2021-2022学年北师大版九年级数学下册 1.5三角函数的应用 同步达标测评 （word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年北师大版九年级数学下册 1.5三角函数的应用 同步达标测评 （word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 471.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-17 21:28:59 | ||
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文档简介
2021-2022学年北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共4小题，满分20分）
1．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）
A．24m B．22m C．20m D．18m
2．如图，矩形草坪ABCD中，AD＝10m，AB＝10m．现需要修一条由两个扇环构成的便道HEFG，扇环的圆心分别是B、D．若便道的宽为1m，则这条便道的面积大约是（ ）（精确到0.1m2）
A．9.5m2 B．10.0m2 C．10.5m2 D．11.0m2
3．如图所示，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC＝3，BD＝6，CD＝11，则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB为（ ）
A．米 B．米 C．b米 D．a米
二．填空题（共8小题，满分32分）
5．如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出OA＝1m，OB＝3m，O′A′＝0.5m，O′B′＝3m（点A，O，O′A′在同一条水平线上），则该山谷的深h为 m．
6．小敏想知道校园内一棵大树的高（如图），她测得CB＝10米，∠ACB＝50°，请你帮她算出树高AB约为 米．（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
7．如图，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30°，∠BCA＝90°，台阶的高BC为2米，那么请你帮忙算一算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m，取＝1.414，＝1.732）．
8．为美化小区环境，某小区有一块面积为30m2的等腰三角形草地，测得其一边长为10m，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则其长度为 m．
9．如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB是 米．
10．如图，青岛位于北纬36°4′，通过计算可以求得：在冬至日正午时分的太阳入射角为30°30′．因此，在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的距离最小为 米，才能保证不挡光（结果保留四个有效数字）（提示：sin30°30′＝0.5075，tan30°30′＝0.5890）．
11．如图梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根C的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′①等于1米②大于1米③小于1米．其中正确结论序号是 ．
12．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是 ．
三．解答题（共10小题，满分68分）
13．如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝．
（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）．
14．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？
（可能用到的参考数值：sin27°＝0.45，cos27°＝0.89，tan27°＝0.51）
15．去年夏季山洪暴发，几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC＝60°．改造后斜坡BE与地面成45°角，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）
16．太阳光线与水平线的夹角在新疆地区的变化较大，夏至时夹角最大，冬至时夹角最小，最小夹角约为28度．现有两幢居民住宅楼高为15米，两楼相距20米，如图所示．
（1）在冬至时，甲楼的影子在乙楼上有多高？
（2）若在本小区内继续兴建同样高的住宅楼，楼距至少应该多少米，才不影响楼房的采光？（前一幢楼房的影子不能落在后一幢楼房上）（计算结果精确到0.1米）
17．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB＝66.5°．
（1）求点D与点C的高度差DH；
（2）求所用不锈钢材料的总长度l．（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）
18．如图所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河流，且CD与AD互相垂直．现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：
方案一：E D A B；
方案二：E C B A．
经测量得AB＝4千米，BC＝10千米，CE＝6千米，∠BDC＝45°，∠ABD＝15度．已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米．
（1）求出河宽AD（结果保留根号）；
（2）求出公路CD的长；
（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由．
19．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732．）
20．已知：如图，A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB＝2km．在B村的正北方向有一个D村，测得∠DAB＝45°，∠DCB＝28°．今将△ACD区域进行规划，除其中面积为0.5km2的水塘外，准备把剩余的一半作为绿化用地，试求绿化用地的面积．（结果精确到0.1km2，sin28°＝0.4695，cos28°＝0.8829，tan28°＝0.5317，cot28°＝1.88.8）
21．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干千米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12米处，测得∠BAC＝48°，求BC的长．（借助计算器，精确到0.1米）
22．苏州的虎丘塔塔身倾斜，却历经千年而不倒，被誉为“中国第一斜塔”．如图，BC是过塔底中心B的铅垂线．AC是塔顶A偏离BC的距离．据测量，约为2.34米，倾角约为2°48′，求虎丘塔塔身AB的长度．（精确到0.1米）
参考答案
一．选择题（共4小题，满分20分）
1．解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．
由题意得：．
∴DF＝DE×1.6÷2＝14.4（m）．
∴GF＝BD＝CD＝6m．
又∵．
∴AG＝1.6×6＝9.6（m）．
∴AB＝14.4+9.6＝24（m）．
答：铁塔的高度为24m．
故选：A．
2．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴△ADB为直角三角形，
又∵AD＝10，AB＝10，
∴BD＝＝20，
又∵cos∠ADB＝＝，
∴∠ADB＝60°．
又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，
所以每个扇环都是圆心角为30°，且外环半径为10.5，内环半径为9.5．
∴每个扇环的面积为＝．
∴当π取3.14时整条便道面积为＝10.4666≈10.5m2．
便道面积约为10.5m2．
故选：C．
3．解：因为AC、BD、法线均和镜面垂直，
所以∠A＝∠B＝α，
而由已知得△ACE∽△BDE，
所以＝即＝
∴，
在三角形ACE中tanA＝＝＝＝tanα．
故选：D．
4．解：过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设梯子底端为C点，AB＝x，且AB＝ND＝x．
∴△BNC为等腰直角三角形，
∴180°﹣45°﹣75°＝60°
∴△CNM为等边三角形，梯子长度相同
∵∠NCB＝45°，
∴∠DNC＝45°，
∴∠MND＝60°﹣45°＝15°，
∴cos15°＝，
又∵∠MCA＝75°，
∴∠AMC＝15°，
∴cos15°＝，
故可得：＝．
∵△CNM为等边三角形，
∴NM＝CM．
∴x＝MA＝a．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
5．解：设A、A′到谷底的水平距离为AC＝m，A′C＝n．
∴m+n＝15．
根据题意知，OB∥CD∥O′B′．
∵OA＝1，OB＝3，O′A′＝0.5，O′B′＝3．
∴＝＝3，＝＝6．
∴（+）×h＝15．
解得h＝30（m）．
6．解：由题可知，在Rt△ABC中，tan50°＝AB：BC，
∴AB＝tan50°×BC≈1.2×10＝12（米）．
7．解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，∠C＝90°．
∵tanA＝，∴＝2．
∴AC+BC＝2+2≈2×1.73+2＝5.46≈5.5（m）．
即地毯的长度至少需5.5m．
8．解：（1）如图1，当底边BC＝10m时，
由于S＝30m2，所以高AD＝6m，
此时AB＝AC＝＝（m），
所以周长＝（2+10）m；
（2）①当△ABC是锐角三角形时，如图2，当AB＝AC＝10m时，高CE＝6，此时AE＝8m，BE＝2m，在Rt△BEC中，BC＝2m，
此时周长＝（20+2）m．
②当△ABC是钝角三角形时，如图3，设BD＝xm，AD＝hm，
则在Rt△ABD中，×2x×h＝30，
xh＝30，
，解得或（舍去），
故△ABC是钝角三角形时，△ABC的周长＝2×10+3＝（20+6）（m），
故填空答案：2+10或20+2或20+6．
9．解：过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
由题意得AB＝ND，△CNM为等边三角形（180﹣45﹣75＝60°，梯子长度相同），
∵∠ACM＝75°，
∴∠AMC＝15°．
∴∠AMN＝75°，
在△MND中，ND＝MN×sin75°，
在△MAC中，AM＝MC×sin75°，
∵MN＝MC，
∴ND＝MA＝a．
故答案为a．
10．解：由题意可知，光线，楼和地面构成一个直角三角形．
∴tan30°30′＝，
所以楼间距＝，
即楼间距＝≈33.96（米）．
11．解：由勾股定理得：梯子AB＝，CB′＝．
∴BB′＝7﹣＜1，故选③．
12．解：A关于x轴的对称点A′坐标是（0，﹣1）连接A′B，交x轴于点C，
作DB∥A′A，A′D∥OC，交DB于D，
故光线从点A到点B所经过的路程A′B＝＝＝5．
三．解答题（共10小题，满分68分）
13．解：过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．
（1）在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OM＝5，
HM＝OM×sinα＝3，
所以OH＝4，
MB＝HA＝5﹣4＝1，
1×5＝5cm．
所以铁环钩离地面的高度为5cm；
（2）∵铁环钩与铁环相切，
∴∠MOH+∠OMH＝∠OMH+∠FMN＝90°，∠FMN＝∠MOH＝α，
∴＝sinα＝，
∴FN＝FM，
在Rt△FMN中，∠FNM＝90°，MN＝BC＝AC﹣AB＝11﹣3＝8．
∵FM2＝FN2+MN2，
即FM2＝（FM）2+82，
解得：FM＝10，
10×5＝50（cm）．
∴铁环钩的长度FM为50cm．
14．解：姚明乘此电梯会有碰头危险．（1分）
理由：由题意可知：AC∥BD，
∴∠CAB＝∠ABD＝27°．（2分）
过点C作CE⊥AC交AB于点E，（3分）
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，（4分）
∴CE＝AC tan∠CAE＝4×tan27°≈4×0.51＝2.04（米）＜2.29（米）．
∴姚明乘此电梯会有碰头危险．
∵2.04＞1.78，
∴小敏乘此电梯不会有碰头危险．
15．解：在Rt△ADB中，AB＝30米∠ABC＝60°
AD＝AB sin∠ABC＝30×sin60°＝15≈25.98≈26.0（米），
DB＝AB cos∠ABC＝30×cos60°＝15米．
连接BE，过E作EN⊥BC于N
∵AE∥BC∴四边形AEND是矩形NE＝AD≈26米
在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°，
当∠EBN＝45°时，BN＝EN＝26.0米
∴AE＝DN＝BN﹣BD＝26.0﹣15＝11米
答：AE至少是11.0米．
16．解：（1）如图所示，
作DE⊥AB，垂足为E，
由题意可知∠ADE＝28°，DE＝BC＝20，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，
AE＝DE tan∠ADE＝20 tan28°≈10.6，
则DC＝EB＝AB﹣AE＝15﹣10.6＝4.4．
即冬至时甲楼的影子在乙楼上约4.4米高．
（2）若要不影响要房间的采光，如图所示在Rt△ABC中，AB＝15，∠C＝28°，
BC＝≈28.2．
答：楼距至少28.2米，才不影响楼房的采光．
17．解：（1）DH＝1.6×＝1.2（m）；
（2）过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM是矩形．
∴MH＝BC＝1（m），
∴AM＝AH﹣MH＝1+1.2﹣1＝1.2（m）．
在Rt△AMB中，∠A＝66.5°．
∴AB＝（m）．
∴l＝AD+AB+BC≈1+3.0+1＝5.0（m）．
答：点D与点C的高度差DH为1.2m；所用不锈钢材料的总长度约为5.0m．
18．解：（1）过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F．
由题意得：∠BAF＝∠ABD+∠ADB＝15°+45°＝60°，
在Rt△BFA中，BF＝ABsin60°＝4×＝6（千米），
AF＝ABcos60°＝4×＝2（千米）．
∵CD⊥AD，∠BDC＝45°，
∴∠BDF＝45°，
在Rt△BFD中，∵∠BDF＝45°，
∴DF＝BF＝6千米．
∴AD＝DF﹣AF＝（6﹣2）（千米）．
即河宽AD为（6﹣2）千米；
（2）过点B作BG⊥CD于G，易证四边形BFDG是正方形，
∴BG＝BF＝6千米．
在Rt△BGC中，＝8（千米），
∴CD＝CG+GD＝14千米．
即公路CD的长为14千米；
（3）方案一的铺设电缆费用低．
由（2）得DE＝CD﹣CE＝8千米．
∴方案一的铺设费用为：2（DE+AB）+4AD＝40万元，
方案二的铺设费用为：2（CE+BC+AB）＝（32+8）万元．
∵40＜32+8，
∴方案一的铺设电缆费用低．
19．解：∵∠CAB＝45°．
∴AB＝BC＝10．
∵∠CDB＝30°．
∴BD＝10．
∴AD＝10﹣10≈7.32．（7分）
∵7.32+3＞10．
答：离原坡角10米的建筑物需要拆除．（10分）
20．解：在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝90°，∠BAD＝45°，∠ADB＝45°，
∴BD＝AB＝2km，
在Rt△BCD中，
∵cot∠BCD＝，∠DCB＝28°，
∴BC＝BD cot∠BCD＝2cot28°（km），
∴S△ACD＝AC BD＝（2+2cot28°）（km2）．
∴S绿地＝（2+2cot28°）≈2.6（km2）．
答：绿化用地的面积为2.6km2．
21．解：在直角△ABC中，tan∠BAC＝
∴BC＝AC tan48°＝12tan48°≈13.3米．
22．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝
∴
＝
≈47.9．
答：虎丘塔塔身AB长约为47.9m．
一．选择题（共4小题，满分20分）
1．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）
A．24m B．22m C．20m D．18m
2．如图，矩形草坪ABCD中，AD＝10m，AB＝10m．现需要修一条由两个扇环构成的便道HEFG，扇环的圆心分别是B、D．若便道的宽为1m，则这条便道的面积大约是（ ）（精确到0.1m2）
A．9.5m2 B．10.0m2 C．10.5m2 D．11.0m2
3．如图所示，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC＝3，BD＝6，CD＝11，则tanα的值是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角为45°，则这间房子的宽AB为（ ）
A．米 B．米 C．b米 D．a米
二．填空题（共8小题，满分32分）
5．如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出OA＝1m，OB＝3m，O′A′＝0.5m，O′B′＝3m（点A，O，O′A′在同一条水平线上），则该山谷的深h为 m．
6．小敏想知道校园内一棵大树的高（如图），她测得CB＝10米，∠ACB＝50°，请你帮她算出树高AB约为 米．（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
7．如图，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30°，∠BCA＝90°，台阶的高BC为2米，那么请你帮忙算一算需要 米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m，取＝1.414，＝1.732）．
8．为美化小区环境，某小区有一块面积为30m2的等腰三角形草地，测得其一边长为10m，现要给这块三角形草地围上白色的低矮栅栏，则其长度为 m．
9．如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时，梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为b米，梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB是 米．
10．如图，青岛位于北纬36°4′，通过计算可以求得：在冬至日正午时分的太阳入射角为30°30′．因此，在规划建设楼高为20米的小区时，两楼间的距离最小为 米，才能保证不挡光（结果保留四个有效数字）（提示：sin30°30′＝0.5075，tan30°30′＝0.5890）．
11．如图梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根C的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根C的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′①等于1米②大于1米③小于1米．其中正确结论序号是 ．
12．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是 ．
三．解答题（共10小题，满分68分）
13．如图1、2，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图2．已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝．
（1）求点M离地面AC的高度BM（单位：厘米）；
（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度（单位：厘米）．
14．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？
（可能用到的参考数值：sin27°＝0.45，cos27°＝0.89，tan27°＝0.51）
15．去年夏季山洪暴发，几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC＝60°．改造后斜坡BE与地面成45°角，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）
16．太阳光线与水平线的夹角在新疆地区的变化较大，夏至时夹角最大，冬至时夹角最小，最小夹角约为28度．现有两幢居民住宅楼高为15米，两楼相距20米，如图所示．
（1）在冬至时，甲楼的影子在乙楼上有多高？
（2）若在本小区内继续兴建同样高的住宅楼，楼距至少应该多少米，才不影响楼房的采光？（前一幢楼房的影子不能落在后一幢楼房上）（计算结果精确到0.1米）
17．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且∠DAB＝66.5°．
（1）求点D与点C的高度差DH；
（2）求所用不锈钢材料的总长度l．（即AD+AB+BC，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）
18．如图所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河流，且CD与AD互相垂直．现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：
方案一：E D A B；
方案二：E C B A．
经测量得AB＝4千米，BC＝10千米，CE＝6千米，∠BDC＝45°，∠ABD＝15度．已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米．
（1）求出河宽AD（结果保留根号）；
（2）求出公路CD的长；
（3）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由．
19．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732．）
20．已知：如图，A、B、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线上，AB＝2km．在B村的正北方向有一个D村，测得∠DAB＝45°，∠DCB＝28°．今将△ACD区域进行规划，除其中面积为0.5km2的水塘外，准备把剩余的一半作为绿化用地，试求绿化用地的面积．（结果精确到0.1km2，sin28°＝0.4695，cos28°＝0.8829，tan28°＝0.5317，cot28°＝1.88.8）
21．如图，在一次龙卷风中，一棵大树在离地面若干千米处折断倒下，B为折断处最高点，树顶A落在离树根C的12米处，测得∠BAC＝48°，求BC的长．（借助计算器，精确到0.1米）
22．苏州的虎丘塔塔身倾斜，却历经千年而不倒，被誉为“中国第一斜塔”．如图，BC是过塔底中心B的铅垂线．AC是塔顶A偏离BC的距离．据测量，约为2.34米，倾角约为2°48′，求虎丘塔塔身AB的长度．（精确到0.1米）
参考答案
一．选择题（共4小题，满分20分）
1．解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．
由题意得：．
∴DF＝DE×1.6÷2＝14.4（m）．
∴GF＝BD＝CD＝6m．
又∵．
∴AG＝1.6×6＝9.6（m）．
∴AB＝14.4+9.6＝24（m）．
答：铁塔的高度为24m．
故选：A．
2．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴△ADB为直角三角形，
又∵AD＝10，AB＝10，
∴BD＝＝20，
又∵cos∠ADB＝＝，
∴∠ADB＝60°．
又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，
所以每个扇环都是圆心角为30°，且外环半径为10.5，内环半径为9.5．
∴每个扇环的面积为＝．
∴当π取3.14时整条便道面积为＝10.4666≈10.5m2．
便道面积约为10.5m2．
故选：C．
3．解：因为AC、BD、法线均和镜面垂直，
所以∠A＝∠B＝α，
而由已知得△ACE∽△BDE，
所以＝即＝
∴，
在三角形ACE中tanA＝＝＝＝tanα．
故选：D．
4．解：过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设梯子底端为C点，AB＝x，且AB＝ND＝x．
∴△BNC为等腰直角三角形，
∴180°﹣45°﹣75°＝60°
∴△CNM为等边三角形，梯子长度相同
∵∠NCB＝45°，
∴∠DNC＝45°，
∴∠MND＝60°﹣45°＝15°，
∴cos15°＝，
又∵∠MCA＝75°，
∴∠AMC＝15°，
∴cos15°＝，
故可得：＝．
∵△CNM为等边三角形，
∴NM＝CM．
∴x＝MA＝a．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
5．解：设A、A′到谷底的水平距离为AC＝m，A′C＝n．
∴m+n＝15．
根据题意知，OB∥CD∥O′B′．
∵OA＝1，OB＝3，O′A′＝0.5，O′B′＝3．
∴＝＝3，＝＝6．
∴（+）×h＝15．
解得h＝30（m）．
6．解：由题可知，在Rt△ABC中，tan50°＝AB：BC，
∴AB＝tan50°×BC≈1.2×10＝12（米）．
7．解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，∠C＝90°．
∵tanA＝，∴＝2．
∴AC+BC＝2+2≈2×1.73+2＝5.46≈5.5（m）．
即地毯的长度至少需5.5m．
8．解：（1）如图1，当底边BC＝10m时，
由于S＝30m2，所以高AD＝6m，
此时AB＝AC＝＝（m），
所以周长＝（2+10）m；
（2）①当△ABC是锐角三角形时，如图2，当AB＝AC＝10m时，高CE＝6，此时AE＝8m，BE＝2m，在Rt△BEC中，BC＝2m，
此时周长＝（20+2）m．
②当△ABC是钝角三角形时，如图3，设BD＝xm，AD＝hm，
则在Rt△ABD中，×2x×h＝30，
xh＝30，
，解得或（舍去），
故△ABC是钝角三角形时，△ABC的周长＝2×10+3＝（20+6）（m），
故填空答案：2+10或20+2或20+6．
9．解：过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
由题意得AB＝ND，△CNM为等边三角形（180﹣45﹣75＝60°，梯子长度相同），
∵∠ACM＝75°，
∴∠AMC＝15°．
∴∠AMN＝75°，
在△MND中，ND＝MN×sin75°，
在△MAC中，AM＝MC×sin75°，
∵MN＝MC，
∴ND＝MA＝a．
故答案为a．
10．解：由题意可知，光线，楼和地面构成一个直角三角形．
∴tan30°30′＝，
所以楼间距＝，
即楼间距＝≈33.96（米）．
11．解：由勾股定理得：梯子AB＝，CB′＝．
∴BB′＝7﹣＜1，故选③．
12．解：A关于x轴的对称点A′坐标是（0，﹣1）连接A′B，交x轴于点C，
作DB∥A′A，A′D∥OC，交DB于D，
故光线从点A到点B所经过的路程A′B＝＝＝5．
三．解答题（共10小题，满分68分）
13．解：过M作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．
（1）在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OM＝5，
HM＝OM×sinα＝3，
所以OH＝4，
MB＝HA＝5﹣4＝1，
1×5＝5cm．
所以铁环钩离地面的高度为5cm；
（2）∵铁环钩与铁环相切，
∴∠MOH+∠OMH＝∠OMH+∠FMN＝90°，∠FMN＝∠MOH＝α，
∴＝sinα＝，
∴FN＝FM，
在Rt△FMN中，∠FNM＝90°，MN＝BC＝AC﹣AB＝11﹣3＝8．
∵FM2＝FN2+MN2，
即FM2＝（FM）2+82，
解得：FM＝10，
10×5＝50（cm）．
∴铁环钩的长度FM为50cm．
14．解：姚明乘此电梯会有碰头危险．（1分）
理由：由题意可知：AC∥BD，
∴∠CAB＝∠ABD＝27°．（2分）
过点C作CE⊥AC交AB于点E，（3分）
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，（4分）
∴CE＝AC tan∠CAE＝4×tan27°≈4×0.51＝2.04（米）＜2.29（米）．
∴姚明乘此电梯会有碰头危险．
∵2.04＞1.78，
∴小敏乘此电梯不会有碰头危险．
15．解：在Rt△ADB中，AB＝30米∠ABC＝60°
AD＝AB sin∠ABC＝30×sin60°＝15≈25.98≈26.0（米），
DB＝AB cos∠ABC＝30×cos60°＝15米．
连接BE，过E作EN⊥BC于N
∵AE∥BC∴四边形AEND是矩形NE＝AD≈26米
在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°，
当∠EBN＝45°时，BN＝EN＝26.0米
∴AE＝DN＝BN﹣BD＝26.0﹣15＝11米
答：AE至少是11.0米．
16．解：（1）如图所示，
作DE⊥AB，垂足为E，
由题意可知∠ADE＝28°，DE＝BC＝20，
在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，
AE＝DE tan∠ADE＝20 tan28°≈10.6，
则DC＝EB＝AB﹣AE＝15﹣10.6＝4.4．
即冬至时甲楼的影子在乙楼上约4.4米高．
（2）若要不影响要房间的采光，如图所示在Rt△ABC中，AB＝15，∠C＝28°，
BC＝≈28.2．
答：楼距至少28.2米，才不影响楼房的采光．
17．解：（1）DH＝1.6×＝1.2（m）；
（2）过B作BM⊥AH于M，则四边形BCHM是矩形．
∴MH＝BC＝1（m），
∴AM＝AH﹣MH＝1+1.2﹣1＝1.2（m）．
在Rt△AMB中，∠A＝66.5°．
∴AB＝（m）．
∴l＝AD+AB+BC≈1+3.0+1＝5.0（m）．
答：点D与点C的高度差DH为1.2m；所用不锈钢材料的总长度约为5.0m．
18．解：（1）过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F．
由题意得：∠BAF＝∠ABD+∠ADB＝15°+45°＝60°，
在Rt△BFA中，BF＝ABsin60°＝4×＝6（千米），
AF＝ABcos60°＝4×＝2（千米）．
∵CD⊥AD，∠BDC＝45°，
∴∠BDF＝45°，
在Rt△BFD中，∵∠BDF＝45°，
∴DF＝BF＝6千米．
∴AD＝DF﹣AF＝（6﹣2）（千米）．
即河宽AD为（6﹣2）千米；
（2）过点B作BG⊥CD于G，易证四边形BFDG是正方形，
∴BG＝BF＝6千米．
在Rt△BGC中，＝8（千米），
∴CD＝CG+GD＝14千米．
即公路CD的长为14千米；
（3）方案一的铺设电缆费用低．
由（2）得DE＝CD﹣CE＝8千米．
∴方案一的铺设费用为：2（DE+AB）+4AD＝40万元，
方案二的铺设费用为：2（CE+BC+AB）＝（32+8）万元．
∵40＜32+8，
∴方案一的铺设电缆费用低．
19．解：∵∠CAB＝45°．
∴AB＝BC＝10．
∵∠CDB＝30°．
∴BD＝10．
∴AD＝10﹣10≈7.32．（7分）
∵7.32+3＞10．
答：离原坡角10米的建筑物需要拆除．（10分）
20．解：在Rt△ABD中，
∵∠ABD＝90°，∠BAD＝45°，∠ADB＝45°，
∴BD＝AB＝2km，
在Rt△BCD中，
∵cot∠BCD＝，∠DCB＝28°，
∴BC＝BD cot∠BCD＝2cot28°（km），
∴S△ACD＝AC BD＝（2+2cot28°）（km2）．
∴S绿地＝（2+2cot28°）≈2.6（km2）．
答：绿化用地的面积为2.6km2．
21．解：在直角△ABC中，tan∠BAC＝
∴BC＝AC tan48°＝12tan48°≈13.3米．
22．解：在Rt△ABC中，∵sin∠ABC＝
∴
＝
≈47.9．
答：虎丘塔塔身AB长约为47.9m．