,0 ， F 4, 0 ，动点 P满足 PF PF 10 .
（1）求动点 P的轨迹C的标准方程；
（2）当动点 P满足 FPF 90 时，求 P点的纵坐标.
试卷第 3页，共 4页
y220．已知抛物线 y2 2px p 0 的焦点 F 与双曲线 x2 1的右顶点重合，过点M 3，0 作倾
3
斜角为 45 的直线 l与抛物线交于 A,B两点.
（1）求抛物线方程； （2）若O为坐标原点，求 AOB的面积.
2
21.已知双曲线E : x2 y 1 b 0 ，点 P 2,3 在 E上.
b2
（1）求 E的方程；
（2）过点Q 0,1 的直线 l交 E于不同的两点 A,B（均异于点 P），求直线 PA ,PB的斜率之和.
x2 y222.已知椭圆C : 1 a b 0 2的右顶点为 A，焦距是 2 2，离心率2 2 e .a b 2
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线 l : y kx m（ k ,m均为常数）与椭圆C相交于不同的两点M ,N （均异于点 A），若
以MN 为直径的圆经过椭圆C的右顶点 A，试判断直线 l能否过定点？若能，求出该定点坐标；若
不能，也请说明理由．
试卷第 4页，共 4页
