2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学下册5.6直线与圆的位置关系 同步达标测评(word版含答案)
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学下册5.6直线与圆的位置关系 同步达标测评(word版含答案) |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 643.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-17 22:12:45 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5.6直线与圆的位置关系》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（ ）
A．﹣2≤x≤2 B．﹣2＜x＜2 C．0≤x≤2 D．﹣2≤x≤2
2．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折交半径AO的延长线于点D，延长BD交⊙O于点C，AC切所在的圆于点A，则tan∠C的值是（ ）
A． B． C．2+ D．1+
3．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1＝60°，下列结论错误的是（ ）
A．MN＝ B．若MN与⊙O相切，则AM＝
C．l1和l2的距离为2 D．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切
4．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（ ）
A． B． C．8 D．5
5．已知△ABC的三边长为AB＝2，BC＝3，AC＝4，则三角形内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C交AB的延长线于点E．设点D是弦AC上任意一点（不含端点），若∠CEA＝30°，BE＝4，则CD+2OD的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．4
二．填空题（共6小题，满分30分）
7．设抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为E，与y轴交于点C，EF⊥x轴于点，若点M（m，0）是x轴上的动点，且满足以MC为直径的圆与线段EF有公共点，则实数m的取值范围是 ．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE＝ ．
9．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝10，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为5；③当AD＝3时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝5；⑤当点D从点A运动到B点时，线段EF扫过的面积是20．其中正确结论的序号是 ．
10．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为 ．
11．点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若AI＝2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC＝6，ID＝5，则IE的长为 ．
12．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE＝9，则△ABC的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
13．如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2﹣，求⊙O的半径和BF的长．
14．已知，如图，点A的坐标为（2，0），⊙A交x轴于点B和C，交y轴于点D（0，4），过点D的直线与x轴交于点P，且tan∠APD＝．
（1）求证：PD是⊙A的切线；
（2）判断在直线PD上是否存在点M，使得S△MOD＝2S△AOD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：AE FD＝AF EC；
（2）求证：FC＝FB；
（3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半径r的长．
16．如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB＝CE．
求证：（1）BE∥DG；
（2）CB2﹣CF2＝BF FE．
17．如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．
求证：．
18．已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若＝，如图1．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长．
19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH＝CE+EH．
20．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M，N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，sin∠BCP＝，求△ACP的周长．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．解：如图所示，当AB与⊙O相切时，有一个公共点，设这个公共点为G，连接OG，则OG⊥CD，
这时OG＝2，∠OCD＝45°，
sin45°＝，
OC＝＝2，
即x＝2，
如果直线AB在第二象限与圆相切，这时同理可求得x＝﹣2，
∴x的取值范围是﹣2≤x≤2，
故选：D．
2．解：作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．
根据对称性可知，所在圆的圆心在直线AH上，
∵AC切所在的圆于点A，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH＝90°，
∴CH是⊙O的直径，
∴∠CBH＝90°，
∴∠ABD＝∠ABH＝45°，
∴∠AHC＝∠ABC＝45°，
∴∠ACH＝∠AHC＝45°，
∴AC＝AH，
∵OC＝OH，
∴AD垂直平分线段CH，
∴DC＝DH，
∴∠DCH＝∠DHC，
∵BD＝BH，
∴∠BDH＝∠BHD＝45°，
∵∠BDH＝∠DCH+∠DHC，
∴∠DCH＝22.5°，
∴∠ACD＝∠CHB＝67.5°，
设BD＝BH＝a，则CD＝DH＝a，
∴tan∠ACB＝tan∠CHB＝＝＝1+，
故选：D．
3．解：连接OA、OB，如图1，
∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，
∴OA⊥l1，OB⊥l2，
∵l1∥l2，
∴点A、O、B共线，
∴AB为⊙O的直径，
∴l1和l2的距离为2；故C正确，
作NH⊥AM于H，如图1，
则HN＝AB＝2，
∵∠AMN＝60°，
∴sin60°＝，
∴MN＝；故A正确，
当MN与⊙O相切，如图2，连接OM，ON，
当MN在AB左侧时，∠AMO＝∠AMN＝×60°＝30°，
在Rt△AMO中，tan∠AMO＝，即AM＝＝，
在Rt△OBN中，∠ONB＝∠ONM＝60°，tan∠ONB＝，即BN＝＝，
当MN在AB右侧时，AM＝，
∴AM的长为 或；故B错误，
当∠MON＝90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，如图2，
∵OA＝OB，
∴Rt△OAF≌Rt△OBN，
∴OF＝ON，
∴MO垂直平分NF，
∴OM平分∠NMF，
∴OE＝OA，
∴MN为⊙O的切线．故D正确．
故选：B．
4．解：∵3x2﹣10x+3＝0，
∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．
∴cosD＝AD：BD＝1：3，
设AD＝x，则BD＝3x．
∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．
∴（2x）2＝（2x﹣4） x．
∴x＝0（舍去），或x＝2．
∴AB＝2×2＝8．
故选：C．
5．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，连接AI，BI，CI，设△ABC内切圆的半径为r，
设AD＝x，则BD＝2﹣x，
由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣BD2．
∴42﹣x2＝32﹣（2﹣x）2．
解得：x＝2.75．
∴CD＝＝＝，
∴S△ABC＝S△AOC+S△ABO+S△BCO，
∴＝+，
∴＝×4×r，
解得：r＝，
故选：B．
6．解：如图，作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，
∵CE切⊙O于点C，
∴∠OCE＝90°，
又∵∠CEA＝30°，
∴∠AOC＝120°，
则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．
∵BE＝4，
∴2OC＝OB+BE，即2OC＝OC+4，
则OC＝4，即圆的半径为4，
∵OA＝OF＝OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF＝AO＝OC＝FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF＝DO．
过点D作DH⊥OC于H，
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴DH＝DC sin∠DCH＝DC sin30°＝DC，
∴CD+OD＝DH+FD．
根据垂线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时CD+2OD＝2（DH+FD），
∵FH＝OF sin∠FOH＝OF＝2，
∴CD+2OD＝2（DH+FD）＝2FH＝4，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分30分）
7．解：∵M（m，0），C（0，3），
∴圆心N的坐标（，），
圆N的半径为：，
圆心到EF的距离为：|1﹣|，
由题意得，
|1﹣|≤≤，
解得：﹣≤m≤5．
故答案为：﹣≤m≤5．
8．解：如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．
由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE＝BH＝x，
由切线长定理可知，ED＝EM，FC＝FM，
∵B、F关于EH对称，
∴HF＝BH＝x，ED＝EM＝8﹣x，FC＝FM＝8﹣2x，EF＝16﹣3x，
在Rt△EFH中，∵EF2＝EH2+HF2，
∴42+x2＝（16﹣3x）2，
解得x＝6﹣或6+（舍弃），
∴AE＝6﹣，
故答案为：6﹣．
9．解：①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE＝CD．
∴∠E＝∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°．
∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．
∴∠F＝∠CDF．
∴CD＝CF．
∴CE＝CD＝CF．
∴结论“CE＝CF”正确．
②当CD⊥AB时，如图2所示．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵AB＝10，∠CBA＝30°，
∴∠CAB＝60°，AC＝5，BC＝5．
∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，
∴CD＝BC＝．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．
∵CE＝CD＝CF，
∴EF＝2CD．
∴线段EF的最小值为5．
∴结论“线段EF的最小值为5”正确．
③当AD＝3时，连接OC，如图3所示．
∵OA＝OC，∠CAB＝60°，
∴△OAC是等边三角形．
∴CA＝CO，∠ACO＝60°．
∵AO＝5，AD＝3，
∴DO＝2．
∴AD≠DO．
∴∠ACD＞∠OCD≠30°．
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA＝∠DCA．
∴∠ECA≠30°．
∴∠ECO≠90°．
∴OC不垂直EF．
∵EF经过半径OC的外端，且OC不垂直EF，
∴EF与半圆不相切．
∴结论“EF与半圆相切”错误．
④当点F恰好落在上时，连接FB、AF，如图4所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴ED⊥AC．
∴∠AGD＝90°．
∴∠AGD＝∠ACB．
∴ED∥BC．
∴△FHC∽△FDE．
∴＝．
∵FC＝EF，
∴FH＝FD．
∴FH＝DH．
∵DE∥BC，
∴∠FHC＝∠FDE＝90°．
∴BF＝BD．
∴∠FBH＝∠DBH＝30°．
∴∠FBD＝60°．
∵AB是半圆的直径，
∴∠AFB＝90°．
∴∠FAB＝30°．
∴FB＝AB＝5．
∴DB＝4．
∴AD＝AB﹣DB＝5．
∴结论“AD＝5”正确．
⑤∵点D与点E关于AC对称，
点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，
点E的运动路径AM与AB关于AC对称，
点F的运动路径NB与AB关于BC对称．
∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．
∴S阴影＝2S△ABC
＝2×AC BC
＝AC BC
＝5×5＝25．
∴EF扫过的面积为25．
∴结论“EF扫过的面积为20”错误．
故答案为：①、②、④．
10．解：连接AD，OB，OP；
∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，
∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，
∴PC＝；
∵PA2＝PD PC，
∴PD＝，
∴CD＝．
11．解：延长ID到M，使得DM＝ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，
∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，∠BCD＝∠IAB，
∴∠DIC＝∠DCI，
∴DI＝DC＝DM，
∴∠ICM＝90°，
∴CM＝＝8，
∵AI＝2CD＝10，
∴AI＝IM，∵AE＝EC，
∴IE＝CM＝4，
故答案为4．
12．解：设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，
则AD＝AM，CM＝CN＝r，BD＝BN，r＝（AC+BC﹣AB），
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴AD DB＝AM BN＝（AC﹣r）（BC﹣r）＝[AC﹣（AC+BC﹣AB）][BC﹣（AC+BC﹣AB）]
＝（AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）＝（AB2﹣AC2﹣BC2+2AC BC）＝AC BC，
由射影定理得AD DB＝DE2＝81，
∴S△ABC＝AC BC＝81，
故答案为：81．
三．解答题（共8小题，满分60分）
13．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：
如图1，连接OE，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∵ED⊥AC，
∴AC∥OE，
∴∠1＝∠C，
∵OB＝OE，
∴∠1＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）如图2，过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
设OG＝x，则OA＝OB＝OE＝2x，AG＝x，
∴DG＝OE＝2x，
根据AC＝AB得：4x＝x+2x+2﹣，
x＝1，
∴OE＝OB＝2，
在直角△OEF中，∠EOF＝∠A＝30°，
cos30＝，OF＝＝2÷＝，
∴BF＝﹣2，⊙O的半径为2．
14．（1）证明：∵A（2，0）D（0，4），
∴AO＝2，OD＝4，
∴在Rt△ADO中，tan∠ADO＝＝＝，
∵tan∠APD＝，
∴∠ADO＝∠APD，
∵∠AOD＝90°，
∴∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO+∠APD＝90°，
∴∠PDA＝180°﹣90°＝90°，
∴AD⊥PD，
∵AD是⊙A的半径，
∴PD是⊙A的切线．
（2）解：在△ADO中，OA＝2，OD＝4，由勾股定理得：AD＝2，
在Rt△PDA中，tan∠APD＝＝，
即PD＝4，
由勾股定理得：AP＝＝10，
∵OA＝2，
∴OP＝8，
即P（﹣8，0），
∵D（0，4），
∴设直线PD的解析式是：y＝kx+4，
把P的坐标代入得：0＝﹣8k+4，
解得：k＝，
∴直线PD的解析式是y＝x+4，
假如存在M点，使得S△MOD＝2S△AOD，
设M的坐标是（x，x+4），
如图：
当M在y轴的左边时，过M作MN⊥OD于N，
∵S△MOD＝2S△AOD，
∴×4×（﹣x）＝2××2×4，
解得：x＝﹣4，
y＝x+4＝2，
即此时M坐标是（﹣4，2），
当M点在y轴的右边时，同法可求M的横坐标是4，代入y＝x+4得y＝6，
此时M的坐标是（4，6），
即在直线PD上存在点M，使得S△MOD＝2S△AOD，点M的坐标是（﹣4，2）或（4，6）．
15．（1）证明：∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBA＝90°，
∵CH⊥AB，
∴CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，
∴＝，
∴AE FD＝AF EC．
（2）证明：连接OC，BC，
∵CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴＝，＝，
∴＝＝，
∵CE＝EH（E为CH中点），
∴BF＝DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠DCB＝90°，
∵BF＝DF，
∴CF＝DF＝BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
即CF＝BF．
（3）解：连接OF，
∵FE＝FB＝2，
∴FC＝FE＝2，
∴∠FEC＝∠FCE，
∵∠FCE+∠G＝∠FEC+∠FAB＝90°，
∴∠FAB＝∠G，
∴FA＝FG，
∴AB＝BG，
∵AO＝OB，BF＝DF，
∴OF∥AC，
∴＝＝3，
∴FG＝3FC＝6，
∴由勾股定理得：BG＝＝＝4，
∴OA＝OB＝AB＝BG＝2，
即⊙O的半径r的长为2．
16．证明：（1）∵CB＝CE，
∴∠E＝∠CBE．
∵CG为⊙O切线，
∴∠BCD＝∠E．
∴∠CBE＝∠BCD．
∴BE∥DG．
（2）∵∠A＝∠E，
∴∠A＝∠CBE．
∵∠ACB＝∠ACB，
∴△CBF∽△CAB，．
∴CB2＝CF AC＝CF （CF+AF）＝CF2+CF AF．
即CB2﹣CF2＝AF CF．
由相交弦定理，得AF CF＝BF FE．
∴CB2﹣CF2＝BF FE．
17．证明：连PO交ST于点D，则PO⊥ST；
连SO，作OE⊥PB于E，则E为AB中点，
于是
因为C、E、O、D四点共圆，
所以PC PE＝PD PO
又因为Rt△SPD∽Rt△OPS
所以
即PS2＝PD PO
而由切割线定理知PS2＝PA PB
所以
即
18．解：（1）连接OA．结论：△ABC为等腰三角形，
理由：∵＝，
∴∠EOF＝∠DOE，
又∵∠EOF+∠C＝180°，∠DOE+∠B＝180°，
∴∠C＝∠B，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，
∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，
∴E是BC中点，BE＝CE，
在Rt△AOF和Rt△AOD中，
，
∴Rt△AOF≌Rt△AOD，
∴AF＝AD，
同理Rt△COF≌Rt△COE，CF＝CE＝2，
Rt△BOD≌Rt△BOE，BD＝BE，
∴AD＝AF，BD＝CF，
∴DF∥BC，
∴＝，
∵AE＝＝4，
∴AM＝4×＝．
19．证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，
∴∠ABE＝∠DAE，又∠EAC＝∠EBC，
∴∠DAC＝∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）作AF⊥CD于F，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC＝∠AEF，又∠ABC＝∠ACB，
∴∠AEF＝∠ACB，又∠AEB＝∠ACB，
∴∠AEH＝∠AEF，
在△AEH和△AEF中，
，
∴△AEH≌△AEF，
∴EH＝EF，
∴CE+EH＝CF，
在△ABH和△ACF中，
，
∴△ABH≌△ACF，
∴BH＝CF＝CE+EH．
20．（1）证明：连接AN，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AC是⊙O的直径，
∴AN⊥BC，
∴∠CAN＝∠BAN，BN＝CN，
∵∠CAB＝2∠BCP，
∴∠CAN＝∠BCP．
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠BCP+∠ACN＝90°，
∴CP⊥AC
∵OC是⊙O的半径
∴CP是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ANC＝90°，sin∠BCP＝，
∴＝，
∴AC＝5，
∴⊙O的半径为
如图，过点B作BD⊥AC于点D．
由（1）得BN＝CN＝BC＝，
在Rt△CAN中，AN＝＝2，
在△CAN和△CBD中，
∠ANC＝∠BDC＝90°，∠ACN＝∠BCD，
∴△CAN∽△CBD，
∴＝，
∴BD＝4．
在Rt△BCD中，CD＝＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣2＝3，
∵BD∥CP，
∴＝，＝
∴CP＝，BP＝
∴△APC的周长是AC+PC+AP＝20．
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．如图，在平面直角坐标系中，已知⊙O的半径为2，动直线AB与x轴交于点P（x，0），直线AB与x轴正方向夹角为45°，若直线AB与⊙O有公共点，则x的取值范围是（ ）
A．﹣2≤x≤2 B．﹣2＜x＜2 C．0≤x≤2 D．﹣2≤x≤2
2．如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折交半径AO的延长线于点D，延长BD交⊙O于点C，AC切所在的圆于点A，则tan∠C的值是（ ）
A． B． C．2+ D．1+
3．如图，直线l1∥l2，⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移，若⊙O的半径为1，∠1＝60°，下列结论错误的是（ ）
A．MN＝ B．若MN与⊙O相切，则AM＝
C．l1和l2的距离为2 D．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切
4．如图，以OB为直径的半圆与半圆O交于点P，A、O、C、B在同一条直线上，作AD⊥AB与BP的延长线交于点D，若半圆O的半径为2，∠D的余弦值是方程3x2﹣10x+3＝0的根，则AB的长等于（ ）
A． B． C．8 D．5
5．已知△ABC的三边长为AB＝2，BC＝3，AC＝4，则三角形内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于点C交AB的延长线于点E．设点D是弦AC上任意一点（不含端点），若∠CEA＝30°，BE＝4，则CD+2OD的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．4
二．填空题（共6小题，满分30分）
7．设抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为E，与y轴交于点C，EF⊥x轴于点，若点M（m，0）是x轴上的动点，且满足以MC为直径的圆与线段EF有公共点，则实数m的取值范围是 ．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE＝ ．
9．如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝10，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为5；③当AD＝3时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在弧BC上，则AD＝5；⑤当点D从点A运动到B点时，线段EF扫过的面积是20．其中正确结论的序号是 ．
10．如图，PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点D，已知∠APB＝60°，AC＝2，那么CD的长为 ．
11．点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若AI＝2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC＝6，ID＝5，则IE的长为 ．
12．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上任一点，正方形DEFG的一边DG在直线AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上，已知DE＝9，则△ABC的面积为 ．
三．解答题（共8小题，满分60分）
13．如图1，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，且ED⊥AC．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，若线段AB、DE的延长线交于点F，∠C＝75°，CD＝2﹣，求⊙O的半径和BF的长．
14．已知，如图，点A的坐标为（2，0），⊙A交x轴于点B和C，交y轴于点D（0，4），过点D的直线与x轴交于点P，且tan∠APD＝．
（1）求证：PD是⊙A的切线；
（2）判断在直线PD上是否存在点M，使得S△MOD＝2S△AOD？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：AE FD＝AF EC；
（2）求证：FC＝FB；
（3）若FB＝FE＝2，求⊙O的半径r的长．
16．如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB＝CE．
求证：（1）BE∥DG；
（2）CB2﹣CF2＝BF FE．
17．如图，已知点P是⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A、B两点，并交ST于点C．
求证：．
18．已知△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若＝，如图1．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）设AE与DF相交于点M，如图2，AF＝2FC＝4，求AM的长．
19．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，边CD与⊙O相交于点E，连接AE，BE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若过点A作AH⊥BE于H，求证：BH＝CE+EH．
20．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M，N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，sin∠BCP＝，求△ACP的周长．
参考答案
一．选择题（共6小题，满分30分）
1．解：如图所示，当AB与⊙O相切时，有一个公共点，设这个公共点为G，连接OG，则OG⊥CD，
这时OG＝2，∠OCD＝45°，
sin45°＝，
OC＝＝2，
即x＝2，
如果直线AB在第二象限与圆相切，这时同理可求得x＝﹣2，
∴x的取值范围是﹣2≤x≤2，
故选：D．
2．解：作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．
根据对称性可知，所在圆的圆心在直线AH上，
∵AC切所在的圆于点A，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH＝90°，
∴CH是⊙O的直径，
∴∠CBH＝90°，
∴∠ABD＝∠ABH＝45°，
∴∠AHC＝∠ABC＝45°，
∴∠ACH＝∠AHC＝45°，
∴AC＝AH，
∵OC＝OH，
∴AD垂直平分线段CH，
∴DC＝DH，
∴∠DCH＝∠DHC，
∵BD＝BH，
∴∠BDH＝∠BHD＝45°，
∵∠BDH＝∠DCH+∠DHC，
∴∠DCH＝22.5°，
∴∠ACD＝∠CHB＝67.5°，
设BD＝BH＝a，则CD＝DH＝a，
∴tan∠ACB＝tan∠CHB＝＝＝1+，
故选：D．
3．解：连接OA、OB，如图1，
∵⊙O与l1和l2分别相切于点A和点B，
∴OA⊥l1，OB⊥l2，
∵l1∥l2，
∴点A、O、B共线，
∴AB为⊙O的直径，
∴l1和l2的距离为2；故C正确，
作NH⊥AM于H，如图1，
则HN＝AB＝2，
∵∠AMN＝60°，
∴sin60°＝，
∴MN＝；故A正确，
当MN与⊙O相切，如图2，连接OM，ON，
当MN在AB左侧时，∠AMO＝∠AMN＝×60°＝30°，
在Rt△AMO中，tan∠AMO＝，即AM＝＝，
在Rt△OBN中，∠ONB＝∠ONM＝60°，tan∠ONB＝，即BN＝＝，
当MN在AB右侧时，AM＝，
∴AM的长为 或；故B错误，
当∠MON＝90°时，作OE⊥MN于E，延长NO交l1于F，如图2，
∵OA＝OB，
∴Rt△OAF≌Rt△OBN，
∴OF＝ON，
∴MO垂直平分NF，
∴OM平分∠NMF，
∴OE＝OA，
∴MN为⊙O的切线．故D正确．
故选：B．
4．解：∵3x2﹣10x+3＝0，
∴x＝3（不合题意，舍去）或x＝．
∴cosD＝AD：BD＝1：3，
设AD＝x，则BD＝3x．
∴AB＝＝2x，BC＝2x﹣4．
∴（2x）2＝（2x﹣4） x．
∴x＝0（舍去），或x＝2．
∴AB＝2×2＝8．
故选：C．
5．解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，连接AI，BI，CI，设△ABC内切圆的半径为r，
设AD＝x，则BD＝2﹣x，
由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣BD2．
∴42﹣x2＝32﹣（2﹣x）2．
解得：x＝2.75．
∴CD＝＝＝，
∴S△ABC＝S△AOC+S△ABO+S△BCO，
∴＝+，
∴＝×4×r，
解得：r＝，
故选：B．
6．解：如图，作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，
∵CE切⊙O于点C，
∴∠OCE＝90°，
又∵∠CEA＝30°，
∴∠AOC＝120°，
则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．
∵BE＝4，
∴2OC＝OB+BE，即2OC＝OC+4，
则OC＝4，即圆的半径为4，
∵OA＝OF＝OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF＝AO＝OC＝FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF＝DO．
过点D作DH⊥OC于H，
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴DH＝DC sin∠DCH＝DC sin30°＝DC，
∴CD+OD＝DH+FD．
根据垂线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时CD+2OD＝2（DH+FD），
∵FH＝OF sin∠FOH＝OF＝2，
∴CD+2OD＝2（DH+FD）＝2FH＝4，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分30分）
7．解：∵M（m，0），C（0，3），
∴圆心N的坐标（，），
圆N的半径为：，
圆心到EF的距离为：|1﹣|，
由题意得，
|1﹣|≤≤，
解得：﹣≤m≤5．
故答案为：﹣≤m≤5．
8．解：如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．
由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE＝BH＝x，
由切线长定理可知，ED＝EM，FC＝FM，
∵B、F关于EH对称，
∴HF＝BH＝x，ED＝EM＝8﹣x，FC＝FM＝8﹣2x，EF＝16﹣3x，
在Rt△EFH中，∵EF2＝EH2+HF2，
∴42+x2＝（16﹣3x）2，
解得x＝6﹣或6+（舍弃），
∴AE＝6﹣，
故答案为：6﹣．
9．解：①连接CD，如图1所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴CE＝CD．
∴∠E＝∠CDE．
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°．
∴∠E+∠F＝90°，∠CDE+∠CDF＝90°．
∴∠F＝∠CDF．
∴CD＝CF．
∴CE＝CD＝CF．
∴结论“CE＝CF”正确．
②当CD⊥AB时，如图2所示．
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵AB＝10，∠CBA＝30°，
∴∠CAB＝60°，AC＝5，BC＝5．
∵CD⊥AB，∠CBA＝30°，
∴CD＝BC＝．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
点D在线段AB上运动时，CD的最小值为．
∵CE＝CD＝CF，
∴EF＝2CD．
∴线段EF的最小值为5．
∴结论“线段EF的最小值为5”正确．
③当AD＝3时，连接OC，如图3所示．
∵OA＝OC，∠CAB＝60°，
∴△OAC是等边三角形．
∴CA＝CO，∠ACO＝60°．
∵AO＝5，AD＝3，
∴DO＝2．
∴AD≠DO．
∴∠ACD＞∠OCD≠30°．
∵点E与点D关于AC对称，
∴∠ECA＝∠DCA．
∴∠ECA≠30°．
∴∠ECO≠90°．
∴OC不垂直EF．
∵EF经过半径OC的外端，且OC不垂直EF，
∴EF与半圆不相切．
∴结论“EF与半圆相切”错误．
④当点F恰好落在上时，连接FB、AF，如图4所示．
∵点E与点D关于AC对称，
∴ED⊥AC．
∴∠AGD＝90°．
∴∠AGD＝∠ACB．
∴ED∥BC．
∴△FHC∽△FDE．
∴＝．
∵FC＝EF，
∴FH＝FD．
∴FH＝DH．
∵DE∥BC，
∴∠FHC＝∠FDE＝90°．
∴BF＝BD．
∴∠FBH＝∠DBH＝30°．
∴∠FBD＝60°．
∵AB是半圆的直径，
∴∠AFB＝90°．
∴∠FAB＝30°．
∴FB＝AB＝5．
∴DB＝4．
∴AD＝AB﹣DB＝5．
∴结论“AD＝5”正确．
⑤∵点D与点E关于AC对称，
点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，
点E的运动路径AM与AB关于AC对称，
点F的运动路径NB与AB关于BC对称．
∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．
∴S阴影＝2S△ABC
＝2×AC BC
＝AC BC
＝5×5＝25．
∴EF扫过的面积为25．
∴结论“EF扫过的面积为20”错误．
故答案为：①、②、④．
10．解：连接AD，OB，OP；
∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、点B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠AOB＝180°﹣∠P＝120°，
∴∠AOP＝60°，AP＝AOtan60°＝，
∴PC＝；
∵PA2＝PD PC，
∴PD＝，
∴CD＝．
11．解：延长ID到M，使得DM＝ID，连接CM．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，
∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，∠BCD＝∠IAB，
∴∠DIC＝∠DCI，
∴DI＝DC＝DM，
∴∠ICM＝90°，
∴CM＝＝8，
∵AI＝2CD＝10，
∴AI＝IM，∵AE＝EC，
∴IE＝CM＝4，
故答案为4．
12．解：设⊙I切AC与M，切BC于N，半径为r，
则AD＝AM，CM＝CN＝r，BD＝BN，r＝（AC+BC﹣AB），
∵AB为半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴AD DB＝AM BN＝（AC﹣r）（BC﹣r）＝[AC﹣（AC+BC﹣AB）][BC﹣（AC+BC﹣AB）]
＝（AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）＝（AB2﹣AC2﹣BC2+2AC BC）＝AC BC，
由射影定理得AD DB＝DE2＝81，
∴S△ABC＝AC BC＝81，
故答案为：81．
三．解答题（共8小题，满分60分）
13．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：
如图1，连接OE，
∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，
∵ED⊥AC，
∴AC∥OE，
∴∠1＝∠C，
∵OB＝OE，
∴∠1＝∠B，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）如图2，过点O作OG⊥AC，垂足为G，则得四边形OGDE是矩形，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠B＝∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
设OG＝x，则OA＝OB＝OE＝2x，AG＝x，
∴DG＝OE＝2x，
根据AC＝AB得：4x＝x+2x+2﹣，
x＝1，
∴OE＝OB＝2，
在直角△OEF中，∠EOF＝∠A＝30°，
cos30＝，OF＝＝2÷＝，
∴BF＝﹣2，⊙O的半径为2．
14．（1）证明：∵A（2，0）D（0，4），
∴AO＝2，OD＝4，
∴在Rt△ADO中，tan∠ADO＝＝＝，
∵tan∠APD＝，
∴∠ADO＝∠APD，
∵∠AOD＝90°，
∴∠ADO+∠DAO＝90°，
∴∠DAO+∠APD＝90°，
∴∠PDA＝180°﹣90°＝90°，
∴AD⊥PD，
∵AD是⊙A的半径，
∴PD是⊙A的切线．
（2）解：在△ADO中，OA＝2，OD＝4，由勾股定理得：AD＝2，
在Rt△PDA中，tan∠APD＝＝，
即PD＝4，
由勾股定理得：AP＝＝10，
∵OA＝2，
∴OP＝8，
即P（﹣8，0），
∵D（0，4），
∴设直线PD的解析式是：y＝kx+4，
把P的坐标代入得：0＝﹣8k+4，
解得：k＝，
∴直线PD的解析式是y＝x+4，
假如存在M点，使得S△MOD＝2S△AOD，
设M的坐标是（x，x+4），
如图：
当M在y轴的左边时，过M作MN⊥OD于N，
∵S△MOD＝2S△AOD，
∴×4×（﹣x）＝2××2×4，
解得：x＝﹣4，
y＝x+4＝2，
即此时M坐标是（﹣4，2），
当M点在y轴的右边时，同法可求M的横坐标是4，代入y＝x+4得y＝6，
此时M的坐标是（4，6），
即在直线PD上存在点M，使得S△MOD＝2S△AOD，点M的坐标是（﹣4，2）或（4，6）．
15．（1）证明：∵BD是⊙O的切线，
∴∠DBA＝90°，
∵CH⊥AB，
∴CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，
∴＝，
∴AE FD＝AF EC．
（2）证明：连接OC，BC，
∵CH∥BD，
∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，
∴＝，＝，
∴＝＝，
∵CE＝EH（E为CH中点），
∴BF＝DF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠DCB＝90°，
∵BF＝DF，
∴CF＝DF＝BF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
即CF＝BF．
（3）解：连接OF，
∵FE＝FB＝2，
∴FC＝FE＝2，
∴∠FEC＝∠FCE，
∵∠FCE+∠G＝∠FEC+∠FAB＝90°，
∴∠FAB＝∠G，
∴FA＝FG，
∴AB＝BG，
∵AO＝OB，BF＝DF，
∴OF∥AC，
∴＝＝3，
∴FG＝3FC＝6，
∴由勾股定理得：BG＝＝＝4，
∴OA＝OB＝AB＝BG＝2，
即⊙O的半径r的长为2．
16．证明：（1）∵CB＝CE，
∴∠E＝∠CBE．
∵CG为⊙O切线，
∴∠BCD＝∠E．
∴∠CBE＝∠BCD．
∴BE∥DG．
（2）∵∠A＝∠E，
∴∠A＝∠CBE．
∵∠ACB＝∠ACB，
∴△CBF∽△CAB，．
∴CB2＝CF AC＝CF （CF+AF）＝CF2+CF AF．
即CB2﹣CF2＝AF CF．
由相交弦定理，得AF CF＝BF FE．
∴CB2﹣CF2＝BF FE．
17．证明：连PO交ST于点D，则PO⊥ST；
连SO，作OE⊥PB于E，则E为AB中点，
于是
因为C、E、O、D四点共圆，
所以PC PE＝PD PO
又因为Rt△SPD∽Rt△OPS
所以
即PS2＝PD PO
而由切割线定理知PS2＝PA PB
所以
即
18．解：（1）连接OA．结论：△ABC为等腰三角形，
理由：∵＝，
∴∠EOF＝∠DOE，
又∵∠EOF+∠C＝180°，∠DOE+∠B＝180°，
∴∠C＝∠B，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形；
（2）连接OB、OC、OD、OF，如图，
∵等腰三角形ABC中，AE⊥BC，
∴E是BC中点，BE＝CE，
在Rt△AOF和Rt△AOD中，
，
∴Rt△AOF≌Rt△AOD，
∴AF＝AD，
同理Rt△COF≌Rt△COE，CF＝CE＝2，
Rt△BOD≌Rt△BOE，BD＝BE，
∴AD＝AF，BD＝CF，
∴DF∥BC，
∴＝，
∵AE＝＝4，
∴AM＝4×＝．
19．证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，
∴∠ABE＝∠DAE，又∠EAC＝∠EBC，
∴∠DAC＝∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC；
（2）作AF⊥CD于F，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC＝∠AEF，又∠ABC＝∠ACB，
∴∠AEF＝∠ACB，又∠AEB＝∠ACB，
∴∠AEH＝∠AEF，
在△AEH和△AEF中，
，
∴△AEH≌△AEF，
∴EH＝EF，
∴CE+EH＝CF，
在△ABH和△ACF中，
，
∴△ABH≌△ACF，
∴BH＝CF＝CE+EH．
20．（1）证明：连接AN，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵AC是⊙O的直径，
∴AN⊥BC，
∴∠CAN＝∠BAN，BN＝CN，
∵∠CAB＝2∠BCP，
∴∠CAN＝∠BCP．
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠BCP+∠ACN＝90°，
∴CP⊥AC
∵OC是⊙O的半径
∴CP是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ANC＝90°，sin∠BCP＝，
∴＝，
∴AC＝5，
∴⊙O的半径为
如图，过点B作BD⊥AC于点D．
由（1）得BN＝CN＝BC＝，
在Rt△CAN中，AN＝＝2，
在△CAN和△CBD中，
∠ANC＝∠BDC＝90°，∠ACN＝∠BCD，
∴△CAN∽△CBD，
∴＝，
∴BD＝4．
在Rt△BCD中，CD＝＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣2＝3，
∵BD∥CP，
∴＝，＝
∴CP＝，BP＝
∴△APC的周长是AC+PC+AP＝20．