人教版八年级上册数学12.2全等三角形的判定和性质证明题训练卷（word版，含答案）

人教版八年级上册数学12.2全等三角形的判定和性质证明题训练
1．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC．
(1)求证：△ABE≌△CBD；
(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
2．已知：如图，AD、BF相交于点O，AB=DF．点E、C在BF上，且BE=FC，AC=DE．求证：OA=OD，OB=OF．
3．如图，在和中，，A、E、B、D在一条直线上，，，，垂足分别是E、B．求证：．
4．已知：如图，在四边形中，，点是边上一点，且平分，平分．
求证：（1）；
（2）是线段的中点．
5．在△ABC中，∠C＝90°，点D在边AC上，过点A作AE⊥AB交BD的延长线于E，过点E作EM⊥AC于M，且AE＝AD，∠AED＝∠ADE．
（1）如果∠CAB＝36°，求∠CBD的度数；
（2）求证：AB＝EM＋BC
6．如图，在△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，，，M、N分别是AE、CD上的点，且．
（1）△ABE和△DBC全等吗？请说明理由；
（2）探索BM与BN之间的数量关系和位置关系，并说明理由．
7．如图，△ABC和△DCB有公共边BC，且，作，，垂足分别为E、F，．求证：．
8．如图，在ABC中，AD⊥BC于D，CE分别交AB、AD于E、F两点，且BD＝FD，AD＝CD，试说明CF与AB的关系．
9．如图，点B在线段AC上，点E在线段BD上，∠ABD＝∠DBC，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD的中点．试探索BM和BN的关系，并证明你的结论．
10．如图，AB＝CD，∠B＝∠C，点F、E在BC上，BF＝CE．求证：AE＝DF．
11．如图，在和中，，延长分别交边、于点F、G．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
12．如图，线段AD上有两点E，B，且AE＝DB，分别以AB，DE为直角边在线段AD同侧作Rt△ABC和Rt△DEF，∠A＝∠D＝90°，BC＝EF．求证：∠AEG＝∠DBG．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝34°，∠ABC＝110°，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝DF．求∠ADB的度数．
14．如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长．
15．已知：如图，在中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且，．求证：，．
16．如图，，，，点D在边上，和相交于点O．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
17．如图，，垂足分别为D，E，．求的长．
18．如图，在中，，点D是的中点，点E在上．找出图中的全等三角形，并证明它们全等．
19．如图，已知：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证：∠B=∠C．
20．如图，AB∥FC，E是DF的中点．
（1）求证：△ADE≌△CFE；
（2）若AB＝10，CF＝6，求BD的长．
参考答案
1．
解：（1）证明：
∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=90°，
在△ABE和△CBD中
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BCA=45°，
∴∠AEB=∠CAE+∠BCA=30°+45°=75°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BDC=∠AEB=75°．
2．
证明：∵BE=CF，
∴BC=FE（等式的性质）．
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ABF=∠DFB（全等三角形的对应角相等），
在△ABO和△DFO中，
，
∴△ABO≌△DFO（AAS），
∴OA=OD，OB=OF．
3．
证明：∵，，
∴，
在Rt△CBE和Rt△FBE中，
∴Rt△CBE≌Rt△FBE（HL），
∴，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AC=DF．
4．
解：（1），
，
又、分别平分、，
，
，
（2）如图，延长，交于，
，，
，
，
，且，
，
．
5．
解：（1）∵AE⊥AB，
∴∠EAB=90°，
∵∠CAB=36°，
∴∠EAC=∠EAB-∠CAB=54°，
∴，
∴∠CDB=∠ADE=63°，
∴∠CBD=180°-∠C-∠CDB=27°；
（2）如图，过点D作DF⊥AB于F，
∵EM⊥AD，DF⊥AB，
∴∠EMA=∠AFD=90°，
∴∠AEM+∠EAM=90°，
又∵∠EAM+∠FAD=90°，
∴∠AEM=∠DAF，
又∵AD=AE，
∴△AEM≌△DAF（AAS），
∴EM=AF，
∵∠AEB+∠ABE=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠AED=∠CDB=∠ADE，
∴∠FBD=∠CBD，
又∵∠C=∠DFB=90°，BD=BD，
∴△DFB≌△DCB（AAS），
∴BC=BF，
∵AB=AF+BF，
∴AB=EM+BC．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，对顶角相等，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定．
6．（1）△ABE和△DBC全等，理由见解析；（2）BM=BN，BM⊥BN；理由见解析．
【分析】
（1）先由DB是高可得∠ABE=∠DBC=90°，再结合已知则根据SAS可证明△ABE≌△DBC；
（2）利用全等三角形的性质证得∠BAM=∠BDN，则可由全等三角形的判定证明△ABM≌△DBN，得出BM=BN，∠ABM=∠DBN．得出∠MBN=90°，则结论得证．
【详解】
解：（1）△ABE≌△DBC；理由是：
∵DB是高，
∴∠ABE=∠DBC=90°．
在△ABE和△DBC中，
，
∴△ABE≌△DBC（SAS）．
（2）BM=BN，MB⊥BN；理由是：
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAM=∠BDN．
在△ABM 和△DBN 中，
∴△ABM≌△DBN（SAS）．
∴BM=BN，∠ABM=∠DBN．
∵∠ABM+∠DBM=∠ABD=90°．
∴∠DBN+∠DBM =90°．
即∠MBN=90°．
∴BM⊥BN．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
7．见解析
【分析】
需先根据HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF，从而得出BE=CF，则推出EC=BF，再根据SAS判定△ABC≌△DCB，而求出AC=BD．
【详解】
证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∵AB=DC，AE=DF，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）．
∴∠ABE=∠DCF．
∵AB=DC，BC=CB，，
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
∴AC=BD．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
8．CF＝AB，CF⊥AB，理由见解析
【分析】
先根据AD⊥BC可得，进而可利用“SAS”证明，由此可得，，进而即可证得．
【详解】
解：CF＝AB，CF⊥AB，理由如下：
于，
，
在和中，
，
，
，，
∵，
，
，
，
．
9．
且．理由如下：
在与中，
，
，
，
M，N分别是AE，CD的中点，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
且．
10．
证明：∵BF=CE，
∴BF+FE=CE+FE，
∴BE=CF，
在△ABE与△DCF中，
∵AB=DC，∠B=∠C，BE=CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)．
∴AE=DF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
11．（1）见解析；（2）49°
【分析】
（1）运用SSS证明△ABC≌△ADE即可得证；
（2）利用三角形的内角和定理，等量代换计算即可．
【详解】
（1）∵AB=AD，AC=AE，BC=DE，
∴△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D．
（2）∵△ABC≌△ADE，
∴∠CAB＝∠EAD，
∴∠DAB＝∠CAE＝49°．
∵∠B=∠D，∠DFG＝∠BFA，
∴∠BGD＝∠DAB＝49°．
12．
证明：∵AE=DB
∴AE+EB=DB+EB，即AB=DE
∵∠A=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)
∴∠ABC=∠DEF
∴∠AEG=∠DBG
13．
解：在中，，
，
，
和都是直角三角形，
在和中，，
，
，
．
14．
解：∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，
，
∴≌（AAS），
∴，，
∴．
15．
证明：∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵，．
∴∠EBD=∠FDC，∠EDB=∠C，
在△EBD和△FDC中
∴△EBD≌△FDC（ASA），
∴，．
【点睛】
本题考查三角形全等判定与性质，平行线性质，中点定义，掌握三角形全等判定与性质，关键是熟知判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
16．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）先证明，再根据SAS即可证明全等；
（2）利用三角形外角的性质可知，再根据全等可得，从而可得．
【详解】
解：（1）证明：∵，
∴，
即.
在和中，
，
∴
（2）∵，
∴.
∵，
∴．
17．
∵，，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∴．
18
解：图中的全等三角形有：△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△BDE≌△CDE；
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，AB＝AC，AD＝AD
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
∴∠BAE＝∠CAE，在△ABE和△ACE中，
∵AE＝AE，∠BAE＝∠CAE，AB＝AC，
∴△ABE≌△ACE；
∵△ABE≌△ACE，
∴BE＝CE，
在△BDE和△CDE中，
∵BE＝CE，BD＝DC，DE＝DE，
∴△BDE≌△CDE．
19．
解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B=∠C．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
20．（1）见解析；（2）4
【分析】
（1）根据平行得出，再用“角边角”证明即可；
（2）由（1）得，，再用线段和差即可求．
【详解】
解：（1）证明：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
（2）∵，
∴，
∴．
试卷第5页，共6页