必修一 3.3 幂函数 课件（19张PPT）

(共19张PPT)
幂函数
问题1　观察（1）～（5）中的函数解析式，你能发现它们的共同特征吗？
问题导入
（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p＝w元，这里p是w的函数；
（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
（3）如果立方体的边长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；
（4）如果一个正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c＝ ，这里c是S的函数；
（5）如果某人t s内骑车行进1 km，那么他骑车的平均速度v＝ ，这里v是t的函数．
追问1　你还能举几个相同结构的函数的例子吗？
y＝x0，y＝x4，y＝x－2，y＝ 等．
共同特征是：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量．
问题导入
问题1　观察（1）～（5）中的函数解析式，你能发现它们的共同特征吗？
幂函数定义：
一般地，函数y＝xα叫做幂函数（power function），其中x为自变量，α为常数．
对于幂函数，我们只研究α＝1，2，3， ，－1时的图象与性质．
问题导入
问题2　（1）对于一类新函数，请你思考我们需要从哪些方面入手去研究？
（2）通常先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．
新知探究
（2）你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究幂函数性质的方法吗？
（1）函数的对应关系的表示、定义域、值域、单调性和奇偶性等．
新知探究
图1
问题3　请你在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 和y＝ 的图象，结合解析式观察函数图象，将你发现的结论填写在表内．
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝
定义域
值域
奇偶性
单调性
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝
定义域
值域
奇偶性
单调性
在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增
R
R
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
{y|y≥0}
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
非奇非偶函数
在（－∞，＋∞）上单调递增
在（－∞，＋∞）上单调递增
在[0，＋∞）上单调递增
在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减
新知探究
问题3　请你在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 和y＝ 的图象，结合解析式观察函数图象，将你发现的结论填写在表内．
表1
追问1　结合图1和表1，你能总结出这5个幂函数的共性吗？
图象都过点（1，1），图象都经过第一象限．
追问2　这5个幂函数的图象均过第一象限，如何确定是否过第二或第三象限？
如果定义域包含（－∞，0），可以结合奇偶性判断，
如果为偶函数，则过第二象限，比如y＝x2；
如果为奇函数，则过第三象限，比如y＝x和y＝x3．
如果定义域为{x|x≥0}，则不过第二、三象限，比如y＝ ；
新知探究
追问3　在第一象限中，如何区分这5个函数的图象？
向右与x轴无限接近，其余均单调递增．
其余全是曲线；
y＝x 的图象位于该直线的上方；
当x＞1时，y＝x 的图象
y＝ 在（0，＋∞）上单调递减，图象向上与y轴无限接近，
y＝x的图象是一条直线，
当0＜x＜1时，
位于该直线的下方．
图2
新知探究
反（如图2），
相比y＝ 的图象，
y＝x2
和y＝x3的图象与y＝x的
图象的位置关系正好相
追问3　在第一象限中，如何区分这5个函数的图象？
即：当0＜x＜1时，y＝x2的图象位于y＝x3的图象的上方，
当x＞1时，y＝x2的图象位于y＝x3的图象的下方（如图3）．
图3
新知探究
例1　证明幂函数 f（x）＝ 是增函数．
证明：函数的定义域是[0，＋∞）．
x1，x2∈[0，＋∞），且x1＜x2，
f（x1）－f（x2）＝
＝
＝
所以f（x1）＜f（x2），
因为x1－x2＜0， ＞0，
新知探究
即幂函数f（x）＝　 是增函数．
例2　利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）（－1.5）3，（－1.4）3； （2）
解：（1）（－1.5）3和（－1.4）3可看作函数y＝x3当x分别取－1.5和
－1.4时所对应的两个函数值．
y＝x3在（－∞，＋∞）上单调递增，
因为－1.5＜－1.4，所以（－1.5）3＜（－1.4）3．
新知探究
（1）（－1.5）3，（－1.4）3； （2）
对应的两个函数值．
解：（2） 和 可看作函数y＝　当x分别取－1.5和－1.4时所
y＝ 在（－∞，＋∞）上单调递增，
因为－1.5＜－1.4，所以
新知探究
例2　利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
问题4　回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：
归纳小结
（1）什么是幂函数？你能简单说一说本节课所学的5个幂函数的性质吗？
（2）你能说说幂函数和正比例函数，反比例函数，二次函数的区别和联系吗？
（1）概念和性质略；
（2）幂函数和正比例函数，反比例函数，二次函数的交集分别是y＝x，y＝ ，y＝x2，除此之外，别无交集．
1．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2， ），求这个函数的解析式．
目标检测
答案：y＝ ，x≥0．
1
2．根据单调性和奇偶性的定义证明函数f（x）＝x3的单调性和奇偶性．
目标检测
证明：因为函数f（x）＝x3定义域为R．
x∈R，都有－x∈R，
函数f（x）＝x3为奇函数．
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
且f（－x）＝（－x）3＝－x3＝－f（x），
2
2．根据单调性和奇偶性的定义证明函数f（x）＝x3的单调性和奇偶性．
目标检测
证明：f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）[x12＋x1x2＋x22]
即幂函数f（x）＝x3是增函数．
所以f（x1）＜f（x2），
＝（x1－x2）[x12＋x1x2＋ x22＋ x22]
＝（x1－x2）[（x12＋ x2）2＋ x22]．
因为x1－x2＜0，（x12＋ x2）2＋ x22＞0，
2
再见