2021-2022学年鲁教五四新版九年级上册数学《第2章 直角三角形的边角关系》单元测试卷（word版含答案）

2021-2022学年鲁教五四新版九年级上册数学《第2章 直角三角形的边角关系》单元测试卷
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若AC＝4，BC＝3，则下列结论中正确的是（　　）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosA＝
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是（　　）
A．＜cosα＜ B．＜cosα＜ C．＜cosα＜ D．＜cosα＜
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果sinA＝，那么sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
6．利用计算器求sin30°时，依次按键，则计算器上显示的结果是（　　）
A．0.5 B．0.707 C．0.866 D．1
7．用计算器计算cos44°的结果（精确到0.01）是（　　）
A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66
8．按如图所示的运算程序，能使输出y值为的是（　　）
A．α＝60°，β＝45° B．α＝30°，β＝45°
C．α＝30°，β＝30° D．α＝45°，β＝30°
9．Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的各个三角函数值（　　）
A．不变化 B．扩大2倍 C．缩小 D．不能确定
10．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，点M为边AB上的一动点，点N为边AC上的一动点，且∠MDN＝90°，则sin∠DMN为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题
11．已知△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，则cosA＝　 　．
12．如图所示的网格是正方形网格，∠BAC　 　∠DAE．（填“＞”，“＝”或“＜”）
13．已知A是锐角，且sinA＝，则cos（90°﹣A）＝　 　．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝，则cosA＝　 　．
15．用科学计算器计算：2×sin15°×cos15°＝　 　．
16．用计算器计算：sin35°≈　 　，　 　（保留4个有效数字）．
17．在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，则∠C的大小是　 　．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，sinB＝，延长BC至点D，使CD：AC＝1：3，则tan∠CAD＝　 　．
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD折叠，点C落在点C1处，如果AB＝5，AC＝4，那么sin∠ADC1的值是　 　．
20．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝　 　．
三．解答题
21．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan∠A＝，求BC的长和sin∠B的值．
23．嘉琪在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（）2+（）2＝1．
据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，设∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．
（1）当α＝30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．
（2）请你对嘉琪的猜想进行证明．
24．计算：．
25．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°＝　 　；
（2）如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
26．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°的值为 　 　
A． B．1 C． D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 　 　．
（3）已知sinα＝，其中α为锐角，试求sadα的值．
27．（1）如图，锐角的正弦和余弦都随着锐角的确定而确定，也随着其变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值的变化规律；
（2）根据你探索到的规律，试比较18°，34°，52°，65°，88°，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小；
（3）比较大小：（在空格处填写“＜”或“＞”或“＝”）
若∠α＝45°，则sinα　 　cosα；若∠α＜45°，则sinα　 　cosα；若∠α＞45°，则sinα　 　cosα；
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：
sin10°，cos30°，sin50°，cos70°．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：由勾股定理得，AB＝＝5，
则sinA＝＝，A选项错误；
cosA＝＝，B、D选项错误；
tanA＝＝，C选项正确；
故选：C．
2．解：AC＝＝＝4，
则cosA＝＝．
故选：C．
3．解：∵cos30°＝，cos60°＝，余弦函数是减函数，
∴＜cosα＜．
故选：C．
4．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴A＝30°，
∴B＝60°，
∴sinB＝．
故选：A．
5．解：∵sinA＝，
∴设BC＝5x，AB＝13x，
则AC＝＝12x，
故tan∠B＝＝．
故选：D．
6．解：依次按键，显示的是sin30°的值，即0.5．
故选：A．
7．解：用计算器解cos44°＝0.72．
故选：B．
8．解：A、α＝60°，β＝45°，
α＞β，则y＝sinα＝；
B、α＝30°，β＝45°，
α＜β，则y＝cosβ＝；
C、α＝30°，β＝30°，
α＝β，则y＝sinα＝；
D、α＝45°，β＝30°，
α＞β，则y＝sinα＝；
故选：C．
9．解：∵设AC＝b，BC＝a，AB＝c，
则sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
∴△ABC的各边长度都扩大2倍得：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
即Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的各个三角函数值不变化，
故选：A．
10．解：连接AD，如图，
∵∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10，
∵点D为边BC的中点，
∴DA＝DC＝5，
∴∠1＝∠C，
∵∠MDN＝90°，∠A＝90°，
∴点A、D在以MN为直径的圆上，
∴∠1＝∠DMN，
∴∠C＝∠DMN，
在Rt△ABC中，sinC＝＝＝，
∴sin∠DMN＝，
故选：A．
二．填空题
11．解：∵△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，42+32＝52，
∴△ABC是直角三角形．
∴cosA＝＝．
12．解：解法一：在AD上取一点G，在网格上取点F，构建△AFG为等腰直角三角形，
∵tan∠BAC＝＝1，tan∠EAD＜1，
∴∠BAC＞∠EAD；
解法二：连接NH，BC，过N作NP⊥AD于P，
S△ANH＝2×2﹣﹣×1×1＝AH NP，
＝PN，
PN＝，
Rt△ANP中，sin∠NAP＝＝＝＝0.6，
Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝＝＞0.6，
∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴∠BAC＞∠DAE，
故答案为：＞．
13．解：∵∠A与∠90°﹣A互余，
∴cos（90°﹣A）＝sinA＝．
14．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴cosA＝sinB＝．
15．解：用计算器按MODE，有DEG后，按2×sin15×cos15＝显示结果为0.5．
故答案为0.5．
16．解：sin35°≈0.5736， 6.403．
17．解：∵|cosA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，
∴cosA﹣＝0，
1﹣tanB＝0，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故答案为：105°．
18．解：过点D作DE⊥AC，与AC的延长线交于点E，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠DCE＝∠ACB，
∴∠DCE＝∠B，
∵sinB＝，
∴，
不妨设DE＝4x，则CD＝5x，
∴，
∵CD：AC＝1：3，
∴AC＝3CD＝15x，
∴AE＝AC+CE＝18x，
∴tan∠CAD＝，
故答案为
19．解：∵∠C＝90°，BD是△ABC的角平分线，
∵将△BCD沿着直线BD折叠，
∴C1点恰好在斜边AB上，
∴∠DC1A＝90°，
∴∠ADC1＝∠ABC，
∵AB＝5，AC＝4，
∴sin∠ADC1＝．
故答案为：．
20．解：在直角△ABD中，BD＝1，AB＝2，
则AD＝＝＝，
则sinA＝＝＝．
故答案是：．
三．解答题
21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos288°）+…+（cos244°+cos246°）+cos245
＝（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin244°+cos244°）+cos245
＝44+（）2
＝44．
22．解：∵tan∠A＝＝，
∴AC＝2BC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
即（2BC）2+BC2＝102，
解得BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，
sin∠B＝＝＝．
23．解：（1）当α＝30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
＝sin230°+sin260°
＝（）2+（）2
＝+
＝1；
所以当α＝30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）＝1成立．
（2）证明：如图，在△ABC中，∠C＝90°，
设∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
＝（）2+（）2
＝
＝
＝1．
24．解：，
＝﹣﹣﹣1+，
＝﹣．（6分）
故答案为：﹣．
25．解：（1）∵Rt△ABC中，α＝30°，
∴BC＝AB，
∴AC＝＝＝AB，
∴ctan30°＝＝．
故答案为：；
（2）∵tanA＝，
∴设BC＝3x，AC＝4x，
∴ctanA＝＝＝．
26．解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°＝＝1．
故选B．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠A＝．
在AB上取点D，使AD＝AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC＝3k，AB＝5k，
则AD＝AC＝＝4k，
又∵在△ADH中，∠AHD＝90°，sin∠A＝．
∴DH＝ADsin∠A＝k，AH＝＝k．
则在△CDH中，CH＝AC﹣AH＝k，CD＝＝k．
于是在△ACD中，AD＝AC＝4k，CD＝k．
由正对的定义可得：sadA＝＝，即sadα＝．
27．解：（1）在图（1）中，令AB1＝AB2＝AB3，B1C1⊥AC于点C1，B2C2⊥AC于点C2，B3C3⊥AC于点C3，
显然有：B1C1＞B2C2＞B3C3，∠B1AC＞∠B2AC＞∠B3AC．
∵sin∠B1AC＝，sin∠B2AC＝，sin∠B3AC＝，
而＞＞．
∴sin∠B1AC＞sin∠B2AC＞sin∠B3AC．
在图（2）中，Rt△ACB3中，∠C＝90°，
cos∠B1AC＝，cos∠B2AC＝，cos∠B3AC＝，
∵AB3＜AB2＜AB1，
∴＞＞．
即cos∠B3AC＞cos∠B2AC＞cos∠B1AC．
（2）sin88°＞sin65°＞sin52°＞sin34°＞sin18°；
cos88°＜cos65°＜cos52°＜cos34°＜cos18°．
（3）若∠α＝45°，则sinα＝cosα；若∠α＜45°，则sinα＜cosα；若∠α＞45°，则sinα＞cosα．
（4）cos30°＞sin50°＞cos70°＞sin10°．