人教版八年级上册数学13.4课题学习最短路径训练（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学13.4课题学习最短路径训练（word版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 814.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-17 17:08:33 | ||
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文档简介
人教版八年级上册数学13.4课题学习最短路径训练
一、单选题
1．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（ ）
A．点处 B．点处
C．的中点处 D．三条高的交点处
3．如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为( )
A． B．4 C． D．5
4．在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值是（ ）
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
5．某开发商的经适房的三个居民小区A、B、C在同一条直线上，位置如图所示．其中小区B到小区A、C的距离分别是70m和150m，现在想在小区A、C之间建立一个超市，要求各小区居民到超市总路程的和最小，那么超市的位置应建在（ ）
A．小区A B．小区B C．小区C D．AC的中点
6．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上，点P也在小正方形的顶点上．某人从点P出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC且要回到P），则这个人所走的路程最少是（ ）
A．7 B．14 C．10 D．不确定
7．如图，A是直线l外一点，点B，E，D，C在直线l上，且，D为垂足，如果量得，，，，则点A到直线l的距离为（ ）
A．11 cm B．7 cm C．6 cm D．5 cm
8．如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，爬行的最短路线有( )条
A．3条 B．4条 C．6条 D．12条
二、填空题
9．如图，要从村庄P修一条连接公路的最短的小道，应选择沿线段________修建，理由是________．
10．如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是__________．
11．在菱形 中， ，为中点，为对角线上一动点，连结和，则的值最小为_______．
12．有一个圆柱形玻璃杯高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧点，与点正对的容器内侧距下底的点处有一饭粒，蚂蚁想吃处的饭粒，要从杯子的外侧爬到杯子的内侧，杯子的厚度忽略不计，则至少需要爬________________．
13． 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是______米．
14．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为__________（容器厚度忽略不计）．
15．如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF=________度．
三、解答题
16．．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请作出△ABC关于y轴对称的；并求出的面积
（2）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请作出△PAB，并直接写出点P的坐标．
17．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知的三个顶点在格点上．
（1）画出，使它与关于直线a对称；
（2）求出的面积；
（3）在直线a上画出点P，使最小
18．如图，BA、BC是两条公路，在两条公路夹角内部的点P处有一油库，若在两公路上分别建个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？
19．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A C D的坐标分别为，，，点P从点O出发，以每秒1单位长度的速度沿运动，点P的运动时间为t秒．
（1）当时，P点坐标为___________；
（2）当时，有最小值吗？如果有，请算出该最小值，如果没有，请说明理由；
（3）当t为何值时，是腰长为5的等腰三角形？若存在，直接写出t的值，若没有，请说明理由．
参考答案
1．B
根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可，
故选：B．
2．D
解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
当PC+PE的长最小时，即PB+PE最小
则此时点B、P、E在同一直线上，
又∵BE为中线，△ABC是等边三角形
∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的三条高的交点．
故选：D
3．C
解：如图，它运动的最短路程AB= ＝
故选：C
4．D
由题意得：当BP⊥AC时，的值最小，
∵,
∴,
解得BP=，
故选：D.
5．B
解：设超市为点P，
∵P点在A、C 之间，
∴AP+BP+CP是超市到小区居民总路程的和，
∵AP+CP＝AC，
∴当PB最短时，即P点与B点重合时，AP+BP+CP＝AC，此时市到小区居民总路程的和最小，
故选：B．
6．B
如图，这个人所走的路程是图中的矩形，
周长为2（3+4）=14
故选B．
7．D
∵AD=5cm，∴点A到直线l的距离是5cm．
故选D．
8．C
根据两点之间线段最短知A到C的最短路线是A、C展开在同一平面上为两正方形组成的长方形对角时，连接AC最短，
①前面和下面展开在一起时，连接AC为爬行的最短路线；
②前面和右面展开在一起时，连接AC为爬行的最短路线；
③上面和后面展开在一起时，连接AC为爬行的最短路线；
④上面和右面展开在一起时，连接AC为爬行的最短路线；
⑤左面和后面展开在一起时，连接AC为爬行的最短路线；
⑥左面和下面展开在一起时，连接AC为爬行的最短路线；
共6种，故选C.
9．PC 垂线段最短
解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点P作PC⊥l于点C，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：PC，垂线段最短．
10．
解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上）
∵平分，△ABC是锐角三角形
∴R必在AC上
∵N关于AD的对称点是R
∴MN=MR
∴BM+MN=BM+MR
∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短）
∵，
∴=18
∴BE=cm
即BM+MN的最小值是cm.
故答案为.
11．2
作点E′和E关于BD对称．则连接AE′交BD于点P，
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，E为AD中点，
∴点E′是CD的中点，
∴DE′=DC=×4=2，AE′⊥DC，
∴AE′=．
故答案为2．
12．
解：
如图：过沿上沿B点的对称点B′，作AC⊥BB′于C，
∵高15cm，底面周长为40cm，有一只蚂蚁在一侧距下底2cm的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底12cm的B点处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点B处，
∴依题意得：
cm，
cm，
连接A B′，则A B′即为最短距离，
故答案为．
13．1000
【详解】
作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．易得△A′CM≌△BDM，AC=BD，所以A′C=BD，则A′C /BD ="CM" /MD ，
所以CM=DM，M为CD的中点，
由于A到河岸CD的中点的距离为500米，
所以A′到M的距离为500米，
A′B=1000米．
故最短距离是1000米．
14．20
∵高为18cm，底面周长为24cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝12cm，BD＝16cm，
∴在直角△A′DB中，A′B＝＝20（cm）．
故答案是：20．
15．80°
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C=50°，
∴∠DAB=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠A′+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠A′=∠EAB，∠A″=∠FAD，
∴∠EAB+∠FAD=50°，
∴∠EAF=130°-50°=80°，
故答案为80°．
16．
（1）如图所示，即为所求；
的面积为：；
故答案为：3.5．
（2）如图所示，作点A关于x轴的对称点 ，则；连接 ，它与x轴的交点就是所求作的点P，此时 最小，即为所求，由图知点的坐标为．
17．
（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）=2×2-×1×2×2-×1×1=．
（3）如图，连接C1A（或A1C）与直线a交于点P，则点P即为所求．
18．
解：如图所示：C、D点即为所求．
19．
解：（1）由题意可得，
当t=5时，点P在BC上，且PC=5-4=1，
又∵OC=4，
∴点P的坐标为（1，4）；
（2）当t＞4时，
点P在BC或AB上，
当点P在BC上时，作点D关于直线CB的对称点D′，连接OD′与BC交于点P，则点P即为所求，
如图一所示，
∵四边形OABC是长方形，点A、C、D的坐标分别为A（9，0）、C（0，4），D（5，0），
∴点D′（5，8），
∴OP+PD的最小值为OD′，即OD′==；
当点P在AB上时，当点P与点A重合时，OP+PD最小，
∴OP+PD的最小值为OA+AD=9+4=13＞；
综上：OP+PD的最小值为；
（3）当，7，12或14时，是腰长为5的等腰三角形，
理由：如图二所示，
当时，
点，点，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
；
当时，
，
，
点，点，
，
；
由上可得，当，7，12或14时，是腰长为5的等腰三角形．
一、单选题
1．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在等边三角形中，，分别是，的中点，点是线段上的一个动点，当的周长最小时，点的位置在（ ）
A．点处 B．点处
C．的中点处 D．三条高的交点处
3．如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为( )
A． B．4 C． D．5
4．在中，，，于点，且，若点在边上移动，则的最小值是（ ）
A．4.5 B．4.6 C．4.7 D．4.8
5．某开发商的经适房的三个居民小区A、B、C在同一条直线上，位置如图所示．其中小区B到小区A、C的距离分别是70m和150m，现在想在小区A、C之间建立一个超市，要求各小区居民到超市总路程的和最小，那么超市的位置应建在（ ）
A．小区A B．小区B C．小区C D．AC的中点
6．如图方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上，点P也在小正方形的顶点上．某人从点P出发，沿图中已有的格点所连线段走一周（即不能直接走线段AC且要回到P），则这个人所走的路程最少是（ ）
A．7 B．14 C．10 D．不确定
7．如图，A是直线l外一点，点B，E，D，C在直线l上，且，D为垂足，如果量得，，，，则点A到直线l的距离为（ ）
A．11 cm B．7 cm C．6 cm D．5 cm
8．如图，一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点C，爬行的最短路线有( )条
A．3条 B．4条 C．6条 D．12条
二、填空题
9．如图，要从村庄P修一条连接公路的最短的小道，应选择沿线段________修建，理由是________．
10．如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是__________．
11．在菱形 中， ，为中点，为对角线上一动点，连结和，则的值最小为_______．
12．有一个圆柱形玻璃杯高，底面周长为，有一只蚂蚁在一侧距下底的外侧点，与点正对的容器内侧距下底的点处有一饭粒，蚂蚁想吃处的饭粒，要从杯子的外侧爬到杯子的内侧，杯子的厚度忽略不计，则至少需要爬________________．
13． 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是______米．
14．如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为__________（容器厚度忽略不计）．
15．如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF=________度．
三、解答题
16．．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为，，．
（1）请作出△ABC关于y轴对称的；并求出的面积
（2）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请作出△PAB，并直接写出点P的坐标．
17．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知的三个顶点在格点上．
（1）画出，使它与关于直线a对称；
（2）求出的面积；
（3）在直线a上画出点P，使最小
18．如图，BA、BC是两条公路，在两条公路夹角内部的点P处有一油库，若在两公路上分别建个加油站，并使运油的油罐车从油库出发先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油库的路程最短，则加油站应如何选址？
19．已知，如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A C D的坐标分别为，，，点P从点O出发，以每秒1单位长度的速度沿运动，点P的运动时间为t秒．
（1）当时，P点坐标为___________；
（2）当时，有最小值吗？如果有，请算出该最小值，如果没有，请说明理由；
（3）当t为何值时，是腰长为5的等腰三角形？若存在，直接写出t的值，若没有，请说明理由．
参考答案
1．B
根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可，
故选：B．
2．D
解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
当PC+PE的长最小时，即PB+PE最小
则此时点B、P、E在同一直线上，
又∵BE为中线，△ABC是等边三角形
∴点P为△ABC的三条中线的交点，也就是△ABC的三条高的交点．
故选：D
3．C
解：如图，它运动的最短路程AB= ＝
故选：C
4．D
由题意得：当BP⊥AC时，的值最小，
∵,
∴,
解得BP=，
故选：D.
5．B
解：设超市为点P，
∵P点在A、C 之间，
∴AP+BP+CP是超市到小区居民总路程的和，
∵AP+CP＝AC，
∴当PB最短时，即P点与B点重合时，AP+BP+CP＝AC，此时市到小区居民总路程的和最小，
故选：B．
6．B
如图，这个人所走的路程是图中的矩形，
周长为2（3+4）=14
故选B．
7．D
∵AD=5cm，∴点A到直线l的距离是5cm．
故选D．
8．C
根据两点之间线段最短知A到C的最短路线是A、C展开在同一平面上为两正方形组成的长方形对角时，连接AC最短，
①前面和下面展开在一起时，连接AC为爬行的最短路线；
②前面和右面展开在一起时，连接AC为爬行的最短路线；
③上面和后面展开在一起时，连接AC为爬行的最短路线；
④上面和右面展开在一起时，连接AC为爬行的最短路线；
⑤左面和后面展开在一起时，连接AC为爬行的最短路线；
⑥左面和下面展开在一起时，连接AC为爬行的最短路线；
共6种，故选C.
9．PC 垂线段最短
解：∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点P作PC⊥l于点C，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：PC，垂线段最短．
10．
解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上）
∵平分，△ABC是锐角三角形
∴R必在AC上
∵N关于AD的对称点是R
∴MN=MR
∴BM+MN=BM+MR
∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短）
∵，
∴=18
∴BE=cm
即BM+MN的最小值是cm.
故答案为.
11．2
作点E′和E关于BD对称．则连接AE′交BD于点P，
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，E为AD中点，
∴点E′是CD的中点，
∴DE′=DC=×4=2，AE′⊥DC，
∴AE′=．
故答案为2．
12．
解：
如图：过沿上沿B点的对称点B′，作AC⊥BB′于C，
∵高15cm，底面周长为40cm，有一只蚂蚁在一侧距下底2cm的外侧A点，与点A正对的容器内侧距下底12cm的B点处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点B处，
∴依题意得：
cm，
cm，
连接A B′，则A B′即为最短距离，
故答案为．
13．1000
【详解】
作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．易得△A′CM≌△BDM，AC=BD，所以A′C=BD，则A′C /BD ="CM" /MD ，
所以CM=DM，M为CD的中点，
由于A到河岸CD的中点的距离为500米，
所以A′到M的距离为500米，
A′B=1000米．
故最短距离是1000米．
14．20
∵高为18cm，底面周长为24cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处，
∴A′D＝12cm，BD＝16cm，
∴在直角△A′DB中，A′B＝＝20（cm）．
故答案是：20．
15．80°
解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C=50°，
∴∠DAB=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠A′+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠A′=∠EAB，∠A″=∠FAD，
∴∠EAB+∠FAD=50°，
∴∠EAF=130°-50°=80°，
故答案为80°．
16．
（1）如图所示，即为所求；
的面积为：；
故答案为：3.5．
（2）如图所示，作点A关于x轴的对称点 ，则；连接 ，它与x轴的交点就是所求作的点P，此时 最小，即为所求，由图知点的坐标为．
17．
（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）=2×2-×1×2×2-×1×1=．
（3）如图，连接C1A（或A1C）与直线a交于点P，则点P即为所求．
18．
解：如图所示：C、D点即为所求．
19．
解：（1）由题意可得，
当t=5时，点P在BC上，且PC=5-4=1，
又∵OC=4，
∴点P的坐标为（1，4）；
（2）当t＞4时，
点P在BC或AB上，
当点P在BC上时，作点D关于直线CB的对称点D′，连接OD′与BC交于点P，则点P即为所求，
如图一所示，
∵四边形OABC是长方形，点A、C、D的坐标分别为A（9，0）、C（0，4），D（5，0），
∴点D′（5，8），
∴OP+PD的最小值为OD′，即OD′==；
当点P在AB上时，当点P与点A重合时，OP+PD最小，
∴OP+PD的最小值为OA+AD=9+4=13＞；
综上：OP+PD的最小值为；
（3）当，7，12或14时，是腰长为5的等腰三角形，
理由：如图二所示，
当时，
点，点，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
；
当时，
，
，
点，点，
，
；
由上可得，当，7，12或14时，是腰长为5的等腰三角形．