2021-2022 学年度高一上学期数学期中测试
参考答案
2021.11
1.B 2.A 3.D 4.B 5.A 6.D 7.D 8.A
9.AB 10.BD 11.ACD 12.AC 13. 4, 14.8 15. f (x) = x2 1（答案不唯一）
a b 2ab
16.DE，
2 ab a b
17. （1）0 ………………………………………… ………………………………… 5 分
（2）10 ………………………………………………………………………………… 10 分
18.（1）当 a 3时，集合 A {x | 2 x 4},B {x | 1 x 3}，
所以 A B {x | 1 x 4}；4 分
（2）若选择① A B B，则 A B，
因为 A {x | a 1 x a 1} ，所以 A ，
又 B {x | 1 x 3}，
a 1 1
所以 ，解得0 a 2，
a 1 3
所以实数 a的取值范围是 0,2 . ……………………………………………………… 12 分
若选择②，“ x A“是“ x B ”的充分不必要条件，则 A B，
因为 A {x | a 1 x a 1}，所以 A ，
又 B {x | 1 x 3}，
a 1 1
所以 0 a 2 a 1 3 ，解得 ，
" "不同时取得
所以实数 a的取值范围是 0,2 .…………………………………… ………………………… 12 分
若选择③， A B ，
因为 A {x | a 1 x a 1}，所以 A ，
又 B {x | 1 x 3}
所以 a 1 3或 a 1 1，
解得 a 4或 a 2，
试卷第 1页，共 4页
所以实数 a的取值范围是 , 2 4, . …………………………………… ………… 12 分
1 3
19.（1） f (x)在 ( 1,1)上为奇函数，且 f ，
3 10
f (0) 0
a 1
有 1 3 ，解得 ，
f 3
b 0
10
f (x) x此时
1 x2
，2 分
f ( x x) f (x) ，
1 x2
∴ f (x)
x
为奇函数，故 f (x) 2 ．…………………………………… …………………………5 分1 x
（2）证明：任取 1 x1 x2 1，
则 f x1 f x
x1 x2 x1 x2 1 x1x
2
2
1 x21 1 x
2
2 1 x21 1 x2 ，2
x x 0 1 x2而 1 2 ， 1 0，1 x
2
2 0且 1 x1x2 1，即1 x1x2 0，
∴ f x1 f x2 0， f (x)在 ( 1,1)上是增函数. …………………………………………… 12 分
20.（1）由题意可得，矩形 ABCD长为 (x 4)m，宽为 (y 2)m，
所以 S (x 4)(y 2)…………5 分
（2）因为 xy 200,
所以 S (x 4)(y 2) xy 2x 4y 8 xy 4 2xy 8 128，
当且仅当 x 2 y，即 x 20, y 10时取等号
所以S的最大值为128m2，
此时 x 20, y 10…………………………………………… ……………………………… 12 分
21.解：（1）
x2 x 2, 3 x 0
f (x) …………………………………… …………………………… 2 分
2
x x 2,0 x 3
（2）如图：
试卷第 2页，共 4页
…………………………………… 4 分
1 1
单调递增区间是 , 0 ， , 3 ; ……………… …………………… ……………… 6 分
2 2
9
值域是 ,4 . ……………………………………… ………… …………… ………… 8 分 4
x 0 x 0
（3） 由 xf (x 1) 0，得 或
f (x 1) 0 f (x 1) 0
x 0 x 0
所以
2 x 1 2
或
3 x 1 2或2 x 1 3
得 0 x 3或 2 x 1
综上：不等式 xf (x 1) 0的解集为 x 0 x 3或 2 x 1 ……………………………… 12 分
22.（1） f (x) x2 2x 3 …………………………………… ………………………………3 分
（2）由（1） f (x) x2 2x 3，由 f (x) 7 mx，得 x2 2x 4 mx
所以任意 x 1,3 ， x2
4
2x 4 mx成立，即m (x 2)
x min
4 4
由基本不等式，得 x 4（当且仅当 x 2时，等号成立）， x 2 最小值为 6
x x
所以m 6 …………………………………… ………………………………………………6 分
(3) g(x) x 2 (k 2)x 2 ， x [ 1,2] x
k 2
，对称轴 .
2
k 2
①当 1，即 k 0时， g(x)在区间[ 1, 2]单调递增，
2
h(k) g(x)nin g( 1) 1 k .
k 2
②当 2，即 k 6时， g(x)在区间[ 1, 2]单调递减，
2
试卷第 3页，共 4页
h(k) g(x)min g(2) 2k 10
k 2 2
③当 1 2，即 6 k 0时， h(k) g(x) g
k 2 k 4k 4
2 nin
，
2 4
2k 10, k 6
h(k) k
2 4k 4
, 6 k 0 ……………………………………………………………… 10 分
4
1 k , k 0
函数 (t) h( t 4) 零点即为方程 h t 4 的根
令 t 4 m 4 ，即 h(m) ，作出 h(m)的简图如图所示
①当 1 2时， h(m) 有唯一解m1 0，解得 t (4 m1 ) ，有 1 个零点；
②当1 2时， h(m) 2有两个不同解m2，m3 4, 2) ( 2,0 ，解得 t (4 m2 ) 或
t (4 m 23 ) ，有 2 个零点；
③当 2时， h(m) 2，m 2，解得 t 4，有 1 个零点；
④当 2时， h(m) 无解，无零点
综上：当1 2时，方程 h t 4 有两个不等的根.…………………………………… 12 分
试卷第 4页，共 4页2021-2022 学年度高一上学期数学期中测试
2021.11
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔
填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再
填涂其它答案;非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答
案无效;在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每个小题给岀的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知集合 A 1,2,4,8,16 ,B 2,8,10 ，则 A B （ ）
A． 2 B． 2,8 C． 8 D． 1,2,8
2．下列各组函数是同一函数的是 ( )
3 2
A． y x x x 2 与 y x B． y 与 y xx 1 x
| x |
C． y 与 y 1 D． y (x 1)2 与 y x 1
x
3.已知 p : 3 x 1 ,q :
x 1
0 ,则 p是 q的什么条件（ ）
x 3
A．既不充分又不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
4.下列函数中为偶函数且在区间 (0, )上是增函数的是（ ）
1
A． f x 2 B． f x x C． f x x D． f x xx
5. 2已知命题 p : x0 R， x0 a 1 x0 1 0是假命题，则 a的取值范围为（ ）
A． 1 a 3 B． 1 a 3
C． a 1或 a 3 D．a 1或 a 3
x 2, (x 1)
6. 函数 f (x)
x 2, ( 1 x 2) ，若 f (x) 2，则 x （ ）
2x, (x 2)
A．0 B．0 或 1 C．1 或 2 D． 2
试卷第 1页，共 4页
7．围棋棋盘共 19 行 19 列，361 个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有3613种
不同的情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围
3361
棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即1000052 ，下列各数最接近 52 的是（注：10000
lg3 0.477）（ ）
A．10-25 B．10 26 C．10 35 D．10 36
8．已知函数 f x 1 是偶函数，当 0 x1 x2时， f x2 f x1 x2 x1 0恒成立，设 a f ， 2
b f 2 ，c f 23 ，则 a，b，c的大小关系为（ ）
A． a b c B． c b a C．b c a D．b a c
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．若 a b, x y，则下列不等式中成立的是（ ）
A． x b y a B． a x b
a b
y C． ax by D． y x
10.下列运算中正确的是（ ）
log3 8 log 5 13A． log 8 B. 当 a 0时， 3 a2 a3 a 63 5
C 1
log27
．若 a a 1 14 1 1 ，则 a 2 a 2 3． D. ln(lne) 7
2
11.若 a 0，b 0， a b 1，则下列不等式中对一切满足条件的 a，b恒成立的是（ ）
1
A． ab
1
B 2 2
1 1
． a b 2 C． a b D． 44 2 a b
12.函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A． f 0 0
B．若 f x 在[1, )上为增函数，则 f x 在 ( , 1]上为减函数
C．若 f x 在[0, )上有最小值 1，则 f x 在 ( , 0]上有最大值 1
1
D．若 x 0时， f x ，则 f x 值域为 1,0 0,1
x 1
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共计 20 分.
13．已知函数 f (x) x 4 ，则函数 f (x)的定义域为________．
试卷第 2页，共 4页
x 3 14. 已知关于 的不等式 a x 2 x b 0 的解集为 x x 1 b
2
，则 a =_____．
15. 请写出一个满足以下条件的函数 f (x)：①为偶函数② f (x)值域为 1, ，________．
16. 《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重
要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设
a b 2ab＞0， ＞0，称 为 a、b的调和平均数．如图，C 为线段 AB 上的点，且 AC= a，CB=b，且
a b
a b，O 为 AB 中点，以 AB 为直径作半圆．过点 C 作 AB 的垂线，交半圆于 D，连结 OD，AD，BD．过
a b
点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E．则图中线段 OD 的长度是 a、b的算术平均数 ，线段 CD 的长
2
2ab
度是 a、b的几何平均数 ab，线段______的长度是a、b的调和平均数 ,该图形可以完美证
a b
明三者的大小关系为_______________．(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
四、解答题：本题共 6 小题，共计 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 10 分)
求下列各式的值：
1 lg 2 2（ ） lg5 lg 20 lg 0.1；
1 0 1
（2） (0.064) 3 7
4 163 0.25 2
8
18. (本小题满分 12 分)
在① A B B；②“ x A“是“ x B ”的充分不必要条件；③ A B 这三个条件中任选一个，
补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合 A {x | a 1 x a 1}, B {x | x2 2x 3 0}
（1）当 a 3时，求 A∪B；
（2）若_______，求实数 a的取值范围.
试卷第 3页，共 4页
19. (本小题满分 12 分)
1 3
已知函数 f (x)
ax b
2 是定义在 ( 1,1)上的奇函数，且 f1 x
.
3 10
（1）确定函数 f (x)的解析式；
（2）用定义证明 f (x)在 ( 1,1)上是增函数.
20. (本小题满分 12 分)
为响应创建文明卫生城市的号召，某校计划在学校空地建设一个面积为 200m2的长方形花草坪，如
图所示，花草坪中间设计一个矩形 ABCD种植花卉，矩形 ABCD上下各留1m,左右各留 2m种植草
坪，设花草坪长度为 x（单位：m），宽度为 y（单位：m），矩形 ABCD的面积为S（单位：m2）.
（1）试用 x, y表示S；
（2）求S的最大值，并求出此时 x, y的值.
21. (本小题满分 12 分)
已知函数 f (x)是定义在 3,3 上的偶函数，当 3 x 0时，
f (x) x2 x 2．
（1）求函数 f (x)在 3,3 上的解析式；
（2）画出函数 f (x)的图像并根据图像写出函数的单调增区间及
值域；
（3）解不等式 xf (x 1) 0．
22. (本小题满分 12 分)
已知 f (x)是二次函数，其两个零点分别为-3、1，且 f (0) 3 .
（1）求 f (x)的解析式；
（2）若 x 1,3 ， f (x) 7 mx恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设 g(x) f (x) kx 5， x [ 1,2]， g(x)的最小值为 h(k)，若方程h t 4 有两个不等
的根，求 的取值范围.
试卷第 4页，共 4页
