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第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
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1
2
3
4
B
5
本身；平方
6
7
8
9
A
数或表示数的字母
10
见习题
D
≥0；≤0；－a；|a|
B
A
A
11
12
13
2n＋1
14
15
D
答案显示
见习题
B
D
16
17
见习题
见习题
1．( )2＝a(a≥0)反映了一个非负数的算术平方根的平方等于它________；反之，任何一个非负数都等于它的算术平方根的________．
本身
平方
2．【2021·苏州】计算( )2的结果是( )
B
3．【中考·常州】下列各数中与2＋ 的积是有理数的是( )
D
···
4．当a________时， ＝a；
当a________时， ＝________.
因此， ＝________．
≥0
≤0
－a
|a|
5．【教材P4练习T2变式】【2021·杭州】下列计算正确的是( )
A
6．【中考·凉山州】下列各式正确的是( )
A．2a2＋3a2＝5a4 B．a2·a＝a3
C．(a2)3＝a5 D. ＝a
B
7．【2021·河北】与 结果相同的是( )
A．3－2＋1 B．3＋2－1
C．3＋2＋1 D．3－2－1
A
8．【教材P5习题T2变式】计算：
(1)【2021·柳州】|－3|－ ＋1；
解：原式＝3－3＋1＝1.
原式＝4－π＋π－3＝1.
9．用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把__________________连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．
数或表示数的字母
10．下列式子中，属于代数式的有( )
①0； ②x； ③x＋2； ④2x；
⑤x＝2; ⑥x＞2; ⑦ ； ⑧x≠2.
A．5个 B．6个
C．7个 D．8个
A
11．【2021·自贡】已知x2－3x－12＝0，则代数式－3x2＋9x＋5的值是( )
A．31 B．－31
C．41 D．－41
B
12．【2021·凉山州】如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍；拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍……照这样拼图，则第n个图形需要________根火柴棍．
【点拨】由题图可知，
第一个图形需要火柴棍根数：3＝1×2＋1，
第二个图形需要火柴棍根数：5＝2×2＋1，
第三个图形需要火柴棍根数：7＝3×2＋1，…，
∴第n个图形需要火柴棍(2n＋1)根．
【答案】2n＋1
13．【教材P4例3拓展】计算：
解：原式＝3＋1－2＝2；
14．【2021·荆门】下列运算正确的是( )
A．(－x3)2＝x5
B.
C．(－x)2＋x＝x3
D．(－1＋x)2＝x2－2x＋1
D
A．2m－10 B．10－2m
C．10 D．4
D
17．先阅读，然后回答问题：
当x<－2时，原式＝－(x－3)－(x＋2)＝－x＋3－x－2＝－2x＋1；
当－2≤x<3时，原式＝－(x－3)＋(x＋2)＝－x＋3＋x＋2＝5；
当x≥3时，原式＝(x－3)＋(x＋2)＝x－3＋x＋2＝2x－1.
令x＋1＝0，得x＝－1，令x－2＝0，得x＝2.
在数轴上标出表示－1和2的点，如图所示，
数轴被分成三段，即x<－1，－1≤x<2，x≥2.
当x<－1时，原式＝－(x＋1)－(x－2)＝－x－1－x＋2＝ －2x＋1；
当－1≤x<2时，原式＝(x＋1)－(x－2)＝x＋1－x＋2＝3；
当x≥2时，原式＝(x＋1)＋(x－2)＝x＋1＋x－2＝2x－1.(共12张PPT)
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第十六章 二次根式
素养集训
1．二次根式化简求值题常见的四种类型
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1
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3
4
见习题
5
6
7
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
1．先化简，再求值：
(1)x2－xy＋y2；
3．【教材P15习题T8变式】已知a＝ ，b＝ ，求a2b＋ab2的值．
5．设 的整数部分为a，小数部分为b，求a2＋ ab＋b2的值．(共14张PPT)
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第十六章 二次根式
素养集训
2．比较实数大小的十种常用方法
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见习题
5
6
7
8
9
见习题
见习题
10
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
【点拨】当两个含二次根式的数或式子(均为正数)均由分母和分子两部分组成时，常通过作商比较它们的大小，先计算它们的商，然后比较商与1的大小关系．
【点拨】利用作差法比较两个式子的大小，即a－b＞0，则a＞b；a－b＝0，则a＝b；a－b＜0，则a＜b.
【点拨】紧扣两个正数比较大小，倒数大的正数反而小这一规律用倒数法比较大小．
7．比较 ＋2与4.3的大小．
【点拨】先求出无理数的近似值，再比较两个数的大小．
9．当0＜x＜1时，x， ，x2， 的大小关系为_________________．(共22张PPT)
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第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减
第1课时 二次根式的加减
相加；不变；最简二次根式；被开方数相同
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4
C
5
最简二次根式
6
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8
9
C
见习题
10
B
B
C
0
见习题
11
12
13
见习题
14
见习题
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见习题
见习题
1．将二次根式化成______________，如果被开方数相同，那么这样的二次根式可以合并．
最简二次根式
2．【2020·上海改编】下列二次根式中，与 被开方数相同的是( )
C
3．下列各组二次根式中，可以进行合并的一组是( )
B
C
5．合并化简后的被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，把根号外的因数(式)________，根指数和被开方数________．
其步骤为：先将二次根式化成______________，再将______________的二次根式进行合并．
相加
不变
最简二次根式
被开方数相同
0
7．【2021·柳州】下列计算正确的是( )
C
B
(1)以上解答过程中，从________开始出现错误；
③
(2)请写出本题的正确解答过程．
10．【教材P13例2变式】计算：
11．【教材P15习题T2变式】计算：
(1)a，b的值；
(1)求a，b，c的值．
(2)以a，b，c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，请说明理由并求出其周长；若不能构成三角形，请说明理由．(共25张PPT)
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第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第1课时 二次根式的定义
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1
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3
4
C
5
6
7
8
9
见习题
A
10
算术；≥；≥
见习题
算术平方根；非负数；a≥0
C
B
A
11
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13
见习题
14
见习题
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见习题
见习题
1．一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．
理解要点：
(1)二次根式从形式上界定，必须含有________；
(2)二次根式从内容上看，a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子，但必须注意________是 为二次根式的前提．
a≥0
2．下列各式中不是二次根式的是( )
C
··
3．下列各式中，哪些是二次根式？并指出二次根式中的被开方数．
4．二次根式 从意义上说是a的____________，根据算术平方根的意义可知，只有________才有算术平方根，所以二次根式 有意义的条件就是________．
算术平方根
非负数
a≥0
5．【教材P3练习T2变式】【2021·襄阳】若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x≥－3 B．x≥3
C．x≤－3 D．x＞－3
A
6．【2021·绥化】若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞－1 B．x≥－1且x≠0
C．x＞－1且x≠0 D．x≠0
C
7．【教材P5习题T1变式】x为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
8. (a≥0)既表示一个二次根式，又表示非负数a的________平方根．
具有双重非负性，即a______0， ______0.
算术
≥
≥
A
【点拨】根据|m－2|＋ ＝0得m＝2，n＝4，再根据三角形三边关系得：三角形三边长分别为4，4，2，故周长为10.
10．【中考·宿迁】若实数m，n满足等式|m－2|＋ ＝0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长是( )
A．12 B．10 C．8 D．6
B
11．(1)当a取什么值时，式子 ＋1取最小值？并求出这个最小值．
(2)【教材P5习题T9拓展】是否存在整数x，使它同时满足下列两个条件：① 都有意义；② 是整数？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．
12．请认真阅读下面这道题的解法，并完成后面两问的作答：
(1)若x，y为实数，且y>
(2)已知x，y是等腰三角形的两条边长，且x，y满足y＝4＋ ＋3，求此三角形的周长．
14．观察下列各式：(共26张PPT)
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第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
第2课时 二次根式的除法
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3
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B
5
6
7
8
9
D
(1)分母 (2)开得尽方；因式
10
A
D
见习题
C
A
见习题
11
12
13
见习题
14
15
见习题
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见习题
见习题
见习题
1．二次根式的除法法则： ＝____(____________)，运用除法法则进行计算时，最后的结果若能化简，还要运用积的算术平方根进行化简，例如 的结果为________．
a≥0，b＞0
2．【中考·绵阳】使等式 成立的x的取值范围在数轴上可表示为( )
B
3．【2021·黑龙江】下列运算中，计算正确的是( )
A．m2＋m3＝2m5 B．(－2a2)3＝－6a6
C．(a－b)2＝a2－b2 D.
D
4．【教材P8例4变式】计算：
a≥0，b＞0
a≥0，b＞0
6．【2021·上海】下列实数中，有理数是( )
C
7．【中考·达州】下列判断正确的是( )
D
A
9．最简二次根式应有如下两个特点：
(1)被开方数不含________；
(2)被开方数中不含能__________的因数或________．
分母
开得尽方
因式
10．下列各式是最简二次根式的是( )
A
11．【教材P8例5变式】把下列二次根式化为最简二次根式：
12．【教材P11习题T8变式】计算：
14．阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题：
(1)上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出序号：________；
(2)错误的原因是什么？
②
解：∵b＜a，∴b－a＜0.
∴(b－a)2的算术平方根为a－b.
(3)请你写出正确的解法．
15．阅读理解材料：把分母中的根号去掉叫做分母有理化．例如，(共27张PPT)
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第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减
第2课时 二次根式的混合运算
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1
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4
B
5
乘方；乘除；加减；括号内的；括号外的
6
7
8
9
见习题
A
10
A
D
C
见习题
C
D
11
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13
见习题
14
15
见习题
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见习题
2
见习题
16
17
见习题
见习题
1．二次根式的运算顺序与整式的运算顺序相同，先算________，再算________，最后算________；有括号的先算__________，再算__________．整式的运算律及相关运算法则在二次根式的运算中同样适用．
乘方
乘除
加减
括号内的
括号外的
B
3．【2020·广州】下列运算正确的是( )
A. B．
C．x5·x6＝x30 D．(x2)5＝x10
D
4．【中考·重庆】估计 的值应在( )
A．4到5之间 B．5到6之间
C．6到7之间 D．7到8之间
C
5．【教材P19复习题T5改编】已知x＝ －6，则代数式x2＋5x－6的值为( )
A．2 ＋3 B．5－5
C．3－2 D．5－7
D
6．计算：
7．在二次根式的混合运算中，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，如：(1) ＝__________＝________；(2)( )2＝______________．
a－b
8．【中考·孝感】下列计算正确的是( )
A．x7÷x5＝x2
B．(xy2)2＝xy4
C．x2·x5＝x10
D．
A
9．【教材P14例4变式】下列各数中，与2－ 的积不含二次根式的是( )
A
··
10．【2021·包头】若x＝ ＋1，则代数式x2－2x＋2的值为( )
A．7 B．4 C．3 D．3－2
C
2
12．计算：
13．【教材P15习题T6变式】已知a＝ －2，b＝ ＋2，求下列代数式的值．
a2－2ab＋b2＝(a－b)2＝(－4)2＝16；
(1)a2－2ab＋b2；
17．【教材P20复习题T10变式】阅读下面的材料，并解决相应问题：(共26张PPT)
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第十六章 二次根式
全章热门考点整合专训
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见习题
5
D
6
7
8
9
8
见习题
10
2
A
见习题
见习题
A
11
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13
见习题
14
15
见习题
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见习题
5
见习题
16
17
见习题
见习题
18
见习题
19
见习题
1．【2020·武汉】式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x≥0 B．x≤2
C．x≥－2 D．x≥2
D
由非负数的性质得1＋x＝0且1－y＝0，
∴x＝－1，y＝1.
∴x2 024－y2 023＝(－1)2 024－12 023＝1－1＝0.
2．已知x，y为实数，满足 ＝0，那么x2 024－y2 023的值是多少？
3．下列式子中，属于代数式的有( )
①0； ②－x； ③ ； ④x－2；
⑤x＝1; ⑥x＜－1; ⑦ ⑧x≠7.
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
A
4．下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？
解：③④是最简二次根式，①②⑤⑥不是最简二次根式．
5．下列计算正确的是( )
A
6．在实数范围内分解因式：x4－9＝______________________________________________.
7．要使( )2＝x－8，则x＝________．
8
8．【中考·广州】如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a＋ ＝__________．
2
9．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简：
请问：哪名同学的解法正确？请说明理由．
11．能使得 成立的所有整数a的和是________．
又∵a是整数，∴a可以取－1，0，1，2，3.
∴它们的和是－1＋0＋1＋2＋3＝5.
5
12．化简：
13．化简下列二次根式：
14．计算：
【点拨】若将x，y的值直接代入计算，则计算量较大，而且容易出错．通过观察可发现将x＋y，xy作为整体代入求值可简化计算过程．
解：∵x＋y＝－8，xy＝8，∴x<0，y<0.
∴－x>0，－y>0.
18．已知a－b＝ ，b－c＝ ，求2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ac)的值．
(1)求a，b，c的值．
(2)以a，b，c为三边长能否构成三角形？请说明你的理由．
解：能．理由如下：
∵a＜b＜c且b＋a＝ ，
c－b＝
∴以a，b，c为三边长能构成三角形．(共26张PPT)
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第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
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1
2
3
4
D
5
见习题
6
7
8
9
见习题
D
10
D
C
C
见习题
D
A
11
12
13
见习题
14
15
B
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见习题
见习题
见习题
16
见习题
a≥0，b≥0
2．下列运算中，正确的是( )
A．x3＋x4＝x7
B．2x2·3x4＝6x8
C．(－3x2y)2＝－9x4y2
D.
D
3．下列运算正确的是( )
C
4．下列各数中，与 的积为有理数的是( )
C
A．x≥1 B．－1≤x≤1
C．x≤－1 D．x≤－1或x≥1
A
2
－1
125
－10
(2)【教材P7练习T1变式】计算下列各题：
a≥0，b≥0
D
9．【教材P7例2变式】下列各式计算正确的是( )
D
A．x≥0 B．x≤0
C．0≤x≤5 D．x≥5
D
11．【教材P7例3变式】计算：
12．计算：
B
15．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确，若不正确，请写出正确的解答过程．
(1)请将上述解答过程补充完整；
22
25
4
5
(2)上述解答过程第①步运用了公式________，第②步运用了公式____________，第③步运用了公式_____________；
a·a＝a2
(ab)2＝a2·b2
( )2＝a(a≥0)
(3)根据上述过程，请完成计算：(共12张PPT)
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第十六章 二次根式
素养集训
2．二次根式化简求值的十种技巧
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3
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见习题
5
6
7
8
9
见习题
B
10
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
见习题
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
B
(共11张PPT)
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第十六章 二次根式
素养集训
1．利用二次根式的性质解题的五种类型
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4
见习题
5
6
7
见习题
1
A
见习题
见习题
见习题
1．【中考·黔南州】实数a在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ＋a＝________.
1
2．已知x，y为实数，且 ＝(x＋y)2，求x－y的值．
∴x的值为5.
∴(x＋y)2＝0，即(5＋y)2＝0，
∴y＝－5.
∴x－y＝5－(－5)＝10.
3．【中考·绵阳】若 ＋|2a－b＋1|＝0，则(b－a)2 023＝( )
A．－1 B．1 C．52 023 D．－52 023
A
4．若 互为相反数，求6x＋y的平方根．
∴x－3＝0，y＋2＝0，
解得x＝3，y＝－2，则6x＋y＝16.
∴6x＋y的平方根为±4.
【点拨】涉及二次根式的最小(大)值问题，要根据题目的具体情况来决定用什么方法．一般情况下利用二次根式的非负性求解．
5．当x取何值时， ＋3的值最小？最小值是多少？
