2021-2022学年北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 单元检测（Word版含答案）

北师大版九年级上册第四章
图形的相似
一、单选题
1.如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的长等于（ ）
A. 2 B. 4 C. 4.8 D. 7.2
2.如图，以点O为位似中心，把 放大为原图形的2倍得到 ，以下说法错误的是（ ）
点A，O， 三点在同一条直线上 B.
C. D.
3.在平行四边形 中，点 是边 上一点，且 交对角线 于点 ，则 与 的周长比为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，正方形ABCD边长为4，边BC上有一点E，以DE为边作矩形EDFG，使FG过点A，则矩形EDFG的面积是（ ）
A. 16 B. 8 C. 8 D. 16
5.已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. ﹣ D. ﹣
6.如图，△ABC中AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，小正方形的边长均为 ，则 、 、 、 四个选项中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，菱形 的顶点 、 在 轴上（ 在 的左侧），顶点 、 在 轴上方，对角线 的长是 ，点 为 的中点，点 在菱形 的边上运动.当点 到 所在直线的距离取得最大值时，点 恰好落在 的中点处，则菱形 的边长等于（ ）
A. B. C. D.
9.如图，一人站在两等高的路灯之间走动， 为人 在路灯 照射下的影子， 为人 在路灯 照射下的影子．当人从点 走向点 时两段影子之和 的变化趋势是（ ）
A. 先变长后变短 B. 先变短后变长 C. 不变 D. 先变短后变长再变短
10.如图，矩形纸片 ， ，将其折叠使点 与点 重合，点 的对应点为点 ，折痕为 ，那么 和 的长分别为( )
A. 4和 B. 4和 C. 5和 D. 5和
11.将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，则点C的坐标是（ ）
A. （4，2） B. （3， ） C. （3， ） D. （2， ）
二、填空题
12.已知 ，则 ．
13.如图，在△AOB中，A，B两点在x轴的上方，以点O为位似中心，在x轴的下方按1：2的相似比作△AOB的位似图形△A′OB′．设点B的对应点B′的坐标是（4，﹣2），则点B的坐标是 ．
14.已知 中， 是边 上一点，DE∥BC交 于点E，将 沿 翻折得到 ，若 是直角三角形，则 长为________.
15.若 ，则 的值为________．
16.如图， 中， ，则 ________．
17.如图，在矩形 中， 分别为边 ， 的中点， 与 ， 分别交于点M ， N ． 已知 ， ，则 的长为________．
18.如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，6为半径画圆弧，与两坐标轴分别交于点A、B，已知点C（5， 0）、D（0， 3），P为AB上一点，则2PD+CP的最小值为________.
三、解答题
19.为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A ， 在近岸分别取点B、D、E、C ， 使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE ， 点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC ． 经测量BC＝25米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？
20.如图，点D，E，F分别在△ABC的各边上，且DE BC，DF AC，若 ，BF=6，则DE的长为多少？
21.如图，矩形OABC中，AO＝4，AB＝8，点E，F分别在边AB，OC上，且AE＝3，将矩形的部分沿直线EF翻折，点A的对应点A'恰好落在对角线AC上，求OF的长.
22.如图，一块直角三角板的直角顶点 放在正方形 的边 上，并且使一条直角边经过点 ．另一条直角边与 交于点 ．求证： ．
23.如图，在 中，AB=AC,D、E、B、C在同一条直线上，且 .求证： ∽ .
24.如图，在斜坡顶部有一铁塔AB ， B是CD的中点，CD是水平的．在阳光的照射下，塔影DE留在斜坡面上．在同一时刻，小明站在点E处，其影子EF在直线DE上，小华站在点G处，影子GH在直线CD上，他们的影子长分别为2 m和1 m．已知CD＝12 m，DE＝18 m，小明和小华身高均为1.6 m，那么塔高AB为多少？
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ，即 ，
∴BC= ，
∴CE=BE-BC=12- = =4.8，
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例得到 ，然后利用比例性质计算出BC，从而求出CE即可.
2.【答案】 C
【考点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点O为位似中心，把△ABC中放大到原来的2倍得到△A'B'C'，
∴△ABC∽△A'B'C'，AB∥A′B′
∴ ，点A，O， 三点在同一条直线上.
∴ ，则C错误
故答案为：C.
【分析】根据位似的意义可得△ABC∽△A'B'C'，AB∥A′B′，再根题意和相似三角形的性质可判断求解.
3.【答案】 A
【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
又∵
∴
∴ 与 的周长比为
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC和△DEF∽△BCF，由已知条件求出 的值，根据相似三角形的轴承比等于相似比得到答案．
4.【答案】 D
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD＝4，∠ADC＝∠C＝90°，
∵四边形EDFG为矩形，
∴∠EDF＝∠F＝90°，
∵∠ADF+∠ADE＝90°，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADF＝∠EDC，
∴△ADF∽△CDE，
∴ ，即 ，
∴DF＝ ，
∴矩形EDFG的面积为：DE DF＝DE ＝16.
故答案为：D.
【分析】先利用等角的余角证明∠ADF＝∠EDC，再根据相似三角形的判定方法证明△ADF∽△CDE，然后利用相似比计算DF与DE的关系式，最后根据矩形的面积公式求得矩形的面积便可..
5.【答案】 D
【考点】比例的性质
【解析】【解答】
【分析】将 化简 ，再将 代入即可.
6.【答案】 C
【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，
∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=36°，
∠BEC=180°-∠EBC-∠C=72°，
∴∠BEC=∠C=72°，
∴BE=BC，
∴AE=BE=BC.
设AE=x，则BE=BC=x，EC=4-x.
在△BCE与△ABC中，
∴△BCE∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得x=-2+2 （负值舍去），
∴AE=-2+2 ，
在△ADE中，∵∠ADE=90°，
∴cosA= ，
故答案为：C.
【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，设AE=x，根据相似三角形的性质列出比例式, 求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．
7.【答案】 A
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据勾股定理AC= ，BC=2，AB= ，
A．三条线段长分别为1， ， ，
∵ ，A中的三角形与 相似；
B．三条线段长分别为 ， ，3，
∵ ，B中的三角形不与 相似；
C．三条线段长分别为1， ，2 ，
∵ ，C中的三角形不与 相似；
D．三条线段长分别为2， ， ，
∵ ，D中的三角形不与 相似．
故答案为：A．
【分析】根据三角形相似的判定方法逐项判断即可。
8.【答案】 A
【考点】坐标与图形性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF.
∵E（-2，0），F（0，6），
∴OE=2，OF=6，
∴EF= ，
∵∠FGE=90°，
∴FG≤EF，
∴当点G与E重合时，FG的值最大.
如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J.设BC=2a.
∵PA=PB，BE=EC=a，
∴PE∥AC，BJ=JH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BH=DH= ，BJ= ，
∴PE⊥BD，
∵∠BJE=∠EOF=∠PEF=90°，
∴∠EBJ=∠FEO，
∴△BJE∽△EOF，
∴ ，
∴ ，
∴a= ，
∴BC=2a= ，
故答案为：A.
【分析】如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF，根据点E,F的坐标得出OE,OF的长，然后根据勾股定理算出EF的长，根据直角三角形的斜边最大得出FG≤EF，故当点G与E重合时，FG的值最大；如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J.设BC=2a，根据三角形的中位线定理得出∴PE∥AC，BJ=JH，根据菱形的性质得出AC⊥BD，BH=DH= ，BJ= ，故PE⊥BD，然后判断出△BJE∽△EOF，根据相似三角形对应边成比例得出 ，根据比例式即可算出a的值，从而求出BC的长。
9.【答案】 C
【考点】矩形的性质，平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：连接DF，
已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG,
∴四边形CDFE为矩形.
∴DF∥GH,
∴
又AB∥CD，∴ .
设 =a，DF=b,
∴ ,
∴
∴
∴GH= ，
∵a,b的长是定值不变，
∴当人从点 走向点 时两段影子之和 不变．
故答案为：C.
【分析】连接DF，由题意易得四边形CDFE为矩形.由DF∥GH，可得 .又AB∥CD，得出 ，设 =a,DF=b（a,b为常数），可得出 ，从而可以得出 ，结合 可将DH用含a,b的式子表示出来，最后得出结果.
10.【答案】 D
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设BD与EF相交于点O，
由折叠得：ED＝EB，DO＝BO，EF⊥BD，
∵矩形ABCD，
∴AD＝BC＝9，CD＝AB＝3，∠A＝90°，
设DE＝x，则BE＝x，AE＝9 x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2＋AB2＝BE2 ，
即：（9 x）2＋32＝x2 ， 解得：x＝5，即DE＝5．
在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD＝ ，
∵∠DOE=∠BOF，∠EDO=∠FBO，DO=BO，
∴△DOE≌△BOF （AAS），
∴OE＝OF，
∵△DOE∽△DAB，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴EF＝2OE＝ ，
故答案为：D．
【分析】根据折叠将所求的问题转化到Rt△ABE中，由勾股定理建立方程可求，在求EF时，根据折叠和全等三角形可证OE＝OF，再借助三角形相似，求得OE进而求出EF，得出答案．
11.【答案】 B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，过点A作AE⊥x轴于点E ， 过点B作BF⊥x轴于点F ， 过点A作AN⊥BF于点N ，
过点C作CM⊥x轴于点M ．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，
∴∠EAO=∠COM ，
又∵∠AEO=∠CMO=90°，
∴△AEO∽△OMC ，
∴ ，
∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，
∴∠BAN=∠EAO=∠COM ，
在△ABN和△OCM中，
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN=CM ．
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，
∴BN ，
∴CM ，
∴ ，
∴MO=3，
∴点C的坐标是：（3， ）．
故答案为：B．
【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM＝ ，MO＝3，进而得出答案．
二、填空题
12.【答案】
【考点】比例的性质
【解析】【解答】解：由 ，得 ．
故答案为： ．
【分析】直接利用比例的性质计算即可.
13.【答案】 （-2，1）
【考点】位似变换
【解析】【解答】解：设点B的坐标为（x，y），
∵点B的对应点B′的坐标是（4，-2），
∴根据位似变换的坐标特点得-2x=4，-2y=-2，即x=-2，y=1，
∴点B的坐标为（-2，1）．
故填（-2，1）．
【分析】设点B的坐标为（x，y），根据位似变换的坐标特点得到-2x=4，-2y=-2，即x=-2，y=1，由此求得点B的坐标。
14.【答案】 或
【考点】勾股定理，平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，
∴AC=5，
∵DE∥BC，
∴AD：AB=AE：AC，即AD：AE=AB：AC=4：5，
设AD=x，则AE=A′E= x，EC=5- x，A′B=2x-4，
在Rt△A′BC中，A′C= ，
∵△A′EC是直角三角形，
∴①当A'落在边AB上时，∠EA′C=90°，∠BA′C=∠ACB，A′B=3×tan∠ACB= ，AD= ；
②点A在线段AB的延长线上 ，
解得x1=4（不合题意舍去），x2= ．
故AD长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【分析】先根据勾股定理得到AC=5，再根据平行线分线段成比例得到AD：AE=AB：AC=4：5，设AD=x，则AE=A′E= x，EC=5- x，A′B=2x-4，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得到A′C，再根据△A′EC是直角三角形，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程即可求解．
15.【答案】
【考点】代数式求值，比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴ ．
故答案为： ．
【分析】观察已知和待求式子的特点，首先将 化为 的形式，然后把已知整体代入即可求值．
16.【答案】
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如下图，过点D、C作AB的垂线，分别交AB于点G、H
∵BD=BC=AC，∴∠CDB=∠DCB
∵∠ACB+∠CBD=120°，∠CDB+∠DCB+∠CBD=180°
∴∠ACF+∠DCB+∠CBD=120°
∴∠CDB=∠ACF+60°
设∠ACF=x，则∠DCB=∠CDB=x+60
∴∠CAB=∠CBA=60-x，∠CBE=60-2x，∠EBA=x
∴∠CFB=∠ACF+∠CAF=60°
∵∠ECD=∠DBF=x，∠CDE=∠BDF
∴△ECD∽△FBD
设FG=a
则在Rt△FGD中，FD=2a，DG=
∵△ECD∽△FBD，CE=3，ED=1
∴
解得：FB=6a
∴GB=5a
∴在Rt△DBG中，DB=2 a=BC
∵
∴CD=2
∴在Rt△CFH中，FH= ，CH=
∴GH= ，HB=5a-
∵AC=BC
∴AH=BH=5a-
∴AF=AH-FG-GH=5a- =4a-2
在Rt△CHB中， ，即
解得；a=
∴AF=4a-2 =4
故答案为：2 ．
【分析】如下图，先推导出∠DFB=60°，并得出△ECD∽△FBD，设FG=a，则利用相似，可得出FB的大小，从而得出GB的长，然后再Rt△DGB中，得出DB的长，从而得出CB的长，最后在Rt△CHB中，利用勾股定理求出a的值，进而得出AF的长．
17.【答案】
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，
由题意可知：EH∥BC，
∴△BEG∽△BAF，
∴ ，
∵AB=4，BC=6，点E为AB中点，F为AD中点，
∴BE=2，AF=3，
∴ ，
∴EG= ，
∵EH∥BC，
∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，
∴ ， ,
∴ ， ，
即 ， ，
∴ ， ，
∵E为AB中点，EH∥BC，
∴G为BF中点，
∴BG=GF= BF= ，
∴NG= = ，MG= BG= ，
∴MN=NG+MG= ，
故答案为： .
【分析】过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，证明△BEG∽△BAF，求出EG的长，再证明△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，得出 ， ，再求出BG=GF= BF= ，从而求出NG和MG，可得MN的长.
18.【答案】 13
【考点】坐标与图形性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】在y轴上找一点E，使AE=OA=6，
∵D（0， 3），
∴OD=3，
∵∠DOP=∠POE， ，
∴ DOP~ POE，
∴ ，即：PE=2PD，
∴2PD+CP=PE+CP，
当点C，P，E三点共线时，2PD+CP=PE+CP的值最小，
∴2PD+CP的最小值= .
故答案是：13.
【分析】在y轴上找一点E，使AE=OA=6，易证 DOP~ POE，从而可得PE=2PD，进而根据两点之间线段最短，即可求解.
三、解答题
19.【答案】 解：∵BC∥DE，
∴△ABC~△ADE，
∴ ，
即 ，
∴AB＝20，
答：河的宽度AB为20米．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】首先根据题意证明△ABC~△ADE，如何利用相似三角形性质得到 ，最后据此进一步求AB的长度即可．
20.【答案】 解：∵DE//BC，DF//AC，
∴四边形DECF为平行四边形，
∴DE=CF，
∵DE//BC，
∴ ，
∵AE：EC=1：2，
∴AE：AC=1：3，
∴ ，
∴DE=3．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式 ， 代入求解即可。
21.【答案】 解：过点F作FD⊥AB交AB于D，则四边形ADFO为矩形
∴AO=BC=DF=4，AD=OF
∵EF是折痕
∴EF⊥AC
∴∠DEF+∠DFE=∠AEF+∠BAC=90°
∴∠BAC=∠DFE
∴△ABC∽△FDE
∴
∵AO=4，AB=8
∴
∴
又∵AE=3
∴AD=AE-DE=1
∴OF=1
【考点】坐标与图形性质，矩形的判定与性质，翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】过点F作FD⊥AB交AB于D，则四边形ADFO为矩形，利用矩形的性质可证得AO=BC=DF=4，AD=OF；再利用折叠的性质可证得EF⊥AC，利用余角的性质可得到∠BAC=∠DFE，根据有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△FDE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出DE的长，根据AD=AE-DE，代入计算可求解.
22.【答案】 解： 四边形 是正方形，
．
，
， ，
，
．
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定
【解析】【分析】根据正方形性质得到角的关系，从而根据判定两三角形相似的方法证明△BPQ∽△CDP ．
23.【答案】 证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB2=BD CE，
∴ ，即 ，
∴△ABD∽△ECA．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【详解】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB2=BD CE，
∴ ，即 ，
∴△ABD∽△ECA．
【分析】本题关键是找到对应边成比例，利用AB2=BD CE，得到 ， 再通过相等边进行转换即可。
24.【答案】 解：如图，过点D作DM⊥CD，交AE于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
则四边形BDMN为矩形，∴MN＝BD，BN＝DM.
由题意，得 .
∴DM＝DE×1.6÷2＝14.4(m)．
∵MN＝BD＝ CD＝6 m， ，
∴AN＝1.6×6＝9.6(m)，
∴AB＝AN＋BN＝9.6＋14.4＝24(m)．
答：铁塔AB的高度为24 m.
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过点D构造矩形,把塔高的影长分解为平地上的BD斜坡上的DE.然后根据影长的比分別求得AN,GB长,把它们相加即可