(共27张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
第4课时 菱形的判定
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
D
5
互相垂直；四边形
6
7
8
9
D
见习题
10
C
见习题
一组邻边相等；四边形
A
见习题
C
11
12
13
见习题
答案显示
见习题
见习题
1．对角线______________的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直平分的__________是菱形．
互相垂直
四边形
2．【易错题】【2020·南通】下列条件能判定 ABCD是菱形的是( )
A．AC＝BD B．AB⊥BC
C．AD＝BD D．AC⊥BD
D
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故选D.
易错总结：识别一个四边形为菱形常见的错误说法：(1)一组邻边相等的四边形是菱形；(2)对角线互相垂直的四边形是菱形；(3)两组邻边相等的四边形是菱形．
3．【2020·滨州】如图，过 ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB，CD，BC，DA于点P，Q，M，N.
(1)求证：△PBE≌△QDE；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD.
∴∠EBP＝∠EDQ.
在△PBE和△QDE中，
∴△PBE≌△QDE(ASA)．
(2)顺次连接点P，M，Q，N，求证：四边形PMQN是菱形．
证明：如图所示．
由(1)知△PBE≌△QDE，∴EP＝EQ.
同理得△BME≌△DNE. ∴EM＝EN.
∴四边形PMQN是平行四边形，
又∵PQ⊥MN，∴四边形PMQN是菱形．
4．有__________________的平行四边形是菱形；
四条边相等的__________是菱形．
一组邻边相等
四边形
5．【中考·宁夏】如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AC⊥BD
B．AB＝AD
C．AC＝BD
D．∠ABD＝∠CBD
C
··
6．【2020·通辽】如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是( )
A．∠BAC＝90°
B．∠DAE＝90°
C．AB＝AC
D．AB＝AE
A
7．【2020·台州】如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于 AB的同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是( )
A．AB平分∠CAD
B．CD平分∠ACB
C．AB⊥CD
D．AB＝CD
D
8．【中考·舟山】用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是( )
C
··
9．如图，在矩形ABCD中，分别取AB，BC，CD，DA的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，求证：四边形EFGH是菱形．
证明：连接AC，BD，如图．
∵E为AB的中点，F为BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，∴EF＝ AC.
同理HG＝ AC，EH＝FG＝ BD.
在矩形ABCD中，∵AC＝BD，
∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形．
10．【2021·随州】如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)求证：四边形BEDF是菱形．
证明：如图，连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵BD⊥EF，∴平行四边形BEDF是菱形．
11．【2021·十堰】如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE、CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
证明：在△ABC中，点D是AC的中点，∴AD＝DC，
∵AF∥BC，∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，
∴△AFD≌△CED(AAS)，∴AF＝EC，
又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，
又EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形．
证明：如图，过点A作AG⊥BC于点G，
由(1)知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°，
∴AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，
∵AF∥BC，∴∠AEB＝∠FAE＝60°，∴∠GAE＝30°，
(2)若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．
12．【2021·盐城】如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，AE.
(1)求证：四边形ADEF为平行四边形；
证明：∵D，E，F为AB，BC，AC的中点，
∴DE∥AC，且DE＝ AC＝AF.
即DE∥AF，DE＝AF，
∴四边形ADEF为平行四边形．
(2)加上条件________后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择1个条件填空(写序号)，并加以证明．
②
证明：∵AE平分∠BAC，∴∠DAE＝∠FAE，
由(1)知DE∥AF，∴∠AED＝∠FAE，
∴∠DAE＝∠AED. ∴AD＝DE.
又∵四边形ADEF为平行四边形，
∴平行四边形ADEF为菱形．(答案不唯一)
13．【中考·泰安】如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG＝AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD.
(1)求证△ECG≌△GHD；
证明：∵AF＝FG，∴∠FAG＝∠FGA.
∵AG平分∠CAB，∴∠CAG＝∠FAG.
∴∠CAG＝∠FGA.∴AC∥FG.
∵DE⊥AC，∴FG⊥DE.
∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∠CGE＝∠GED.
∴∠C＝∠DHG＝90°.
由F是AD的中点，FG∥AE，易得H是ED的中点．
∴FG是线段ED的垂直平分线．
∴GE＝GD，∴∠GDE＝∠GED.
∴∠CGE＝∠GDE.
∴△ECG≌△GHD(AAS)．
(2)小亮同学经过探究发现：AD＝AC＋EC，请你帮助小亮同学证明这一结论；
证明：如图，过点G作GP⊥AB于点P.
易得GC＝GP，又∵AG＝AG，
∴Rt△CAG≌Rt△PAG(HL)． ∴AC＝AP.
由(1)得EG＝DG，
又∵GC＝GP，∴Rt△ECG≌Rt△DPG(HL)．
∴EC＝PD. ∴AD＝AP＋PD＝AC＋EC.
(3)若∠B＝30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
解：四边形AEGF为菱形．
理由：∵∠B＝30°，∴∠ADE＝30°.
∴AE＝ AD＝AF. ∴AE＝AF＝FG.
由(1)得AE∥FG，∴四边形AEGF是平行四边形．
又∵AE＝AF，∴四边形AEGF为菱形．(共13张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
素养集训
2．菱形性质与判定的灵活运用
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
C
1．【2020·达州】如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别是边BC，AC的中点．将△CDE绕点E旋转180度，得到△AFE.
(1)判断四边形ABDF的形状，并证明；
解：四边形ABDF是菱形．
证明：由题可知D，E，F在同一条直线上．
∵D，E分别是边BC，AC的中点，
∴DE是△CBA的中位线． ∴DE∥AB，AB＝2DE，
由旋转的性质可知，DE＝EF，∴AB＝DF.
又∵AB∥DF，∴四边形ABDF是平行四边形．
∵BC＝2AB，BD＝DC，∴AB＝BD.
∴四边形ABDF是菱形．
解：设BF与AD交于点O，如图所示．
∵四边形ABDF是菱形，∴AD⊥BF，OB＝OF，AO＝OD，
设OA＝x，OB＝y，
则有
∴x＋y＝4，∴x2＋2xy＋y2＝16，∴2xy＝7，
∴S＝ ·BF·AD＝2xy＝7.
(2)连接AD，BF，若AB＝3，AD＋BF＝8，求四边形ABDF的面积S.
2．【2020·连云港】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N，O为垂足．
(1)求证：四边形BNDM是菱形；
证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO.
∵MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB＝OD，MN⊥BD.
在△MOD和△NOB中，
∴△MOD≌△NOB. ∴OM＝ON.
∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形．
又∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形；
(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．
解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，
∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝ BD＝12，OM＝ MN＝5.
在Rt△BOM中，
由勾股定理得BM＝
∴菱形BNDM的周长为4BM＝4×13＝52.
3．【中考·兰州】如图①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.
(1)求证：△BDF是等腰三角形．
证明：由折叠得△BDC≌△BDE，∴∠DBC＝∠DBE.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.
∴∠DBC＝∠FDB. ∴∠DBE＝∠FDB.
∴DF＝BF，即△BDF是等腰三角形．
(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.
①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；
解：四边形BFDG是菱形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，∴FD∥BG.
∵DG∥BE，∴四边形BFDG是平行四边形．
∵DF＝BF，∴四边形BFDG是菱形．
②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．
4．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，连接DF，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，给出如下结论：
①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG；④FH＝ BD.其中正确的结论是( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
C(共27张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
第5课时 正方形及其性质
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
D
5
邻边；直角；菱形；矩形
6
7
8
9
C
见习题
10
见习题
矩形；菱形 (1)相等 (2)直角 (3)相等；互相垂直；互相平分
C
D
见习题
C
11
12
见习题
答案显示
见习题
1．有一组________相等，并且有一个角是__________的平行四边形是正方形，因此正方形既是________，又是__________．
邻边
直角
菱形
矩形
2．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD
D
3．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的______、特殊的______，因此它具有矩形、菱形的性质．
(1)边：四条边都________，对边平行．
(2)角：四个角都是________．
(3)对角线：对角线____________、____________、________，并且每条对角线平分一组对角．
矩形
菱形
相等
直角
相等
互相垂直
互相平分
4．【2021·常德】如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P，连接PC.则下列结论成立的是( )
A．BE＝ AE
B．PC＝PD
C．∠EAF＋∠AFD＝90°
D．PE＝EC
C
5．【2021·重庆】如图，把含30°角的直角三角尺PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为( )
A．60° B．65°
C．75° D．80°
【点拨】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知OM＝OP，从而得出∠DPM＝150°，利用四边形内角和定理即可求得．
【答案】C
6．【2020·广东】如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°.若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上的点B′处，则BE的长度为( )
D
7．【2021·重庆】如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为( )
A．1
B.
C．2
D．2
C
8．如图，已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE，连接BG，DE，BG交CD于点O.求证：
(1)BG＝DE；
证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG为正方形，
∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG，即∠BCG＝∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG＝DE.
(2)BG⊥DE.
证明：∵△BCG≌△DCE，
∴∠GBC＝∠EDC，
∵∠GBC＋∠BOC＝90°，∠BOC＝∠DOG，
∴∠DOG＋∠EDC＝90°，
∴BG⊥DE.
9．【教材P67复习题T1(3)变式】【2020·湘西州】如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.
(1)求证△BAE≌△CDE；
证明：∵△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°.
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°.
∴∠EAB＝∠EDC＝150°.
在△BAE和△CDE中，
∴△BAE≌△CDE(SAS)．
(2)求∠AEB的度数．
解：∵AB＝AD，AD＝AE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
又∵∠EAB＝150°，
∴∠AEB＝ ×(180°－150°)＝15°.
10．【2021·邵阳】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF.
(1)求证：△ADE≌△CBF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，∠DAE＝∠BCF＝45°.
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)．
由正方形对角线的性质可得AC＝BD＝8，DO＝BO＝4，OA＝OC＝4，AC⊥BD.
又AE＝CF＝2，
∴OA－AE＝OC－CF，
即OE＝OF＝4－2＝2，
(2)若AB＝4 ，AE＝2，求四边形BEDF的周长．
∴四边形BEDF为菱形．
∵∠DOE＝90°，
11．【教材P62习题T15变式】【2020·呼和浩特】如图，在正方形ABCD中，G是BC边上任意一点(不与B，C重合)，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.
(1)求证：AF－BF＝EF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAF＋∠DAE＝90°.
∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEG＝90°，∠DAE＋∠ADE＝90°.
∴∠ADE＝∠BAF，
又∵BF∥DE，∴∠BFA＝∠DEG＝90°＝∠AED.
∴△ABF≌△DAE(AAS)．
∴AE＝BF.
∴AF－BF＝AF－AE＝EF.
解：不可能．理由如下：
如图，连接AC，若要使四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形．
由(1)可知DE＝AF，∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°.
又易知∠BAC＝45°.∴点G与点C重合．
与题中点G不与点C重合矛盾，
∴四边形BFDE不可能是平行四边形．
(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形？如果可能，请指出此时点G的位置；如果不可能，请说明理由．
12．已知，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交直线CB，DC于点M，N，AH⊥MN于点H.
(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____________．
AH＝AB
解：AH与AB的数量关系还成立．
证明：如图，延长CB至E，使BE＝DN，连接AE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABE＝∠D＝90°，
∴△AEB≌△AND，
(2)如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立，请写出理由；如果成立，请证明．
∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，
∴∠EAB＋∠BAN＝∠NAD＋∠BAN，
∴∠EAN＝∠BAD＝90°.
又∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°.
又∵AM＝AM，∴△AEM≌△ANM.
又∵AB，AH分别是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB＝AH.(共11张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
素养集训
1．正方形性质与判定的灵活运用
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
见习题
见习题
见习题
1．如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
(1)求证EF＝FM；
证明：由题易知F，C，M三点共线．
∵将△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE＝DM，AE＝CM，∠EDM＝90°.
∵∠EDF＝45°.∴∠MDF＝∠EDF＝45°.
又∵DF＝DF，∴△DEF≌△DMF(SAS)．
∴EF＝MF.
(2)当AE＝1时，求EF的长．
解：设EF＝MF＝x.
∵AE＝CM＝1，且BC＝AB＝3，
∴BM＝BC＋CM＝3＋1＝4，EB＝AB－AE＝3－1＝2.
∴BF＝BM－MF＝4－x.
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2＋BF2＝EF2，
即22＋(4－x)2＝x2，
2．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上任意一点(E与A，D不重合)，G，F，H分别是BE，BC，CE的中点．
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
证明：∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GF∥EC.
同理FH∥BE.
∴四边形EGFH是平行四边形．
解：EF和BC满足关系EF＝ BC且EF⊥BC时，平行四边形EGFH是正方形．证明如下：连接GH.
∵G，H分别是BE，CE的中点，∴GH∥BC，GH＝ BC.
∵EF⊥BC，∴EF⊥GH.
∵四边形EGFH是平行四边形，∴四边形EGFH是菱形．
∵GH＝ BC，EF＝ BC，∴EF＝GH.
∴平行四边形EGFH是正方形．
(2)EF和BC满足什么关系时，平行四边形EGFH是正方形？
3．如图①，在正方形ABCD中，P是BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于点F.
(1)求证PC＝PE；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP.
∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP(SAS)．
∴PA＝PC.
又∵PA＝PE，∴PC＝PE.
(2)求∠CPE的度数；
解：∵△ADP≌△CDP，
∴∠DAP＝∠DCP.
∵PA＝PE，∴∠DAP＝∠E.
∴∠FCP＝∠E.
又∵∠PFC＝∠DFE，∴∠CPE＝∠EDF＝90°.
(3)如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC＝120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
解：AP＝CE.理由如下：
同(1)易证△ADP≌△CDP，
∴PA＝PC，∠PAD＝∠PCD.
∵PA＝PE，∴PC＝PE，∠PAE＝∠PEA.
∴∠PEA＝∠PCD.
又∵∠PFC＝∠DFE，∴∠CPE＝∠EDF.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴∠ADC＝120°. ∴∠EDF＝60°.
∴∠CPE＝∠EDF＝60°.
又∵PC＝PE，∴△PCE是等边三角形．
∴PE＝CE.
又∵PA＝PE，∴AP＝CE.(共26张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
第3课时 菱形及其性质
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
D
5
邻边；邻边相等
6
7
8
9
见习题
B
10
互相垂直平分；平分一组对角；一半；对称轴
见习题
四条边；12 cm
C
D
C
11
12
13
见习题
14
15
B
答案显示
见习题
见习题
见习题
16
见习题
1．有一组________相等的平行四边形叫做菱形，因此有：平行四边形＋__________ 菱形．
邻边
邻边相等
2．【2020·西藏】如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是( )
A．∠ADB＝90°
B．OA＝OB
C．OA＝OC
D．AB＝BC
D
3．【教材P67复习题T5变式】【2021·恩施州】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE.求证：OE⊥AD.
证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE为平行四边形．
∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OD.
∴平行四边形AODE为菱形．
∴OE⊥AD.
4．菱形的________都相等．
例如：边长为3 cm的菱形的周长为________．
四条边
12 cm
5．【2021·成都】如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( )
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF
C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
C
6．【2021·绍兴】如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC－CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是( )
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三
角形→等腰三角形
C
7．【2021·菏泽】如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN.
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C.
在△AMD和△CND中，
∴△AMD≌△CND(ASA)．
∴AM＝CN，∴AB－AM＝BC－CN，即BM＝BN.
8．菱形的对角线_______________，且每条对角线____________．菱形的面积等于两条对角线长的乘积的______；对角线所在的直线是菱形的________．
互相垂直平分
平分一组对角
一半
对称轴
9．【2021·河南】关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
B
10．【2021·陕西】在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则 的值为( )
D
11．【教材P56例3变式】如图所示，四边形ABCD是边长为10 cm的菱形，其中对角线BD的长为16 cm.求：
(1)对角线AC的长；
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝10 cm，OD＝8 cm，∠AOD＝90°.
在Rt△AOD中，AO＝
∴AC＝12 cm.
(2)菱形ABCD的面积．
12．【2020·北京】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO.
∵E是AD的中点，∴AE＝OE＝ AD.
∴∠EAO＝∠AOE. ∴∠AOE＝∠BAO. ∴OE∥FG.
又∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形．
∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°. ∴四边形OEFG是矩形；
解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°.
∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝ AD＝5.
由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5.
∵EF⊥AB，∴∠EFA＝90°.
在Rt△EFA中，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝
∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝2.
(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
13．【中考·苏州】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)求证：四边形ACDE是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD.
∵DE⊥BD，∴DE∥AC.
又∵AE∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形．
(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，AC⊥BD.
∴AD＝CD＝
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.
∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.
14．【中考·新疆】如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是( )
【点拨】先作点M关于AC所在直线的对称点M′，连接M′N交AC于点P，此时MP＋NP有最小值，然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP＋NP的最小值为M′N＝AB＝1.
【答案】B
15．【中考·聊城】如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：
(1)△ABF≌△DAE；
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC.
∴∠BPA＝∠DAE.
又∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE.
∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，
∴∠ABF＝∠DAE.
又∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(ASA)．
(2)DE＝BF＋EF.
证明：∵△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，AF＝DE.
∵AF＝AE＋EF，
∴DE＝AE＋EF＝BF＋EF.
16．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.
(1)求证：AE＝EC；
证明：连接AC，如图．
∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，
∴直线BD是线段AC的垂直平分线．
∵E是线段BD上一点，
∴AE＝EC.
解：点F是线段BC的中点．
理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.
又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.
∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.
∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°，
∴AF是△ABC的角平分线，
∴BF＝CF，即点F是线段BC的中点．
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．(共14张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
素养集训
2．特殊平行四边形间的关系的综合应用
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
见习题
1．【中考·沈阳】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.
(1)求证：四边形OCED是矩形；
证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.
∴∠COD＝90°.
∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形．
又∵∠COD＝90°，∴四边形OCED是矩形．
(2)若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是________．
4
2．【中考·天门】如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF，AE.求证：
(1)AE⊥BF；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠BCF＝90°.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BAE＝∠CBF.
∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG.
∵∠BAE＋∠BEA＝90°，∴∠CEG＋∠BEA＝90°，
∴AE⊥EG，
∵EG∥BF，∴AE⊥BF.
(2)四边形BEGF是平行四边形．
证明：延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示．
则AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝45°.
∵CG为正方形ABCD外角的平分线，∴∠ECG＝45°，
∴∠P＝∠ECG.
由(1)得∠BAE＝∠CEG.
在△APE和△ECG中，
∴△APE≌△ECG(ASA)，
∴AE＝EG.
易知AE＝BF，∴EG＝BF，
又∵EG∥BF，
∴四边形BEGF是平行四边形．
解：四边形MEBF是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.
∵ME⊥AB，MF⊥BC，∴∠MEB＝∠MFB＝90°.
∴四边形MEBF是矩形．
又∵BM是∠ABC的平分线，∴ME＝MF.
∴四边形MEBF是正方形．
3．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交对角线AC于点M，ME⊥AB，MF⊥BC，垂足分别是E，F.判定四边形MEBF的形状，并证明你的结论．
4．【中考·海南】如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A，D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q.
(1)求证△PDE≌△QCE.
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCD＝90°，
∴∠ECQ＝90°＝∠D.
∵E是CD的中点，∴DE＝CE.
又∵∠DEP＝∠CEQ，∴△PDE≌△QCE.
(2)过点E作EF∥BC交PB于点F，连接AF，当PB＝PQ时，
①求证：四边形AFEP是平行四边形；
证明：如图，由(1)可知△PDE≌△QCE，∴PE＝QE＝ PQ.
又由EF∥BC，易知PF＝FB＝ PB.
∵PB＝PQ，∴PF＝PE，∴∠1＝∠2.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°.
在Rt△ABP中，F是PB的中点，∴AF＝ BP＝FP，
∴∠3＝∠4.
又∵AD∥BC，EF∥BC，∴AD∥EF，
∴∠1＝∠4，∴∠2＝∠3.
又∵PF＝FP，∴△APF≌△EFP，∴AP＝EF.
又∵AP∥EF，∴四边形AFEP是平行四边形．
②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．
解：四边形AFEP不是菱形，理由如下：
设PD＝x，则AP＝1－x.
由(1)可知△PDE≌△QCE，∴CQ＝PD＝x，
∴BQ＝BC＋CQ＝1＋x.
∵点E，F分别是PQ，PB的中点，
∴AP≠PE，
∴四边形AFEP不是菱形．(共16张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
素养集训
3．特殊四边形的性质在动点问题中的巧用
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，在 ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．
解：AE＝CF，AE∥CF.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.
∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°，∴∠AED＝∠CFB.
∴AE∥CF.
2．在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上．
(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证BE＝DF；
证明：连接AC.
∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，
∴∠BCD＝180°－∠B＝120°，△ABC是等边三角形．
又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.
∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.
∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°. ∴∠FEC＝∠CFE.
∴EC＝CF. ∴BE＝DF.
证明：连接AC.
由(1)知△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°.
∴∠BAE＝∠CAF.
∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B.
∴△ABE≌△ACF. ∴AE＝AF.
又∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形．
(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°.
∴∠OAE＝∠OCF，∠AEO＝∠CFO.
∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC.
∴△AOE≌△COF(AAS)． ∴OE＝OF.
3．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.
(1)如图①，连接AF，CE，证明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．
∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．
∴AF＝CF.
设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm.
在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5.
∴AF＝5 cm.
(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
解：显然当P点在AF上，Q点在CD上时，以A，C，P，Q四点为顶点不可能构成平行四边形；同理，当P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．
因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形．
如图，连接AP，CQ.
若以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四
边形，则PC＝QA.
∵四边形AFCE是菱形，点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，
∴PC＝PF＋FC＝PF＋FA＝5t cm，QA＝(AD＋CD)－(QD＋CD)＝(12－4t)cm.
∴5t＝12－4t，解得t＝
∴当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝
4．【教材P62习题T13拓展】如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
证明：如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.
又∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2.
∴四边形EFGH为菱形．
∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°.
∴∠HEF＝90°.
又∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH是正方形．
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．
【点拨】解动点问题的关键是把动点看成定点，找到等量关系，一般情况下，这个等量关系在点运动时仍然成立．
解：直线EG经过一个定点．
理由：如图，连接BD，DE，BG，设EG与BD交于O点．
∵BE DG，∴四边形BGDE为平行四边形．
∴BD，EG互相平分．
∴BO＝OD.
∴点O为正方形ABCD的中心．
∴直线EG必过正方形ABCD的中心．(共12张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
素养集训
2．平行四边形性质和判定的四种应用
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠EAD＝∠DBC，∠AED＝90°.
(1)求证AE∥BD；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC.
∵∠EAD＝∠DBC，∴∠EAD＝∠ADB，
∴AE∥BD.
证明：∵AE∥BD，∴∠AED＋∠BDE＝180°.
∵∠AED＝90°，∴∠BDE＝90°.
∵CF⊥BD，∴∠CFD＝90°＝∠BDE，∴DE∥CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD.
又∵∠EAD＝∠DBC，∠AED＝∠BFC＝90°，
∴△ADE≌△BCF，∴DE＝CF，
∴四边形EFCD是平行四边形．
(2)过点C作CF⊥BD于点F，连接EF，求证：四边形EFCD是平行四边形．
2．【中考·巴中】如图，在 ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N.
(1)求证：四边形BMDN是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形．
(2)若AF＝12，EM＝5，求AN的长．
解：∵四边形BMDN是平行四边形，∴DM＝BN，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，
∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，
又∵∠CEM＝∠AFN＝90°，∴△CEM≌△AFN，
∴FN＝EM＝5，
3．【中考·扬州】如图，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE.
(1)求证：四边形BCED′是平行四边形；
证明：根据折叠的性质，得∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC.
∴∠DEA＝∠D′AE.∴∠DAE＝∠D′AE＝∠DEA＝∠D′EA.
∴∠DAD′＝∠DED′.
∴四边形DAD′E是平行四边形．∴DE＝AD′.
又∵AB∥DC，AB＝DC，∴CE∥D′B，CE＝D′B.
∴四边形BCED′是平行四边形．
(2)若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2.
证明：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＋∠EBA＝90°.
∴∠AEB＝90°.
∴AB2＝AE2＋BE2.
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点D，E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F.过点D作AC的平行线交BC于点G.
(1)连接CD，GE，判断四边形CDGE的形状，并证明你的结论．
解：如图①，四边形CDGE是平行四边形．
证明：∵D，E同时出发，且移动的速度相同，∴BD＝CE.
∵DG∥AE，∴∠DGB＝∠ACB.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∴∠B＝∠DGB.
∴BD＝GD＝CE.
又∵DG∥CE，∴四边形CDGE是平行四边形．
(2)过点D作直线BC的垂线，垂足为M，当点D，E在移动的过程中，线段BM，MF，CF有何数量关系？并说明理由．
解：BM＋CF＝MF.理由如下：
如图②，由(1)得BD＝GD＝CE.
∵DM⊥BC，∴BM＝GM.
∵DG∥AE，∴∠GDF＝∠E.
又∵∠DFG＝∠EFC，GD＝CE，∴△DFG≌△EFC(AAS)．
∴GF＝CF. ∴BM＋CF＝GM＋GF＝MF.(共27张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第3课时 平行四边形的判定
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
D
5
∥；＝
6
7
8
9
BO＝DO(答案不唯一)
见习题
10
B
B
＝；＝
B
＝
D
11
12
13
见习题
14
15
见习题
答案显示
C
B
见习题
16
见习题
1．在四边形ABCD中，若AB∥CD且AD______BC，或AB＝CD且AD______BC，则四边形ABCD是平行四边形．
∥
＝
2．在四边形ABCD中，AD∥BC，如果要添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，那么这个条件可以是( )
A．∠A＋∠C＝180°
B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180°
D．∠A＋∠D＝180°
D
3．【中考·玉林】在四边形ABCD中：
①AB∥CD；②AD∥BC；
③AB＝CD；④AD＝BC.
从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有( )
A．3种 B．4种
C．5种 D．6种
B
4．在四边形ABCD中，若∠A______∠C且∠B______∠D，则四边形ABCD是平行四边形．
＝
＝
5．在下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．∠A＝∠C，∠B＝∠D
B．∠A＝∠B＝∠C＝90°
C．∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°
D．∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°
D
··
6．【原创题】在四边形ABCD中，∠A＝50°，能够使此四边形为平行四边形的条件是( )
A．∠D＝130°
B．∠B＝130°，∠C＝50°
C．∠C＝50°
D．∠B＝50°，∠C＝130°
B
7．【中考·牡丹江】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件____________(只添加一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．
BO＝DO
(答案不唯一)
8．【中考·泸州】四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列四组条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A．AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD∥BC，AB＝DC
D．AC⊥BD
B
9．【教材P46例3变式】如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，连接DE，DF，BE，BF，四边形DEBF是平行四边形．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：如图，连接BD，交AC于点O.
∵四边形DEBF为平行四边形，
∴BO＝DO，EO＝FO.
∵AF＝CE，∴AF－FO＝CE－EO，
即AO＝CO.
又∵BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
10．在四边形ABCD中，若AB∥CD且AB______CD，则四边形ABCD是平行四边形．
＝
11．【教材P47例4改编】如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，EF，BF，则图中平行四边形共有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
B
【点拨】共有4个，分别为 ABCD， ADFE， EFCB， DEBF.
12．【教材P50习题T4变式】【2020·岳阳】如图，点E，F在 ABCD的边BC，AD上，BE＝ BC，FD＝ AD，连接BF，DE.
求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C.
∵BE＝ BC，FD＝ AD，
∴BE＝DF，EC＝AF.
易得△BAF≌△DCE.
∴BF＝DE.
∴四边形BEDF是平行四边形．
13．【易错题】顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD，②BC＝AD，③∠A＝∠C，④∠B＝∠D四个条件中任取两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( )
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
【点拨】由①③可以推得四边形两组对边分别平行，所以四边形ABCD为平行四边形；由①④可以推得四边形两组对边分别平行，所以四边形ABCD为平行四边形；由③④可知四边形两组对角分别相等，所以四边形ABCD为平行四边形．故选C.
【答案】C
14．【2021·岳阳】如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为点E，F.
(1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形AECF为平行四边形，你添加的条件是________；
AE＝CF
(本题答案不唯一)
证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF.
又∵AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
(2)添加了条件后，证明四边形AECF为平行四边形．
15．【教材P67复习题T2拓展】如图， ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD.
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO.
在△FDO和△EBO中，
∴△FDO≌△EBO(AAS)．
∴OF＝OE.
又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．
16．【中考·福建】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E.
(1)当点E恰好在AC上时，如图①，求∠ADE的大小；
解：∵△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，
∴CA＝CD，∠DCE＝∠ACB＝30°，∠DEC＝∠ABC＝90°.
∴∠CAD＝∠CDA＝ ×(180°－30°)＝75°.
∴∠ADE＝90°－75°＝15°.
(2)若α＝60°时，点F是边AC的中点，如图②，求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：如图，连接AD.设AC与BE交于点G.
由旋转的性质得AC＝DC，∠ACD＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∵F是AC的中点，∴DF⊥AC.
同理可证△BCE是等边三角形，∴∠BEC＝60°.
∵∠ACE＝60°－∠ACB＝30°，
∴∠EGC＝90°. ∴EB⊥AC. ∴EB∥DF.
∵∠BAC＝90°－∠ACB＝60°，AB＝AF＝ AC，
∴△ABF是等边三角形．
∴∠AFB＝60°. ∴∠FBG＝30°.
由旋转的性质得∠DEC＝∠ABC＝90°，则∠DEB＋∠FBG＝90°＋60°＋30°＝180°， ∴ED∥BF.
∴四边形BEDF是平行四边形．(共23张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第4课时 三角形的中位线
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
D
5
中位线；平行于；一半
6
7
8
9
D
见习题
10
B
B
见习题
8
见行四边形
11
12
13
见习题
14
15
见习题
答案显示
D
C
见习题
1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的________．三角形的中位线________三角形的第三边，并且等于第三边的________．
中位线
平行于
一半
2．【2020·宜宾】如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝( )
A．20°
B．45°
C．65°
D．70°
D
3．【2021·衢州】如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为( )
A．6
B．9
C．12
D．15
B
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8 cm，E，F分别为AC，AB的中点．
(1)求∠A的度数；
解：∵∠C＝90°，∠B＝60°.
∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.
(2)求EF的长．
解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，AB＝8 cm，
∴BC＝ AB＝4 cm.
∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF＝ BC＝2 cm.
5．顺次连接四边形各边中点所成的四边形一定是______________．
平行四边形
6．【2020·沈阳】如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD上一点，AM＝2MD，点E，点F分别是BM，CM的中点，若EF＝6，则AM的长为________．
8
7．如图，已知E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，若AC＝10 cm，BD＝12 cm，则四边形EFGH的周长为( )
A．10 cm B．11 cm
C．12 cm D．22 cm
D
8．【中考·河池】如图，在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，点F在DE的延长线上，添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是( )
A．∠B＝∠F
B．∠B＝∠BCF
C．AC＝CF
D．AD＝CF
B
9．如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，F是BE的中点，连接CE.求证：四边形ADCE是平行四边形．
证明：∵AD是△ABC的边BC上的中线，F是BE的中点，
∴BF＝EF，BD＝CD，∴DF∥CE，即AD∥CE，
又∵AE∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形．
10．【中考·湖州】如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连接DF，EF，BF.
(1)求证：四边形BEFD是平行四边形；
证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴DF∥BC，EF∥AB.
∴四边形BEFD是平行四边形．
(2)若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．
解：∵∠AFB＝90°，F是AC的中点，
∴∠AFB＝∠CFB＝90°，AF＝CF.
又∵BF＝BF，∴△ABF≌△CBF(SAS)．
∴AB＝BC＝6.
∴BD＝ AB＝3，BE＝ BC＝3.
又∵四边形BEFD是平行四边形，
∴四边形BEFD的周长为(3＋3)×2＝12.
11．【2021·宁波】如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AD⊥BC于点D，BD＝ .若E，F分别为AB，BC的中点，则EF的长为( )
【答案】C
证明：连接EF.∵四边形ABCD为平行四边形，且DE＝CF，
∴四边形ABFE和四边形DCFE均为平行四边形．
∴FM＝AM，FN＝DN.
∴MN∥AD，MN＝ AD.
12．如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝CF，BE和AF的交点为M，CE和DF的交点为N.求证：MN∥AD，MN＝ AD.
13．【中考·黑龙江】如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是( )
A．15° B．20°
C．25° D．30°
D
14．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，M，N分别是AB，CD的中点，MN分别交BD和AC于点E，F，对角线AC和BD相交于点G，则GE和GF相等吗？为什么？
【点拨】针对四边形含中点的这一特征，构造中位线是解决问题的一种有效方法．
解：GE＝GF.理由如下：
取BC的中点P，连接MP，NP.
∵AM＝BM，BP＝CP，∴MP∥AC，MP＝ AC.
同理得NP∥BD，NP＝ BD.
又∵AC＝BD，∴MP＝NP. ∴∠PMN＝∠PNM.
∵MP∥AC，NP∥BD，∴∠GFE＝∠PMN，∠GEF＝∠PNM.
∴∠GFE＝∠GEF. ∴GE＝GF.
15．如图，在 ABCD中，E，F分别是DC，AE的中点，FC与BE交于G.求证GF＝GC.
证明：如图，取BE的中点H，连接FH，CH.
∵F是AE的中点，H是BE的中点，
∴FH是△ABE的中位线．
∴FH∥AB且FH＝ AB.
在 ABCD中，AB∥DC，AB＝DC.
又∵点E是DC的中点，∴EC＝ DC＝ AB.
∴FH＝EC.
又∵AB∥DC，∴FH∥EC.
∴四边形EFHC是平行四边形．
∴GF＝GC.(共29张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第1课时 平行四边形的边、角性质
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
C
5
平行； ABCD； ABCD； ABCD
6
7
8
9
C
都相等；相等
10
D
对边；相等
B
相等；互补
ABC BCD
B
11
12
13
B
14
15
C
答案显示
见习题
C
见习题
16
见习题
1．两组对边分别________的四边形叫做平行四边形；平行四边形ABCD记作“__________”；它包含两层意义： ________或________
平行
ABCD
ABCD
ABCD
2．【教材P51习题T11变式】如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且DE∥AC，EF∥AB，DF∥BC，则图中平行四边形共有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
3．平行四边形的________平行．
平行四边形的对边________．
对边
相等
【点拨】∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝5.
∵AC⊥BC，∴AC＝
∴S ABCD＝BC·AC＝5×12＝60.
4．【2021·恩施州】如图，在 ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则 ABCD的面积为( )
A．30 B．60
C．65 D.
B
5．【2021·安顺】如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，AD＝4，则EF的长是( )
A．1
B．2
C．2.5
D．3
B
6．平行四边形的对角________，邻角________．
相等
互补
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝58°，
∴∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝61°.
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝119°.
7．【2021·泸州】如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是( )
A．61° B．109°
C．119° D．122°
A
8．【2020·温州】如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作 BCDE，则∠E的度数为( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．70°
D
9．如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离________，两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离．夹在两条平行线间的平行线段________．
都相等
相等
10．【教材P50习题T7变式】如图，已知直线a∥b，点C，D在直线a上，点A，B在直线b上，线段BC，AD相交于点E，和△ABD面积相等的三角形是△________，和△ACD面积相等的三角形是△________.
ABC
BCD
11．如图，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，图中全等三角形共有( )
A．5对 B．4对
C．3对 D．2对
C
12．【2021·苏州】如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝ ，则B′D的长是( )
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ADC＝∠B＝60°.
∴∠CAE＝∠ACB＝45°.
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°.
∴∠AEC＝180°－∠CAE－∠ACB′＝90°.
∴AE＝CE＝
∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，
∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°.∴B′E＝DE＝1.
∴B′D＝
【答案】B
13．【2021·怀化】已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE＝CF.求证：
(1)△ADE≌△CBF；
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DA＝BC，DA∥BC.
∴∠DAC＝∠BCA.
∵∠DAC＋∠EAD＝180°，∠BCA＋∠FCB＝180°，
∴∠EAD＝∠FCB.
(2)ED∥BF.
证明：由(1)知△ADE≌△CBF，
∴∠E＝∠F.
∴ED∥BF.
14．【2021·荆门】如图，将一副三角尺在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝( )
A．55° B．65°
C．75° D．85°
【点拨】如图，延长EH交AB于点N.
∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°.
∴∠NHB＝∠FHE＝45°.
又∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°－∠1－∠NHB＝105°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB.
∴∠2＋∠HNB＝180°.
∴∠2＝180°－∠HNB＝75°.
【答案】C
15．【2020·绍兴】如图，点E是 ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
(1)若AD的长为2，求CF的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF.
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE.
∵点E是CD的中点，∴DE＝CE.
(2)若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并求出∠F的度数．
解：添加一个条件：∠B＝60°.
∵∠BAF＝90°，∠B＝60°，
∴∠F＝180°－90°－60°＝30°.(答案不唯一)
16．【2021·绍兴】问题：如图，在 ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．
答案：EF＝2.
探究：(1)把问题中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，求AB的长；
解：如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，BC＝AD＝5，AB∥CD.
∴∠DEA＝∠BAE.
∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE.
∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝5.
同理，CF＝BC＝5.
∵点E与点F重合，∴AB＝CD＝DE＋CF＝10.
②当点E与点C重合时，求EF的长．
解：如图所示．
∵点E与点C重合，∴DE＝DC＝5.
∵CF＝BC＝5，∴点F与点D重合．
∴EF＝DC＝5.
(2)把问题中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求 的值．
解：分三种情况：
①如图所示．
同(1)得AD＝DE.
∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
∴AD＝DE＝EF＝CF.
∴
②如图所示．
同(1)得AD＝DE＝CF.
∵DF＝FE＝CE，∴
③如图所示．
同(1)得AD＝DE＝CF.
∵DF＝DC＝CE，∴(共28张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.1 平行四边形
第2课时 平行四边形的对角线性质
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
D
5
互相平分；4；12
6
7
8
9
C
50
10
C
D
A
底、高；交点
见习题
见习题
11
12
13
见习题
14
见习题
答案显示
见习题
见习题
1．平行四边形的对角线_________，并将平行四边形分成______对全等的三角形，______对面积相等的三角形．
互相平分
4
12
2．【2021·宜宾】下列说法正确的是( )
A．平行四边形是轴对称图形
B．平行四边形的邻边相等
C．平行四边形的对角线互相垂直
D．平行四边形的对角线互相平分
D
3．【2020·益阳】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则AB的长可能是( )
A．10 B．8
C．7 D．6
D
4．【教材P44练习T2改编】【2021·南充】如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论一定成立的是( )
A．OE＝OF
B．AE＝BF
C．∠DOC＝∠OCD
D．∠CFE＝∠DEF
A
5．【2021·宿迁】在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，________(填写序号)．求证：BE＝DF.
②
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
在△BOE和△DOF中，
∴△BOE≌△DOF(SAS)．
∴BE＝DF.(答案不唯一)
6．平行四边形的面积等于________的积；过平行四边形对角线________的任一直线都将平行四边形分成面积相等的两部分．
底、高
交点
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝58°，
∴∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝61°.
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝119°.
7．在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为3，则 ABCD的面积为( )
A．6 B．9
C．12 D．18
C
8．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为( )
A．3
B．6
C．12
D．24
C
9．【2021·扬州】如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则 ABCD的面积为______．
【点拨】如图，过点E作EF⊥BC，垂足为点F.
∵∠EBC＝30°，BE＝10，∴EF＝ BE＝5.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠DEC＝∠BCE.
∵EC平分∠BED，∴∠BEC＝∠DEC，
∴∠BCE＝∠BEC. ∴BC＝BE＝10.
∴S ABCD＝BC·EF＝10×5＝50.
【答案】50
10．【教材P44例2拓展】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2 ，求AH的长．
11．【2020·重庆A】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°.
∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°.
∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC＝40°.
(2)求证AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS)．
∴AE＝CF.
12．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC与BD的交点O任作一条直线l，分别交AD，BC于E，F两点．
(1)OE与OF相等吗？试说明理由．
解：OE＝OF.
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF.
(2)若直线l分别交BA和DC的延长线于点M，N，OM与ON相等吗？试说明理由．
解：OM＝ON.理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB∥CD，∴∠OBM＝∠ODN.
在△OBM和△ODN中，
∴△OBM≌△ODN(ASA)，∴OM＝ON.
(3)由(1)(2)你发现了什么？用语言表述出来．
解：过平行四边形两条对角线交点的任意一条直线和这个平行四边形的两组对边所在直线相交，所得每组对边所在直线的交点到对角线交点的距离相等．
13．如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AC∶BD＝2∶3.求：
(1)AC的长；
解：∵AC∶BD＝2∶3，∴设AC＝2x，则BD＝3x.
∵四边形ABCD是平行四边形，
(2)△AOD的面积．
解：由题意得OB＝OD，
14．如图①，已知 ABCD.
(1)试用三种不同的方法用一条直线MN将它分成面积相等的两部分(保留作图痕迹，不写作法)；
①
解：作图如图①(作法不唯一)．
①
(2)由上述方法，你能得到什么样的结论？
解：过对角线交点的任意一条直线都能将平行四边形分成面积相等的两部分．
(3)解决问题：兄弟俩分家，原来他们共同承包了一块平行四边形田地ABCD，现要拉一条直线MN将田地平均划分，在这块地里有一口井P，如图②所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？(保留作图痕迹，不写作法)
②
解：作图如图②.
②(共13张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
素养集训
1．矩形性质与判定的灵活运用
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
见习题
见习题
见习题
见习题
1．【中考·扬州】如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
证明：由题意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，
∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.
∴∠ANF＝∠CME.
∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.
∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM.
∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
在△ANF和△CME中，
∴△ANF≌△CME(ASA)．∴AF＝CE.
又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．
(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
解：∵AB＝6，AC＝10，∴BC＝8，CM＝10－6＝4.
设CE＝x，则EM＝BE＝8－x.
在Rt△CEM中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5.
∴四边形AECF的面积为CE·AB＝5×6＝30.
2．【中考·连云港】如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴FB∥CD.∴∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
又∵∠FEA＝∠CED，∴△FAE≌△CDE(ASA)．
∴CD＝FA.
又∵CD∥FA，∴四边形ACDF是平行四边形．
解：BC＝2CD.理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝∠CDE＝90°，AD＝BC.
∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°.
又∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形．∴CD＝DE.
∵E是AD的中点，∴AD＝2ED. ∴AD＝2CD.
∵AD＝BC，∴BC＝2CD.
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴∠ABC＝∠ADC.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.
∴四边形ABCD是矩形．
(2)点F为BC上一点，若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，
∴∠FDC＝36°.
∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.
∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.
∴∠ODC＝∠DCO＝54°.
∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.
4．【2020·鄂州】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N分别为OA，OC的中点，连接BM，DN，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE.
(1)求证△AMB≌△CND；
证明：∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴AO＝CO.
又∵点M，N分别为OA，OC的中点，∴AM＝CN.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.
∴∠BAM＝∠DCN.
∴△AMB≌△CND(SAS)．
(2)若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
解：∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN.
又∵BM＝EM，∴DN＝EM.
∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO.
∴∠MBO＝∠NDO. ∴ME∥DN.
∴四边形DEMN是平行四边形．
∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB.
又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO.
∴∠AMB＝∠EMN＝90°.
∴四边形DEMN是矩形．
∵AB＝5，DN＝BM＝EM＝4，∴AM＝3＝MO.
∴MN＝6.
∴矩形DEMN的面积为6×4＝24.(共28张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
第1课时 矩形及其性质
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
D
5
直角；平行四边形；平行四边形；直角
6
7
8
9
C
等于斜边的一半
10
4
直角；平行；相等
B
相等；互相平分；4
A
见习题
11
12
13
20
14
15
见习题
答案显示
见习题
C
见习题
16
见习题
17
1．有一个角是________的平行四边形是矩形，它包含两层含义：一是____________＋一个直角可得矩形；二是矩形一定是____________且有一个角是________．
直角
平行四边形
平行四边形
直角
2．【中考·内江】如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE与AD交于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为( )
A．31°
B．28°
C．62°
D．56°
【点拨】∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝90°.
∴∠FDB＝90°－∠BDC＝90°－62°＝28°.
∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠FDB＝28°.
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD＝∠CBD＝28°.
∴∠DFE＝∠FBD＋∠FDB＝28°＋28°＝56°.
【答案】D
3．矩形的四个角都是__________；
矩形的对边________且________．
直角
平行
相等
4．【中考·荆门】如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( )
A．△AFD≌△DCE
B．AF＝ AD
C．AB＝AF
D．BE＝AD－DF
B
···
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD.
∵E，F分别是边AB，CD的中点，∴DF＝ DC，BE＝ AB.
∴DF＝BE.
又∵AB∥CD，∴四边形DEBF是平行四边形．
∴DE＝BF.
5．【2021·自贡】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点．求证：DE＝BF.
6．矩形的对角线________且____________，它的两条对角线把矩形分成________个等腰三角形．
相等
互相平分
4
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝58°，
∴∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°.
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝61°.
∴∠AEC＝∠B＋∠BAE＝119°.
7．矩形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线互相平分
C
8．【2021·株洲】如图，线段BC为等腰三角形ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝________.
4
9．根据矩形的两条对角线相等且互相平分，将矩形沿一条对角线切去一半后，可得出直角三角形斜边上的中线__________________．
等于斜边的一半
【点拨】∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°.
∵E是AB的中点，AB＝4，∴CE＝BE＝
∴△BCE为等边三角形．
∵CD⊥AB，∴DE＝BD＝
10．【2021·新疆】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
A
11．如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD＋∠CED＝( )
A．125° B．145°
C．175° D．190°
C
12．【2021·十堰】如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为________．
20
13．【2021·新疆】如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF.求证：
(1)△ABE≌△DCF；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC.
∴∠ABE＝∠DCF＝90°.
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF(SAS)．
(2)四边形AEFD是平行四边形．
证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，
∴BC＝EF＝AD.
又∵AD∥BC，
∴四边形AEFD是平行四边形．
14．【2021·绍兴】图①是一种矩形时钟，图②是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AB＝30 cm，则BC长为________cm(结果保留根号)．
【点拨】如图，过点O作OE⊥CD，垂足为点E.
由题易知∠DOE＝30°.
在矩形ABCD中，∠C＝90°，CD＝AB＝30 cm，∴OE∥BC.
∴∠DBC＝∠DOE＝30°.
易得BC＝
【答案】
15．如图，在锐角三角形ABC中，BE，CF分别是高，点M，N分别是BC，EF的中点．
求证：MN⊥EF.
证明：连接ME，MF.
∵BE，CF分别是高，∴∠BEC＝∠BFC＝90°，
在Rt△BEC和Rt△BFC中，点M是斜边BC的中点，
∴FM＝ BC＝ME，
又∵N是EF的中点，∴MN⊥EF.
16．【中考·珠海】如图，矩形ABCD中，AB＞AD，把矩形沿对角线AC所在直线折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE.
(1)求证：△ADF≌△CEF.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADF＝∠B＝90°，AD＝CB.
根据折叠的性质可得△CBA≌△CEA，
∴∠B＝∠CEF，CB＝CE，∴∠ADF＝∠CEF，AD＝CE.
在△ADF和△CEF中，
∴△ADF≌△CEF(AAS)．
(2)求证：△DEF是等腰三角形．
证明：∵△ADF≌△CEF，
∴DF＝EF，
∴△DEF是等腰三角形．
17．如图①，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线与边AB相交于点E，与边CD相交于点F.
(1)求证：OE＝OF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD.
∴∠OAE＝∠OCF.
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF(ASA)．
∴OE＝OF.
(2)如图②，连接DE，BF，当DE⊥AB时，在不添加其他辅助线的情况下，直接写出腰长等于 BD的所有的等腰三角形．
解：腰长等于 BD的所有的等腰三角形为△DOF，△FOB，△EOB，△DOE.(共16张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
素养集训
1．判定平行四边形的五种常用方法
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
见习题
5
见习题
见习题
见习题
见习题
1．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．
求证：四边形ADEF是平行四边形．
证明：∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴BA＝BD，BC＝BE，∠DBA＝∠EBC＝60°.
∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA，
即∠ABC＝∠DBE.
∴△ABC≌△DBE.
∴AC＝DE.
同理可证△ABC≌△FEC，
∴AB＝EF.
在等边△ACF和等边△ABD中，AF＝AC，AB＝AD，
∴AF＝DE，AD＝EF.
∴四边形ADEF是平行四边形．
2．如图，在 ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？请说明理由．
解：四边形BFDE是平行四边形．
理由：在 ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝ ∠ADC.
∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF.
∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，
∴∠DFB＝∠BED.
∴四边形BFDE是平行四边形．
3．如图，在 ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
证明：在 ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，AB∥CD，AD∥CB，
∴∠ADE＝∠DAB＝∠CBF＝60°.
又∵AE＝AD，CF＝CB，
∴△ADE和△BCF都是等边三角形，
∴DE＝AE＝AD＝CB＝CF＝BF，
∵点E，F分别在CD，AB的延长线上，
∴CD＋DE＝AB＋BF，即CE＝AF.
又∵AB∥CD，∴四边形AFCE是平行四边形．
(2)若去掉已知条件中的“∠DAB＝60°”，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
解：若去掉已知条件中的“∠DAB＝60°”，
上述结论仍然成立．
证明：在 ABCD中，AB＝CD，AD＝CB，AB∥CD，AD∥CB.
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，∠ADE＝∠AED，∠CBF＝∠CFB.
∵AB∥CD，AD∥CB，
∴∠AED＝∠ADE＝∠DAB＝∠CBF＝∠CFB，
∴△ADE≌△CBF，∴DE＝BF.
∵点E，F分别在CD，AB的延长线上，
∴CD＋DE＝AB＋BF，即CE＝AF.
又∵AB∥CD，∴四边形AFCE是平行四边形．
4．【中考·鄂州】如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N.
(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB.
∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN.
∴四边形CMAN是平行四边形．
(2)若DE＝4，FN＝3，求BN的长．
解：∵四边形CMAN是平行四边形，∴CM＝AN.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB.
∴DM＝BN，∠MDE＝∠NBF.
在△MDE和△NBF中，
∴△MDE≌△NBF(AAS)．
∴BF＝DE＝4.
在Rt△NBF中，∵∠BFN＝90°，BF＝4，FN＝3，
5．【教材P51习题T15变式】【中考·哈尔滨】如图①， ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF(ASA)．
∴OE＝OF.
同理得OG＝OH，∴四边形EGFH是平行四边形．
(2)如图②，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)．
解：与四边形AGHD面积相等的平行四边形有 GBCH， ABFE， EFCD， EGFH.(共49张PPT)
全章热门考点整合专训
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
见习题
5
12
6
7
8
9
见习题
C
10
见习题
B
见习题
D
A
见习题
11
12
13
14
15
见习题
答案显示
见习题
B
见习题
16
17
18
B
19
20
见习题
见习题
见习题
见习题
21
见习题
1．【2021·长沙】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若OE＝6，则BC的长为________．
12
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：
(1)四边形ADEF是平行四边形；
证明：∵点D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE∥AC.
同理可得EF∥AB.
∴四边形ADEF是平行四边形．
证明：由(1)知四边形ADEF是平行四边形，∴∠DAF＝∠DEF.
∵AH是边BC上的高，∴∠AHB＝∠AHC＝90°.
在Rt△AHB中，∵D是斜边AB的中点，∴DH＝ AB＝AD.
∴∠DAH＝∠DHA.
同理可得HF＝ AC＝AF，∴∠FAH＝∠FHA.
∴∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA，即∠DAF＝∠DHF.
∴∠DHF＝∠DEF.
(2)∠DHF＝∠DEF.
3．【2020·黄石】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点H，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若EF＋CH＝8，则CH的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
B
4．【中考·菏泽】如图，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，得到四边形DEFG.
(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；
(2)若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．
解：∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC＋∠OCB＝90°.
∴∠BOC＝90°.
∵M为EF的中点，OM＝3，∴EF＝2OM＝6.
∴DG＝EF＝6.
5．【2020·重庆B】如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F.
(1)若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF.
∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°.
∴∠ABC＝180°－120°＝60°.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB. ∴∠ABE＝∠CDF.
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE＝ ∠BAD，∠DCF＝ ∠BCD.
∴∠BAE＝∠DCF.
∴△ABE≌△CDF(ASA)．
∴BE＝DF.
(2)求证BE＝DF.
6．【2020·毕节】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是( )
A．2.2 cm B．2.3 cm
C．2.4 cm D．2.5 cm
D
7．【2021·广安】如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别在边AB、AD的延长线上，且BE＝DF，连接CE、CF.求证CE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠ABC＝∠ADC.
∵∠ABC＋∠CBE＝180°，∠ADC＋∠CDF＝180°，
∴∠CBE＝∠CDF.
在△CDF和△CBE中，
∴△CDF≌△CBE(SAS)．∴CE＝CF.
8．【2020·自贡】如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M.求证AE＝BF.
证明：在正方形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD.
∵CE＝DF，∴BC＋CE＝CD＋DF，即BE＝CF.
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF(SAS)．∴AE＝BF.
9．【教材P50习题T8变式】【2021·天津】如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是(0，1)，(－2，－2)，(2，－2)，则顶点D的坐标是( )
A．(－4，1) B．(4，－2)
C．(4，1) D．(2，1)
C
10．【2021·河北】如图①， ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角，要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图②中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案有( )
A．甲、乙、丙 B．甲、乙
C．甲、丙 D．乙、丙
A
11．如图，在锐角三角形ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角平分线于点F，连接AE，AF.下列结论正确的是( )
①OE＝OF；②CE＝CF；③若CE＝12，CF＝5，则OC的长为6；④当AO＝CO时，四边形AECF是矩形．
A．①② B．①④
C．①③④ D．②③④
【点拨】∵MN∥BC，∴∠CEO＝∠ECB，∠OFC＝∠DCF.
又由题意知∠ECB＝∠ECO，∠DCF＝∠OCF，∴∠CEO＝∠ECO，∠OFC＝∠OCF.
∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF，故①正确；
若CE＝CF，则∠CEO＝∠CFO，即∠BCE＝∠ECO＝∠OCF＝∠DCF，又∵∠BCE＋∠ECO＋∠OCF＋∠DCF＝180°，∴∠BCE＋∠ECO＝∠ACB＝90°，与△ABC是锐角三角形矛盾，故②错误；
由题意知∠ECF＝90°，
∴EF＝2OC＝
故③错误；
∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF为平行四边形，又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF为矩形，故④正确．
【答案】B
12．【中考·安顺】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为__________．
A
13．【2021·遂宁】如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E、F.
(1)求证AE＝CF；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，BE∥DF，∴∠AEO＝∠CFO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴AE＝CF.
(2)连接BF，DE.请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
解：当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，
∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵EF⊥BD，∴四边形BFDE是菱形．(答案不唯一)
14．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40 cm.
(1)求证：四边形BFEG是矩形；
证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°.
∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝∠B＝90°.
∴四边形BFEG是矩形．
(2)求四边形BFEG的周长；
解：∵正方形ABCD的周长是40 cm，
∴AB＝40÷4＝10(cm)．
易知△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF.
∵四边形BFEG为矩形，∴BF＝EG，EF＝BG.
∴四边形BFEG的周长为2(EF＋BF)＝2(AF＋BF)＝2AB＝2×10＝20(cm)．
(3)当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？
解：若要使四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF.
∵AF＝EF，AB＝10 cm，
∴当AF＝ AB＝5 cm时，四边形BFEG是正方形．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处．求阴影部分的周长．
解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，
∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.
根据轴对称的性质可得：A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.
设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB)＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB＝AB＋(FD1＋FC)＋5＋5＝AB＋(FD＋FC)＋5＋5＝10＋10＋5＋5＝30.
16．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O旋转，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．
解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是 .
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°.
∵四边形A′B′C′O是正方形，
∴∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC.
∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF，
即∠BOE＝∠COF.
∴△BOE≌△COF(ASA)．
∴S△BOE＝S△COF.
∴两个正方形重叠部分的面积等于S△BOC.
∵S正方形ABCD＝1×1＝1，
17．【2020·恩施州】如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
【点拨】如图，连接ED交AC于点F′，连接BF′.
∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于AC对称．
∴BF′＝DF′.∴△BF′E的周长为BF′＋EF′＋BE＝DF′＋EF′＋BE＝DE＋BE，易知当F在F′处时，△BFE的周长最小．
∵正方形ABCD的边长为4，∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°.
∵点E在AB上且BE＝1，∴AE＝3.
∴DE＝
∴DE＋BE＝5＋1＝6，即△BFE周长的最小值为6.
【答案】B
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在△ABC的内部，∠BOC＝90°，OB＝OC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点．
(1)求证：四边形DEFG是矩形；
证明：如图，连接AO并延长，交BC于H.
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴AH是BC的中垂线，即AH⊥BC于H，BH＝HC.
∵D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，
∴DG∥EF∥BC，DE∥AH∥GF.
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵EF∥BC，AH⊥BC，
∴AH⊥EF.
∵DE∥AH，
∴DE⊥EF，即∠DEF＝90°.
∴四边形DEFG是矩形．
解：∵D，E，F分别是AB，OB，OC的中点，△BOC是直角三角形，BH＝HC，
∴BC＝2EF＝2OH＝2×3＝6，AH＝OA＋OH＝2DE＋EF＝2×2＋3＝7.
(2)若DE＝2，EF＝3，求△ABC的面积．
19.如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点B落在点D处，点C落在点C′处，折痕EF与BD交于点O.已知AB＝16，AD＝12，求折痕EF的长．
解：根据已知条件，得∠C′DF＝∠CDA＝90°，
∴∠C′DE＝∠ADF.
∵∠A＝∠C＝∠C′＝90°，AD＝BC＝DC′，
∴△DAF≌△DC′E(ASA)．∴DF＝DE＝BF.
∵四边形ABCD是矩形，∴AB DC.
连接BE，则四边形DFBE是菱形．
∴OE＝OF，BD⊥EF.
设AF＝x，则DF＝BF＝16－x.
20．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，∠ABD＝∠CBD，AB＝CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F.求证PA＝EF.
证明：如图，连接PC.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠ECF＝90°，
∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°.
∴四边形PECF是矩形．∴PC＝EF.
在△ABP和△CBP中，
∴△ABP≌△CBP(SAS)．∴PA＝PC.∴PA＝EF.
(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为__________；
(2，1.5)
(2)在平面直角坐标系中，有A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．
解：设点D的坐标为(x，y)．
以点A，B，C，D为顶点构成的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，
∴x＝1，y＝－1.
∴点D的坐标为(1，－1)．
②当BC为对角线时，
∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，
∴x＝5，y＝3.
∴点D的坐标为(5，3)．
③当AC为对角线时，
∵A(－1，2)，B(3，1)，C(1，4)，
∴x＝－3，y＝5.
∴点D的坐标为(－3，5)．
综上所述，点D的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．(共26张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
第6课时 正方形的判定
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
B
5
6
7
8
9
C
A
10
B
B
见习题
A
见习题
AB＝AD(答案不唯一)
11
12
13
见习题
答案显示
见习题
见习题
1．正方形是轴对称图形，它有______条对称轴．
若正方形的边长为a，则它的对角线长为________，面积为________．
4
a2
2．【2021·新疆】下列图形中，不是轴对称图形的是( )
B
3．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有( )
A．2条 B．4条
C．6条 D．8条
B
4．判定一个四边形是正方形，就要判定它既是______，又是________．具体判定方法如下：
对角线互相垂直的________是正方形；
对角线相等的________是正方形；
对角线互相垂直且相等的____________是正方形；
有一个角是直角的________是正方形；
有一组邻边相等的________是正方形．
矩形
菱形
矩形
菱形
平行四边形
菱形
矩形
5．【2021·黑龙江】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件____________，使矩形ABCD是正方形．
AB＝AD
(答案不唯一)
6．【2020·台州】下面是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是( )
A．由②推出③，由③推出①
B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出②
D．由①推出③，由③推出②
A
7．【2021·玉林】如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等 d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d ②b→d→c
③a→b→c 则正确的是( )
A．① B．③ C．①② D．②③
C
8．【2020·襄阳】已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
B
9．【2021·娄底】如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
A
10．【中考· 舟山】如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.
求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AFE＝∠AEF＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
又∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝45°，
∴∠BEA＝∠DFA＝180°－45°－60°＝75°.
在△BEA和△DFA中，∠BEA＝∠DFA，∠B＝∠D，AE＝AF，
∴△BEA≌△DFA(AAS)，
∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．
11．【2021·扬州】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC.
(1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
解：四边形AFDE是菱形，理由如下：
∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形．
∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD.
∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD.
∴∠EDA＝∠EAD. ∴AE＝DE.
∴平行四边形AFDE是菱形．
(2)若∠BAC＝90°，且AD＝2 ，求四边形AFDE的面积．
解：∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFDE是正方形．
∵AD＝2 ，
∴AF＝DF＝DE＝AE＝ ＝2.
∴四边形AFDE的面积为2×2＝4.
12．【2021·衡阳】如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点．
(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由．
解：四边形AFHE是正方形，理由如下：
∵Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF.
∴AE＝AF，BE＝DF，∠AEB＝∠AFD＝90°，∠DAF＝∠BAE. ∴∠AFH＝90°.
∵∠DAF＋∠FAB＝90°，∴∠BAE＋∠FAB＝90°，
即∠FAE＝90°，∴四边形AFHE是矩形，
又∵AE＝AF，∴矩形AFHE是正方形．
(2)已知BH＝7，BC＝13，求DH的长．
解：∵四边形AFHE和四边形ABCD都是正方形，
∴AE＝EH＝FH，AB＝BC＝13.
设AE＝x.在Rt△AEB中，AB2＝AE2＋BE2，
即132＝x2＋(x＋7)2，解得x＝5(x＝－12舍去)，
∴BE＝BH＋EH＝7＋5＝12，∴DF＝BE＝12.
又∵DH＝DF＋FH，∴DH＝12＋5＝17.
13．【中考·天水】如图①，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
解：四边形ABCD是垂美四边形．
理由：连接BD，AC.∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上．
∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
(2)性质探究：如图①，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD.试证明：AB2＋CD2＝AD2＋BC2；
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2，
AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，
∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2；
(3)解决问题：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
解：如图，连接CG，BE，设CE与AB交于点M.
∵四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形，
∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，即∠GAB＝∠CAE.
在△GAB和△CAE中，
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG＝∠AEC.
又∵∠AEC＋∠AME＝90°，∠AME＝∠BMC，
∴∠ABG＋∠BMC＝90°，
∴CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由(2)得CG2＋BE2＝CB2＋GE2.
∵AC＝4，AB＝5，(共22张PPT)
人教版 八年级下
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
第2课时 矩形的判定
提示：点击 进入习题
答案显示
1
2
3
4
D
5
相等；相等；互相平分
6
7
8
9
C
A
10
见习题
见行四边形；直角；四边形
A
见习题
C
11
12
见习题
答案显示
见习题
1．对角线________的平行四边形是矩形；
对角线________且______________的四边形是矩形．
相等
相等
互相平分
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件可以是( )
A．AB＝CD B．AD＝AC
C．AB＝BC D．AC＝BD
D
3．【2021·连云港】如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC.
∵点C是BE的中点，∴BC＝CE.
∴AD＝CE.
又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形．
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC.
∵AB＝AE，∴DC＝AE.
∵四边形ACED是平行四边形．
∴四边形ACED是矩形．
4．有一个角是直角的______________是矩形．
有三个角是________的__________是矩形．
平行四边形
直角
四边形
5．【中考·崇左】如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，FH，则图中的矩形共有( )
A．5个 B．8个
C．9个 D．11个
C
6．【中考·重庆】下列命题正确的是( )
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
A
7．【2020·菏泽】如果顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是( )
A．互相平分 B．相等
C．互相垂直 D．互相垂直平分
C
证明：在△ABC中，∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°.
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°.
∵CE∥AD，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．
8．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E.求证：四边形ADCE是矩形．
9．【中考·临沂】如图，在平行四边形ABCD中，M，N是BD上两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A．OM＝ AC
B．MB＝MO
C．BD⊥AC
D．∠AMB＝∠CND
A
10．【教材P55练习T2改编】【2021·长沙】如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4.
(1)求证： ABCD是矩形；
证明：∵△AOB为等边三角形，∴OA＝OB.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD＝ BD，OA＝OC＝ AC，
∴BD＝AC，∴ ABCD是矩形．
(2)求AD的长．
解：∵ ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，
又易知∠ABO＝60°，
∴∠ADB＝90°－60°＝30°，
∴BD＝2AB＝8.
11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.点E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1，AP，BE相交于点H，CE，DP相交于点F.
(1)判断△BEC的形状，并说明理由；
解：△BEC是直角三角形，且∠BEC＝90°.
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠EAB＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2.
∵DE＝1，∴AE＝4.
∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.
∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2，
∴△BEC是直角三角形，且∠BEC＝90°.
解：四边形EFPH为矩形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，∴DE∥BP.
∵DE＝BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP.
∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP，∴AE＝CP，AE∥CP，
∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，
∴四边形EFPH是平行四边形．
∵∠BEC＝90°，∴四边形EFPH是矩形．
(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形，并证明你的结论．
12．【中考·兰州】阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学们思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.
结合小敏的思路作答：
(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，
则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由．
【点拨】本题的实质是判断中点四边形的形状，而中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系来决定的．当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形．当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形(下一课时学)．注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线是否互相平分无关．
解：四边形EFGH还是平行四边形．理由如下：
连接AC.∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝ AC.
∵H，G分别是AD，CD的中点，
∴HG∥AC, HG＝ AC.
∴EF∥HG，EF＝HG.
∴四边形EFGH是平行四边形．
解：当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
(2)如图②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.当AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是矩形？直接写出结论．
