围绕目标善转化 巧设点线活运算 教案

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名称 围绕目标善转化 巧设点线活运算 教案
格式 doc
文件大小 473.1KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-11-18 15:20:29

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文档简介

围绕目标善转化 巧设点线活运算
——基于一类“直线、抛物线与圆”高考题的探究
教学目标:
知识与技能:熟练解决直线与抛物线、直线与圆的位置关系等问题,巩固坐标法的基本思想.
过程与方法:在解决问题的过程中,培养学生的转化意识,目标意识与求简意识;领悟设而不求与方程思想方法;经历问题解决的过程,积累如何选择合适数学方法解决问题的经验,逐步发展学生的能力
情感态度价值观目标:感受数学活动过程的探索性与创造性,提高学生学习数学的兴趣.
教学重点与难点 重点 解决直线与抛物线、直线与圆的位置关系等问题
难点 培养学生的转化意识,目标意识与求简意识以及证明、 过程中的化简与运算
教学历程
开门见山,引入课题
师:我们知道,解析几何的运算是同学们的一大难点,大家经常会在“设”“变量转化”“化简运算”等环节出问题,针对这一现象今天我们来上一节《围绕目标善转化 巧设点线活运算—基于一类“直线、抛物线与圆”高考题的探究》的探究课。
设计意图:开门见山,直击主题,自然引出课题.
2.问题驱动,互动探究
给出问题1:已知抛物线为抛物线的焦点,是抛物线的两个动点,且在轴同侧,如果直线的斜率与的斜率互为相反数,证明直线过定点,并求出这个定点?w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
设计意图:由典型的例习题出发,证明特殊简单的过定点问题.激发学生的
学习兴趣和求知欲望,提高学生分析问题、解决问题的能力.
师:同学们会设那条直线?
生1:设直线AB
师:为什么?
生1:因为AB是所求直线
师:如何设?设什么形式?
生1:因为存在,所以设直线AB: 与联立消去得:
设 (这种设法可以减少变元)由韦达定理得:
生1解题受阻
师:你要证明的结论(目标)是什么?
生1:要证直线AB: 过定点,即找的关系,
师: 很好!那么能否将条件中朝着你的目标去转化呢?
生1:(恍然大悟)因为,转化为找的关系,接下来只要将条件中向去转化即可。
师:请你继续给出解答过程
生1:因为即
所以
从而
故直线AB:
师:(点评)非常棒!解答过程很完整,而且在式子化简过程中不采用通分的方式,而采用裂项的方式,使式子次数降低,大大简化了运算。
(这时,有一位学生举手)
生2:我设的是直线AF:
师: 为什么会这样设?
生2:因为条件告诉我直线的斜率与的斜率互为相反数
师:很好!
(生2继续回答)
生2:直线AF: 与联立消去得:
由韦达定理得:
由对称性可知 所以
又因为直线AB:
即,直线AB
师:(点评)太棒了,这位同学在给出新的解法的同时,还给我们展示了运算过程中如何简化运算,这其中包括利用几何(图形的对称性)、运算技巧(平方差公式降次)等等
师:(点评)刚才两位同学给出了两种解法,两种解法的思路是不同的。生1从一开始直线的设法以及中段的解题分析都是从结论(目标)入手,属于“分析法”(法1),是一中执果索因的方法;生2的方法恰恰相反,从条件入手,属于“综合法”(法2),是一中由因导果的方法。
3.学以致用,变式探究
给出变式1: 把改为试探究:.c.o.m 直线是否过定点
设计意图:为了让学生运用所学到的解决问题的方法探究变式问题,培养学生良好的思维品质和意志品质,同时提高教学的有效性。
让学生试解,教师巡视,一会儿把四名学生“代表”演算结果用投影仪展示出来
生3:解:同问题1得:
从而
生4:解:上同生3解法
师:生3,生4都采用了法1, 但化简过程不同,大家觉得哪一种化法更好呢?好在哪里?
生5:生4的更好!一开始就利用平方差公式先消项降次,避免了通分再因式分解,再消项,大大简化了运算。
生6:解:
生7:上同生7解法得
(有一位同学补充解法)
生8:不需要方程联立,同生4化简得:
师:(点评)非常棒!三位同学都采用了法1,但生7,生8同学解法优化了运算,有明显的优势.看来,思路、方法和技巧构成了数学解题的一个系统工程,我们有必要加以关注.
给出变式2:(2011浙江文22题改编)已知抛物线圆 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4,设点是抛物线上一点,过点作圆的两条切线l1,l2,交轴于两点,是否存在点 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ,使线段 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 被平分?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
设计意图:现代教学论指出,教学必须在学生自主探究、经验归纳的基础上获得,教学中要展现由特殊到一般的思维过程.探究变式过程之间密切相关,做到由浅入深,由易到难,由现象到本质;通过高考题的变式题为载体内化知识,把新学的知识融入到旧的认知体系中去,构建新的认知体系.
生9:点的坐标为(-2,4)
师:很好,请说出你的理由
生9:根据图形的对称性,若线段 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 被平分,则
(教师利用几何画板演示,帮助学生直观感受点的位置)
师:根据图形,满足条件的点只有一个吗?
生9:有两个,还有(2,4)
师:(点评)非常好!这位同学利用几何(形)的直观直接得出结论,不但大大简化了运算,而且检验了解的个数.
继续给出思考:若把改为呢
师:几何法好解决吗?(大部分同学都摇头,表示几何法一时不会解决)
(这时,有一位学生举手)
生10:我能利用几何感受到点的纵坐标小于4,而且这样的
点也有两个.
(教师继续利用几何画板拖动点演示,帮助学生直观感受)
师:当几何法一时不会解决时,能否采用其它的方法呢?
生10:(茅舍顿开)代数法
师:很好!将几何问题代数化是解析几何的本质所在.
让学生试解, 片刻,选学生“代表”口头回答,教师板演
生11:解:设,设过点P的圆的切线方程为,
即 ①
则 ②
生11解题受阻,我们向生12求援.
生12:②按k整理得: ,
师:②式整理过程中,为什么按k整理?
生12:因为过点P的圆的切线有两条.设PA,PB的斜率为,则是上述方程的两根,所以
,再设
生12解题受阻.
师:(点评)很好!而且在整理过程中运用整体思想,将三项合为两项来整理,这也是我们常用的运算技巧.
师:要不要解与的关系呢?
生12:一般不会,设而不求的思想.
师:你接下来要求解的(目标)是什么?
生12:求点的坐标,即解
师:那么能否将目标与条件找到关系呢?
生12:因为与 找到了关系,接下去只要找到与条件中的关系即可
令①的得:
所以
从而化简得:
进而得:,
所以存在点满足题意,点的坐标为(
师:(点评)这名同学运用目标意识,等价转化意识与方程思想彻底打通了解题思路,成功解决了问题!
4.总结反思 归纳提升
师:这节课对你来说,有哪些知识、方法和数学思想上的收获?请谈谈你的体会?
设计意图:归纳总结本节内容.
学生思考交流,教师帮助总结以下内容:
(1)知识技能:解决直线与抛物线、直线与圆的位置关系等问题,在解决问题过程中需要注意以下几方面:①如何设点设线;②找目标变量和条件变量的转化关系;③运算过程中如何简化运算(设而不求、利用几何、运算技巧等等)
(2)思想方法:方程思想,转化思想,数形结合思想,设而不求思想,类比思想,特殊到一般思想等等.
作业:
1.变式3:(思考题)已知抛物线圆 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4,过抛物线上一点作圆的两条切线l1,l2,交抛物线于两点, 求直线斜率的最值
2.请自编类似问题.
1、变式4:变式2去掉条件:线段被平分, 求 面积的最小值?
2、变式5: 变式3加一条件: 求点 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 的坐标?
3、变式6: 把变式1中抛物线改为椭圆?
设计意图:尽管所探究的问题及变式问题已得到圆满的解答,但探究和变式活动还不应该结束,还应把探究和变式的过程延伸到课外和后续内容的学习中,为此给出一个思考题和自编类似问题,目的是培养学生主动探究变式数学问题的意识和习惯.
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