郫都区 2021-2022学年度上期期中考试
高二数学（理科）
说明：1.本卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150分，时间 120分钟.
2. 所有试题均在答题卡相应的区域内作答.
第 I卷（选择题 共 60分）
一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是最符合题目要求的）
1．如图，点A、直线m、平面 之间的数学符号语言关系为
A．m ， A m B．m ， A m
C．m ， A m D．m ， A m
2．已知直线 l的方程为 3x 3y 1 0，则直线的倾斜角为
A． 30 B．60° C．150° D．120°
3．已知 l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是
A．若 l⊥m，l⊥n，且 m，n α，则 l⊥α
B．若 m∥β，n∥β，且 m，n α，则α∥β
C．若 m∥n，n α，则 m∥α
D．若 l⊥β，l α，则α⊥β
4．在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥 A EFG
后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是
A．
B．
C．
A． B． C． D．
5 2．圆 A : x 3 y2 9与圆 B : x2 y2 8x 12y 27 0的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．相离
6．已知两直线 l1 : 3x 4y 4 0和 l2 : 6x my 2 0，若 l1//l2，则 l1与 l2的距离为
3 6
A．1 B． C． D．2
5 5
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x2 y27．双曲线 1的两个焦点为F1，F2，双曲线上一点 P到F的距离为 11，则点 P到F25 24 1 2
的距离为
A．1 B．21 C．1或 21 D．2或 21
8．已知直线 ax y 2 a 0在两坐标轴上的截距相等，则实数 a
A．1 B． 1 C．2或 1 D． 2或 1
9．如图是一个无盖的正方体盒子展开图，A，B，C，D是展开图上
的四点，则在正方体盒子中，AD与平面 ABC所成角的正弦值为
A 2 3 6 2． B． C． D．
2 3 3 3
10．唐代诗人李欣的《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐
含着一个有趣的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，
先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所
在区域为 x2 y2 1，若将军从 A 2,0 出发，河岸线所在直线方程 x y 4 0，并假定将
军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为
A． 10 B． 2 5 1 C． 2 5 D． 10 1
11．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 P在线段 B1C上运动，则下列结论中不正确的是
A．直线 AD1 直线 A1P
B．直线 BD1过 A1C1D的垂心
C．三棱锥 P A1C1D的体积为定值
D．异面直线 AP与 A1D所成角的取值范围为
,
4 2
12．已知定点 F1 2,0 ，F2 2,0 ，N 是圆O：x2 y2 1上任意一点，点F1关于点 N的对
称点为M ，线段F1M 的中垂线与直线 F2M 相交于点 P，则点 P的轨迹是
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
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第 II卷（非选择题 共 90分）
注意事项： 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答作图题可先用铅
笔绘出，确认后再用 0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.
二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
y 1
13．已知 x， y满足 x 2y 2 0，则 z 3x y的最大值为________．
2x y 2 0
14．过点 A( 5, 1)的直线 l与圆 (x 3)2 y 5 2 4相切，则直线 l的方程为________．
15．在平面直角坐标系中，有 A 0,1 ,B 2 ,1 ,C 3, 4 ,D 1,a 四点，若它们在同一个圆
周上，则 a= ．
16．如图所示四棱锥 P ABCD，底面 ABCD为直角梯形，
AB / /CD， AD AB， AB AD 1 CD 1， AM 2MP，
2
O在四边形 ABCD内， P O / /平 面 M B D ，则O点轨迹
长度为________．
三、解答题（本大题共 6小题共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分 10分）
已知数列 a 2n 的前 n项和 Sn n 2n．
（1）求 an 通项公式；
（2）设b 1n ， bn 的前n项和为Tn，求Tn．anan 1
18.（本小题满分 12分）
（1）求焦点在 x轴上，焦距等于 4，并且经过点 3 , 2 6 的椭圆方程；
4
（2）已知点 A 5,0 ，B 5,0 ，直线 AM ,BM 相交于点M ，且它们斜率之积为 ，试求
9
点M 的轨迹方程．
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19.（本小题满分 12分）
设常数 0，已知函数 f (x) 3sin x cos x cos2 x的最小正周期为 ．
（1）求 的值；
（2 ）在 ABC中，若 f (C) 1，求 cos A sin B 的取值范围．
6
20.（本小题满分 12分）
在坐标平面 xOy中， ABC三个顶点坐标分别为 A(1,1)， B(2,3)，C(4, 2)
（1）求 ABC中 BC边上中垂线的一般方程；
（2）求 ABC中角 B平分线的一般方程．
21.（本小题满分 12分）
如图，已知 E、 F 分别是正方形 ABCD边 BC、CD的中
点， EF 与 AC交于点O， PA、 NC都垂直于平面 ABCD，且
PA AB 4， NC 2，M 是线段 PA上一动点.
（1）求证： EF 平面PAC；
（2）若 PC / /平面MEF ，试求 PM :MA的值；
（3）当M 是 PA中点时，求二面角M EF N的余弦值．
22.（本小题满分 12分）
2
如图，已知 A : x 1 y2 16，点 B 1,0 是一个定点，
点 P是圆上任意一点，线段 BP的垂直平分线 l1和半径 AP相
交于点 Q．当点 P在圆上运动时，点 Q的轨迹为曲线 C.
（1）求曲线 C的方程；
（2）已知经过 A的直线 l2与曲线C相交于 M，N两点，求△BMN 面积的最大值，并求出
此时直线 l2的方程．
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高二数学（理科）参考答案
选择题
BCDAC ABCAB DD
二、填空题
13、11 14、 15、2或4 16、
三、解答题
17.（1）当时，，……………………3分
当时，由，符合上式.……………………4分
所以的通项公式为…………………5分
（2），
，……………………7分
．……………………10分
18.（1）椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为。
由已知条件可以得两个焦点坐标分别是，……………………1分
由椭圆的定义知
……………………3分
，又因为c=2，所以……………………5分
故所求椭圆的标准方程为……………………6分
（2）设点，
则，……………………10分
因为它们的斜率之积为，
所以，，
化简，得，……………………11分
故点M的轨迹方程为……………………12分
19.（1），
所以，故.………………5分
（2）由（1）可得，
因为，所以，
而，故.……………………8分
故
所以，
因为.………………12分
20.（1）由题意知BC中点坐标为，故边上中垂线斜率为，边上中垂线方程为化简为一般式得 ……………………6分
（2）由题易知，，……………………8分
为以B为直角的等腰直角三角形，角B平分线即为边AC上的中线方程，易求AC中点坐标 ，……………………10分
故角平分线 化为一般式为……………………11分
故角平分线的一般方程为………………12分
21.（1）连接，由、分别是、的中点，则，
由为正方形，则，故，
面，面，
，，则平面；………………4分
（2）若是的四等分点靠近的位置，连接，
由题设及（1），易知：是的四等分点靠近的位置，
在△中，即，又面，面，
平面，符合题设.
故面时，.……………………8分
（3）连接，由（1）结论易知：二面角、的平面角分别为，则二面角为，
由，，结合（2）知：，
，，则，，
由二面角的余弦值知：………………12分
或者直接在三角形MON中用余弦定理求解。
（1）依题意可知，，
则，………………2分
所以点的轨迹为以，为焦点，长轴长的椭圆.………………4分
因为，，则，所以曲线的方程为………………5分
（2）依题意设的方程为，代入得.………………7分
设，，则，………………8分
则的面积，………………9分
设，，则.………………10分
在单调递减，………………11分
所以时，即时，取最大值3，此时直线………………12分
