2021-2022学年北师大版九年级数学下册1.4解直角三角形 同步达标测评（Word版含答案）

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步达标测评（附答案）
选择题（共10小题，满分30分）
1．如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（　　）
A． B． C． D．2
2．如图，在给出网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则cos∠OAB＝（　　）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，若∠BPC＝∠BAC，则cos∠BPC＝（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，AB＝10，cos∠ABC＝，D为BC边上一点，且AD＝AC，若DC＝4，则BD的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，cosA＝，则BD的长度为（　　）
A． B． C． D．4
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝，则CD的值为（　　）
A． B． C． D．2
9．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD＝（　　）
A． B．3 C． D．2
10．如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，AC⊥BC，AB⊥AD，CA＝CD．若tan∠BAC＝．则tan∠DBC的值是（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则△ABC的面积是　 　．
12．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝8，CD＝5，则tan∠ACD＝　 　．
13．如图所示，AD是△ABC的中线，AD＝7，AB﹣AC＝2，tan∠BAD＝，则△ABC的面积为　 　．
14．如图，在4×4的正方形网格（每个小正方形的边长都是1）中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则sin∠ACB＝　 　．
15．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D为直线AB上的一点，若AD＝2，则tan∠BDC的值为　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D，使AD＝AB，则tan75°的值是　 　．
17．如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE＝，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，线段AE与线段CD相交于点F，且AE＝AB，连接DE，∠E＝∠C，若AD＝3DE，则cosE的值为 　 　．
三．解答题（共6小题，满分58分）
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，a﹣b＝2﹣2，解这个直角三角形．
20．在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素：
（1）已知c＝20，∠A＝60°；
（2）已知a＝，b＝．
21．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD是BC边上的中线，过点D作DE⊥AB于点E，DB＝3．
（1）求BE的长；
（2）若sin∠DAB＝，求△CAD的面积．
22．如图，在△ABC中，AD是中线，∠ABC＝30°，∠ADC＝45°．
（1）求的值；
（2）求∠ACB的度数．
23．已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C＝60°，AB＝1，BC＝3+，CD＝2
（1）求∠ABD的值；
（2）求AD的长．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC＝，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求AD的长；
（2）求∠EBC的正切值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：如图，作AH⊥x轴于H．
∵A（2，1），
∴OH＝2，AH＝1，
∴OA＝＝＝，
∴cosα＝＝＝，
故选：C．
2．解：过点O作OE⊥AB于E．
∵OA＝＝2，
∴cos∠OAB＝＝＝，
故选：C．
3．解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC，
∵∠BPC＝∠BAC，
∴∠BPC＝∠BAE．
在Rt△BAE中，由勾股定理得
AE＝＝＝3，
∴cos∠BPC＝cos∠BAE＝＝．
故选：C．
4．解：过点A作AE⊥BC,垂足为E．
∵AD＝AC,AE⊥BC,
∴DE＝CE＝DC＝2．
在Rt△ABE中，
∵AB＝10，cos∠ABC＝，
又∵cos∠ABC＝,
∴BE＝6．
∴BD＝BE﹣DE＝6﹣2＝4．
故选：C．
5．解：∵∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，
∴AB＝，
∴，
∵∠DBC＝∠A．
∴cos∠DBC＝cos∠A＝，
∴，
故选：C．
6．解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴＝＝，
∵AB＝2BD，
∴＝＝＝，
在Rt△CDM中，
由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，
又∵＝＝，
∴BC＝2k，AC＝4k，
∴＝＝2，
故选：B．
7．解：∵在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE＝BE，AD＝BD＝AB＝2，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，
∴BE＝BC＝AE，
设BC＝AE＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x，
∵∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴＝，
即＝，
解得：x1＝2﹣2，x2＝﹣2﹣2（舍去），
∴AE＝2﹣2，
∴cosA＝＝＝，
解法二：∵在△ABC中，AB＝AC＝4，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，∠A＝180°﹣∠C﹣∠ABC＝36°，
∵D是AB中点，DE⊥AB，
∴AE＝BE，AD＝BD＝AB＝2，
∴∠ABE＝∠A＝36°，
∴∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，
∴BE＝BC＝AE，
设BC＝AE＝x，则CE＝AC﹣AE＝4﹣x，
∵∠ABC＝∠BEC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴，
∴，
∴E为AC上靠近C点的黄金分割点，
∴＝，
∴AE＝AC＝2（），
∵，
∴cosA＝＝＝，
故选：C．
8．解：延长AD、BC，两线交于O，
∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，tanA＝＝，AB＝3，
∴OB＝4，
∵BC＝2，
∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，
在Rt△ABO中，∠B＝90°，AB＝3，OB＝4，由勾股定理得：AO＝5，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ODC＝90°＝∠B，
∵∠O＝∠O，
∴△ODC∽△OBA，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
故选：C．
9．解：设小正方形的边长为1，
由图形可知，，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD⊥DC．
∵AC∥BD，
∴，
∴PC＝2DP，
∴AD＝DC＝3DP，
∴．
故选：B．
10．解：∵tan∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴设BC＝1，则AC＝，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
∴∠DAC＝60°，
∵CA＝CD，
∴△CAD为等边三角形，
过点D作DE⊥CA，交CA于点E，设CA与BD交于点F，如图，
则有：CE＝AC＝，DE＝AD sin60°＝×＝，
设CF＝x，则EF＝﹣x，
∵AC⊥BC，DE⊥CA，
∴DE∥BC，
∴∠DBC＝∠FDE，
∴tan∠DBC＝tan∠FDE，
∴＝
∴＝，
解得：x＝，
∴tan∠DBC＝＝．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．解：过A作AH⊥BC于H，如图所示：
在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，∠B＝60°，AB＝5，
∴sinB＝，
∴AH＝AB sinB＝5×sin60°＝5×＝，
∴S△ABC＝AH BC＝××8＝10，
故答案为：10．
12．解：如图，过D作DE⊥AC于点E．
则DE∥BC．
∵CD是AB边上的中线，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE＝BC＝×8＝4．
在直角△DEC中，EC＝＝＝3，
∴tan∠ACD＝＝，
故答案是：．
13．解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，作BF⊥AD于点F，
∵tan∠BAD＝，
∴设BF＝4a，AF＝3a，则AB＝5a，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS）．
∴BE＝AC，
∵AB﹣AC＝2，AD＝7，
∴BE＝AC＝5a﹣2，EF＝7+7﹣3a＝14﹣3a．
∴在Rt△BEF中，（4a）2+（14﹣3a）2＝（5a﹣2）2，
∴解得：a＝3，
∴BF＝4a＝12，
∴△ABC的面积为：AD×BF÷2×2＝7×12＝84．
故答案为：84．
14．解：如图，过点A作AH⊥BC于H．
在Rt△ACH中，∵AH＝4，CH＝3，
∴AC＝＝＝5，
∴sin∠ACH＝＝．
故答案为：．
15．解：作CE⊥AB于点E，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，∠B＝60°，
∴BE＝BC＝2，CE＝2，
①如图1，点D在AB边上时，
∵AD＝2，BE＝2，AB＝8，
∴DE＝AB﹣BE﹣AD＝4，
∴在Rt△DCE中，
tan∠BDC＝＝＝；
②如图2，点D在BA延长线上时，
DE＝AE+AD＝AB﹣BE+AD＝8﹣2+2＝8，
在Rt△DCE中，
tan∠BDC＝＝＝．
综上所述：tan∠BDC的值为或．
故答案为：或．
16．解：∵∠C＝90°，∠BAC＝30°，
∴AC＝BC，
∴AB＝AD＝2BC，
∴∠D＝∠ABD＝BAC＝15°，
∴∠DBC＝75°，
∴在Rt△DBC中，DC＝AD+AC＝（2+）BC，
∴tan75°＝＝＝2+．
故答案为：2+．
17．解：如图，过点E作EF⊥BC于F，过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABH＝180°﹣∠ABC＝60°，
∵AB＝12，∠H＝90°，
∴BH＝AB cos60°＝6，AH＝AB sin60°＝6，
∵EF⊥DF，DE＝5，
∴sin∠ADE＝＝，
∴EF＝4，
∴DF＝＝＝3，
∵S△CDE＝6，
∴ CD EF＝6，
∴CD＝3，
∴CF＝CD+DF＝6，
∵tanC＝＝，
∴＝，
∴CH＝9，
∴BC＝CH﹣BH＝9﹣6．
故答案为：9﹣6．
18．解：在AD上取一点G，使AG＝DE，连接BG，如图所示：
∵AD＝3DE，
∴DG＝2AG，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ABC+∠C＝∠ABC+∠BAG＝90°，
∴∠C＝∠BAG，
∵∠C＝∠E，
∴∠BAG＝∠E，
在△ABG和△EAD中，，
∴△ABG≌△EAD（SAS），
∴BG＝AD＝3DE＝3AG，
∴BD＝，
∴AB＝＝AG，
∴cosE＝cos∠BAD＝；
故答案为：．
三．解答题（共6小题，满分58分）
19．解：∵，
∴，
∵，
∴，
由，解得，
∵，
∴c＝2b＝4．
20．解：（1）∵∠A＝60°，∠C为直角，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°．
∵c＝20，∠B＝30°，
∴b＝×c＝10．
a＝＝＝10；
（2）∵∠C为直角，a＝，b＝，
∴c＝＝＝2．
∵sinB＝＝＝，
∴∠B＝30°．
∴∠A＝90°﹣30°＝60°．
21．解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°．
在Rt△BED中，
∵cos∠ABC＝，
∴BE＝cos45° 3＝ 3＝3．
（2）∵∠ABC＝45°，∠BED＝90°．
∴∠EDB＝45°．
∴BE＝DE＝3．
∵sin∠DAB＝＝，
∴AD＝5．
∴AE＝＝4．
∴AB＝AE+BE＝4+3＝7．
∴S△ABD＝AB DE＝．
∵AD是BC边上的中线，
∴S△ADC＝S△ABD＝．
22．解：（1）过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，
在Rt△ABE中，
∵∠ABC＝30°，
∴AB＝2AE，
BE＝＝AE，
在Rt△ADE中，
∵∠ADC＝45°，
∴DE＝AE，
∴BD＝BE﹣DE＝AE﹣AE＝（﹣1）AE，
∴＝＝+1；
（2）如图，在AB上取一点E，使得DB＝DE，连接EC．
∵DB＝DE，
∴∠DBE＝∠DEB＝30°，
∴∠EDC＝∠B+∠DEB＝60°，
∵DB＝DC＝DE，
∴△DEC是等边三角形，
∴∠ECD＝∠CED＝60°，
∴∠CEB＝∠CEA＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠EDA＝∠EDC﹣∠ADC＝15°，
∵∠DEB＝∠EDA+∠AED，
∴∠EDA＝∠EAD＝15°，
∴ED＝EA＝EC，
∵∠CEA＝90°，
∴∠ECA＝45°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝45°+60°＝105°．
23．解：（1）过点D作DE⊥BC于点E，
∵在Rt△CDE 中，∠C＝60°，CD＝2，
∴CE＝，DE＝3，
∵BC＝3+，
∴BE＝BC﹣CE＝3+﹣＝3，
∴DE＝BE＝3，
∴在Rt△BDE 中，∠EDB＝∠EBD＝45°，
∵AB⊥BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠EBD＝45°；
（2）过点A作AF⊥BD于点F．
在Rt△ABF中，∠ABF＝45°，AB＝1，
∴BF＝AF＝，
∵在Rt△BDE中，DE＝BE＝3，
∴BD＝3，
∴DF＝BD﹣BF＝3﹣＝，
∴在Rt△AFD 中，AD＝＝＝．
24．解：（1）过C点作CH⊥AD于H，如图，
∵CD＝CA，
∴AH＝DH，
∵∠ABC+∠BCH＝90°，∠ACH+∠BCH＝90°，
∴∠ACH＝∠ABC，
∴sin∠ACH＝sin∠ABC＝，
在Rt△ACH中，sin∠ACH＝＝，
∴AD＝2AH＝2；
（2）在Rt△ABC中，sin∠ABC＝＝，
∴AB＝3AC＝9，
∴BD＝AB﹣AD＝9﹣2＝7，
∵∠E＝90°，
而∠EDB＝∠HDC，
∴∠HCD＝∠EBD，
∴sin∠EBD＝＝，
∴DE＝BD＝，
∴BE＝＝，
在Rt△EBC中，tan∠EBC＝＝＝．