(共50张PPT)
第一节 简谐运动
第二章
2021
学习目标
1.认识弹簧振子,理解回复力的概念、简谐运动的能量,理解振幅、周期和频率.(物理观念)
2.会用动力学方法,分析简谐运动的变化规律.通过观察和分析,理解简谐运动的位移—时间图像是一条正弦曲线.(科学思维)
3.能定性地说明弹簧振子系统的机械能守恒.(科学探究)
思维导图
课前篇 自主预习
必备知识
一、认识简谐运动
1.机械振动
物体(或者物体的一部分)在某一中心位置(平衡位置)两侧所做的往复运动叫作机械振动,简称振动.
2.弹簧振子
把一个有孔的小球安装在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球和弹簧穿在光滑的水平杆上,使其能在杆上自由滑动,小球和水平杆之间的摩擦可以
忽略不计,小球的运动可以看作质点的运动,这样的系统称为弹簧振子,其中的小球称为振子.
3.回复力
(1)方向:跟振子偏离平衡位置的位移方向相反,总指向平衡位置.
(2)作用:使振子能返回平衡位置.
(3)大小:在弹性限度内,振子所受回复力F的大小跟振子偏离平衡位置的位移x的大小成正比,即F=-kx.负号表示回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向相反.
4.简谐振动
(1)物体在跟平衡位置的位移大小成正比,并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动,叫作简谐运动.
(2)振子的位移—时间函数为正弦或者余弦函数,我们把具有这种特征的运动叫作简谐运动.
5.描述简谐运动的特征物理量
(1)振幅:物体振动时离开平衡位置的最大距离.
(2)周期:物体完成一次全振动所需要的时间,用T表示.
(3)频率:物体在一段时间内全振动的次数与所用时间之比,用f表示.周期和频率的关系为 .
想一想做简谐运动的物体连续两次通过同一位置的过程,是否就是一次全振动
提示 不一定.只有连续两次以相同的速度通过同一位置的过程,才是一次全振动.
二、简谐运动的能量特征
在平衡位置,振子离开平衡位置的距离为零,所受回复力为零,加速度为零,速度的大小最大,动能最大,弹性势能为零;在最大振幅处,振子离开平衡位置的距离最大,所受回复力的大小最大,加速度的大小最大,速度为零,动能为零,弹性势能最大.
想一想
如图所示,在弹簧振子的运动过程中,弹性势能最大的位置有几个 动能最大的位置有几个
提示 在弹簧振子的运动过程中,弹性势能最大的位置有两个,分别对应于振子运动的最左端和最右端.动能最大的位置只有一个,就是弹簧振子运动的平衡位置.
自我检测
1.正误判断,判断结果为错误的小题请说明原因.
(1)弹簧振子是一种理想化的模型.( )
答案 √
(2)振动物体的周期越大,表示振动得越快.( )
答案 ×
解析 周期越大,表示振动得越慢.
(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反.( )
答案 ×
解析 回复力的方向总是与加速度的方向相同.
(4)水平弹簧振子运动到平衡位置时,回复力为零,因此能量一定为零.( )
答案 ×
解析 水平弹簧振子运动到平衡位置时,弹簧恢复原长,弹性势能为零,动能最大.
(5)弹簧振子位移最大时,势能也最大.( )
答案 √
2.关于简谐运动,下列说法正确的是( )
A.位移的方向总是指向平衡位置
B.加速度方向总和位移方向相反
C.位移方向总和速度方向相反
D.位移方向总和速度方向相同
答案 B
解析 由简谐运动的特点可知,位移是指由平衡位置指向振子所在位置的有向线段,故A错误;由a=- 可知,加速度方向与位移方向相反,故B正确;速度方向与位移方向可能相同,也可能相反,故C、D错误.
3.(多选)如图所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C间振动,则( )
A.从B→O→C→O→B为一次全振动
B.从O→B→O→C→B为一次全振动
C.从C→O→B→O→C为一次全振动
D.B、C两点关于O点对称
答案 ACD
解析 O点为平衡位置,B、C为两侧最远点,则从B起经O、C、O、B的路程为振幅的4倍,是一次全振动,A正确;若从O起经B、O、C、B的路程为振幅的5倍,超过一次全振动,B错误;若从C起经O、B、O、C的路程为振幅的4倍,是一次全振动,C正确;因弹簧振子的系统摩擦不考虑,所以它的振幅一定,故B、C两点关于O点对称,D正确.
课堂篇 探究学习
探究一
简谐运动的回复力
情境探究
观察水平弹簧振子的振动.
(1)如图所示,把振子从静止的位置O拉开一小段距离到A再放开后,它为什么会在A—O—A'之间振动呢
(2)弹簧振子振动时,回复力与位移有什么关系呢
要点提示 (1)当振子离开平衡位置后,受到总是指向平衡位置的回复力作用,这样振子就不断地振动下去.
(2)振子的回复力跟其偏离平衡位置的位移大小成正比,方向相反.
知识归纳
1.回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的,它可以是一个力,也可以是多个力的合力,还可以由某个力的分力提供.如图甲所示,水平方向的弹簧振子,弹力充当回复力;如图乙所示,竖直方向的弹簧振子,弹力和重力的合力充当回复力;如图丙所示,m随M一起振动,m的回复力是静摩擦力.
不是新受的力
2.简谐运动的回复力的特点
(1)由F=-kx知,简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比,回复力的方向与位移的方向相反,即回复力的方向总是指向平衡位置.
(2)公式F=-kx中的k指的是回复力与位移的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数,系数k由振动系统自身决定.
与回复力相同
实例引导
例1一质量为m的小球,通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上,如图所示.
(1)小球在振动过程中的回复力实际上是 ;
(2)该小球的振动 (选填“是”或“不是”)简谐运动.
答案 (1)弹力和重力的合力 (2)是
解析 (1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力.
(2)设振子的平衡位置为O,向下方向为正方向,此时弹簧已经有了一个伸长量h,设弹簧的劲度系数为k,由平衡条件得kh=mg,当振子向下偏离平衡位置的距离为x时,回复力即合外力为F回=mg-k(x+h)=-kx,可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点,该振动系统的振动是简谐运动.
规律方法判断物体的运动是否为简谐运动的动力学方法
变式训练1(2021浙江湖州月考)如图所示,物体A、B叠放在光滑水平面上,轻质弹簧的一端固定在墙面上,另一端与A相连,弹簧的轴线与水平面平行.开始时弹簧处于伸长状态,释放后物体A、B一起运动,第一次向右通过平衡位置时开始计时,取向右为正方向,则物体A受的摩擦力f与时间t的关系图像正确的是( )
答案 A
解析 物体A、B与弹簧组成的系统所做的运动是简谐振动,A、B作为一个整体,其位移与时间成正弦函数关系,其所受的合外力即是回复力,与位移成正比,所以回复力与时间也成正弦函数的关系;将物体B单独隔离出来分析,物体B也做简谐振动,其回复力就是A对它的摩擦力,这个摩擦力也与时间成正弦函数关系,故A正确.
探究二
描述简谐运动的物理量
情境探究
(1)振子的振幅与位移有什么关系
(2)如图所示,该振子的振幅为多少
要点提示 (1)振子的振幅在数值上与振子的最大位移相等.
(2)10 cm.
知识归纳
1.振幅与位移、路程、周期的关系
(1)振幅与位移:振动中,位移是矢量,振幅是标量.在数值上,振幅与振动物体的最大位移相等,在同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性的变化.
一标一矢
(2)振幅与路程:振动中的路程是标量,是随时间不断增大的.其中常用的定量关系是:一个周期内的路程为4倍振幅,半个周期内的路程为2倍振幅.
(3)振幅与周期:在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关.
一不变一变
由弹簧振子本身决定
2.对全振动的理解
(1)全振动的定义:振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程,叫作一次全振动.
(2)正确理解全振动的概念,还应注意把握全振动的四个特征.
①物理量特征:位移、加速度、速度三者第一次同时与初始状态相同.
②时间特征:历时一个周期.
大小和方向
③路程特征:振幅的4倍.
④相位特征:增加2π.
与初始位置无关
实例引导
例2一个做简谐运动的质点,它的振幅是4 cm,频率是2.5 Hz,该质点从平衡位置开始经过2.5 s后,位移的大小和经过的路程为( )
A.4 cm 10 cm B.4 cm 100 cm
C.0 24 cm D.0 100 cm
答案 B
规律方法 周期运动路程的理解
(1)若从特殊位置开始计时,如平衡位置、最大位移处, 周期内的路程等于振幅.
(2)若从一般位置开始计时, 周期内的路程与振幅之间没有确定关系,路程可能大于、等于或小于振幅.
变式训练2(2021河北承德第一中学高二月考)有一个在光滑水平面内的弹簧振子,第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动,第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动,则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为( )
A.1∶1 1∶1 B.1∶1 1∶2
C.1∶4 1∶4 D.1∶2 1∶2
答案 B
解析 弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离,即振幅,故振幅之比为1∶2,而振动周期由振动系统的性质决定,与振幅无关,对同一振动系统,周期之比为1∶1,B项正确.
探究三
简谐运动中各物理量的变化规律
情境探究
如图所示的弹簧振子,观察振子从B→O→C→O→B的一个循环.
请思考:
(1)弹簧振子在振动过程中动能、弹性势能的变化规律.
(2)弹簧振子振动过程中机械能守恒吗
要点提示 (1)弹簧振子的动能变化规律:B→O过程动能增大,O点动能最大,O→C动能减小,C→O动能增大,O→B动能减小.
弹簧振子的弹性势能变化规律:振子在B、C两点时弹簧的弹性势能最大,B→O过程弹性势能减小,O点弹性势能为0,O→C过程弹性势能增大,C→O过程弹性势能减小,O→B过程弹性势能增大.
(2)弹簧振子在振动过程中,弹性势能和动能相互转化,机械能守恒.
知识归纳
1.简谐运动中六个量的变化情况
弹簧振子如图所示.
振子 的运动 位移 回复力 加速度 速度 动能 弹性势能
O→B 增大,方向向右 增大,方向向左 增大,方向向左 减小,方向向右 减小 增大
B 最大,方向右向 最大,方向向左 最大,方向向左 0 0 最大
B→O 减小,方向向右 减小,方 向向左 减小,方 向向左 增大,方 向向左 增大 减小
O 0 0 0 最大,方向向左 最大 0
O→C 增大,方向向左 增大,方向向右 增大,方向向右 减小,方向向左 减小 增大
C 最大,方向向左 最大,方向向右 最大,方向向右 0 0 最大
C→O 减小,方向向左 减小,方向向右 减小,方向向右 增大,方向向右 增大 减小
O 0 0 0 最大,方向向右 最大 0
2.简谐运动中六个量的变化规律
(1)在简谐运动中,位移、回复力、加速度和弹性势能四个物理量同时增大或减小,与速度和动能的变化步调相反.
四同
(2)平衡位置是位移、加速度和回复力方向变化的转折点.
(3)最大位移处是速度方向变化的转折点.
(4)简谐运动的位移是从平衡位置指向某一位置的有向线段,位移起点是平衡位置.
前后相反
实例引导
例3把一个小球套在光滑细杆上,球与轻弹簧相连组成弹簧振子,小球沿杆在水平方向做简谐运动,它以O为平衡位置在A、B间振动,如图所示,下列结论正确的是( )
A.小球在O位置时,动能最大,加速度最小
B.小球在A、B位置时,动能最大,加速度最大
C.小球从A经O到B的过程中,回复力一直做正功
D.小球从B到O的过程中,振子振动的机械能不断增加
答案 A
解析 小球在平衡位置O时,弹簧处于原长,弹性势能为零,动能最大,位移为零,加速度为零,A项正确;在最大位移A、B处,动能为零,加速度最大,B项错误;由A到O回复力做正功,由O到B回复力做负功,C项错误;由B到O动能增加,弹性势能减小,总机械能不变,D项错误.
规律方法判断简谐运动中各个物理量变化情况的思路
变式训练3如图所示,一弹簧振子在一条直线上做简谐运动,第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同.那么,下列说法正确的是( )
A.振子在M、N两点所受弹簧弹力相同
B.振子在M、N两点的位移相同
C.振子在M、N两点加速度大小相等
D.从M点到N点,振子先做匀加速运动,后做匀减速运动
答案 C
解析 由题意和简谐运动的对称性知,M、N两点关于平衡位置O对称,因位移、速度、加速度和力都是矢量,它们要相同,必须大小相等、方向相同.M、N两点关于O点对称,振子所受弹力大小相等,方向相反,振子位移也是大小相等,方向相反,由此可知,A、B选项错误;振子在M、N两点的加速度虽然方向相反,但大小相等,故C选项正确;振子由M到O速度越来越大,但加速度越来越小,振子做加速运动,但不是匀加速运动,振子由O到N速度越来越小,但加速度越来越大,振子做减速运动,但不是匀减速运动,故D选项错误.
随堂检测
1.下列振动是简谐运动的是( )
A.手拍乒乓球的运动
B.思考中的人来回走动
C.轻质弹簧的下端悬挂一个钢球,上端固定组成的振动系统
D.从高处下落到光滑水泥地面上的小钢球的运动
答案 C
解析 手拍乒乓球的运动和思考中的人来回走动都没有规律,不是简谐运动,故A、B错误;轻质弹簧的下端悬挂一个钢球,上端固定组成的振动系统,钢球以受力平衡处为平衡位置上下做简谐运动,C正确;从高处下落到光滑水泥地面上的小钢球的运动过程为自由落体运动,不是简谐运动,故D错误.
2.关于机械振动的位移和平衡位置,以下说法正确的是( )
A.平衡位置就是物体振动范围的中心位置
B.机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移
C.机械振动的物体运动的路程越大,发生的位移也越大
D.机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
答案 B
解析 平衡位置是物体可以静止的位置,所以应与受力有关,与是否为振动范围的中心位置无关,所以A错误.振动位移是以平衡位置为初始点,到质点所在位置的有向线段,振动位移随时间而变化,振子偏离平衡位置最远时,振动物体振动位移最大,所以B正确,C、D错误.
3.竖直悬挂的弹簧振子下端装有一记录笔,在竖直面内放有一记录纸.当振子上下振动时,以速率v水平向左匀速拉动记录纸,记录笔在纸上留下如图所示的图像.y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标.求振动的周期和振幅.
4.如图所示,在一倾角为θ的光滑斜板上,固定着一根原长为l0的轻质弹簧,其劲度系数为k,弹簧另一端连接着质量为m的小球,此时弹簧被拉长为l1.现把小球沿斜板向上推至弹簧长度恰好为原长,然后突然释放,求证小球的运动为简谐运动.
答案 见解析
解析 松手释放,小球沿斜板往复运动——振动.振动的平衡位置是小球开始时静止(合外力为零)的位置.
mgsin θ=k(l1-l0)
设小球离开平衡位置的距离为x,小球受力如图所示,其合力F合=k(l1-l0-x)-mgsin θ,联立解得F合=-kx.由此可证小球的振动为简谐运动.(共38张PPT)
第五节 受迫振动 共振
第二章
2021
学习目标
1.知道什么是阻尼振动,什么叫受迫振动,什么是固有频率.(物理观念)
2.能举出受迫振动的实例,知道受迫振动的频率由驱动力的频率决定.(科学思维)
3.知道什么是共振以及发生共振的条件.(科学探究)
思维导图
课前篇 自主预习
必备知识
一、受迫振动的频率
1.阻尼振动:振幅逐渐减小的振动.
2.受迫振动:在外界驱动力作用下的振动.
3.固有频率:弹簧振子和单摆的自由振动频率,只与它们自身的参数有关.
4.受迫振动的频率:振动稳定后的频率等于驱动力的频率,与弹簧振子的固有频率无关.
想一想阻尼振动的振幅在减小的过程中,频率是否随着减小
提示 阻尼振动的振动频率保持不变.
二、共振
1.共振:驱动力的频率等于振动系统的固有频率时,受迫振动的振幅最大,说明从外界获得的能量最大.这种现象叫作共振.
2.共振曲线:如图所示的曲线表示受迫振动的振幅与驱动力频率的关系.
想一想洗衣机启动和停止时,随着电机转速的变化,有时洗衣机会振动得很厉害,这是什么原因
提示 当洗衣机电机转动的频率等于洗衣机的固有频率时,发生了共振现象,这时洗衣机振幅最大,会振动得很厉害.
三、共振的应用和防止
1.利用共振:应使驱动力的频率接近或者等于振动系统的固有频率.
2.防止共振:应使驱动力的频率与振动系统的固有频率保持一定差距.
自我检测
1.正误判断,判断结果为错误的小题请说明原因.
(1)阻尼振动是机械能不断减小的振动,它一定不是简谐运动.( )
答案 √
(2)单摆的振幅越来越小,是因为其能量在不断消失.( )
答案 ×
解析 单摆总能量是守恒的,只是机械能不断减小.
(3)在外力作用下的振动就是受迫振动.( )
答案 ×
解析 只有在周期性外力(驱动力)的作用下物体所做的振动才是受迫振动.
(4)受迫振动的频率等于振动系统的固有频率.( )
答案 ×
解析 受迫振动稳定后的频率等于驱动力的频率.
2.(多选)一单摆做阻尼振动,则在振动过程中( )
A.振幅越来越小,周期也越来越小
B.振幅越来越小,周期不变
C.机械能越来越小
D.机械能不守恒,周期不变
答案 BCD
解析 单摆做阻尼振动时,振幅会减小,机械能减小,振动周期不变,故选项B、C、D正确,A错误.
3.(多选)下列振动中,不属于受迫振动的是( )
A.用重锤敲击一下悬吊着的钟后,钟的振动
B.打点计时器接通电源后,振针的振动
C.小孩睡在自由摆动的吊床上,小孩随着吊床一起摆动
D.弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
答案 ACD
解析 受迫振动是指在周期性驱动力作用下的振动,故A、C、D都是自由振动,B是受迫振动.
课堂篇 探究学习
探究一
阻尼振动与简谐运动
情境探究
“余音绕梁,三日不绝.”形容歌声或音乐的优美.但在日常生活中,当弹奏结束后,乐声会越来越弱,并最终消失,这是为什么呢
要点提示 由于乐声受到空气的阻尼作用,振幅越来越小,因此乐声也就越来越弱了.
知识归纳
阻尼振动与简谐运动的比较
振动类型 阻尼振动 简谐运动(无阻尼振动)
产生条件 受到阻力作用 不受阻力作用
振动能量 振动能量有损失 振动能量保持不变
振幅 如果没有能量补充,振幅越来越小 振幅不变
频率 不变 不变
振动图像
常见例子 悬挂的电灯被风吹动后开始振动,振幅越来越小,属于阻尼振动 弹簧振子的振动
特别提醒阻尼振动中振幅虽逐渐减小,但振动频率不会变化,此频率称为固有频率,由振动系统决定.
实例引导
例1(多选)一单摆在空气中振动,振幅逐渐减小,下列说法正确的是( )
A.单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能
B.单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C.单摆振幅减小,频率也随着减小
D.单摆振幅虽然减小,但其频率不变
答案 AD
解析 单摆做阻尼振动,因不断克服空气阻力做功而使机械能转化为其他形式的能,但是在振动过程中,动能和势能仍不断相互转化,故选项A正确,选项B错误;做阻尼振动的单摆,振幅减小,频率由系统的特征决定,与振幅无关,所以其频率不变,选项C错误,选项D正确.
规律方法从振动能量上来讲,由于阻力做负功,振动物体的机械能逐渐减小,振幅逐渐变小,但由于振动中动能与势能相互转化,不能说下一时刻的动能(或势能)变小.
变式训练1(多选)单摆做阻尼振动的振动图像如图所示,下列说法正确的是( )
A.摆球在A时刻的动能等于B时刻的动能
B.摆球在A时刻的势能等于B时刻的势能
C.摆球在A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D.摆球在A时刻的机械能大于B时刻的机械能
答案 BD
解析 在单摆振动过程中,因不断克服空气阻力做功使机械能逐渐转化为内能,故选项C错误,选项D正确;虽然单摆总的机械能在逐渐减小,但在振动过程中动能和重力势能仍在不断地相互转化,由于A、B两时刻,单摆的位移相等,所以重力势能相等,但动能不相等,故选项A错误,选项B正确.
探究二
对共振和共振曲线的理解
情境探究
我国古代有一种被称为“鱼洗”的铜盆,盆沿左右各有一个把柄,称为双耳,盆底刻有鱼纹.盆内注入适量清水,用手快速有节奏地摩擦盆边双耳,盆会像受撞击一样振动起来,盆内水波荡漾.摩擦得法,可喷出水柱.这是什么原理呢
要点提示 手摩擦双耳的频率等于铜盆的固有频率,发生了共振现象.
知识归纳
1.自由振动、受迫振动及共振的比较
振动类型 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 周期性驱动力 周期性驱动力
振动周期 或频率 由系统本身性质决定,即固有周期或固有频率 由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或f=f驱 T驱=T固或f驱=f固
振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆 机械运转时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
要点笔记f驱>f固或f驱2.对共振条件的理解
(1)从受力角度来看:驱动力的频率跟物体的固有频率越接近,使物体振幅增大的力的作用次数就越多,当驱动力的频率等于物体的固有频率时,它的每一次作用都使物体的振幅增加,从而振幅达到最大.
(2)从功能关系来看:当驱动力的频率越接近物体的固有频率时,驱动力对物体做正功越多,振幅就越大.当驱动力的频率等于物体的固有频率时,驱动力始终对物体做正功,振幅达到最大.
实例引导
例2(多选)单摆M、N、O、P自由振动时,振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示.现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上,并保持各自的摆长不变,使其中一个单摆振动,经过足够长的时间,其他三个都可能振动起来,不计空气阻力.下列判断正确的是( )
A.若使M振动起来,P不会振动
B.若使M振动起来,稳定时N振动的周期仍小于2 s
C.若使P振动起来,稳定时M比N的振幅大
D.若使O振动起来,稳定时M的振动周期等于3 s
答案 CD
解析 若使M振动起来,其他小球也会做受迫振动,A错误;受迫振动的周期等于驱动力的周期,稳定时N振动的周期为2 s,B错误;若P振动起来,由于M的固有周期与驱动力的周期相同,M发生共振,稳定时M比N的振幅大,C正确;O的周期为3 s,使O振动起来,M做受迫振动,则周期为3 s,D正确.
规律方法受迫振动与共振的关系
受迫振动的周期和频率总等于驱动力的周期和频率,驱动力的频率越接近物体的固有频率,振动的振幅越大,相等时振幅最大.在处理实际问题时要分清振动的类别,注意区分固有频率、受迫振动的频率和驱动力的频率.
变式训练2(多选)(2021浙江1月选考)为了提高松树上松果的采摘率和工作效率,工程技术人员利用松果的惯性发明了用打击杆、振动器使松果落下的两种装置.则( )
A.针对不同树木,落果效果最好的振动频率可能不同
B.随着振动器频率的增加,树干振动的幅度一定增大
C.打击杆对不同粗细树干打击结束后,树干的振动频率相同
D.振动稳定后,不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同
答案 AD
解析 根据共振的条件,当振动器的频率等于树木的固有频率时产生共振,此时落果效果最好,而不同的树木的固有频率不同,针对不同树木,落果效果最好的振动频率可能不同,选项A正确;当振动器的振动频率等于树木的固有频率时产生共振,此时树干的振幅最大,则随着振动器频率的增加,树干振动的幅度不一定增大,选项B错误;打击结束后,树干做阻尼振动,阻尼振动的频率为树干的固有频率,所以粗细不同的树干频率不同,选项C错误;树干在振动器的振动下做受迫振动,则稳定后,不同粗细树干的振动频率始终与振动器的振动频率相同,选项D正确.
随堂检测
1.(多选)单摆在空气中做阻尼振动,下列说法正确的是( )
A.振动的机械能逐渐转化为其他形式的能量
B.后一时刻摆球的动能一定比前一时刻小
C.后一时刻摆球的势能一定比前一时刻小
D.后一时刻摆球的机械能一定比前一时刻小
答案 AD
解析 由于单摆在空气中做阻尼振动,克服空气、摩擦阻力做功,使机械能不断转化为其他形式的能量而减少.后一时刻的动能和势能不一定比前一时刻小,但后一时刻摆球的机械能一定比前一时刻小.
2.(多选)下列说法正确的是( )
A.实际的自由振动一定是阻尼振动
B.在外力作用下的振动是受迫振动
C.阻尼振动的振幅越来越小
D.受迫振动稳定后的频率与振动系统自身物理条件无关
答案 ACD
解析 实际的自由振动,必须不断克服外界阻力做功而消耗能量,振幅会逐渐减小,所以必然是阻尼振动,故选项A、C正确;只有在周期性外力(驱动力)作用下的物体所做的振动才是受迫振动,故选项B错误;受迫振动稳定后的频率由驱动力的频率决定,与自身物理条件无关,故选项D正确.
3.表中记录了某振动系统的振幅随驱动力频率变化的关系,若该振动系统的固有频率为f固,则( )
A.f固=60 Hz
B.60 Hz≤f固<70 Hz
C.50 Hz≤f固<60 Hz
D.40 Hz驱动力频率/Hz 30 40 50 60 70 80
振动系统振幅/cm 10.2 16.8 27.2 27.1 16.5 8.3
答案 C
解析 如图所示为振动系统的振幅随驱动力频率变化的关系,可看出f与f固相差越大,受迫振动的振幅越小,f与f固越接近,受迫振动的振幅越大,f越接近f固,振幅的变化越慢.比较各组数据知f在50~60 Hz范围内时振幅变化最小,因此50 Hz≤f固<60 Hz,故选C.
4.(2021山东青岛高二月考)洗衣机脱水缸正常工作时,转速为2 800 r/min,脱水后从切断电源到电动机停止转动的时间为16 s.发现在切断电源后的
13 s左右时,洗衣机振动最为剧烈,若切断电源后,脱水缸转速是随时间均匀减小的,则洗衣机振动的固有频率大约是( )
A.16 Hz B.9.5 Hz
C.8.75 Hz D.10.45 Hz
答案 C
解析 切断电源后,洗衣机脱水缸转速随时间均匀减小,到13 s时的转速(共43张PPT)
第四节 用单摆测量重力加速度
第二章
2021
学习目标
1.知道单摆做简谐运动的条件及相应控制方法.(科学思维)
2.会测量实际单摆的摆长和单摆振动的时间,会用平均值法求周期.(科学探究)
3.会用平均值法、图像法(T2-L图像)求重力加速度.(科学思维)
思维导图
课前篇 自主预习
必备知识
一、实验原理
二、实验器材
铁架台及铁夹、金属小球(上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(长1 m左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺.
三、实验步骤
1.让细线穿过金属小球上的小孔,在细线的一端打一个稍大一些的线结,制成一个单摆.
2.将铁夹固定在铁架台上端,铁架台放在实验桌边,使铁夹伸出桌面之外,然后把单摆上端固定在铁夹上,使摆球自由下垂.
3.用刻度尺量出悬线长L0,用游标卡尺测出摆球直径d,然后计算出悬点到
4.将摆球从平衡位置拉开一个很小的角度,并使这个角小于5°,然后由静止释放摆球,使摆球在竖直平面内摆动.当摆球摆动稳定以后,在最低点位置时,用秒表开始计时,测量单摆全振动30~50次的时间,然后求出一次全振动的时间,即单摆的振动周期.
5.改变摆长,重做几次实验.
6.根据单摆的周期公式,计算出每次实验的重力加速度;求出几次实验得到的重力加速度的平均值,即本地区的重力加速度的值.
7.将测得的重力加速度数值与当地重力加速度数值加以比较,如有误差,分析产生误差的原因.
想一想如果摆球第1次经过最低点位置时数0,则摆球第N次经过最低点位置时,完成全振动的次数n是多少
四、数据处理
五、误差分析
1.本实验系统误差主要来源于单摆模型本身,即悬点是否固定,球、线是否符合要求,振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等.
2.本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量.要从摆球通过平衡位置开始计时,并采用倒数计时计数的方法,不能多记或漏记振动次数.为了减小偶然误差,进行多次测量后取平均值.
六、注意事项
1.摆线要选1 m左右,不要过长或过短,太长测量不方便,太短摆动太快,不易计数.
2.摆长要悬挂好摆球后再测,不要先测摆长再系小球,因为悬挂摆球后细绳会发生形变.
3.计算摆长时要将摆线长加上摆球半径,不要把摆线长当作摆长.
4.摆球要选体积小、密度大的,不要选体积大、密度小的,这样可以减小空气阻力的影响.
5.摆角要小于5°(具体实验时可以小于15°),不要过大,因为摆角过大,单摆的振动不再是简谐运动,公式T=2π 就不再适用.
6.单摆要在竖直平面内摆动,不要使之成为圆锥摆.
自我检测
正误判断,判断结果为错误的小题请说明原因.
(1)可以测量摆球完成一次全振动的时间作为摆球摆动的周期.( )
答案 ×
解析 测量误差太大.
(2)摆球摆动的摆长就是摆线的长度.( )
答案 ×
解析 摆长等于摆线长加小球的半径.
(3)可以从摆球到达最高点时开始计时.( )
答案 ×
解析 如果从最高点开始计时,因为小球运动速度小,时间测量误差大.
(4)如果在摆球第1次经过最低点位置时数1,则小球第N次经过最低点位置时,小球完成全振动的次数n= .( )
答案 ×
(5)开始实验后,摆线松动对实验结果没有影响.( )
答案 ×
解析 摆线松动后,实际的摆长变了.
课堂篇 探究学习
探究一
实验原理、操作和数据处理
例1(2021北京延庆高二期末)某实验小组的同学们用如图所示的装置做用单摆测量重力加速度的实验.
(1)实验时除用到秒表、刻度尺外,还应该用到下列器材中的 (选填选项前的字母,多选).
A.长度为1 m左右的细线
B.长度为30 cm左右的细线
C.直径为1.8 cm的塑料球
D.直径为1.8 cm的钢球
(2)选择好器材,将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上,应采用图
(选填“甲”或“乙”)所示的固定方式.
(3)将单摆正确悬挂后进行如下操作,其中正确的是 (选填选项前的字母,多选).
A.测出摆线长作为单摆的摆长
B.把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放,使之做简谐运动
C.在摆球经过平衡位置时开始计时
D.用秒表测量单摆完成1次全振动所用时间并作为单摆的周期
(4)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)L及单摆完成n次全振动所用的时间t,则重力加速度g= (用L、n、t表示).
(5)某同学多次改变单摆的摆长L并测得相应的周期T,他根据测量数据画出了如图所示的图像,但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量.你认为横坐标所代表的物理量是 (选填“L2”“L”或“ ”).如果该图线的斜率为k,则重力加速度g的表达式g= (用k表示).
(6)某同学测得的重力加速度数值小于当地的重力加速度的实际值,造成这一情况的原因可能是 (选填选项前的字母,多选).
A.开始摆动时振幅较小
B.开始计时时,过早按下秒表
C.测量周期时,误将摆球29次全振动的时间记为30次全振动的时间
D.在测量完摆长之后悬挂点细线松动
解析 (1)实验过程中摆线不能太短,应选择长约1 m的细线作为摆线,故A正确,B错误;为减小实验误差,应选择密度大而体积小的球作为摆球,故应选择直径为1.8 cm的钢球作为摆球,不选用直径为1.8 cm的塑料球,故C错误,D正确.
(2)在该实验的过程中,悬点要固定,应采用题图乙所示的固定方式.
(3)摆线长度与摆球半径之和是单摆的摆长,故A错误;单摆在小角度下的运动为简谐运动,把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放,使之做简谐运动,故B正确;为减小测量误差,在摆球经过平衡位置时开始计时,故C正确;为减小测量误差,应测出n个周期的总时间t,然后求出周期为T= ,用单摆完成1次全振动所用时间作为单摆的周期实验误差较大,故D错误.
下秒表,周期偏大,则g偏小,即测得的重力加速度数值小于当地的重力加速度的实际值,故B正确;测量周期时,误将摆球29次全振动的时间记为30次全振动的时间,则周期偏小,g偏大,即测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值,故C错误;单摆的悬挂点细线松动,而摆长已测量完毕,则g偏小,即测得的重力加速度数值小于当地的重力加速度的实际值,故D正确.
规律方法用图像法处理实验数据的技巧
用图像法处理数据既直观又方便,同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响.由于T-L图像不是直线,不便于进行数据处理,所以采用T2-L图像,目的是将曲线转换为直线,便于利用直线的斜率计算重力加速度.
变式训练1某同学在一次用单摆测重力加速度的实验中,测量了5种不同摆长与单摆的振动周期的对应情况,并将记录的结果描绘在如图所示的坐标系中.图中各坐标点的标号分别对应实验中5种不同摆长的情况.在处理数据时,该同学实验中的第 数据点应当舍弃.画出该同学记录的T2-l图线.求重力加速度时,他首先求出图线
的斜率k,则用斜率k求重力加速度的表
达式为g= .
解析 将图中各点连线如图所示,可见第4点偏离直线较远,则该点误差较大,所以第4数据点应舍去;
探究二
创新方案的设计
例2某同学在家里测重力加速度.他找到细线和铁锁,制成一个单摆,如图所示.由于家里只有一根量程为30 cm的刻度尺.于是他在细线上的A点做了一个标记,使得悬点O到A点间的细线长度小于刻度尺量程.保持该标记以下的细线长度不变,通过改变O、A间细线长度以改变摆长.实验中,当O、A间细线的长度分别为l1、l2时,测得相应单摆的周期为T1、T2.由此可得重力加速度g= (用l1、l2、T1、T2表示).
规律方法在摆球的重心位置不能确定的情况下,可以通过测量摆长改变量的方法测量重力加速度,由g= 计算.
变式训练2某同学想在家做用单摆测量重力加速度的实验,但没有合适的摆球,他找来一块体积约为3 cm3、外形不规则的金属块代替摆球,用细线将金属块系好并悬挂于O点,金属块与细线结点为M,如图所示.
(1)拉开金属块,由静止释放,从它摆到 (选填
“最高点”或“最低点”)时开始计时,若金属块完成n次全振动,
所用的时间为t,则摆动周期T= .
(2)该同学用OM的长度L作为摆长,多次改变摆长记录多组L、T值.若用公式法计算出各组的重力加速度(操作计算均正确),再取平均值,那么得到的重力加速度与真实值相比 (选填“偏大”或“偏小”).
(3)为此该同学想改用图像法,以T2为纵坐标,L为横坐标,做出T2-L图像.如果其他操作都无误,则他作出的图像可能是图中的 (选填“a”“b”或“c”);然后根据图像的斜率k,就可测出该地的重力加速度g= .
随堂检测
1.在用单摆测量重力加速度的实验中,某实验小组在测量单摆的周期时,从单摆运动到最低点开始计时,且记其第1次经过最低点,到第n次经过最低点所用的时间为t;在测量单摆的摆长时,先用毫米刻度尺测得悬挂摆球后的摆线长为l,再用游标卡尺测得摆球的直径为d,则该单摆的摆长为 ;求重力加速度的表达式g= (用上述物理量的符号表示).
2.(2021北京第十二中学高二月考)一位同学做“用单摆测定重力加速度”的实验.
(1)下列是供学生自主选择的器材,你认为应选用的器材是 .
A.约1 m长的细线
B.约0.3 m长的铜丝
C.约0.8 m长的橡皮筋
D.直径约1 cm的实心木球
E.直径约1 cm的实心钢球
F.直径约1 cm的空心铝球
(2)该同学在安装好如图所示的实验装置后,测得单摆的摆长为L,然后让小球在竖直平面内小角度摆动.当小球某次经过最低点时开始计时,在完成N次全振动时停止计时,测得时间为t.请写出测量当地重力加速度的表达式g= (用以上测量的物理量和已知量的字母表示).
(3)在测量摆长后,测量周期时,摆球振动过程中悬点O处摆线的固定出现松动,摆长略微变长,这将会导致通过计算所得的重力加速度的数值
(选填“偏大”“偏小”或“不变”).
(4)为减小实验误差,该同学又多次改变摆长,测量多组对应的单摆周期,准备利用T2-L的关系图线求出当地重力加速度值.相关测量数据如下表:
次数 1 2 3 4 5
L/m 0.800 0.900 1.000 1.100 1.200
T/s 1.79 1.90 2.01 2.11 2.20
T2/s2 3.20 3.61 4.04 4.45 4.84
该同学在下图中已标出第1、2、3、5次实验数据对应的坐标,请你在该图中用符号“×”标出与第4次实验数据对应的坐标点,并画出T2-L关系图线.
(5)根据绘制出的T2-L关系图线,可求得g的测量值为 m/s2.(计算结果保留2位有效数字)
(6)已知三位同学做出的T2-L图线的示意图如图中的a、b、c、d所示,其中a、b和d平行,b和c都过原点,图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值.则相对于图线b,下列分析正确的是 (选填选项前的字母).
A.出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离
记为摆长L
B.出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次
C.图线c对应的g值小于图线b对应的g值
D.出现图线d的原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L
解析 (1)选质量轻、不可伸长的细线做为摆线,选体积小、质量大的球做为摆球,因此选AE.
(3)悬点处出现松动,摆长变长,因此摆长的测量值偏小,所以测得的重力加速度偏小.
(4)描点,连线,如图所示.
(6)图线a中摆长为零时就已出现了振动周期,一定是摆长测量短了,原因可能是误将悬点到小球上端的距离记为摆长L,A错误;出现图线c时,相同摆长情况下,周期测量值变小,原因可能是误将49次全振动记为50次,B正确;图线c的斜率比图线b小,根据斜率k= 可知图线c对应的g值大于图线b对应的g值,C错误;图线d中有了一定的摆长时,振动周期还是零,一定是摆长测量长了,原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L,D错误.(共38张PPT)
第三节 单摆
第二章
2021
学习目标
1.知道什么是单摆、单摆的构造、单摆回复力的来源.(物理观念)
2.掌握单摆振动的特点,理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动.(科学思维)
3.探究单摆的周期与摆长的关系.(科学探究)
思维导图
课前篇 自主预习
必备知识
一、单摆
1.条件:悬挂物体的绳子的伸缩和质量可以忽略不计,绳长比物体的尺寸
大得多,物体可以看作质点.
2.单摆的摆动近似看成简谐运动的条件:单摆的摆角小于5°.
3.单摆摆球的回复力:摆球的重力沿圆弧切线方向的分力.
想一想摆球经过平衡位置时,合外力是否为零 摆球到达最大位移处时,v=0,加速度是否等于0
提示 单摆摆动中平衡位置不是平衡状态,有向心力和向心加速度,回复力为零,合外力不为零.摆球到达最大位移处时速度等于零,但加速度不等于零.
二、单摆的固有周期
1.影响因素:单摆的简谐运动周期与装置的固有因素有关,和外界条件无关.
2.大小:单摆做简谐运动的周期T跟摆长L的二次方根成正比,跟重力加速度g的二次方根成反比.公式:T= .
想一想由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的,那么是否摆球的质量越大,回复力越大,单摆摆动得越快,周期越小
自我检测
1.正误判断,判断结果为错误的小题请说明原因.
(1)单摆模型中对细线的要求是其伸缩可忽略,质量可忽略.( )
答案 √
(2)摆球受到的回复力是它的合力.( )
答案 ×
解析 单摆的回复力不是它的合力,而是重力沿圆弧切线方向的分力.
(3)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置.( )
答案 ×
解析 总是指向平衡位置.
(4)单摆的周期与摆球的质量无关.( )
答案 √
2.(多选)如图所示是一个单摆(摆角θ<5°),其周期为T,则下列说法正确的是( )
A.把摆球的质量增加一倍,其周期不变
B.此摆由O→B运动的时间为
C.摆球由B→O时,动能向势能转化
D.摆球由O→C时,动能向势能转化
答案 ABD
解析 单摆的周期与摆球的质量无关,A正确;此摆由O→B运动的时间为 ,B正确;摆球由B→O时,势能转化为动能,由O→C时动能转化为势能,C错误,D正确.
课堂篇 探究学习
探究一
单摆及单摆的回复力
情境探究
判断以下摆动模型是不是单摆,为什么
要点提示 模型①不是单摆,因为橡皮筋伸长不可忽略.
模型②不是单摆,因为绳子质量不可忽略.
模型③不是单摆,因为绳长不是远大于球的直径.
模型④不是单摆,因为悬点不固定,因而摆长在发生变化.
模型⑤是单摆.
知识归纳
1.单摆运动特点
(1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动,因此在运动过程中只要速度v≠0,半径方向都有向心力.
(2)摆线以平衡位置为中心做往复运动,因此在运动过程中只要不在平衡位置,轨迹的切线方向都有回复力.
2.摆球的受力
(1)任意位置:如图所示,G2=Gcos θ,F-G2是提供摆球绕O'做变速圆周运动的向心力;G1=Gsin θ是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力.
(2)平衡位置:摆球经过平衡位置时,G2=G,G1=0,此时F应大于G,F-G提供向心力,回复力F回=0.
回复力为零,合力不为零
(3)单摆的简谐运动
实例引导
例1(多选)关于单摆摆球在运动过程中的受力,下列结论正确的是( )
A.摆球受重力、摆线的拉力作用
B.摆球受重力、摆线的拉力、回复力作用
C.摆球的回复力为零时,向心力最大
D.摆球的回复力最大时,摆线中的拉力大小比摆球的重力大
答案 AC
解析 单摆在运动过程中,摆球受重力和摆线的拉力作用,重力沿圆弧切线的分力提供回复力,故A正确,B错误;在平衡位置处,回复力为零,速度最大,向心力F向= 最大,选项C正确;当回复力最大时,摆球在最大位移处,速度为零,向心力为零,则拉力等于重力沿半径方向的分力,即拉力小于重力,选项D错误.
易错提醒对于单摆的两点说明
(1)所谓平衡位置,是指摆球静止时,摆线拉力与小球所受重力平衡的位置,并不是指摆动过程中的受力平衡位置.实际上,在摆动过程中,摆球受力不可能平衡.
(2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsin θ提供的,不可误认为回复力是重力G与摆线拉力的合力.
变式训练1下列有关单摆运动过程中的受力,说法正确的是( )
A.单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力
B.单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力
C.单摆经过平衡位置时合力为零
D.单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力
答案 B
解析 单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力,而不是摆线拉力的分力,也不是重力和摆线拉力的合力,故选项B正确,A、D错误;单摆经过平衡位置时,回复力为零,向心力最大,故其合力不为零,所以选项C错误.
探究二
单摆周期公式的理解及应用
情境探究
假设将一个摆钟(如图所示)带到空间站内,则该摆动的钟摆周期如何变化
要点提示 在空间站内钟摆完全失重,回复力为零,等效值g'=0,钟摆不摆动了.
知识归纳
1.周期公式的成立条件
当单摆做偏角很小的摆动时,才有T=2π ,与单摆的振幅及摆球的质量无关,只与摆长l及单摆所在处的重力加速度g有关.
要点笔记实际的单摆摆球不可能是质点,所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度,即l=l0+ ,l0为摆线长,D为摆球直径.
2.对摆长的理解
对于不规则的摆动物体或复合物体,摆长是指摆动轨迹圆弧的圆心到摆动物体重心的长度.图(a)中,摆球半径为r,甲、乙两摆在垂直纸面方向摆起来效果是相同的,所以甲摆的摆长为lsin α+r.图(b)中,乙在垂直纸面方向小角度摆动时,与甲摆等效;乙在纸面内小角度摆动时,与丙摆等效.
3.重力加速度g的变化
空间位 置不同 由G =g知,g在地球表面不同位置、不同高度是不同的,在不同星球上也不相同,因此应求出单摆所在处的等效值g'代入公式,即g不一定等于9.8 m/s2
系统运 动状态 如单摆处在向上加速发射的火箭内,设加速度为a,此时摆球处于超重状态,沿圆弧切线方向的回复力变大,摆球质量不变,则重力加速度的等效值g'=g+a
受拉力 和重力 以外的力 如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中,回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力,所以也需要求出等效值g'
实例引导
例2如图所示,将摆长为L的单摆放在一升降机中,升降机以加速度a向上匀加速运动,求单摆的摆动周期.
解析 单摆的平衡位置在竖直位置,若摆球相对升降机静止,则摆球受重力mg和绳拉力F,根据牛顿第二定律有F-mg=ma,此时摆球的视重
技巧点拨等效重力加速度等于小球在平衡位置时所受拉力与小球质量的比值.
变式训练2如图所示,三根细线在O点处打结,A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上,使∠AOB=90°,∠BAO=30°,已知OC线长是l,下端C点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动).
让小球在纸面内摆动,周期T= .让小球在垂直纸面内摆动,周期T= .
随堂检测
1.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是( )
A.摆线质量不计
B.摆线长度不伸缩
C.摆球的直径比摆线长度短得多
D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动
答案 ABC
解析 单摆由摆线和摆球组成,摆线只计长度不计质量,摆球只计质量不计大小,且摆线不伸缩,选项A、B、C正确.但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的,只有在摆角很小的情况下才能视单摆的运动为简谐运动,选项D错误.
2.下列关于单摆的说法正确的是( )
A.单摆摆球在正向最大位移处时的位移为A(A为振幅),在平衡位置时的位移为-A
B.单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力
C.单摆摆球的回复力等于摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D.单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
答案 C
解析 简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点,摆球在正向最大位移处时位移为A,在平衡位置时位移应为零,选项A错误;摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供,线的拉力与重力沿摆线方向的分力的合力提供向心力,选项B错误,C正确;摆球经最低点(振动的平衡位置)时回复力为零,但向心力不为零,所以加速度不为零,选项D错误.
3.(多选)(2021山西大同浑源县第七中学高二月考)如图甲所示,挖掘机的顶部垂下一个大铁球并以小角度摆动,可以用来拆卸混凝土建筑,可将其视为单摆模型,对应的振动图像如图乙所示,则下列说法正确的是( )
A.单摆振动的周期是6 s
B.t=2 s时,摆球的速度最大
C.摆球的质量越大,周期越大
D.该单摆的摆长约为16 m
答案 BD
4.(2021辽宁省实验中学东戴河分校高二月考)光滑球面的半径为R,圆弧EF R,且E、F等高,其中F点和圆弧最低点之间由光滑斜面相连,现有三个小球,A球从E点由静止释放沿圆弧下滑,B球从F点由静止释放沿斜面下滑,C球从圆心O点由静止释放,若三个小球同时释放,则下列说法正确的是( )
A.A球最先运动到圆弧最低点
B.B球最先运动到圆弧最低点
C.C球最先运动到圆弧最低点
D.三个小球同时到达圆弧最低点
答案 C(共49张PPT)
第二节 简谐运动的描述
第二章
2021
学习目标
1.了解初相位.(物理观念)
2.能用简谐运动的表达式描述简谐运动.(科学思维)
3.经历对简谐运动运动学特征的探究过程,加深领悟用图像描绘运动的方法.(科学探究)
思维导图
课前篇 自主预习
必备知识
一、简谐运动的函数描述
1.振动曲线:振子振动时位移与时间关系的曲线.
2.简谐运动位移—时间图像的函数表达式为:x= Acos(ωt+φ) ,A为简谐运动的振幅,ω为简谐运动的角频率.
二、简谐运动的图像描述
1.获得信息:从振动曲线可以看出简谐运动的振幅A 和周期T .
2.相位和初相位:位移—时间函数x=Acos(ωt+φ)中的 ωt+φ 叫作相位,t=0时的相位φ叫作初相位,简称初相.
想一想简谐运动的相位差Δφ=φ2-φ1的含义是什么
自我检测
1.正误判断,判断结果为错误的小题请说明原因.
(1)简谐运动的位移表达式与计时时刻物体所在位置无关.( )
答案 ×
解析 计时时刻不同,物体的初相位不同,位移表达式不同.
(2)一个物体运动时相位变化2π,就意味着其完成了一次全振动.( )
答案 √
(3)简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ)中,ωt+φ的单位是弧度.( )
答案 √
(4)简谐运动的图像有可能是直线.( )
答案 ×
解析 简谐运动的图像都是正弦或余弦曲线.
(5)简谐运动的图像是振动物体的运动轨迹.( )
答案 ×
解析 简谐运动的图像是描述振动物体的位移随时间变化的规律,并不是物体的运动轨迹.
2.一个质点在水平方向上做简谐运动的位移随时间变化的关系是x=5sin 5πt cm,则下列判断正确的是( )
A.该简谐运动的周期是0.2 s
B.前1 s内质点运动的路程是100 cm
C.0.4 s到0.5 s内质点的速度在逐渐减小
D.t=0.6 s时质点的动能为0
答案 C
3.(多选)一个质点做简谐运动的图像如图所示,下列说法正确的是( )
A.质点的振动频率为4 Hz
B.在0~10 s内质点经过的路程是20 cm
C.在第5 s末,质点速度为零,加速度最大
D.在t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点位移大小相等
答案 BCD
解析 由题图读出质点振动的周期为T=4 s,则频率为f= =0.25 Hz,A错误;质点在一个周期内通过的路程是4个振幅,则在0~10 s内质点经过的路程是s=20 cm,B正确;在第5 s末,质点位于最大位移处,速度为零,加速度最大,C正确;由题图可以看出,在t=1.5 s和t=4.5 s两时刻质点位移大小相等,D正确.
课堂篇 探究学习
探究一
简谐运动的函数描述
情境探究
有两个简谐运动,它们的函数表达式分别为:x1=3asin(4πbt+ )和x2=9asin(8πbt+ ),则它们的振幅之比是多少 频率各是多少
要点提示 它们的振幅分别为3a和9a,比值为1∶3;频率分别为2b和4b.
知识归纳
做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式为x=Acos(ωt+φ).
1.式中x表示振动质点相对平衡位置的位移,t表示振动的时间.
2.式中(ωt+φ)表示相位,描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态,是描述不同振动的振动步调的物理量.它是一个随时间变化的量,相当于一个角度,相位每增加2π,物体完成一次全振动.
3.式中φ表示t=0时简谐运动质点所处的状态,称为初相位或初相.
4.相位差:即某一时刻两个振动的相位之差.
(1)两个具有相同ω的简谐运动,设其初相位分别为φ1和φ2,其相位差Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1.
(2)①当Δφ=0时,两质点振动步调一致;
②当Δφ=π时,两质点振动步调完全相反;
③当Δφ=φ2-φ1>0但Δφ≠π时,质点2相位比质点1超前Δφ,或质点1的相位比质点2落后Δφ.
实例引导
例1一物体沿x轴做简谐运动,振幅为8 cm,频率为0.5 Hz,在t=0时,位移是4 cm,且向x轴负方向运动,试写出用正弦函数表示的振动方程.
解析 简谐运动的表达式为x=Asin(ωt+φ)
根据题目所给条件得A=8 cm,ω=2πf=π
规律方法用简谐运动表达式解答振动问题的方法
(1)明确表达式中各物理量的意义,可直接读出振幅、圆频率、初相.
(2)ω= =2πf是解题时常涉及的表达式.
变式训练1一位游客在湖边欲乘坐游船,当日风浪较大,游船上下浮动.可把游船浮动简化成竖直方向的简谐运动,振幅为20 cm,周期为3.0 s.当船上升到最高点时,甲板刚好与码头地面平齐.地面与甲板的高度差不超过10 cm时,游客能舒服地登船.在一个周期内,游客能舒服登船的时间是
s.
答案 1.0
探究二
简谐运动的位移—时间图像
情境探究
如图所示,在水平方向固定劲度系数较小的弹簧振子,在弹簧振子上安装一支绘图笔,使其在纸带上记录下振子的运动情况,在与振子振动方向垂直的方向上安装可运动的木板,并在木板上贴上白纸,先让振子静止,记录振动的平衡位置O.然后让振子振动起来,木板不动,观察记录振子运动情况;再匀速拉动木板,观察记录结果.
要点提示 (1)木板不动时,记录振子运动的轨迹是一条直线.
(2)匀速拉动木板时,振子的空间位移就能均匀地反映在木板上,从而得到振子的位移—时间图像,其形状是正弦(或余弦)曲线.
知识归纳
1.建立坐标系:如图甲所示,以小球的平衡位置为坐标原点,规定小球在平衡位置右侧时的位移为正,在左侧时的位移为负.
2.绘制图像:(1)用频闪仪来显示小球在不同时刻的位置,由于拍摄时底片垂直于小球匀速移动,会在底片上留下小球和弹簧的一系列的像,得到如图乙所示图像.
(2)若用横轴表示振子运动的时间t,纵轴表示振子在振动过程中离开平衡位置的位移x,则振子
振动的x-t图像如图所示,是一条正弦(或余弦)曲线.
不是运动轨迹
名师点睛振动位移的方向以平衡位置为参考点,在x-t图像中,某时刻质点位置在t轴上方,表示位移为正(如图中t1、t3时刻),位置在t轴下方,表示位移为负(如图中t2时刻).
实例引导
例2如图所示为一质点的简谐运动图像.由图可知,下列说法正确的是( )
A.质点的运动轨迹为正弦曲线
B.t=0时,质点正通过平衡位置向正方向运动
C.t=0.25 s时,质点的速度方向与位移的正方向相反
D.质点运动过程中,两端点间的距离为0.1 m
答案 D
解析 质点做简谐振动时,运动轨迹是一条直线,离开平衡位置的位移与时间的图像才是正弦曲线(余弦曲线),A错误;由图像可知,t=0时,质点正通过正向最大位移处向负方向运动,B错误;由图像可知,t=0.25 s时,质点的速度方向沿x轴正方向,与位移的正方向相同,C错误;质点运动过程中,两端点间的距离为d=0.05 m+0.05 m=0.1 m,D正确.
易错提醒(1)在x-t图像上,质点在某时刻的位移,即为此时刻对应的纵坐标.
(2)质点在某段时间内的路程(轨迹的长度),需结合振动质点的实际运动轨迹进行计算.
变式训练2如图所示,一个劲度系数为k的轻弹簧下端固定在挡板上,上端与物块A连接在一起,物块B紧挨着物块A静止在斜面上.某时刻将B迅速移开,A将在斜面上做简谐运动,已知物块A、B的质量分别为mA、mB,若取沿斜面向上为正方向,移开B的时刻为计时起点,则A的振动位移随时间变化的图像是( )
答案 B
探究三
简谐运动的周期性和对称性
情境探究
如图所示,物体在A、B两点之间做简谐运动,O点为平衡位置,C、D两点关于O点对称,周期为T.
(1)物体经过C、D两点时的位移有什么特点
(2)物体经过C、D两点时的速度、加速度有什么特点
(3)物体由C点开始,再过T、2T时间,物体的位置、速度有何变化
要点提示 (1)经过C、D两点时的位移大小相等、方向相反.
(2)经过C、D两点时速度大小相等,加速度大小相等、方向相反.
(3)回到C点,速度不变.
知识归纳
1.做简谐运动的物体运动过程中的对称性
(1)瞬时量的对称性:各物理量关于平衡位置对称.以水平弹簧振子为例,振子通过关于平衡位置对称的两点,位移、速度、加速度大小相等,动能、势能、机械能相等.
(2)过程量的对称性:振动质点来回通过相同的两点间的时间相等,如tBC=tCB;质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间相等,如tBC=tB'C',如图所示.
2.做简谐运动的物体运动过程中的周期性
简谐运动是一种周而复始的周期性的运动,按其周期性可做如下判断:
(1)若t2-t1=nT,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况相同.
所有物理量大小和方向
(2)若t2-t1=nT+ T,则t1、t2两时刻,描述运动的物理量(x,F,a,v)均大小相等,方向相反.
动能、势能也相等
实例引导
例3(2021山东潍坊高二月考)如图所示,一个轻质弹簧一端悬于电梯上,另一端挂着用轻绳连接在一起的两物体A和B,弹簧劲度系数为k,mA=mB=m,电梯以加速度a向上加速运动,突然电梯停止,在电梯停止瞬间轻绳断裂,之后物体A做简谐运动,运动过程中弹簧未超过弹性限度,已知从绳子断裂到物体首次运动到最高点所用时间是t0.
(1)从绳子断裂到物体运动到最高点过程中,弹簧长度改变了多少
(2)取物体A做简谐运动的平衡位置为坐标原点,向下为正方向,建立x坐标轴,从绳子断裂开始计时,写出物体A做简谐运动位移与时间的函数表达式.
解析 (1)绳子未断开时,对物体A和物体B整体分析F1-2mg=2ma
得F1=2mg+2ma
绳子断开瞬间物体A在最低点,对物体A分析F合1=F1-mg=mg+2ma
物体A运动到最高点时,对物体A分析F合2=mg+F2
根据简谐运动回复力对称性F合2=F合1
规律方法应用简谐运动的对称性、周期性特征求解问题:首先要确定对称点,认识到在对称点时速度大小相等、加速度大小相等、回复力大小相等,最后根据题目要求来确定所要求的物理量;同时要注意物体做简谐运动的周期性,避免漏解.
变式训练3(多选)一质点在平衡位置O附近做简谐运动,从它经过平衡位置向右运动开始计时,经0.13 s质点第一次通过M点,再经0.1 s第二次通过M点,则质点振动周期的可能值为( )
A.0.72 s B.0.24 s C.0.36 s D.0.12 s
答案 AB
解析 质点的振动周期共存在两种可能性,设质点在AA'范围内运动.如图甲所示,由O→M→A历时0.13 s+0.05 s=0.18 s,则周期为T1=4×0.18 s=0.72 s;如图乙所示,由O→A→M历时t1=0.13 s,由M→A'→M历时t2=0.1 s,设由O→M或由M→O历时为t,则0.13 s-t=2t+0.1 s,解得t=0.01 s,所以周期为T2=t1+t2+t=(0.13+0.1+0.01) s=0.24 s,故A、B正确.
随堂检测
1.(2021浙江高二月考)如图所示,一个弹簧振子沿x轴做简谐运动,其平衡位置在x轴坐标原点O处.从某时刻开始计时,经过四分之一的周期,振子具有沿x轴正方向的最大速度,图中能正确反映该弹簧振子的位移x与时间t关系的图像是( )
答案 B
解析 振子具有沿x轴正方向的最大速度,一定运动到平衡位置,向x轴正方向运动,因此在0时刻,该振子一定位于负的最大位移处,故选B.
2.(多选)如图所示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像,下列有关该图像的说法正确的是( )
A.该图像的坐标原点建在弹簧振子小球的平衡位置
B.从图像可以看出小球在振动过程中是沿t轴方向移动的
C.为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移,让底片沿垂直于x轴的方向匀速运动
D.图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
答案 ACD
解析 从图像中能看出坐标原点在平衡位置,选项A正确;横轴是由底片沿垂直于x轴的方向匀速运动得到的时间轴,小球只在x轴上振动,选项B错误,选项C正确;图像中相邻小球之间时间相同,密处说明位置变化慢,选项D正确.
3.一质点沿水平方向的振动方程为x=10sin(5πt+π) cm,取水平向右为位移的正方向,则在t=0.25 s时下列说法正确的是( )
A.质点在平衡位置的右方,水平向左运动
B.质点在平衡位置的右方,水平向右运动
C.质点在平衡位置的左方,水平向右运动
D.质点在平衡位置的左方,水平向左运动
答案 B
4.如图所示,一质点在A、B之间做简谐运动,O为平衡位置,E、F点为AO和OB之间关于O点的对称点(EO和OF的距离相等).质点从E点向右运动,经过时间t1第一次经过O点,再经过时间t2第二次经过F点,下列说法正确的是( )
A.质点经过E点和F点的速度一定相同
B.质点经过E点和F点的加速度大小一定相等
C.质点经过E点和F点所受的力一定相同
D.质点的振动周期为t1+t2
答案 B
解析 根据简谐运动的对称性可知,质点经过E点和F点的速度大小一定相等,但方向可能相反,A错误;由EO和OF的距离相等,根据质点简谐运动的回复力公式F=-kx可知,质点经过E点和F点所受的回复力大小一定相等,方向都是指向O点,由牛顿第二定律可知,质点经过E点和F点的加速度大小一定相等,方向相反,B正确,C错误;质点从E点向右运动,经过时间t1第一次经过O点,再经过时间t2第二次经过F点,所以t1+t2= ,D错误.(共23张PPT)
本章整合
第二章
2021
知识网络体系构建
本章知识可分为三部分:第一是简谐运动,主要是简谐运动的特征和基本物理量的描述;第二是两个理想化模型,即弹簧振子和单摆;第三是外力作用下的振动,包括阻尼振动和受迫振动.
1.思考关于简谐运动的受力和运动特征及其相关物理量的内容,填写下图.
提示 ①F=-kx ②a=- (变加速运动) ③x=Acos(ωt+φ) ④正弦(或余弦) ⑤描述振动物体的位移随时间变化的规律 ⑥振幅A、周期T、各时刻位移x ⑦动能与势能之和不变
2.思考关于弹簧振子和单摆两个理想化模型的内容,填写下图.
3.思考阻尼振动和受迫振动的相关内容,填写下图.
提示 ①不断减小 ②其他形式能 ③周期性驱动力 ④等于驱动力的频率 ⑤f固
重点题型归纳整合
一、简谐运动与图像问题的综合
例1一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点,第一次把振子拉离平衡位置5 cm,从平衡位置向右开始计时时,振动图像如图所示,第二次把振子拉离平衡位置2 cm,也从振子从平衡位置向右开始计时,求第二次振子振动时:
(1)位移为-1 cm的时刻;
(2)发生2 cm位移的最大平均速度大小.
解析 (1)从第一次振动可以看出弹簧振子的周期为T=4 s,弹簧振子的振动周期与振幅无关,故第二次振动周期也为T=4 s,第二次弹簧振子的振动方
规律方法简谐运动的图像描述了振动质点的位移随时间变化的规律.从图像中可以确定位移、速度、加速度、动能和势能等物理量以及它们的变化规律,具体分析如下:
项目 内容 说明
横、纵轴表 示的物理量 横轴表示时间,纵轴表示质点的位移 ①振动的图像不是振动质点的运动轨迹
②计时起点一旦确定,已经形成的图像形状不变,以后的图像随时间向后延伸
③简谐运动图像的具体形状跟正方向的规定有关
意义 表示振动质点的位移随时间变化的规律
形状
项目 内容
应用 ①直接从图像上读出周期和振幅
②确定任一时刻质点相对平衡位置的位移
③判断任意时刻振动质点的速度方向和加速度方向
④判断某段时间内振动质点的位移、速度、加速度、动能及势能大小的变化情况
变式训练1(2021湖北武汉高二期末)某质点的振动图像如图所示,下列说法正确的是( )
A.1 s和3 s时刻,质点的速度相同
B.1 s到2 s时间内,速度与加速度方向相同
C.简谐运动的表达式为y=2sin(1.5πt+0.5π) cm
D.简谐运动的表达式为y=2sin(0.5πt+0.5π) cm
答案 D
解析 y-t图像上某点的切线的斜率表示速度,1 s和3 s时刻,质点的速度大小相等,方向相反,故A错误;1 s到2 s时间内,质点做减速运动,故加速度与速度反向,B错误;振幅为2 cm,周期为4 s,角速度为ω= =0.5π rad/s,故简谐运动的表达式为y=Asin(ωt+φ)=2sin(0.5πt+0.5π) cm,C错误,D正确.
二、简谐运动的周期性和对称性
例2一个质点在平衡位置O点的附近做简谐运动,它离开O点后经过3 s时间第一次经过M点,再经过2 s第二次经过M点,该质点再经过 s第三次经过M点.若该质点由O点出发在20 s内经过的路程是20 cm,则质点振动的振幅为 cm.
规律方法1.周期性
做简谐运动的物体经过一个周期或几个周期后,能回复到原来的状态.
2.对称性
(1)速率的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具有相等的速率.
(2)加速度和回复力的对称性:系统在关于平衡位置对称的两位置具有等大反向的加速度和回复力.
(3)时间的对称性:系统通过关于平衡位置对称的两段位移的时间相等.振动过程中通过任意两点A、B的时间与逆向通过此两点的时间相等.
变式训练2弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,在t=0时刻,振子从O、B间的P点以速度v向B点运动;在t=0.30 s时刻,振子速度第一次变为-v;在t=0.60 s时刻,振子速度第二次变为-v.
(1)求弹簧振子的振动周期T.
(2)若B、C之间的距离为20 cm,求振子在4.80 s内通过的路程.
(3)若B、C之间的距离为20 cm,从P点以速度v向B点运动开始计时,写出弹簧振子简谐运动的方程.
答案 (1)1.2 s (2)160 cm
解析 (1)弹簧振子的振动周期T=(0.15+0.15)×4 s=1.2 s.
(2)振子的振幅A= ×20 cm=10 cm
振子4.80 s内通过的路程s=4×4A=4×4×10 cm=160 cm.
