2021-2022学年安徽省宣城六中九年级（上）期中数学试卷（Word版含解析）

2021-2022学年安徽省宣城六中九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）（每小题都给出了A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的）
1．若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是关于x的二次函数，则（　　）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1
2．关于二次函数y＝2x2﹣8x，下列结论中正确的是（　　）
A．图象与x轴有两个交点
B．当x＝2时，y有最大值﹣8
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．函数图象开口向下
3．若二次函数y＝kx2﹣4x﹣2与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k＜2 D．k≥﹣2且k≠0
4．对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二、四象限；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③图象经过点（1，﹣2）；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
5．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　）
A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP BA
C． D．
6．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　）
A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
8．将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣5（x+1）2+3 D．y＝﹣5（x﹣1）2+3
9．已知反比例函数y＝的图象经过点（1，1），则k的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知，则的值为 　 　．
12．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为　 　．
13．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长　 　．
14．如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，分别以AE、AF为对称轴，折叠△ABE、△ADF，使得AB和AD与AG重合，连接BG交AE于点H，连接CG．
（1）HE：AH＝　 　；
（2）S△AFE：S正方形ABCD＝　 　．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．若二次函数的图象的对称轴方程是x＝，并且图象过A（0，﹣4）和B（4，0）
（1）求此二次函数图象上点A关于对称轴x＝对称的点A′的坐标；
（2）求此二次函数的解析式．
16．如图，矩形OABC的两个顶点A，C分别在y轴和x轴上，边AB和BC与反比例函数y1＝（x＞0）和y2＝（k＞0，x＞0）图象交于E，F和点H，G．AE：AF＝2：3．
（1）求反比例函数y2的解析式；
（2）若点C的坐标为（8，0），求GH的长．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
18．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．求证：△ABD∽△DCE．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知：△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG，点D、G分别在AC、BC上，E、F在AB上；
（1）若AC＝3，BC＝4，求DG的长；
（2）如图2，四边形HPEQ、MNRF为正方形，设正方形HPEQ、MFRN、DEFG的边长分别为a、b、c，求证：a+b＝c．
20．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天） 1≤x＜50 50≤x≤90
售价（元/件） x+40 90
每天销量（件） 200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
六、（本题满分12分）
21．抛物线y＝mx2﹣4m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．求：
（1）A，B两点的坐标；
（2）抛物线的解析式．
七、（本题满分12分）
22．如图1，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是线段AC，BC，AD的中点，BF，ED的延长线交于点G．
（1）求证：AB＝GD；
（2）如图2，连接GC，当CG＝EG时，求的值．
八、（本题满分14分）
23．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥
CD，垂足分别为E，F，连接EM．
①试证明：BF＝CE；
②图中线段AE、CE与ME三者之间有何关系？并说明理由；
③求证：CF DM＝BM DE．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）（每小题都给出了A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的）
1．若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是关于x的二次函数，则（　　）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1
【分析】利用二次函数定义进行解答即可．
解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：A．
2．关于二次函数y＝2x2﹣8x，下列结论中正确的是（　　）
A．图象与x轴有两个交点
B．当x＝2时，y有最大值﹣8
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．函数图象开口向下
【分析】根据函数解析式和二次函数的性质逐个判断即可．
解：∵二次函数y＝2x2﹣8x＝2（x﹣2）2﹣8，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣8），当x＝2时，y有最小值﹣8，
∴当x＞2时，y随x的增大而增大，
故B、C、D结论不正确，
∵y＝2x2﹣8x＝2x（x﹣4），
∴二次函数y＝2x2﹣8x与x轴的交点为（0，0），（4，0），
故A正确；
故选：A．
3．若二次函数y＝kx2﹣4x﹣2与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣2 B．k＞﹣2且k≠0 C．k＜2 D．k≥﹣2且k≠0
【分析】由抛物线与x轴有两个不同的交点可得出一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的解，由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
解：令y＝0，则kx2﹣4x﹣2＝0，
∵二次函数y＝kx2﹣4x﹣2的图象与x轴有两个不同的交点，
∴一元二次方程kx2﹣4x﹣2＝0有两个不相等的解，
∴，
解得：k＞﹣2且k≠0．
故选：B．
4．对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二、四象限；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③图象经过点（1，﹣2）；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确．
解：∵于反比例函数，
∴该函数的图象分布在第二、四象限，故①正确；
当x＞0时，y随x的增大而增大，故②正确；
当x＝1时，y＝﹣2，故③正确；
若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则点A和点B都在第二象限或都在第四象限时y1＜y2，点A在第二象限，点B在第四象限时y1＞y2，故④错误；
故选：A．
5．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　）
A．AB2＝AP2+BP2 B．BP2＝AP BA
C． D．
【分析】由黄金分割的定义得AP2＝BP BA，＝＝，即可求解．
解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP2＝BP BA，＝＝，故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
6．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，点G，H分别是AC的三等分点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意可证EG∥BC，HF∥AD，根据比例式即可求解．
解：∵BE＝2AE，DF＝2FC，
∴，
∵G、H分别是AC的三等分点，
∴，，
∴，
∴EG∥BC
∴，
同理可得HF∥AD，，
∴，
故选：A．
7．如图，点P是△ABC的边AC上一点，连接BP，以下条件中，不能判定△ABP∽△ACB的是（　　）
A．＝ B．＝ C．∠ABP＝∠C D．∠APB＝∠ABC
【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可．
解：A、∵∠A＝∠A，＝，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
B、根据＝和∠A＝∠A不能判断△ABP∽△ACB，故本选项正确；
C、∵∠A＝∠A，∠ABP＝∠C，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
D、∵∠A＝∠A，∠APB＝∠ABC，
∴△ABP∽△ACB，故本选项错误；
故选：B．
8．将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y＝﹣5（x+1）2﹣1 B．y＝﹣5（x﹣1）2﹣1
C．y＝﹣5（x+1）2+3 D．y＝﹣5（x﹣1）2+3
【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．
解：将抛物线y＝﹣5x2+1向左平移1个单位长度，得到y＝﹣5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，
所得到的抛物线为：y＝﹣5（x+1）2﹣1．
故选：A．
9．已知反比例函数y＝的图象经过点（1，1），则k的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】把点的坐标代入函数解析式得出方程，求出方程的解即可．
解：∵反比例函数y＝的图象经过点（1，1），
∴代入得：2k﹣3＝1×1，
解得：k＝2，
故选：D．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝1，可得b＝﹣2a，
由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，
即8a+c＜0，故③正确；
由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；
∴结论正确的是②③④3个，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知，则的值为 　1　．
【分析】设＝k，根据比例的性质得出a＝2k，b＝3k，c＝5k，再代入求出答案即可．
解：设＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝5k，
所以＝＝1，
故答案为：1．
12．如图，直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则△ABC面积的最小值为　6　．
【分析】方法一：根据双曲线y＝过A，B两点，可设A（a，），B（b，），则C（a，）．将y＝x+m代入y＝，整理得x2+mx﹣3＝0，由于直线y＝x+m与双曲线y＝相交于A，B两点，所以a、b是方程x2+mx﹣3＝0的两个根，根据根与系数的关系得出a+b＝﹣m，ab＝﹣3，那么（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝m2+12．再根据三角形的面积公式得出S△ABC＝AC BC＝m2+6，利用二次函数的性质即可求出当m＝0时，△ABC的面积有最小值6．
方法二：先根据△ABC为等腰直角三角形，得出S△ABC＝AC BC＝AB2，AB最小时，面积最小，即m＝0时面积最小，联立方程，得出A，B的坐标，即可求得AB的长，进而得出三角形面积的最小值．
解：方法一：
设A（a，），B（b，），则C（a，）．
将y＝x+m代入y＝，得x+m＝，
整理，得x2+mx﹣3＝0，
则a+b＝﹣m，ab＝﹣3，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝m2+12．
∵S△ABC＝AC BC
＝（﹣）（a﹣b）
＝ （a﹣b）
＝（a﹣b）2
＝（m2+12）
＝m2+6，
∴当m＝0时，△ABC的面积有最小值6．
故答案为6．
方法二：
因为y＝x+m斜率为1，且BC∥x轴，AC∥y轴
∴∠ABC＝∠BAC＝45°
∴△ABC为等腰直角三角形
∴AC＝BC＝AB
∴S△ABC＝AC BC＝AB2
当AB最小时，m＝0，直线为y＝x
联立方程，解得或
∴A（，），B（﹣，﹣）
AB＝×2＝2
∴S△ABC最小＝×4×6＝6
故答案为6．
13．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长　　．
【分析】证出∠ACD＝∠DCB＝∠B，证明△ACD∽△ABC，得出＝，即可得出结果．
解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，
∴CD＝BD＝3，
∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AD×AB＝2×5＝10，
∴AC＝．
故答案为：．
14．如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，分别以AE、AF为对称轴，折叠△ABE、△ADF，使得AB和AD与AG重合，连接BG交AE于点H，连接CG．
（1）HE：AH＝　1：4　；
（2）S△AFE：S正方形ABCD＝　5：12　．
【分析】（1）根据翻折的性质得到∠GHE＝∠BHE＝90°，再根据∠HEB＝∠BEA，从而证明△HEB∽△BEA，得出，设正方形边长为2x，则BE＝x，AB＝2x，由勾股定理求出AE，从而求出HE和AH，得出结论；
（2）由S△AFE＝（S正方形ABCD﹣S△FCE），正方形ABCD的边长为2，FG＝DF＝x，则EF＝1+x，CF＝2﹣x，由勾股定理求出x即可．
解：（1）∵AE为对称轴，
∴△AEG≌△AEB，BG⊥AE，
∴∠GHE＝∠BHE＝90°，
又∵∠HEB＝∠BEA，
∴△HEB∽△BEA，
∴＝，
在正方形ABCD中，设边长为2x，
则BE＝x，AB＝2x，
∴AE＝＝＝x，
∴HE＝＝＝x，
∴AH＝AE﹣HE＝x﹣x＝x，
∴HE：AH＝x：x＝1：4．
故答案为：1：4；
（2）设正方形ABCD的边长为2，则S正方形ABCD＝4，
∵S△AFE＝（S正方形ABCD﹣S△FCE），CE＝BE＝GE＝1，
设FG＝DF＝x，
则EF＝1+x，CF＝2﹣x，
在△EFC中，
∵EF2＝CE2+CF2，
∴（1+x）2＝（2﹣x）2+1，
解得：x＝，
∴CE＝2﹣x＝，
∴S△CFE＝×CE×CF＝××1＝，
∴S△AFE＝×（4﹣）＝，
∴S△AFE：S正方形ABCD＝：4＝5：12．
故答案为：5：12．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．若二次函数的图象的对称轴方程是x＝，并且图象过A（0，﹣4）和B（4，0）
（1）求此二次函数图象上点A关于对称轴x＝对称的点A′的坐标；
（2）求此二次函数的解析式．
【分析】（1）直接利用对称性求解即可；
（2）利用待定系数法把A（0，﹣4）和B（4，0），即对称轴x＝代入解析式，解三元一次方程组可得y＝x2﹣3x﹣4．
解：（1）A′（3，﹣4）；
（2）设此二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题意，得，
解得．
∴y＝x2﹣3x﹣4．
16．如图，矩形OABC的两个顶点A，C分别在y轴和x轴上，边AB和BC与反比例函数y1＝（x＞0）和y2＝（k＞0，x＞0）图象交于E，F和点H，G．AE：AF＝2：3．
（1）求反比例函数y2的解析式；
（2）若点C的坐标为（8，0），求GH的长．
【分析】（1）设E（a，b），根据已知条件求得F（a，b），分别代入解析式得出ab＝4，a b＝k，从而求得k＝6，D得出反比例函数y2的解析式；
（2）把x＝8分别代入y1＝和y2＝，即可求得CG、CH的值，然后根据GH＝CG﹣CH即可求得．
解：（1）设E（a，b），
∴AE＝a，
∵AE：AF＝2：3．
∴AF＝a，
∴F（a，b），
∵E是反比例函数y1＝（x＞0）上的点，
∴ab＝4，
∵F是反比例函数（k＞0，x＞0）图象上的点，
∴a b＝k，
∴k＝×4＝6，
∴反比例函数y2的解析式为y2＝．
（2）把x＝8分别代入y1＝和y2＝得，y1＝和y2＝，
∴CH＝，CG＝，
∴GH＝CG﹣CH＝．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
【分析】（1）先把抛物线解析式化为一般式，再计算△的值，得到△＝1＞0，于是根据Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数即可判断不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）①根据对称轴方程得到＝﹣＝，然后解出m的值即可得到抛物线解析式；
②根据抛物线的平移规律，设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，再利用抛物线与x轴的只有一个交点得到△＝52﹣4（6+k）＝0，
然后解关于k的方程即可．
【解答】（1）证明：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，
∵△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）解：①∵x＝﹣＝，
∴m＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，
∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，
∴△＝52﹣4（6+k）＝0，
∴k＝，
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
18．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．求证：△ABD∽△DCE．
【分析】先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠B＝∠C＝45°，再利用三角形内角和得到∠1+∠2＝135°，利用平角定义得到∠2++∠3＝135°，则∠1＝∠3，于是可根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论．
【解答】证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠2+∠3＝135°，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．已知：△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG，点D、G分别在AC、BC上，E、F在AB上；
（1）若AC＝3，BC＝4，求DG的长；
（2）如图2，四边形HPEQ、MNRF为正方形，设正方形HPEQ、MFRN、DEFG的边长分别为a、b、c，求证：a+b＝c．
【分析】（1）过C作CM⊥BA于M，交DG于N，由勾股定理求出AB的长，再由三角形面积计算公式即可求出CM的长，由DG＝GF＝EF＝DE＝MN，DG∥BA，得△CDG∽△CAB，再根据相似三角形的性质列出比例式即可求解；
（2）利用两个角相等，可证明△NMG∽△DQH，得，代入即可得出a，b，c的关系．
【解答】（1）解：过C作CM⊥BA于M，交DG于N，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CB＝4，AC＝3，
∴BA＝＝5，
由三角形面积公式得：AC×BC＝AB×CM，
∵CB＝4，AC＝3，BA＝5，
∴CM＝2.4，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG＝GF＝EF＝DE＝MN，DG∥BA，
∴△CDG∽△CAB，
∴＝，
∴，
∴DG＝；
（2）证明：∵∠MGN+∠CGD＝90°，∠CDG+∠CGD＝90°，
∴∠MGN＝∠CDG，
同理，∠DHQ＝∠CDG，
∴∠MGN＝∠DHQ，
∵∠NMG＝∠DQH，
∴△NMG∽△DQH，
∴，即，
∴ab＝c2﹣ac﹣bc+ab，
∴0＝c2﹣ac﹣bc，
即c2＝ac+bc，
∵c＞0，
∴a+b＝c．
20．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：
时间x（天） 1≤x＜50 50≤x≤90
售价（元/件） x+40 90
每天销量（件） 200﹣2x
已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？
【分析】（1）分成1≤x＜50和50≤x≤90两种情况进行讨论，利用：利润＝每件的利润×销售的件数，即可求得函数的解析式；
（2）结合（1）得到的两个解析式，结合二次函数与一次函数的性质分别求得最值，然后两种情况下取最大的即可．
解：（1）当1≤x＜50时，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30）＝﹣2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y＝（200﹣2x）（90﹣30）＝﹣120x+12000，
综上所述：y＝；
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为直线x＝45，
当x＝45时，y最大＝﹣2×452+180×45+2000＝6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x＝50时，y最大＝6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
六、（本题满分12分）
21．抛物线y＝mx2﹣4m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．求：
（1）A，B两点的坐标；
（2）抛物线的解析式．
【分析】（1）通过解方程mx2﹣4m＝0可得A、B点的坐标；
（2）先利用OA＝2得到OC＝4，所以|﹣4m|＝4，然后求出满足条件的m的值，从而得到抛物线解析式．
解：（1）当y＝0时，mx2﹣4m＝0，即x2﹣4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（2，0）；
（2）当x＝0时，y＝mx2﹣4m＝﹣4m，
∴C（0，﹣4m），
∵OA＝2，
∴OC＝2OA＝4，
∴|﹣4m|＝4，解得m＝1或m＝﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4．
七、（本题满分12分）
22．如图1，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是线段AC，BC，AD的中点，BF，ED的延长线交于点G．
（1）求证：AB＝GD；
（2）如图2，连接GC，当CG＝EG时，求的值．
【分析】（1）由题意可知DE是△ABC的中位线，从而可知EG∥AB，又点F为线段AD的中点，所以AF＝DF，然后证明△ABF≌△DGF（ASA），由全等三角形的性质即可得出AB＝GD．
（2）由条件可知DE＝AB，EG＝AB，然后利用DE∥AB，证明△GEC∽△CBA，从而求出的值．
【解答】（1）证明：∵点D，E，F分别是线段AC，BC，AD的中点，
∴DE为△ABC的中位线，AF＝DF，
∴ED∥AB，
∴∠A＝∠GDF，
在△ABF和△DGF中，
∴△ABF≌△DGF（ASA），
∴AB＝GD；
（2）解：∵D、E为AC、BC中点，
∴AC＝2DC，BC＝2CE，
∵AC＝BC，
∴AC＝2CE，∠A＝∠ABC，
∵EG∥AB，
∴∠GEC＝∠ABC＝∠EDC＝∠A，
∵GE＝GC，
∴∠GCE＝∠GEC＝∠EDC＝∠A，
∴△CDE∽△GCE，
∴，
∴EC2＝ED GE，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝AB，
∴GE＝DE+GD＝AB，
∴CE＝＝＝AB，
∵AC＝2CE，
∴AC＝2CE＝2×AB，
∴．
八、（本题满分14分）
23．如图，在Rt△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，点D在BM上，AE⊥CD，BF⊥
CD，垂足分别为E，F，连接EM．
①试证明：BF＝CE；
②图中线段AE、CE与ME三者之间有何关系？并说明理由；
③求证：CF DM＝BM DE．
【分析】①证明△BCF≌△CAE，根据等腰三角形的性质即可得到BF＝CE；
②连接FM，CM，证明△BFM≌△CEM，从而判断△EMF为等腰直角三角形，得到EF＝EM，即可得出AE﹣CE＝ME；
③证明△CDM∽ADE，得到对应边成比例，结合BM＝CM，AE＝CF即可得出结论．
【解答】①证明：∵△ABC是直角三角形，
∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠ACE＝90°，
∵∠BCF+∠CBF＝90°，
∴∠ACE＝∠CBF，
又∵∠BFD＝90°＝∠AEC，AC＝BC，
∴△BCF≌△CAE（AAS），
∴BF＝CE；
②解：AE﹣CE＝ME，
理由：由①得：△BCF≌△CAE，
∴AE＝CF，BF＝CE，
∴AE﹣CE＝CF﹣CE＝EF，
连接FM，CM，
∵点M是AB中点，
∴CM＝AB＝BM＝AM，CM⊥AB，
在△BDF和△CDM中，∠BFD＝∠CMD，∠BDF＝∠CDM，
∴∠DBF＝∠DCM，
又BM＝CM，BF＝CE，
∴△BFM≌△CEM（SAS），
∴FM＝EM，∠BMF＝∠CME，
∵∠BMC＝90°，
∴∠EMF＝90°，即△EMF为等腰直角三角形，
∴EF＝EM，
∵AE﹣CE＝EF，
∴AE﹣CE＝EM；
③证明：连接CM，
∵∠CDM＝∠ADE，∠CMD＝∠AED＝90°，
∴△CDM∽△ADE，
∴，
∵BM＝CM，AE＝CF，
∴，
∴CF DM＝BM DE．