2021-2022学年冀教版八年级数学上册 16.3角的平分线 同步练习题（word版含答案）

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《16.3角的平分线》同步练习题（附答案）
1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，BD是∠ABC的角平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是S1，S2，则S1：S2的值为（　　）
A．1：2 B．2：3 C．：1 D．1：
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，E是边AB上一点，若CD＝6，则DE的长可以是（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
3．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；
③ED＝FD；④AB＝AE+BF．其中正确的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边距离等于8，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是（　　）
A．PQ＞8 B．PQ≥8 C．PQ＜8 D．PQ≤8
5．已知如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若∠MON＝60°，OP＝4，则PQ的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．不能确定
6．到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的（　　）
A．三条高的交点 B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条角平分线的交点
7．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝3，则两平行线AD与BC间的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
9．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（　　）
A．70° B．120° C．125° D．130°
10．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA＝10，AB＝12，则点B到AC的距离为（　　）
A． B． C．10 D．12
12．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）
A．一处 B．两处 C．三处 D．四处
13．如图，△ABC的三边AB、BC、AC的长分别为20、30、40，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OBC：S△OAC＝（　　）
A．1：1：1 B．6：4：3 C．2：3：4 D．4：3：2
14．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB＝∠OBA．
15．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
16．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
17．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．
18．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．
19．如图，BD平分∠ABC，DA⊥AB，∠1＝65°，∠BDC＝78°，求∠C的度数．
20．数学课上，老师要求学生证明：“角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”，请你结合图形书写已知、求证，并完成证明过程：
已知：　 　．
求证：　 　．
证明：
21．如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F．
（1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
参考答案
1．解：过D点作DE⊥BC于E，如图，
∵∠A＝90°，AB＝1，AC＝2，
∴BC＝＝，
∵BD是∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA，
∴＝＝＝．
故选：D．
2．解：过点D作DM⊥AB于点M，如图所示.
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DM⊥AB，
∴DM＝CD＝6．
又∵E是边AB上一点，
∴DE≥DM，
∴DE≥6．
故选：D．
3．解：∵BC恰好平分∠ABF，
∴∠ABC＝∠FBD，
∵AC∥BF，
∴∠C＝∠FBD，
∴∠C＝∠ABC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，CD＝BD，所以①②正确；
过D点作DH⊥AB于H，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DH⊥AB，
∴DE＝DH，
∵AC∥BF，DE⊥AC，
∴DF⊥BF，
∵BD平分∠ABF，DH⊥AB，
∴DH＝DF，
∴DE＝DF，所以③正确；
在△ADE和△ADH中，
，
∴△ADE≌△ADH（HL），
∴AH＝AE，
同理可得BH＝BF，
∴AB＝AH+BH＝AE+BF，所以④正确．
故选：A．
4．解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于8，
∴点P到OB的距离为8，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥8．
故选：B．
5．解：作PQ′⊥OM于Q′，
∵∠MON＝60°，OP平分∠MON，
∴∠POQ′＝30°，
∴PQ′＝OP＝2，
由垂线段最短可知，PQ的最小值是2，
故选：A．
6．解：到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的内心，即三个内角平分线的交点．
故选：D．
7．解：如图，过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，
∵AP是∠BAD的平分线，PE⊥AB，
∴PF＝PE，
同理可得PG＝PE，
∵AD∥BC，
∴点F、P、G三点共线，
∴FG的长即为AD、BC间的距离，
∴平行线AD与BC间的距离为3+3＝6，
故选：D．
8．解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
9．解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×110°＝55°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
10．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB DE＝×10 DE＝15，
解得DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
11．解：作AH⊥OB于H，连接AB交OC于D，如图，
由作法得OC平分∠AOB，
而OA＝OB＝10，
∴OD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝6，
在Rt△AOD中，OD＝＝8，
∵AH OB＝OD AB，
∴AH＝＝，
∵AO＝AC，
∴∠AOC＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BOC，
∴AC∥OB，
∴点B到AC的距离为．
故选：A．
12．解：∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，PF＝PD，
∴PE＝PF＝PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故选：D．
13．解：过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵AB＝20，BC＝30，AC＝40，
∴S△OAB：S△OBC：S△OAC＝2：3：4．
故选：C．
14．证明：∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，
∴AM＝BM，
在Rt△AOM和Rt△BOM中，，
∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），
∴OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
15．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDF均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF．
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（ASA）．
∴AE＝AF．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
16．解：PC与PD相等．理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF为矩形，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPC+∠CPF＝90°，
又∵∠CPD＝90°，
∴∠CPF+∠FPD＝90°，
∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．
在△PCE与△PDF中，
∵，
∴△PCE≌△PDF（ASA），
∴PC＝PD．
17．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠ADE＝∠ADF，
∴AD是角平分线．
18．证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
19．解：∵DA⊥AB，
∴∠A＝90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝90°﹣∠1＝90°﹣65°＝25°．
∵∠BDC＝78°，
∴∠C＝180°﹣∠CBD﹣∠BDC＝180°﹣25°﹣78°＝77°．
20．已知：P是∠AOB内任一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D两点，PC＝PD；
求证：点P在∠AOB的平分线上；
证明：连接OP；如图所示：
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠PCO＝∠PDO＝90°，…（4分）
在Rt△OPC 和Rt△OPD中，，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）；
∴∠POA＝∠POB，
∴OP是∠AOB的平分线，
即点P在∠AOB的平分线上；
故答案为：P是∠AOB内任一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D两点，PC＝PD；
点P在∠AOB的平分线上．
21．（1）证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EPD＝∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立．理由如下：
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EPD＝∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等．