2021-2022学年北师大版数学九年级上册第二章 一元二次方程 单元检测（Word版含答案）

北师大版九年级上册第二章
一元二次方程
一、单选题
1.（2019八下·长春期末）在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.（2019·石家庄模拟）已知点A（m2-2，5m+4）在第一象限角平分线上，则m的值是（ ）
A. 6 B. -1 C. 2或3 D. -1或6
3.（2019八下·任城期末）已知关于 的方程 的两根互为倒数，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
4.（2020九上·无锡月考）已知m，n是方程x2－2x－5=0的两个实数根，则m2+2n的值为（ ）
A. 7 B. 9 C. 11 D. 13
5.（2021八下·包河期末）方程x（x﹣2）=x﹣2的根是（ ）
A. x=1 B. x1=2，x2=0 C. x1=1，x2=2 D. x=2
6.（2020九上·遵化期末）已知 ， ， 是1，3，4中的任意一个数（ ， ， 互不相等），当方程 的解均为整数时，以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是（ ）
A. 轴对称图形 B. 中心对称图形
C. 轴对称图形或中心对称图形 D. 非轴对称图形或中心对称图形
7.（2020九上·萧山开学考）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论
①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（ ）
A. ② B. ①③ C. ②③④ D. ②④
8.（2019八下·宣州期中）设a、b为x2+x﹣2011=0的两个实根，则a3+a2+3a+2014b=（ ）
A. 2014 B. ﹣2014 C. 2011 D. ﹣2011
二、填空题
9.（2021九上·长沙开学考）已知关于x的方程 为一元二次方程，则a的取值范围是 .
10.（2020·邵阳）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为________．
11.（2019九上·东台月考）某小区准备在每两幢楼房之间开辟一块面积为300平方米的矩形绿地，且长比宽多7米，设长方形绿地的宽为 米，则可列方程为________.
12.（2019九上·成都月考）若代数式 的值为0，则x的值为________.
13.（2019九上·红安月考）设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________.
14.（2020九上·吴中期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点E是BC的中点，动点P从A点出发以每秒2cm的速度沿A→C→B运动，设点P运动的时间是t秒，那么当t=________，△APE的面积等于6.
15.（2019八下·包河期中）关于x的方程（1-m2）x2+2mx-1=0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是 ．
三、解答题
16.（2019八下·大庆期中）某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元
17.（2020九上·泉州期末）某校有一块矩形绿地（数据如图所示，单位： ），现在其中修建一条道路（阴影所示），若所修建道路的面积为 ，求 的值.
18.（2020八下·泰顺开学考）在新冠肺炎流行中，某商家预测库存的带防护面罩的遮阳帕将能畅销市场预计平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，回笼资金，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个遮阳帽每降价1元，商场平均每天可多售出2个，若商场平均每天要赢利1200元，每个遮阳帽应降价多少元？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 A
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故答案为：A ．
【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．
2.【答案】 D
【考点】配方法解一元二次方程，角平分线的性质
【解析】【解答】第一象限点 A（m 2 -2，5m+4）到x轴距离为5m+4，到y轴距离为m2-2，
又角平分线上的点到角的两边距离相等，
故
m 2 -2=5m+4，
解得：m1=-1，m2=6。
故答案为：D。
【分析】由角的平分线上的点到角的两边距离相等可知A点到x轴与y轴距离相等，故可得m2-2=5m+4，求解即可得。
3.【答案】 C
【考点】有理数的倒数，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设两根为x1 ， x2 ，
∵关于 的方程 的两根互为倒数，
∴x1x2=1，即2m-1=1，解得m=1．
故答案为：C
【分析】设两根为x1 ， x2 ， 根据当两根互为倒数时：x1x2=1，再根据根与系数的关系即可求解．
4.【答案】 B
【考点】一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ， 是方程 的两个实数根，
， .
.
故答案为：B.
【分析】由方程根的定义可得 ，将 变形为 ，再根据根与系数的关系找出 ，然后代入数据即可得出结论.
5.【答案】 C
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】原方程可化为：x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0，
∴（x﹣1）（x﹣2）=0，
∴x﹣1=0或x﹣2=0，解得：x1=1，x2=2．
故答案为：C
【分析】先求出（x﹣1）（x﹣2）=0，再求出x﹣1=0或x﹣2=0，最后计算求解即可。
6.【答案】 C
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：∵方程ax2-bx+c=0的解均为整数
∴△=b2 4ac≥0
∵已知a，b，c是1，3，4中的任意一个数（a，b，c互不相等），
当b=1时，△=1-4×4×3＜0，不符合题意；
当b=3时，△=9-4×1×3＜0，不符合题意；
当b=4时，△=16-4×1×3=4＞0，符合题意．
∴b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1；
当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解
∴x1=3，x2=1，两个根均为整数，符合题意；
当b=4，a=3，c=1时，方程ax2-bx+c=0的解
∴x1=1，x2= ，不符合题意，故舍去；
∴当b=4，a=1，c=3时，方程ax2-bx+c=0的解为x1=3，x2=1，
∵以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形有两种情况：
①1，1作对边，3.3作对边，
此时多边形为平行四边形，为中心对称图形；
②1，1作邻边，3.3作邻边，1与3也相邻
此时多边形为筝形，为轴对称图形．
∴以1，3和此方程的所有解为边长能构成的多边形一定是中心对称图形或轴对称图形．
故答案为：C．
【分析】先根据一元二次方程由整数解，可得出△=b2 4ac≥0，再对a、b、c分别取值试算，从而得出b=4，a=1，c=3或b=4，a=3，c=1时方程有解，再分类计算出方程的根，两者均为整数时符合要求，则此时围成的多边形机器性质也可作出判断，从而得解。
7.【答案】 D
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ① x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ,∴x1=-4,x2=2, x1=-2x2, 不是倍根方程，错误；
② 由题意得：2x12=2, ∴x1=±1，∴x1=1,x2=2,x1=-1,x2=-2, 则a＝x1+x2=±3, 正确；
③ ∵x1=3,x2=, 当x1=2x2时，3m=2n, 当x2=2x1时，n=6m, 错误；
④ 由题意得：n=, ∴mx2-3x+=0, ∴x1+x2=,x1x2=, 整理得：2x12-5x1x2+2x22
=0, ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0, ∴x1=2x2, 或x2=2x1，正确；
综上，正确的是 ②④ .
故答案为：D.
【分析】①用十字相乘法解一元二次方程直接验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合 “倍根方程” 的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系； ④ 根据反比例函数式，求出m和n的关系， 利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可求得两根之间的关系.
8.【答案】 B
【考点】代数式求值，一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a为x2+x-2011=0的根，
∴a2+a-2011=0，
∴a2+a=2011，
∴a3+a2+3a+2014b=a（a2+a）+3a+2014b
=2011a+3a+2014b
=2014（a+b），
∵a、b为x2+x-2011=0的两个实根，
∴a+b=-1，
∴a3+a2+3a+2014b=-2014．
故答案为：B,
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a-2011=0，则a2+a=2011，再利用因式分解的方法变形得到a3+a2+3a+2014b=2014（a+b），然后根据根与系数的关系得a+b=-1，再利用整体代入的方法计算即可．
二、填空题
9.【答案】 a≥1且a≠3
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴a-3≠0，且a-1≥0，
解得：a≥1且a≠3.
故答案为：a≥1且a≠3.
【分析】含有一个未知数，未知数的最高次数是二次，且二次项的系数不为0的整式方程就是一元二次方程，据此可得a-3≠0，进而根据二次根式有意义的条件得出a-1≥0，联立两不等式，求解即可.
10.【答案】 x(x+12)=864
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12，
故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，
故答案：x(x+12)=864．
【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．
11.【答案】 x(x+7)=300.
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】根据题意可知长为(x+7)m，结合题意，由长方形的面积公式得x(x+7)=300.
【分析】根据长方形的面积=长×宽列出方程即可.
12.【答案】
【考点】分式的值为零的条件，因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：由题意可得： ，
即 ，解得 或 ，
∵ ，即 ，
∴
【分析】根据分式的意义，如果分式为0，则分子为0，分母不能为0得出 ，且 ，进而求解即可.
13.【答案】 2016
【考点】一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意得：m+n=-2, m2＋2m－2018＝0 ,即m2＋2m=2018
则 m2＋3m＋n＝m2+2m+m+n =2018-2=2016.
故答案为：2016.
【分析】 因为m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根， 则m、n代入方程满足方程，由根与系数的关系求得m+n的值，则原式经过简单变形值可求.
14.【答案】 或5或9
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵BC＝8cm，点E是BC的中点，
∴CE＝ BC＝4cm，
当点P在线段AC上，如图1所示，
AP＝2t，
∵∠C＝90°，
∴S△APE＝ AP CE＝ = 4t＝6，
解得：t＝ ；
当点P在线段CE上,如图2所示，AC＝6cm，PE＝4-（t-3）=7-t，
∴S△APE＝ PE AC＝ ＝6，
解得：t＝5.
如图3，当P在线段BE上时, PE=t-3-4=t-7,
∴S△APE＝ PE AC＝ ＝6，
解得：t=9,
综上所述，t的值为 或5或9;
故答案为: 或5或9.
【分析】分点P在线段AC上和点P在线段CE上和点P在线段EB上三种情况考虑，根据三角形的面积公式分别列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论.
15.【答案】 m=1或m>2
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】①当1-m2 =0时，m=±1，
当m=1，可得出2x-1=0，x= ， 符合题意，
当m=-1，可得出-2x-1=0，x= ， 不符合题意，
②当1-m2≠0时，
（1-m2）x2+2mx-1=0，可解出
x1= ， x2=
根据题意可得出，
0＜＜1，解得m＞0，
0＜＜1，解得m＞2，
综上，m=1或m＞2.
【分析】分别讨论1-m2是否等于0的情况，根据根的条件，可解出m的取值范围。

三、解答题
16.【答案】 解：设每张贺年卡应降价 元，根据题意得：
（0.3- ）（500+ ）=120，
整理，得： ，
解得: （不合题意，舍去），
∴ ，
答：每张贺年卡应降价0.1元．
【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设每张贺年卡应降价 元，等量关系为：（原来每张贺年卡盈利-降价的价格）×（原来售出的张数+增加的张数）=120，把相关数值代入求得正数解即可．
17.【答案】 解：
整理得： ，
解得： ， （舍去），
∴ 的值为 ．
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】利用直角三角形的面积求法可得出绿地剩余的面积（40-x）（30-x），列方程求解即可．
18.【答案】 解：设每个遮阳帽应降价x元，由题意可得：
化简可得：
解得： =10， =20，
答：应降价10元或20元，
故答案为：10元或20元.
【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据题意，设每个遮阳帽应降价x元，结合利润1200等于每件的利润乘以件数列出方程式求解即可.