人教版八年级上册数学12.3角平分线性质证明题训练（word版，含答案）

人教版八年级上册数学12.3角平分线性质证明题训练
1．已知，如图，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC，求证：CE平分∠BCD．（提示：需过点E作CD的垂线段）
2．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AB＝12，AC＝20，求BE的长．
3．四边形ABCD中（BC＞AB），BD平分∠ABC，且AD＝CD，DE⊥BC于E．
（1）求证：∠BAD＋∠BCD＝180 ；
（2）如果BC＝5，AB＝3，求CE的长．
4．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点E在BD上，连接AE，CE，DF⊥AE，DG⊥CE，垂足分别是F，G．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）求证：DF＝DG．
5．已知：如图，，垂足分别为D，E，与相交于点O，平分．求证：．
6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E F，连接EF，EF与AD相交于点G．AD与EF垂直吗？证明你的结论．
7．如图，四边形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，，垂足分别是E、F，求证：．
8．已知:如图，在中，为的中点，交的平分线于点，过点作于交于交的延长线于.求证:.
9．如图，在中，，．求证：平分．
10．如图，、分别是的外角平分线且相交于点．求证：点在的平分线上．
11．如图，、分别是外角，的平分线，它们交于点，，，垂足分别为、，则是的平分线吗？请说明理由．
12．如图，于点，于点，．求证：平分．
13．如图，△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，B、C、D在同一直线上，FD∥EC，∠D=42°，求证：∠B=50°．
14．如图，OC是∠AOB的平分线，且∠1＝∠2，试说明EF∥OB．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，高CD和角平分线AE交于点F，EH⊥AB于点H，那么CF=EH吗？说明理由．
16．如图所示，点B，C在∠A的两边上，且AC＝AB，P为∠A内一点，PC＝PB，PE⊥AB、PF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：PE＝PF．
17．如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，BF与CE交于D，且BD=CD．
(1)求证：D在∠BAC的平分线上；
(2)若将条件：BD=CD和结论：D在∠BAC的平分线上互换，结论成立吗？试说明理由．
18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A＝36°，求∠BDC的度数．
19．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．
（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．
20．已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC．
(1)如图1，若点O在边BC上，求证：∠ABC＝∠ACB；
(2)如图2，若点O在△ABC的内部，则∠ABC＝∠ACB成立吗？并说明理由；
(3)若点O在△ABC的外部，则∠ABC＝∠ACB成立吗？请画图表示．
参考答案
1．
证明：如图，过作于 而∠A=∠B=90°，
DE平分∠ADC，
E是AB的中点，
而
平分
2．
（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）由（1）知，Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴AE＝AF，
∵AB＝AE BE＝AF BE＝AC CF BE，BE＝CF，
∴AB＝AC 2BE，
∵AB＝12，AC＝20，
∴BE＝．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL（直角三角形），全等三角形的对应边相等，对应角相等．
3．（1）证明见解析；（2）1
【分析】
（1）过点D作DF⊥BA，交BA延长线于F，由角平分线的性质即可得到DF=DE，由此证明△DFA≌△DEC得到∠ECD=∠FAD，再由∠FAD+∠BAD=180°，即可得到∠BCD+∠BAD=180°；
（2）由△DFA≌△DEC，即可得到AF=CE，DE=DF，从而可证△BFD≌△BED得到BF=BE，则BE=BF=AB+AF=AB+CE=3+CE，再由BC=BE+CE=5求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，过点D作DF⊥BA，交BA延长线于F，
∵DF⊥BA，DE⊥BC，BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DFA=∠DEC=90°，DF=DE，
又∵AD=CD，
∴△DFA≌△DEC（HL），
∴∠ECD=∠FAD，
∵∠FAD+∠BAD=180°，
∴∠BCD+∠BAD=180°；
（2）∵△DFA≌△DEC，
∴AF=CE，DE=DF，
又∵BD=BD，∠BFD=∠BED=90°，
∴△BFD≌△BED（HL），
∴BF=BE，
∴BE=BF=AB+AF=AB+CE=3+CE，
∵BC=BE+CE=5，
∴3+CE+CE=5，
∴CE=1．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握角平分线的性质．
4．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据BD是∠ABC的平分线，可得，进而根据边角边证明即可；
（2）由(1)得，从而，由，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得．
【详解】
（1） BD是∠ABC的平分线，
，
在与中，
，
（2）
，
∴，
又∵，
∴．
5．
证明：∵平分，
∴ ，
在和中，
∴
∴
6．
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD是EF的垂直平分线，
∴AD与EF垂直．
7．
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC．
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，
∴OE=OF．
8．
证明：连接BE、EC，
∵ED⊥BC，
D为BC中点，
∴BE＝EC，
∵EF⊥AB EG⊥AG，
且AE平分∠FAG，
∴FE＝EG，
在Rt△BFE和Rt△CGE中
，
∴Rt△BFE≌Rt△CGE （HL），
∴BF＝CG
9．
证明：如图，过点作，，垂足分别为、．
∴．
在和中，，
∴≌．∴．
又，，
∴点在的平分线上，即平分．
10．
证明：如图，
过点作、、分别垂直于、、，垂足分别为、、．
∵、分别是的外角平分线，
∴，，
∴．
∴点在的平分线上．
11．
解：为的平分线．理由如下：
作，垂足为．
∵，分别是与的平分线，且，，
∴，．
∴．
又，，
∴点在的平分线上．
∴为的平分线．
12．
∵，，
∴．
∴．
∴，．
又，
∴．
∴平分．
13．
证明：∵FD∥EC，∠D=42°，
∴∠BCE=42°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB=2∠BCE=84°，
∵∠A=46°，
∴∠B=180°-84°-46°=50°
14．
∵OC平分∠AOB(已知)，
∴∠1＝∠BOC(角平分线的定义)
∵∠1＝∠2(已知)，
∴∠2＝∠BOC(等量代换)，
∴EF∥OB(内错角相等，两直线平行)．
15．
【详解】
∵在△ABC中，∠ACB=90°，高CD和角平分线AE交于点F，EH⊥AB于点H，
∴CE=HE，∠CAE=∠EAH，
∵∠CAE+∠AEC=90°，∠EAH+∠AEF=90°
∴∠AEC=∠AEH，
∵CD⊥AB，EH⊥AB，
∴CD∥EH，
∴∠EFC=∠AEH，
∴∠AEC=∠EFC，
∴CE=CF，
∴CF=EH．
16．
【详解】
证明：如图连接AP，
在△ABP和△ACP中，
∵（公共边），
∴△ABP≌△ACP（SSS），
∴∠BAP＝∠CAP（三角形全等对应角相等），
又∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE＝PF．
17．（
【详解】
（1）证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∵（对顶角相等），
∴Rt△BED≌Rt△CFD（AAS），
∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等），
∴D在∠BAC的平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；
（2）解：成立．理由如下：
∵点D在∠BAC的平分线上，且BF⊥AC，CE⊥AB，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∵，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（ASA），
∴BD＝DC（全等三角形的对应边相等）．
18．
（1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE=DC，
∴点D在∠ABC的平分线上，
∴BD平分∠ABC．
（2）解：∵∠C=90°，∠A=36°，
∴∠ABC=54°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=27°．
19．
解：证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，
∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PQ=PT，PS=PT，
∴PQ=PS，
∴AP平分∠DAC，
即PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE=∠CAE，
∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°，
在△AED和△AEC中，
，
∴△AED≌△AEC（ASA），
∴CE=ED．
20．
（1）证明：如图1，
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
则∠OEB=∠OFC=90°，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中，
，
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABC=∠ACB；
（2）证明：如图2，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
则∠OEB=∠OFC=90°，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠ABO=∠ACO，
∵∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB；
（3）解：若O点在△ABC的外部，∠ABC=∠ACB不一定成立，
理由是：①当∠A的平分线和BC的垂直平分线重合时，如图3，
过O作OE⊥AB交AB的延长线于E，OF⊥AC交AC的延长线于F，
则∠OEB=∠OFC=90°，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△OEB和Rt△OFC中
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），
∴∠EBO=∠FCO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠ABC=180°-（∠OBC+∠EBO），∠ACB=180°-（∠OCB+∠FCO），
∴∠ABC=∠ACB；
②当∠A的平分线和BC的垂直平分线不重合时，如图④，
此时∠ABC和∠ACB不相等．