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人教版 八年级下
第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第3课时 勾股定理的几何应用
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C
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见习题
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B
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A
见习题
(x－6.8)2＋x2＝102
3，2；斜边长
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见习题
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见习题
1．在数轴上找表示无理数的点，其实质是确定两直角边长分别为正整数的直角三角形的斜边的长．例如：在数轴上找表示± 的点时，是以原点O为圆心，以两直角边长分别为________的直角三角形的________为半径画弧，与数轴的两个交点即为表示± 的点．
3，2
斜边长
2．【教材P27练习T1变式】如图，在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，点A，B在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的数为( )
C
3．【中考·吉林】如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为( )
A．(1，0)
B．(－1，0)
C．(－5，0)
D．(5，0)
B
4．【2020·辽阳】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，分别以点A和B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AC于点E，连接BE，若CE＝3，则BE的长为________．
5
5．【2021·岳阳】《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？其意思为：今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好为1丈．问门高、宽各是多少？(1丈＝10尺，1尺＝10寸)如图，设门高AB为x尺，根据题意，可列方程为_______________________．
(x－6.8)2＋x2＝102
6．【2020·包头】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E.若AC＝2，BC＝2 ，则BE的长为( )
A
7．【中考·枣庄】如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为( )
A．4
B．2
C．6
D．2
D
8．【中考·陕西】如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为( )
【答案】C
9．【教材P29习题T14变式】如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上一点．求证：
(1)△ACE≌△BCD；
【点拨】本题运用等角代换法可得∠EAD＝90°，用勾股定理即可得证．
证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CE＝CD，
∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD.
∴∠BCD＝∠ACE.
∴△ACE≌△BCD(SAS)．
证明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC＝∠DBC.
∵∠DBC＋∠DAC＝90°，
∴∠EAC＋∠DAC＝∠EAD＝90°.
∴AD2＋AE2＝DE2.
(2)AD2＋AE2＝DE2.
10．【中考·绍兴】如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝30，DM＝10.
(1)在旋转过程中，
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
解：AM＝AD＋DM＝40或AM＝AD－DM＝20.
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长．
解：显然∠MAD不能为直角．
当∠AMD为直角时，AM2＝AD2－DM2＝302－102＝800，
∴AM＝20
当∠ADM为直角时，AM2＝AD2＋DM2＝302＋102＝1 000，
∴AM＝10
综上所述，AM的长为
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1旋转到其内的点D2处，连接D1D2，如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝60，求BD2的长．
解：如图，连接CD1.
由题意知∠D1AD2＝90°，AD1＝AD2＝30，
∴∠AD2D1＝45°，D1D2＝30
∵∠AD2C＝135°，∴∠CD2D1＝90°.
∴CD1＝
∵∠BAC＝∠D1AD2＝90°，
∴∠BAC－∠CAD2＝∠D1AD2－∠CAD2，
即∠BAD2＝∠CAD1.
又∵AB＝AC，AD2＝AD1，
∴△BAD2≌△CAD1(SAS)．
∴BD2＝CD1＝30
11．如图，AD是△ABC的中线．
求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．
方法总结：证明三角形各边之间的平方关系的方法：先观察各边是否在直角三角形中，若在，可直接利用勾股定理进行证明；若不在，需作垂线，使各边在直角三角形中，再利用勾股定理进行证明．
证明：过点A作AE⊥BC于点E.
在Rt△ABE，Rt△ACE和Rt△ADE中，根据勾股定理，得AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋EC2，AE2＝AD2－DE2，
∴AB2＋AC2＝2AE2＋BE2＋EC2＝2(AD2－DE2)＋(BD－DE)2＋(CD＋DE)2＝2AD2－2DE2＋BD2－2BD·DE＋DE2＋CD2＋2CD·DE＋DE2＝2AD2＋BD2＋CD2－2BD·DE＋2CD·DE.
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD.
∴AB2＋AC2＝2AD2＋2CD2，即AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．
12．【教材P27教材变式】图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由图乙中的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1.
(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律，并计算出OA10的长；(共23张PPT)
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B
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B
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C
D
D
面积；勾股定理
C
见习题
两直角边的平方和；斜边的平方；a2＋b2＝c2
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见习题
14
见习题
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见习题
见习题
1．直角三角形__________________等于__________．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么________________．
两直角边的平方和
斜边的平方
a2＋b2＝c2
2．【2021·临沂】如图，每一小方格的边长为1，点A，B都在格点上，若BC＝ ，则AC的长为( )
B
3．【2021·自贡】如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为( )
A．(0，5) B．(5，0)
C．(6，0) D．(0，6)
D
4．下列说法正确的是( )
A．若a，b，c是△ABC的三边长，则a2＋b2＝c2
B．若a，b，c是Rt△ABC的三边长，则a2＋b2＝c2
C．若a，b，c是Rt△ABC的三边长，∠A＝90°，则a2＋b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三边长，∠C＝90°，则a2＋b2＝c2
D
5．【教材P24练习T1变式】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°.
(1)若AB＝3，BC＝4，求AC；
(2)若AB＝6，AC＝10，求BC.
解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，
6．勾股定理通常是用______法来验证的，因此很多涉及直角三角形的图形面积问题，通常用__________来解决．
面积
勾股定理
7．【教材P24练习T2变式】【2021·成都】如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为________．
100
8．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )
A．48
B．60
C．76
D．80
C
9．【教材P24练习T2拓展】如图，阴影部分是两个正方形，图中还有两个直角三角形和一个大正方形，则阴影部分A，B的面积和为( )
A．16
B．25
C．144
D．169
B
10．【2021·山西】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是( )
A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
C
11．【教材P24练习T1变式】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
(1)已知b＝2，c＝3，求a；
(2)已知c－a＝16，b＝32，求a，c.
由c2＝a2＋b2＝(c－16)2＋322，
解得c＝40，∴a＝c－16＝24.
12．(1)已知∠C＝∠D＝90°，D，E，C三点共线，各边长如图所示，请利用面积法证明勾股定理．
证明：在△ADE和△EBC中，
∴△ADE≌△ECB(SAS)，∴∠AED＝∠CBE，
∵∠CBE＋∠BEC＝90°，∴∠AED＋∠BEC＝90°，
∴∠AEB＝90°.∴梯形的面积＝ (a＋b)(a＋b)＝2× ab＋c2，整理得，a2＋b2＝c2.
(2)【教材P28习题T8拓展】如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20 m，BC＝15 m，CD＝7 m，求四边形ABCD的面积．
【点拨】将不规则四边形分割成特殊的三角形，再利用特殊的三角形性质求面积．
解：如图，连接AC.
∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD都是直角三角形．
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2
＝202＋152＝625，则AC＝25 m.
在Rt△ACD中，根据勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝252－72＝576，则AD＝24 m.
13．如图，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边上的点F处．已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，求EC的长．
解：根据题意，得△AFE≌△ADE，
所以AF＝AD＝BC＝10 cm，EF＝ED.
所以EF＋EC＝DC＝AB＝8 cm.
在Rt△ABF中，根据勾股定理得BF2＝AF2－AB2＝102－82＝36，所以BF＝6 cm.
所以FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．
设EC＝x cm，则EF＝DC－EC＝(8－x) cm.
在Rt△EFC中，根据勾股定理得EC2＋FC2＝EF2，
即x2＋42＝(8－x)2.
解这个方程，得x＝3，
即EC的长为3 cm.
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝25 cm，BC＝15 cm.
(1)设点P在AB上，若∠PAC＝∠PCA，求AP的长；
解：∵∠ABC＝90°，AC＝25 cm，BC＝15 cm，
∴AB＝
∵∠PAC＝∠PCA，∴AP＝PC.
设AP＝PC＝x cm，则PB＝(20－x) cm.
∴在Rt△BPC中，由勾股定理，得(20－x)2＋152＝x2，
(2)设点M在AC上，若△MBC为等腰三角形，求AM的长．
解：连接BM.分三种情况：
①当CM＝BC＝15 cm时，△MBC为等腰三角形，
∴AM＝AC－CM＝25－15＝10(cm)．
②当BM＝BC＝15 cm时，△MBC为等腰三角形，
过点B作BH⊥AC于点H，∴MH＝CH.
∴AM＝AC－2CH＝7 cm.
③当BM＝CM时，△MBC为等腰三角形．
设AM＝y cm(y＞0)，则BM＝CM＝(25－y)cm.
在Rt△BMH中，由勾股定理，得(25－y)2＝122＋(25－y－9)2，
解得y＝12.5，∴AM＝12.5 cm.
综上所述，AM的长为10 cm或7 cm或12.5 cm.(共22张PPT)
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第十七章 勾股定理
素养集训
2．勾股定理及其逆定理的八种应用
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A
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见习题
A
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见习题
C
见习题
B
见习题
北偏东50°
见习题
1．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一种新的验证勾股定理的方法．如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到长方形AB′C′D′的位置，连接AC，AC′，CC′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2＋b2＝c2.
证明：由题知Rt△C′D′A≌Rt△ABC，∴∠C′AD′＝∠ACB.
又∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＋∠C′AD′＝90°.
∴∠C′AC＝90°.
∵S梯形BCC′D′＝SRt△ABC＋SRt△AC′D′＋SRt△CAC′，
∴
∴(a＋b)2＝2ab＋c2. ∴a2＋b2＝c2.
2．【2020·衢州】把一张长方形纸片ABCD按如图所示的方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF，若BC＝1，则AB的长度为( )
【点拨】由折叠补全图形如图所示，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ADC＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB.
由第一次折叠得∠ADE＝∠A′DE＝ ∠ADC＝45°，
又∵∠A＝90°，∴∠AED＝∠ADE＝45°.
∴AE＝AD＝1.在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE＝ ，
由第二次折叠知，CD＝DE＝ ，∴AB＝ .
【答案】A
3．【教材P39复习题T12改编】【中考·东营】如图，圆柱的高AB＝3，底面直径BC＝3，现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是( )
C
4．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．
(1)当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为______三角形；当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为________三角形．
锐角
钝角
(2)猜想：当a2＋b2________c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2________c2时，△ABC为钝角三角形．(填“＞”或“＜”)
＞
＜
解：∵c为最长边，∴4≤c＜6.
①当a2＋b2＞c2，c2＜20，即4≤c＜2 时，△ABC为锐角三角形；
②当a2＋b2＝c2，c2＝20，即c＝2 时，△ABC为直角三角形；
③当a2＋b2＜c2，c2＞20，即2 ＜c＜6时，△ABC为钝角三角形．
(3)判断当a＝2，b＝4时△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．
5．【教材P33例2改编】【2021·玉林】如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿________方向航行．
【点拨】由题意可知：AP＝12海里，BP＝16海里，AB＝20海里．
∵122＋162＝202，∴△APB是直角三角形，且∠APB＝90°.
由题意知∠APN＝40°，
∴∠BPN＝90°－∠APN＝90°－40°＝50°.
即乙船沿北偏东50°方向航行．
【答案】北偏东50°
6．【中考·淄博】如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为( )
【点拨】如图，延长BG交CH于点E.
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD.
又∵AG＝CH，BG＝DH，∴△ABG≌△CDH(SSS)．
∴∠1＝∠5，∠2＝∠6.
∵AG＝8，BG＝6，AB＝10，∴AG2＋BG2＝AB2.
∴△ABG是直角三角形，且∠AGB＝90°.
∴△CDH也是直角三角形，∠CHD＝90°.
∴∠1＋∠2＝90°，∠5＋∠6＝90°.
又∵∠2＋∠3＝90°，∠4＋∠5＝90°，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠6＝∠2.
又∵AB＝BC，∴△ABG≌△BCE(ASA)．
∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°.
∴GE＝BE－BG＝8－6＝2，HE＝CH－CE＝8－6＝2.
【答案】B
7．如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且CE＝ BC.你能说明∠AFE是直角吗？
解：如图，连接AE，设CE＝a，则BC＝4a，BE＝3a.
因为四边形ABCD为正方形，且F为DC的中点，所以AB＝AD＝CD＝BC＝4a，DF＝CF＝2a.由勾股定理得AF2＝AD2＋DF2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2 ，EF2＝CE2＋CF2＝a2＋(2a)2＝5a2，AE2＝AB2＋BE2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2.
因为AF2＋EF2＝20a2＋5a2＝25a2，
所以AF2＋EF2＝AE2.
由直角三角形的判定方法得∠AFE＝90°，即∠AFE是直角．
8．如图是由边长为1的小正方形组成的网格．
(1)求四边形ABCD的面积．
解：如图所示．
将四边形ABCD分成4个小直角三角形，分别为Rt△AED，Rt△CED，Rt△AFB，Rt△CFB，发现每个小直角三角形的面积恰好是其所在长方形(或正方形)面积的一半，
因此四边形ABCD的面积为整个网格面积的一半，即 × 52＝12.5.
解：AD⊥CD.理由如下：
在△ADC中，
∵AD2＝12＋22＝5，CD2＝22＋42＝20，AC2＝52＝25，
∴AD2＋CD2＝AC2.
∴△ADC是直角三角形，且∠ADC＝90°，∴AD⊥CD.
(2)你能判断AD与CD的位置关系吗？请说出你的理由．
9．【中考·长沙】我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里、12里、13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为( )
A．7.5平方千米 B．15平方千米
C．75平方千米 D．750平方千米
A
10．如图，南北方向PQ以东为我国领海，以西为公海．晚上10：28，我边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我沿海靠近，便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向．经检测AC＝10 n mile，AB＝6 n mile，BC＝8 n mile.若该可疑船只的速度为12.8 n mile/h，则该可疑船只最早何时进入我国领海？
解：∵AB2＋BC2＝62＋82＝100＝102＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
又∵S△ABC＝
解得BD＝4.8 n mile.
在Rt△BCD中，CD2＝BC2－BD2＝82－4.82＝40.96，
解得CD＝6.4 n mile.
故该可疑船只从被发现到进入我国领海的最短航行时间为6.4÷12.8＝0.5(h)．
因此该可疑船只最早进入我国领海的时间为晚上10：58.(共26张PPT)
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第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理
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逆定理
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C
A
10
B
B
A
见习题
勾股数
直角三角形
互逆命题；逆命题
11
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13
C
14
见习题
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见习题
①
15
见习题
1．如果两个命题的题设和结论刚好相反，那么这样的两个命题叫做____________，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做它的__________．
互逆命题
逆命题
2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为________．
逆定理
3．下列说法正确的是( )
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
D．真命题的逆命题是真命题
B
4．【中考·包头】已知下列命题：
①若a＞b，则a2＞b2；
②若a＞1，则(a－1)0＝1；
③两个全等三角形的面积相等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
A．0 B．3 C．2 D．1
A
5．如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是______________．
直角三角形
6．阅读下列解题过程：
已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，试判断△ABC的形状．
错解：因为a2c2－b2c2＝a4－b4，①
所以c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．②
所以c2＝a2＋b2.③
所以△ABC为直角三角形．④
(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的序号：________．
(2)错误的原因是______________________________．
(3)本题正确的结论是________________________________．
③
不能确定a2－b2是否为0
△ABC为等腰三角形或直角三角形
7．【教材P34习题T1改编】下列各组数，以a，b，c为边长的三角形不是直角三角形的是( )
C
8．【2020·绍兴】长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
B
9．【教材P33练习T1变式】若△ABC的三边长为a，b，c且(a＋b)(a－b)＝c2，则( )
A．a边的对角是直角
B．b边的对角是直角
C．c边的对角是直角
D．△ABC不是直角三角形
A
10．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为__________．
勾股数
11．下列各组数能构成勾股数的是________(填序号)．
① 6，8，10；② 7，8，10；③
①
12．【2021·常德】阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2＋b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：
①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；
③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数．
依次正确的是( )
A．②④ B．①②④ C．①② D．①④
C
13．【中考·呼和浩特】如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
解：∠A＋∠B<∠C.
(2)求证：△ABC的内角和等于180°；
证明：如图，过点B作MN∥AC，
则∠MBA＝∠A，∠NBC＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
∵∠MBA＋∠ABC＋∠NBC＝180°(平角的定义)，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝180°(等量代换)，
即△ABC的内角和等于180°.
∴2ac＝a2＋2ac＋c2－b2，∴a2＋c2＝b2，
∴△ABC是直角三角形．
14．【中考·河北】已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式B>0.
尝试 化简整式A.
发现 A＝B2，求整式B.
解：A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2.
∵A＝B2，B>0，
∴B＝n2＋1.
联想 由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n>1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图所示，填写下表中B的值．
直角三角形三边 n2－1 2n B
勾股数组Ⅰ 8
勾股数组Ⅱ 35
17
37
15．(1)【操作发现】
如图①，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝________.
解：如图①所示．
45°
(2)【问题解决】
如图②，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝ ，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
(3)【灵活运用】
如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝ ，BP＝ ，PC＝1，求∠BPC的度数．(共26张PPT)
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第十七章 勾股定理
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1．下列命题的逆命题成立的是( )
A．全等三角形的面积相等
B．如果a＝b，那么a2＝b2
C．如果a是偶数，那么2a是偶数
D．两直线平行，同位角相等
D
2．下面三个定理中，存在逆定理的有( )
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；
②全等三角形的对应角相等；
③同位角相等，两直线平行．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
C
3．下列各组数中，是勾股数的一组为( )
A．0.7，0.24，0.25 B．32，42，52
C．40，41，9 D.
C
解：设CD＝x，在Rt△ABC中，有AC2＋(CD＋BD)2＝AB2，
整理，得AC2＝AB2－(CD＋BD)2＝64－(x＋5)2.①
在Rt△ADC中，有AC2＋CD2＝AD2，
整理，得AC2＝AD2－CD2＝25－x2.②
由①②两式，得64－(x＋5)2＝25－x2，解得x＝1.4，
即CD的长是1.4.
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD.若AB＝8，BD＝5，求CD的长．
5．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22－1 32－1 42－1 52－1 …
b 4 6 8 10 …
c 22＋1 32＋1 42＋1 52＋1 …
(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含n(n＞1)的式子表示：a＝________，b＝________，c＝________；
n2－1
2n
n2＋1
(2)猜想以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想．
解：是直角三角形．证明如下：
∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4＋2n2＋1，
c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1，
∴a2＋b2＝c2.
∴以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．
6．如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1 cm和3 cm，高为6 cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时其长度的平方是多少？
【点拨】利用化折为直法将长方体展开计算即可．
解：将长方体的侧面展开，如图所示．
因为AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6 cm，
所以AB′2＝AA′2＋A′B′2＝82＋62＝102.
所以AB′＝10 cm.
所以用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，所用细线最短需要10 cm.
如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时其长度的平方为(8n)2＋62＝64n2＋36(cm2)．
7．如图，A，B两个小镇在河岸l的同侧，到河岸的距离分别为AC＝10 km，BD＝30 km，且CD＝30 km，现在要在河边建一自来水厂，分别直接向A，B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．请你在河岸l上选择自来水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出最少的费用是多少．
【点拨】利用对称法将两点到直线上的一点的最短距离和转化为两点间的距离，用勾股定理求解即可．
解：如图，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，交CD于点M，点M即为所求．连接AM，则MA＋MB最小．作A′E⊥BD，交BD的延长线于点E.
在Rt△A′BE中，A′E＝30 km，BE＝BD＋DE＝BD＋A′C＝40 km.
由勾股定理得A′B2＝A′E2＋BE2＝302＋402＝502，
所以A′B＝50 km.
所以MA＋MB＝A′M＋BM＝A′B＝50 km.
所以铺设水管的最少费用为50×3＝150(万元)．
8．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．
解：如图，连接EE′.
由题意可知△ABE≌△CBE′，∠EBE′＝90°，
所以E′C＝AE＝1，BE′＝BE＝2，∠ABE＝∠CBE′.
在△EE′C中，EE′2＋CE′2＝BE2＋BE′2＋CE′2＝9，EC2＝9，
所以EE′2＋CE′2＝EC2.
所以△EE′C为直角三角形，且∠EE′C＝90°.
因为BE＝BE′，∠EBE′＝90°，所以∠BE′E＝ ＝45°.
所以∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.
9．如图，已知等腰三角形ABC的底边长BC＝20 cm，D是AC上的一点，且BD＝16 cm，CD＝12 cm.
(1)求证BD⊥AC；
证明：因为122＋162＝202，
所以CD2＋BD2＝BC2.
所以△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°.所以BD⊥AC.
解：设AD＝x cm，则AC＝(x＋12)cm.
因为AB＝AC，所以AB＝(x＋12)cm.
在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2，所以(x＋12)2＝x2＋162.
(2)求△ABC的面积．
10．如图，有一块直角三角形绿地，量得两直角边BC，AC的长分别为6 m，8 m．现要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC边为直角边的直角三角形，求扩充后的等腰三角形绿地的面积．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8 m，BC＝6 m，
由勾股定理得AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100，所以AB＝10 m.
设扩充部分为Rt△ACD，扩充成等腰三角形ABD，应分以下三种情况讨论：
(1)如图①，当AB＝AD＝10 m时，因为AC⊥BC，所以CD＝CB＝6 m.
所以S△ABD＝
11．如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝600 m，BC＝800 m，AB＝1 000 m，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C的负责人设计一种方案，并求出新建的路的长．
12．如图，将长方形ABCD的边AD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝6，△ABF的面积是24，求EF的长．
解：因为S△ABF＝ AB·BF＝24，AB＝6，所以BF＝8.
在Rt△ABF中，AF2＝AB2＋BF2＝100，所以AF＝10.
由折叠的性质可得AD＝AF＝10，DE＝EF.
因为四边形ABCD是长方形，
所以BC＝AD＝10，CD＝AB＝6.
所以FC＝BC－BF＝10－8＝2.
设EF＝x，则DE＝x，EC＝6－x.
在Rt△EFC中，EF2＝EC2＋FC2，
13．【教材P39复习题T12变式】如图，已知长方体的长为2 cm、宽为1 cm、高为4 cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么蚂蚁爬行的最短路程是多少？
解：分三种情况：
如图①，连接AB′，在Rt△ABB′中，由勾股定理，得AB′2＝AB2＋BB′2＝(2＋1)2＋42＝25；
如图②，连接AB′，在Rt△ACB′中，由勾股定理，得AB′2＝AC2＋B′C2＝22＋(4＋1)2＝4＋25＝29；
如图③，连接AB′，在Rt△ADB′中，由勾股定理，得AB′2＝AD2＋B′D2＝12＋(4＋2)2＝1＋36＝37.
因为25＜29＜37，所以第一种情况路程最短，此时AB′＝5 cm.
所以蚂蚁爬行的最短路程是5 cm.(共24张PPT)
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第十七章 勾股定理
17.1 勾股定理
第2课时 勾股定理的实际应用
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线段；勾股定理；勾股定理
勾股
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见习题
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1．建立实际问题的数学模型时，关键是画出符合题意的图形，把实际问题转化为几何中的直角三角形问题，运用________定理求解．
勾股
2．【教材P28习题T2变式】【2020·巴中】《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个折竹抵地问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原来高一丈(一丈为十尺)，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？( )
A．4尺 B．4.55尺
C．5尺 D．5.55尺
B
3．【教材P25例2变式】如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙脚C的距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下移了( )
A．0.9米 B．1.3米
C．1.5米 D．2米
B
4．【教材P29习题T10变式】【2021·宿迁】《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C′处(如图)，水深和芦苇长各多少
尺？则该问题的水深是________尺．
【点拨】如图．
设芦苇长AC＝AC′＝x尺，
则水深AB＝(x－1)尺．
∵C′E＝10尺，∴C′B＝5尺．
在Rt△AC′B中，52＋(x－1)2＝x2，解得x＝13.
∴AB＝13－1＝12(尺)，即水深为12尺．
【答案】12
5．最短路线的求法：因为在平面内，两点之间________最短，所以在求立体图形中两点间的最短距离时，首先把立体图形转化为平面图形，然后利用_________求解，或利用“两点一线”型，用对称找点法找出点，然后用__________求解．
线段
勾股定理
勾股定理
6．【中考·黄冈】如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为______cm(杯壁厚度不计)．
20
7．如图，长方体的长为9，宽为4，高为12，点B与点C的距离为1，一只蚂蚁如果要沿长方体的侧面从点A爬行到点B，需要爬行的最短距离是( )
A．12 B．13
C．15 D．17
B
8．如图，正方体的棱长为2，B为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从A点出发，到达B点，则它运动的最短路程为( )
A. B．4
C. D．5
C
9．【中考·营口】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
【点拨】由题易知∠CBA＝∠A＝45°.如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P′，连接CP′，此时DP′＋CP′＝DP′＋P′C′＝DC′的值最小．
连接BC′，由对称性可知∠C′BP′＝∠CBP′＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°.
∴BC＝BC′＝3＋1＝4.
根据勾股定理可得DC′＝
【答案】B
10．八(2)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
(1)测得BD的长度为15 m；(注：BD⊥CE)
(2)根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25 m；
(3)牵线放风筝的小明身高1.6 m，求风筝的高度CE.
解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝
∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(m)．
答：风筝的高度CE为21.6 m.
(1)求A，D两点之间的距离；
(2)求隧道AB的长度．
12．【教材P28习题T3改编】如图，有一个高为12 cm，底面直径为10 cm的圆锥．现有一只蚂蚁在圆锥的顶点M处，它想吃圆锥底部N处的食物，求蚂蚁需要爬行的最短路程．
解：如图，设O为圆锥底面圆的圆心，连接MO，NO，MN，则MO⊥NO，MN的长度就是蚂蚁爬行的最短路程．
由题意知MO＝12 cm，NO＝5 cm，所以在Rt△MNO中，MN2＝122＋52，即MN＝13 cm.
答：蚂蚁需要爬行的最短路程为13 cm.
13．【中考·河北】勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km)．笔直的铁路经过A，B两地．
(1)A，B间的距离为________km；
【点拨】由A，B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12－(－8)＝20(km)．
20
(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为_____km.
····
【点拨】如图，过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交l于点D，连接AD.
易知CE＝1－(－17)＝18 (km)，AE＝12 km.
设CD＝x km，则AD＝CD＝x km.
由勾股定理可知：x2＝(18－x)2＋122，解得x＝13.
∴CD＝13 km.
13(共24张PPT)
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第十七章 勾股定理
素养集训
1．利用勾股定理解题的十种常见题型
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A
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见习题
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1．在如图所示的数轴上找到表示实数－ 的点(要求简要说明作图过程)．
解：作法如下：如图，过原点O作OC垂直于数轴，使OC＝1，以点C为圆心作半径为2的圆，则圆与数轴负半轴的交点A即为所求的点．
2．【中考·淮安】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为( )
A．5 B．6
C．7 D．25
A
3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
解：如图，连接BD.
∵在等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的
中点，∠ABC＝90°，
∴BD⊥AC，BD平分∠ABC.∴∠ABD＝∠CBD＝45°.
又易知∠C＝45°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C. ∴BD＝CD.
∵DE⊥DF，BD⊥AC，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF＝90°.∴∠FDC＝∠EDB.
在△EDB与△FDC中，
∴△EDB≌△FDC(ASA)．∴BE＝FC＝3.
∴AB＝7，则BC＝7. ∴BF＝4.
在Rt△EBF中，EF2＝BE2＋BF2＝32＋42＝25，∴EF＝5.
4．如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证AB＝BC.
【点拨】当已知条件中有线段的平方关系时，应选择用勾股定理证明，应用勾股定理证明两条线段相等的一般步骤：①找出图中证明结论所要用到的直角三角形；②根据勾股定理写出三边长的平方关系；③联系已知，等量代换，求之即可．
证明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形．
由勾股定理，得AD2＋CD2＝AC2.
又∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.
∴AC2＝2AB2.
∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．
由勾股定理，得AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2.
∴BC2＝AB2，即AB＝BC.
5．如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.
求证：BP2＝BC2＋AP2.
证明：如图，连接BM.
∵MP⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．
∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.
同理可得BC2＋CM2＝BM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.
又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.
∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.
∴BP2＝BC2＋AP2.
6．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC＝10.
求BC的长．
【点拨】利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合条件，采用推理或列方程的方法解决问题．
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′的长为多少？
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝25，所以AC＝5.
由折叠的性质得AB′＝AB＝3，B′E＝BE，∠AB′E＝∠B＝90°.
设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x.
在Rt△B′CE中，B′C＝AC－AB′＝5－3＝2，由勾股定理得B′E2＋B′C2＝CE2，即x2＋22＝(4－x)2，解得x＝
8．如图，在公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处爆破．已知C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上的另一停靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径250 m范围内不得有人进入．问：在进行爆破时，公路AB段是否有危险？需要暂时封锁吗？
解：过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，
∵BC2＋AC2＝AB2，BC＝400 m，AC＝300 m，
∴AB2＝4002＋3002＝5002.
∴AB＝500 m.
∵SRt△ABC＝ AB·CD＝ BC·AC，∴500×CD＝400×300.
∴CD＝240 m.
∵240＜250，∴公路AB段有危险，需要暂时封锁．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，若点P从点A出发，以1个单位长度/秒的速度沿折线A－C－B－A运动，设运动时间为t(秒)(t＞0)．
(1)若点P在AC上，且PA＝PB，求此时t的值；
解：如图①，PA＝PB.
在Rt△ACB中，由勾股定理，得AC＝
由题意知PB＝PA＝t，则PC＝8－t.
在Rt△PCB中，由勾股定理，得(8－t)2＋62＝t2，解得t＝
故此时t的值为
(2)若点P恰好在∠BAC的平分线上，求此时t的值．
解：如图②，过点P作PE⊥AB于点E，
则PC＝t－8，PB＝14－t.
∵AP平分∠BAC，且PC⊥AC，∴PE＝PC＝t－8.
∴△ACP≌△AEP(AAS)，
∴AE＝AC＝8，∴BE＝AB－AE＝2.
在Rt△PEB中，由勾股定理，得PE2＋EB2＝PB2，
即(t－8)2＋22＝(14－t)2，
解得t＝
故此时t的值为
10．阅读理解题：
【几何模型】
条件：如图①，A，B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，则PA＋PB＝A′P＋PB＝A′B，由“两点之间，线段最短”可知，P即为所求的点．
【模型应用】
如图②，两个村子A，B在一条河CD的同侧，A，B两村到河边的距离分别为AC＝1千米，BD＝3千米，CD＝3千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A，B两村送水，铺设水管的工程费用为每千米200元，请你在CD上选择水厂位置，使铺设水管的费用最省，并求出最省的铺设水管的费用W.
解：如图，延长AC至点A′，使A′C＝AC，连接BA′交CD于点P，则点P即为所求的水厂位置．
过点A′作A′E⊥BD交BD的延长线于点E，则四边形CA′ED为长方形，∴DE＝A′C＝AC＝1千米，A′E＝CD＝3千米，
∴BE＝BD＋DE＝4千米．
在Rt△A′BE中，由勾股定理，
得A′B＝
∴PA＋PB的最小值为A′B的长，是5千米．
故最省的铺设水管的费用W＝200×5＝1 000(元)．
【拓展延伸】
如图③，在△ABC中，点D在BC边上，过点D作DE⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA，PE.若PA＋PE的值最小，则点P应该满足________(唯一选项正确)．
A．∠APC＝∠EPD B．PA＝PE
C．∠APE＝90° D．∠APC＝∠DEP
A
