围绕目标善转化 巧设点线活运算 教案

围绕目标善转化 巧设点线活运算
——基于一类“直线、抛物线与圆”高考题的探究
教学目标：
知识与技能：熟练解决直线与抛物线、直线与圆的位置关系等问题,巩固坐标法的基本思想.
过程与方法：在解决问题的过程中，培养学生的转化意识，目标意识与求简意识;领悟设而不求与方程思想方法;经历问题解决的过程，积累如何选择合适数学方法解决问题的经验，逐步发展学生的能力
情感态度价值观目标：感受数学活动过程的探索性与创造性，提高学生学习数学的兴趣.
教学重点与难点 重点 解决直线与抛物线、直线与圆的位置关系等问题
难点 培养学生的转化意识，目标意识与求简意识以及证明、 过程中的化简与运算
教学历程
开门见山，引入课题
师：我们知道，解析几何的运算是同学们的一大难点，大家经常会在“设”“变量转化”“化简运算”等环节出问题，针对这一现象今天我们来上一节《围绕目标善转化 巧设点线活运算—基于一类“直线、抛物线与圆”高考题的探究》的探究课。
设计意图：开门见山，直击主题，自然引出课题.
2．问题驱动，互动探究
给出问题1：已知抛物线为抛物线的焦点，是抛物线的两个动点，且在轴同侧，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线过定点，并求出这个定点？w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
设计意图：由典型的例习题出发，证明特殊简单的过定点问题.激发学生的
学习兴趣和求知欲望,提高学生分析问题、解决问题的能力.
师：同学们会设那条直线？
生1：设直线AB
师：为什么？
生1：因为AB是所求直线
师：如何设？设什么形式？
生1：因为存在，所以设直线AB: 与联立消去得：
设 （这种设法可以减少变元）由韦达定理得：
生1解题受阻
师：你要证明的结论（目标）是什么？
生1：要证直线AB: 过定点，即找的关系，
师: 很好！那么能否将条件中朝着你的目标去转化呢？
生1：（恍然大悟）因为，转化为找的关系，接下来只要将条件中向去转化即可。
师：请你继续给出解答过程
生1：因为即
所以
从而
故直线AB:
师：（点评）非常棒！解答过程很完整，而且在式子化简过程中不采用通分的方式，而采用裂项的方式，使式子次数降低，大大简化了运算。
（这时，有一位学生举手）
生2：我设的是直线AF:
师： 为什么会这样设？
生2：因为条件告诉我直线的斜率与的斜率互为相反数
师：很好！
（生2继续回答）
生2：直线AF: 与联立消去得：
由韦达定理得：
由对称性可知 所以
又因为直线AB:
即，直线AB
师：（点评）太棒了，这位同学在给出新的解法的同时，还给我们展示了运算过程中如何简化运算，这其中包括利用几何（图形的对称性）、运算技巧（平方差公式降次）等等
师：（点评）刚才两位同学给出了两种解法，两种解法的思路是不同的。生1从一开始直线的设法以及中段的解题分析都是从结论（目标）入手，属于“分析法”（法1），是一中执果索因的方法；生2的方法恰恰相反，从条件入手，属于“综合法”（法2），是一中由因导果的方法。
3．学以致用，变式探究
给出变式1： 把改为试探究：.c.o.m 直线是否过定点
设计意图：为了让学生运用所学到的解决问题的方法探究变式问题，培养学生良好的思维品质和意志品质，同时提高教学的有效性。
让学生试解，教师巡视，一会儿把四名学生“代表”演算结果用投影仪展示出来
生3：解：同问题1得：
从而
生4：解：上同生3解法
师：生3，生4都采用了法1， 但化简过程不同，大家觉得哪一种化法更好呢？好在哪里？
生5：生4的更好！一开始就利用平方差公式先消项降次，避免了通分再因式分解，再消项，大大简化了运算。
生6：解：
生7：上同生7解法得
（有一位同学补充解法）
生8：不需要方程联立，同生4化简得：
师：（点评）非常棒！三位同学都采用了法1，但生7，生8同学解法优化了运算，有明显的优势.看来，思路、方法和技巧构成了数学解题的一个系统工程，我们有必要加以关注.
给出变式2：(2011浙江文22题改编)已知抛物线圆 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4，设点是抛物线上一点，过点作圆的两条切线l1，l2，交轴于两点，是否存在点 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，使线段 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 被平分？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.
设计意图:现代教学论指出，教学必须在学生自主探究、经验归纳的基础上获得，教学中要展现由特殊到一般的思维过程.探究变式过程之间密切相关，做到由浅入深，由易到难，由现象到本质;通过高考题的变式题为载体内化知识，把新学的知识融入到旧的认知体系中去，构建新的认知体系.
生9：点的坐标为（－2，4）
师：很好，请说出你的理由
生9：根据图形的对称性，若线段 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 被平分，则
(教师利用几何画板演示，帮助学生直观感受点的位置)
师：根据图形，满足条件的点只有一个吗？
生9：有两个，还有（2，4）
师：（点评）非常好！这位同学利用几何（形）的直观直接得出结论，不但大大简化了运算，而且检验了解的个数.
继续给出思考：若把改为呢
师：几何法好解决吗？（大部分同学都摇头，表示几何法一时不会解决）
（这时，有一位学生举手）
生10：我能利用几何感受到点的纵坐标小于4，而且这样的
点也有两个.
(教师继续利用几何画板拖动点演示，帮助学生直观感受)
师：当几何法一时不会解决时，能否采用其它的方法呢？
生10:（茅舍顿开）代数法
师：很好！将几何问题代数化是解析几何的本质所在.
让学生试解， 片刻，选学生“代表”口头回答，教师板演
生11：解：设,设过点P的圆的切线方程为，
即 ①
则 ②
生11解题受阻，我们向生12求援.
生12：②按k整理得： ，
师：②式整理过程中，为什么按k整理？
生12：因为过点P的圆的切线有两条.设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以
，再设
生12解题受阻.
师:（点评）很好！而且在整理过程中运用整体思想，将三项合为两项来整理，这也是我们常用的运算技巧.
师：要不要解与的关系呢？
生12：一般不会，设而不求的思想.
师：你接下来要求解的（目标）是什么？
生12：求点的坐标，即解
师：那么能否将目标与条件找到关系呢？
生12：因为与 找到了关系，接下去只要找到与条件中的关系即可
令①的得：
所以
从而化简得：
进而得：，
所以存在点满足题意，点的坐标为（
师：（点评）这名同学运用目标意识，等价转化意识与方程思想彻底打通了解题思路，成功解决了问题！
4．总结反思 归纳提升
师：这节课对你来说,有哪些知识、方法和数学思想上的收获？请谈谈你的体会？
设计意图：归纳总结本节内容.
学生思考交流，教师帮助总结以下内容：
（1）知识技能：解决直线与抛物线、直线与圆的位置关系等问题,在解决问题过程中需要注意以下几方面：①如何设点设线；②找目标变量和条件变量的转化关系；③运算过程中如何简化运算（设而不求、利用几何、运算技巧等等）
（2）思想方法：方程思想，转化思想，数形结合思想，设而不求思想，类比思想，特殊到一般思想等等.
作业：
1.变式3：(思考题)已知抛物线圆 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4，过抛物线上一点作圆的两条切线l1，l2，交抛物线于两点， 求直线斜率的最值
2.请自编类似问题.
1、变式4：变式2去掉条件：线段被平分， 求 面积的最小值？
2、变式5: 变式3加一条件： 求点 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 的坐标？
3、变式6: 把变式1中抛物线改为椭圆？
设计意图：尽管所探究的问题及变式问题已得到圆满的解答，但探究和变式活动还不应该结束，还应把探究和变式的过程延伸到课外和后续内容的学习中，为此给出一个思考题和自编类似问题，目的是培养学生主动探究变式数学问题的意识和习惯.
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