24.1.4圆周角课件

(共32张PPT)
一. 复习引入:
1.圆心角的定义
.
O
B
C
在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余三个量都分别相等。（由一得三）
答:顶点在圆心的角叫圆心角
2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦、弦心距三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？
24.1.4 圆周角
.
O
B
C
A
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
圆周角定义: 顶点在圆上,
并且两边都和圆相交的角
叫圆周角.
辩一辩 图中的∠CDE是圆周角吗
C
D
E
C
D
E
C
D
E
C
D
E
圆周角
当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角有何特点 它们的大小有什么关系 .
●O
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
D
E
D
E
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角相等.
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角有什么关系？
为了解决这个问题,我们先探究同弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.
你会画同弧所对的圆周角和圆心角吗
观察你所画的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,猜测它们的大小有什么关系 用量角器验证
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
∵∠AOC是△ABO的外角，
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
●O
A
B
C
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
即 ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
老师提示:能否转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∴ ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
A
B
C
D
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
圆周角和圆心角的关系
●O
A
B
C
圆周角和圆心角的关系
如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样
3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样
老师提示:能否也转化为1的情况
过点B作直径BD.由1可得:
●O
∴ ∠ABC = ∠AOC.
你能写出这个命题吗
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
D
∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD,
A
B
C
●O
A
B
C
综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
●O
A
B
C
●O
A
B
C
●O
A
B
C
即 ∠ABC = ∠AOC.
如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB
分别是什么角？
它们
有何共同点？
∠ADB与∠ACB有什么关系？
同弧 所对的圆周角相等.
(等弧)
思考:
相等的圆周角所对的弧相等吗
在同圆或等圆中
都等于这条弧所对的圆心角的一半.
圆周角定理:
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
●O
B
A
C
解: ∠A = ∠BOC = 25°.
A
B
O
C
如图,AB是直径,则∠ACB=＿＿＿＿
90 度
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90度的圆周角所对的弦是直径。
2.试找出下图中所有相等的圆周角。
A
B
C
D
1
2
3
4
5
6
7
8
∠2=∠7
∠1=∠4
∠3=∠6
∠5=∠8
3：已知⊙O中弦AB的等于半径，
求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。
O
A
B
圆心角为60度
圆周角为 30 度
或 150 度。
练习：
B
A
O
.
70°
x
1.求圆中角X的度数
A
O
.
X
120°
A
O
.
X
120°
C
C
D
B
40°
x
40°
弦AB∥CD，
40°
x
2:如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,则∠BCD=＿＿＿＿＿.
A
B
O
C
D
40°
这节课你有什么收获和体会，和大家一起分享一下吧！
24.1.4 圆周角
特征：
① 角的顶点在圆上.
② 角的两边都与圆相交.
1.圆周角定义:
顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.
4
一、我们知道:
同弧 所对的圆周角相等.
(等弧)
相等的圆周角所对的弧相等
在同圆或等圆中
都等于这条弧所对的圆心角的一半.
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90度的圆周角所对的弦是直径。
.
O
B
C
圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
我们把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。
在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。
在同圆或等圆中，
例1：
如图，P是△ABC的外接圆上的一点
∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等边三角形
·
·
A
P
B
C
O
∴∠ABC=∠APC=60°
(同弧所对的圆周角相等）
∴△ABC等边三角形。
证明：∵∠ABC和∠APC
都是 所对的圆周角。
AC
⌒
同理，∵∠BAC和∠CPB都是 所对的圆周角，
BC
∴∠BAC=∠CPB=60°。
⌒
一个圆形人工湖,弦AB是湖上的一座桥,已知桥AB长100m.测得圆周角∠C=45°求这个人工湖的直径.
A
B
C
练习1：
A
B
C
D
练习2：一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所对的圆周角度数为________________。
36
A
C
B
D
或144
定义：四个顶点都在圆上的四边形.
性质：内接四边形对角互补.
或者：内接四边形的一个外角等于他的内对角
1、100 的弧所对的圆心角等于_______，所对的圆周角等于_______。
2、已知⊙O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的平分线交 ⊙O于点D . 求 BC= , AD = .
3、如图，在⊙O中，∠BAC=32 ，则∠BOC=________。
4、如图，⊙O中，∠ACB = 130 ，则∠AOB=______。
5、下列命题中是真命题的是（ ）
（A）顶点在圆周上的角叫做圆周角。
（B）60 的圆周角所对的弧的度数是30
（C）一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角。
（D）120 的弧所对的圆周角是60
小试牛刀
A
O
C
B
B
A
O
C
100
50
64
100
D
8
1.（2012 鄂州）如图OA=OB=OC且∠ACB=30°，
则∠AOB的大小是 。
3.（2011 芜湖）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）
和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则
∠OBC= °。
点击中考
2.（2012 深圳）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内 OB上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为 .
60
6
30
1.已知BC为半圆O的直径，AB=AF，过A点作AD⊥BC于D，交BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？为什么？
B
C
A
F
D
E
2.如图:AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,G是⌒上任意一点,延长AG,与DC的延长线相交于点F,连接AD,GD,CG,找出图中所有和∠ADC相等的角,并说明理由.
AC
A
B
D
G
F
C
E
O
3.如图,⊙O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是CO的中点,DE // AB,求证:EC=2EA.
A
B
E
O
D
C
⌒　 ⌒
例3: 船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。
（2）当船位于圆形区域内时,船与两个灯塔的夹角∠α与“危险角”有什么关系？为什么？
（1）当船位于圆形区域外时,船与两个灯塔的夹角∠α与“危险角”有什么关系？为什么？