2020--2021学年苏科版九年级数学下册 第五章 二次函数 综合练 习 （word版含答案）

第五章 《 二次函数》综合练
2021-2022学年苏科版九年级数学下册
一、选择题
1、二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下：
… 0 1 …
… 1 …
则代数式的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2、根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是(　　)
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
3、如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三个同学的说法如下，
小明：若b＝-3，则点M的个数为0； 小云：若b ＝ 1，则点M的个数为1；
小朵：若b ＝ 3，则点M的个数为2． 下列判断正确的是（ ）．
A．小云错，小朵对 B．小明，小云都错 C．小云对，小朵错 D．小明错，小朵对
（3题） （6题）
4、已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
5、二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表：
x 0 1 3
y 3 5 3
下列结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程的一个根；④当时，．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6、将抛物线y=x2-4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线、直线y=-3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7、某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
8、向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
9、如图．正方形中，，对角线，相交于点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，到点，时停止运动，设运动时间为，的面积为，则与的函数关系可用图象表示为（ ）
A．B．C．D．
10、如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP．
①点E在⊙M的内部；②CD的长为；③若P与C重合，则∠DPE＝15°；
④在P的运动过程中，若，则；
⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是π．
则正确的选项为（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
二、填空题
11、函数是关于x的二次函数，则m=___
12、把二次函数化成的形式是_____________.
13、二次函数y＝（x＋3）2﹣5的顶点坐标是____________
14、已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
若点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，则y1　 　y2．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
15、已知抛物线y＝x2－2x+c的顶点A在直线y＝x－5上，求该抛物线的解析式为_________.
A.y＝x2－2x－3 B.y＝x2+2x+3 C.y＝x2－2x－4 D.y＝x2+6x+4
16、已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是　 　．
17、如图，在水平的地面BD上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆AB，CD，以点B为坐标原点，直线BD为轴建立平面直角坐标系．已知电线杆之间的电线可近似地看成抛物线,则电线最低点离地面的距离是_______米．
18、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上位于直线下方一动点，当时，点的坐标为__________．
19、如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点(2,0)．下列说法：①；② ；③；④若，是抛物线上的两点，则．
其中说法正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①④ D．③④
20、如图，一次函数y＝x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y＝－x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB＝∠ACB，则所有满足条件的点M的坐标为__________．
三、解答题
21、已知二次函数y＝x2+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A(﹣1，0)，C(4，0)，AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
22、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），交直线AD于点D（3，），过点D作DC⊥x轴于点C．
（1）直接写出：a＝　 　，b＝　 　；
（2）点P为x轴正半轴上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线AD于点M，交抛物线于点N；若点P在线段OC上（不与O、C重合），连接CM，求△PCM面积的最大值．
23、某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y（m）与喷出水流喷嘴的水平距离x（m）之间满足
（l）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
24、某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形的边米，面积为平方米．
（1）求活动区面积与之间的关系式，并指出的取值范围；
（2）当为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．
25、某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求活动区的最大面积；
（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？
26、某厂为满足市场需求，改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个，如果每增加一条生产线，每条生产线每天就会少生产20个口罩，设增加x条生产线（x为正整数），每条生产线每天可生产口罩y个．（1）请直接写出y与x之间的函数表达式是　 ；
（2）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出当x为多少时，每天生产的口罩数量w最多？最多为多少个？
（3）由于口罩供不应求，所以每天生产的口罩数量不能低于6000个，请直接写出需要增加的生产线x条的取值范围．
27、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
28、如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
29、已经二次函数y＝ax2+bx+1．
（1）如图，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
①求二次函数解析式；
②F为线段BC上一点，过F分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为E、F，当四边形OEFG为正方形时，求点F坐标；
（2）其图象上仅有一个点的横坐标、纵坐标互为相反数，且二次函数y＝ax2+bx+1函数值存在负数，求b的取值范围．
30、如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A，B，C三点的坐标．
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积．
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．
第五章 《 二次函数》综合练
2021-2022学年苏科版九年级数学下册（解析）
一、选择题
1、二次函数，（，，，为常数）的部分对应值列表如下：
… 0 1 …
… 1 …
则代数式的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】
由表格数据可知，当x=-2或0时，y=-2，所以可以判断出，（-1，-3）是抛物线的顶点，于是假设顶点式，代入一组数据可求出解析式，得出a、b、c的值，于是可求出9a 3的值．
【详解】
解：由表格数据可知，当x=-2或0时，y= 2；∴（-1，-3）是抛物线的顶点，
∴y=a(x+1)2 3
把x=0，y=-2代入得a=1，∴y=(x+1)2 3=
∴a=1，,b=,2,c=-2, ∴9a 3b= 9×1 3×2=3.
故选：A
2、根据下面表格中的对应值：
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是(　　)
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
【答案】C
【解】：函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax2+bx+c=0的根，
函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0；
由表中数据可知：y=0在y=-0.02与y=0.03之间，
∴对应的x的值在3.24与3.25之间即3.24＜x＜3.25．
故选C．
3、如图，小聪要在抛物线y ＝x（2-x）上找一点M（a，b），针对b的不同取值，所找点M的个数，三个同学的说法如下，
小明：若b＝-3，则点M的个数为0； 小云：若b ＝ 1，则点M的个数为1；
小朵：若b ＝ 3，则点M的个数为2． 下列判断正确的是（ ）．
A．小云错，小朵对 B．小明，小云都错 C．小云对，小朵错 D．小明错，小朵对
【答案】C
【解】
∵点，
当时，则，整理得，
∵，∴有两个不相等的值，∴点的个数为2；
当时，则，整理得，
∵，∴有两个相同的值，∴点的个数为1；
当时，则，整理得，
∵，∴点的个数为0；
∴小明错，小云对，小朵错
故选：C．
4、已知抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，则该抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据抛物线图像性质可得A点是抛物线顶点坐标，再根据顶点坐标公式进行求解即可.
解：∵抛物线经过点，且该抛物线的对称轴经过点A，
∴函数的顶点坐标是，
∴，解得，经检验均符合，∴该抛物线的解析式为.
故选D.
5、二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表：
x 0 1 3
y 3 5 3
下列结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程的一个根；④当时，．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【分析】
①函数的对称轴为：x=(0+3)=，对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，即可求解；
②函数的对称轴为x=，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，当x=3时，ax2+bx+c=3，即可求解；
④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为1，即可求解．
【详解】
解：①函数的对称轴为：x=(0+3)=，
对称轴左侧y随x的增大而增大，故a＜0，x=0，y=3=c＞0，
故①正确，符合题意；
②函数的对称轴为x=，对称轴左侧，即时，y随x的增大而增大，故②错误，不符合题意；
③ax2+(b-1)x+c=0，则ax2+bx+c=x，
当x=3时，ax2+bx+c=3，故③正确，符合题意；
④由③知，3是方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根，由函数的对称轴知其另外一个根为-1，
故当-1＜x＜3时，ax2+(b-1)x+c>0，故④正确，符合题意；
故答案为：①③④．
6、将抛物线y=x2-4x+1向左平移至顶点落在y轴上，如图所示，则两条抛物线、直线y=-3和x轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】
B，C分别是顶点，A、D是抛物线与x轴的两个交点，连接CD，AB，阴影部分的面积就是平行四边形ABCD的面积，
【详解】
B，C分别是顶点，A、D是抛物线与x轴的两个交点，连接CD，AB，
如图，阴影部分的面积就是平行四边形ABCD的面积，
∵y= x2-4x+1=（x-2）2-3, ∴C（2，-3）,∴BC=2
∵直线y=-3,∴BD=3,∴S＝2×3＝6；
故选：C．
7、某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点到的距离为．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系，则水流喷出的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．
【详解】
解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：
，解得：，∴函数表达式为：，
∵a＜0，故函数有最大值，
∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2，
答：水流喷出的最大高度为2米．
故选：D．
8、向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【答案】C
解：此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，
抛物线的对称轴直线是：，
抛物线开口向下，
时，函数值最大，
即第12秒炮弹所在高度最高，
故选：C．
9、如图．正方形中，，对角线，相交于点，点，分别从，两点同时出发，以的速度沿，运动，到点，时停止运动，设运动时间为，的面积为，则与的函数关系可用图象表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
因BE=CF，根据正方形的性质，可证明△BOE≌△COF，从而这两个三角形的面积相等，故四边形OECF的面积等于△BOC的面积，故有△OEF的面积=四边形OECF的面积 △ECF的面积，而△ECF的面积则可以用t的代数式表示出来，从而可得△OEF的面积关于t的函数关系式，最后可判定结果．
【详解】
由题意，得：BE=CF=tcm，则CE=BC-BE=(8-t)cm
∵四边形ABCD是正方∴∠OBE=∠OCF=45゜，OB=OC
∴△OBE≌△OCF,∴, ∴
∵
∴
∴
根据函数解析式知正确答案为：B
故选：B．
10、如图，抛物线的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y负半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP．
①点E在⊙M的内部；②CD的长为；③若P与C重合，则∠DPE＝15°；
④在P的运动过程中，若，则；
⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是π．
则正确的选项为（ ）
A．①②④ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤
【分析】
①ME＝2＝AM，可知点E在⊙M上，答案可求；
②由题意，OD＝，利用勾股定理OC可求，故CD＝OC＋OD，结论可得；
③由锐角三角函数可求∠OCM＝30°，利用平行线和等腰三角形的性质可求∠ECD＝∠OCM＝15°，结论可得；
④连接EA，EB，过点A作AK⊥PE于K，利用圆周角定理和锐角三角函数求得AK，EK，KP，则PE＝EK＋PK，结论可得；
⑤连接MN，则MN⊥PE，可得点N的运动轨迹，根据圆的周长公式，可得点N运动的路径长．
【详解】
解：∵y＝﹣＋x＋＝﹣＋2，∴顶点E（1，2）．
∴M（1，0）．∴OM＝1，ME＝2.
令x＝0，则y＝．∴D（0，）．∴OD＝．
令y＝0，则．解得：x＝﹣1或x＝3．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝4． ∴⊙M的半径为2；
①∵ME＝2，⊙M的半径为2，∴E点在⊙M上．故①不正确；
②连接MC，则MC＝2，如下图：
在Rt△OCM中，sin∠OCM＝，∴∠OCM＝30°．∴OC＝MC×cos30°＝．
∴CD＝OC＋OD＝．故②不正确；
③连接MC，ME，CE，如下图：
由②知：∠OCM＝30°． ∵ME∥OC，∴∠MEC＝∠DCE．
∵ME＝MC＝2，∴∠MCE＝∠MEC．∴∠MCE＝∠DCE＝∠OCM＝15°．
∵P与C重合，∴∠DPE＝∠DCE＝15°．故③正确；
④如下图，连接PB，AE，ME，过点A作AK⊥PE于K，
∵ME＝2，∴E点在⊙M上．∴∠AEP＝∠ABP．
∵AB是圆的直径，
∴∠APB＝90°．∴sin∠ABP＝．∴∠ABP＝60°．∴∠AEP＝60°．
∵AE＝，
∴EK＝AE cos∠AEP＝．AK＝AE sin∠AEP＝．
∵∠AME＝90°，∴∠APE＝∠AME＝45°．
∴△AKP为等腰直角三角形．∴PK＝AK＝．∴PE＝EK＋PK＝．故④正确；
⑤如下图，连接AE，BE，设AE，BE的中点分别为G，F，连接GF交ME于点R．
∵G，F为EA，EB的中点，∴FG为△EAB的中位线．∴FG＝AB＝2.
连接MN，
∵N为PE的中点，M为圆心，∴MN⊥PE．
∴点N的运动轨迹为以ME为直径的半圆．即点N的运动轨迹是以点G，F为端点的半圆．
∴点N运动的路径长是×2π×1＝π．故⑤正确；
综上，正确的选项为③④⑤．故选：D．
二、填空题
11、函数是关于x的二次函数，则m=___
【答案】2
【分析】
根据二次函数的定义可得，求解即可．
【详解】
解：∵函数是关于x的二次函数，
∴，解得，
故答案为：2．
12、把二次函数化成的形式是_____________.
【答案】
【分析】
运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【详解】
y＝x2 4x＋1
＝x2 4x＋4 3
＝（x 2）2 3，
13、二次函数y＝（x＋3）2﹣5的顶点坐标是____________
【答案】（﹣3，﹣5）
【分析】
根据顶点式可直接写出顶点坐标．
【详解】
解：∵抛物线解析式为y＝（x＋3）2﹣5，
∴二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，﹣5）．
14、已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
若点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，则y1　 　y2．（选填“＞”、“＜”或“＝”）
【分析】由表中对应值可得到抛物线的对称轴为直线x=，且抛物线开口向上，然后根据两点到对称轴的距离进行判断即可．
【解析】∵x＝0时，y＝6；x＝1时，y＝6，
∴抛物线的对称轴为直线x=，且抛物线开口向下，
∵点P（m2﹣2，y1）、Q（m2+4，y2）在抛物线上，且|m2﹣2-|＜|m2+4-|，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
15、已知抛物线y＝x2－2x+c的顶点A在直线y＝x－5上，求该抛物线的解析式为_________.
A.y＝x2－2x－3 B.y＝x2+2x+3 C.y＝x2－2x－4 D.y＝x2+6x+4
解答：∵抛物线y＝x2－2x+c的对称轴为x＝1，∴顶点A的横坐标为1，
∵顶点A在直线y＝x－5上，∴y＝1－5＝－4，则A（1，－4），
把A（1，－4）代入y＝x2－2x+c得：1－2+c＝－4，解得：c＝－3，
∴y＝x2－2x－3，
故选：A.
16、已知二次函数y＝x2+2x+n，当自变量x的取值在﹣2≤x≤1的范围内时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是　 　．
【分析】先确定抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，若函数的图象与x轴有且只有一个公共点，利用函数图象，当x＝﹣1，y＝0且x＝1，y≥0时，在﹣2≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，即1+2+n≥0且4﹣4+n＜0，解不等式组即可．
【解析】抛物线的对称轴为直线，
若抛物线与x轴有一个交点，则当x＝﹣1，y＝0；
当x＝1，y≥0时，在﹣2≤x≤1的范围内时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，
即1+2+n≥0且4﹣4+n＜0，解得﹣3≤n＜0；
所以，n的取值范围是n＝1或﹣3≤n＜0．
故答案为n＝1或﹣3≤n＜0．
17、如图，在水平的地面BD上有两根与地面垂直且长度相等的电线杆AB，CD，以点B为坐标原点，直线BD为轴建立平面直角坐标系．已知电线杆之间的电线可近似地看成抛物线,则电线最低点离地面的距离是_______米．
【答案】2.8
【分析】
把抛物线一般式化为顶点式,得到顶点坐标,即可得电线最低点离地面的距离．
【详解】
解：∵，
∴顶点坐标为，
∴电线最低点离地面的距离是2.8米，
故答 为：2.8．
18、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，点是抛物线上位于直线下方一动点，当时，点的坐标为__________．
【答案】(2，-3)
【分析】作点C关于x轴的对称点，连接B，则∠ABC=∠AB，从而得B∥CP，利用待定系数法，先求出直线B的解析式，再求出直线CP的解析式，进而即可求解．
【详解】解：作点C关于x轴的对称点，连接B，则∠ABC=∠AB，∴∠CB=2∠ABC，
∵，∴=∠CB，∴B∥CP，
∵抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，
∴C的坐标为：（0，-2），B(4，0)， ∴(0，2)，
设直线B的解析式为：y=kx+b，
把(0，2)，B(4，0)代入y=kx+b，得：，解得：，
∴直线B的解析式为：y=x+2，
∵B∥CP，
∴设直线CP的解析式为：y=x+m，
把C（0，-2）代入y=x+m，得：m=-2， ∴直线CP的解析式为：y=x-2，
∴x-2=，解得：x1=2，x2=0（舍去），
∴P(2，-3)． 故答案是：(2，-3)．
19、如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点(2,0)．下列说法：①；② ；③；④若，是抛物线上的两点，则．
其中说法正确的是（ ）
A．①②④ B．①③ C．①④ D．③④
【答案】A
【分析】
利用抛物线开口方向得到a＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-a＞0，利用抛物线与y轴的交点在x轴上方得到c＞0，则可对①进行判断；利用抛物线经过点（2，0）得到4a+2b+c=0，同时得到c=-2a，加上b=-a，则可对②进行判断；利由抛物线与x轴有两个交点结合根的判别式，即可得出b2-4ac＞0，，则可对③进行判断；通过比较点（-，y1）到直线x=的距离与点（，y2）到直线x=的距离的大小可对④进行判断．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x==，∴b=-a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线经过点（2，0），∴4a+2b+c=0，∴c=-2a，∴-2b+c=2a-2a=0，所以②正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴△=b2-4ac＞0，所以③错误；
∵点（，y1）到直线x=的距离比点（，y2）到直线x=的距离大，∴y1＜y2；所以④正确．
故选：A．
20、如图，一次函数y＝x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y＝－x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB＝∠ACB，则所有满足条件的点M的坐标为__________．
【答案】或
【分析】
讨论：当点M在直线AB上方时，根据圆周角定理可判断点M在△ABC的外接圆上，如图所示，由于抛物线的对称轴垂直平分AC，则△ABC的外接圆的圆心在对称轴上，设圆心的坐标为，根据半径相等得到，解方程求出t得到圆心的坐标为，然后确定的半径为，从而得到此时M点的坐标；当点M在直线AB下方时，作关于AB的对称点，如图所示，通过证明可判断在x轴上，则点的坐标为，然后计算DM即可得到此时M点坐标．
【详解】
（1）当点M在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上，
∵△ABC的外接圆的圆心在对称轴上，设圆心的坐标为，则，
∴，解得，∴圆心的坐标为，
∴，即的半径为，此时M点的坐标为．
当点M在直线AB下方时，作关于AB的对称点，如图所示，
∵，∴，
∵轴，∴，
∴，在x轴上，∴点的坐标为，
∴，∴，此时点M的坐标为．
综上所述，点M的坐标为或．
三、解答题
21、已知二次函数y＝x2+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A(﹣1，0)，C(4，0)，AC＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）见解析；
（3）存在，点P的坐标为(1，8)或(1，﹣2)或(1，6)或(1，﹣1)
【分析】
（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程组，从而可求得b、c的值；
（2）根据函数的表达式取点、描点连线即可画出函数的图象；
（3）存在，设P（1，m），分三种情况：分别以A，B，P为直角顶点，根据勾股定理和两点的距离公式列方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）∵点A（-1，0），C（4，0），∴AC=5，OC=4，
∵AC=BC=5，∴B（4，5），
把A（-1，0）和B（4，5）代入二次函数y=x2+bx+c中得：
，解得，∴二次函数的解析式为：y=x2-2x-3；
（2）由函数的表达式，取值列表如下：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 -3 -4 -3 0 …
根据表格数据，绘制函数图象如下：
（3）存在，
y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴设P（1，m），
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2=PA2，
∴（4-1）2+（m-5）2+（4+1）2+52=（1+1）2+m2，解得：m=8，∴P（1，8）；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2=PB2，
∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52=（4-1）2+（m-5）2，解得：m=-2，∴P（1，-2）；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2=BA2，
∴（1+1）2+m2+（4-1）2+（m-5）2=（4+1）2+52，解得：m=6或-1，∴P（1，6）或（1，-1）；
综上，点P的坐标为（1，8）或（1，-2）或（1，6）或（1，-1）．
22、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），交直线AD于点D（3，），过点D作DC⊥x轴于点C．
（1）直接写出：a＝　 　，b＝　 　；
（2）点P为x轴正半轴上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线AD于点M，交抛物线于点N；若点P在线段OC上（不与O、C重合），连接CM，求△PCM面积的最大值．
【答案】（1）﹣，；（2）最大值为
【分析】
（1）将点B、D的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）由△PCM的面积＝PC PM，即可求解．
【详解】
解：（1）将点B、D的坐标代入二次函数表达式得：，解得，
则函数的表达式为：y＝x2+x+1， 故答案为，；
（2）∵抛物线y＝x2+x+1，与y轴交于点A，∴令，则 , ∴可知A点坐标为（0，1），
∴可设直线AD的解析式为y＝mx+1．
把点D的坐标（3，）代入y＝mx+1中，得＝3m+1，∴m＝．
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
∵DC⊥x轴，∴OC＝3．
设OP＝k，则PC＝3﹣k，且0＜k＜3．∴点M（k，k+1），∴PM＝k+1，
∴△PCM的面积＝，
∴当k＝时，△PCM的面积最大，最大值为．
23、某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y（m）与喷出水流喷嘴的水平距离x（m）之间满足
（l）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？
（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
【答案】(1) 2m；(2) 4m．
【详解】
试题分析:(1)把二次函数配方得:,求二次函数最值即可,
(2)由(1)可知,当y=0时,,解得则即可.
(1)二次函数y=x2+2x，
y=（x﹣2）2+2，
∴当x=2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y=2m；
（2）令y=0，则x2+2x=0，
解得，x1=0，x2=4，
答：喷嘴喷出水流的最远距离为4m．
24、某中学课外活动小组准备围成一个矩形的活动区，其中一边靠墙，另外三边用总长为40米的栅栏围成，已知墙长为22米（如图），设矩形的边米，面积为平方米．
（1）求活动区面积与之间的关系式，并指出的取值范围；
（2）当为多少米时，活动区的面积最大？并求出最大面积．
解：（1）四边形是矩形，米，米，
墙长为22米，， ∴，
，
即()；
（2）设矩形的面积为
，
由（1）知，，
当时，有最大值200，
即当为10米时，活动区的面积最大，最大面积是200平方米．
25、某社区决定把一块长50m，宽30m的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区（四块绿化区为大小、形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，设绿化区较长边为xm，活动区的面积为ym2．为了想知道出口宽度的取值范围，小明同学根据出口宽度不小于14m，算出x≤18．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）求活动区的最大面积；
（3）预计活动区造价为50元/m2，绿化区造价为40元/m2，若社区的此项建造投资费用不得超过72000元，求投资费用最少时活动区的出口宽度？
【分析】（1）根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出函数解析式便可，图形可得结论；
（2）根据题意可得y与x的关系式；
（3）根据二次函数的增减性及解一元二次方程可得结论；
【解答】解：（1）根据题意，绿化区的宽为：[30﹣（50﹣2x）]÷2＝x﹣10
∴y＝50×30﹣4x（x﹣10）＝﹣4x2+40x+1500，
∵4个出口宽度相同，其宽度不小于14m，不大于26m，
∴12≤x≤18，
∴y＝﹣4x2+40x+1500（12≤x≤18）；
（2）y＝﹣4x2+40x+1500＝﹣4（x﹣5）2+1600，
∵a＝﹣4＜0，抛物线的开口向下，当12≤x≤18时，y随x的增大而减小，
∴当x＝12时，y最大＝1404，
答：活动区的最大面积为1404m2．
（3）设投资费用为w元，
由题意得，w＝50（﹣4x2+40x+1500）+40×4x（x﹣10）＝﹣40（x﹣5）2+76000，
∴当w＝72000时，解得：x1＝﹣5（不符合题意舍去），x2＝15，
∵a＝﹣40＜0，
∴当x≥15时，w≤72000，
又∵12≤x≤18，
∴15≤x≤18，
∴当x＝18时，投资费用最少，此时出口宽度为50﹣2x＝50﹣2×18＝14（m），
答：投资最少时活动区的出口宽度为14m．
26、某厂为满足市场需求，改造了10条口罩生产线，每条生产线每天可生产口罩500个，如果每增加一条生产线，每条生产线每天就会少生产20个口罩，设增加x条生产线（x为正整数），每条生产线每天可生产口罩y个．
（1）请直接写出y与x之间的函数表达式是　 ；
（2）设该厂每天可以生产的口罩w个，请求出w与x的函数关系式，并求出当x为多少时，每天生产的口罩数量w最多？最多为多少个？
（3）由于口罩供不应求，所以每天生产的口罩数量不能低于6000个，请直接写出需要增加的生产线x条的取值范围．
【答案】（1）y＝500﹣20x（1≤x＜25，且x为正整数）；（2）w＝﹣20x2+300x+5000，当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个；（3）5≤x≤10（x为正整数）
【分析】
（1）由题意可知该函数关系为一次函数，直接写出其解析式及自变量的取值范围即可；
（2）先根据题意写出关于x的二次函数，再将其配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
（3）生产线的条数乘以每条生产线生产的口罩数量＝6000，据此列出一元二次方程，求解并根据题意得出x的取值范围．
【详解】
解：（1）由题意可知该函数关系为一次函数，其解析式为：y＝500﹣20x；
故y与x之间的函数关系式为y＝500﹣20x（1≤x＜25，且x为正整数），
故答案为：y＝500﹣20x（1≤x＜25，且x为正整数）；
（2）w＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，
∵a＝﹣20＜0，开口向下，∴当x＝7.5时，w最大，
又∵x为整数，∴当x＝7或8时，w最大，最大值为6120；
答：当增加7或8条生产线时，每天生产的口罩数量最多，为6120个；
（3）由题意得： （10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理得：x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10，
由（2）得：w＝﹣20x2+300x+5000，
∵a＝﹣20＜0，开口向下，
∴需要增加的生产线x条的取值范围是：5≤x≤10（x为正整数）．
27、如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
（3）若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）利用待定系数法确定直线BC的解析式为y＝﹣x+5，设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），则DE＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，利用三角形的面积公式进行讨论：当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3；当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，从而可得到关于x的方程，然后解方程求出x就看得到对应的D点坐标；
（3）先确定抛物线的对称轴，如图，设M（2，t），利用两点间的距离公式得到BC2＝50，MC2＝t2﹣10t+29，MB2＝t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，则50+t2﹣10t+29＝t2+9；当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，则50+t2+9＝t2﹣10t+29；当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，则t2﹣10t+29+t2+9＝50，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y＝ax2+bx+5，
得：，解得，则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）能．
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把C（0，5），B（5，0）代入得，解得，所以直线BC的解析式为y＝﹣x+5，
设D（x，﹣x2+4x+5），则E（x，﹣x+5），F（x，0），（0＜x＜5），
∴DE＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，EF＝﹣x+5，
当DE：EF＝2：3时，S△BDE：S△BEF＝2：3，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝2：3，
整理得3x2﹣17x+10＝0，解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
当DE：EF＝3：2时，S△BDE：S△BEF＝3：2，即（﹣x2+5x）：（﹣x+5）＝3：2，
整理得2x2﹣13x+15＝0，解得x1＝，x2＝5（舍去），此时D点坐标为（，）；
综上所述，当点D的坐标为（，）或（，）时，
直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝2，如图，
设M（2，t），
∵B（5，0），C（0，5），
∴BC2＝52+52＝50，MC2＝22+（t﹣5）2＝t2﹣10t+29，MB2＝（2﹣5）2+t2＝t2+9，
当BC2+MC2＝MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM＝90°，即50+t2﹣10t+29＝t2+9，解得t＝7，
此时M点的坐标为（2，7）；
当BC2+MB2＝MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM＝90°，即50+t2+9＝t2﹣10t+29，解得t＝﹣3，此时M点的坐标为（2，﹣3）；
当MC2+MB2＝BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB＝90°，即t2﹣10t+29+t2+9＝50，
解得t1＝6，t2＝﹣1，此时M点的坐标为（2，6）或（2，﹣1），
综上所述，满足条件的M点的坐标为（2，7），（2，﹣3），（2，6），（2，﹣1）．
28、如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；
（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【分析】
（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标
【详解】
解：（1）∵直线经过点, ∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）
∴解得, ∴该抛物线的解析式为
（2）的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x1=1，x2=5, ∴A（1,0），B（5,0）
∵抛物线的对称轴l为x=3, ∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）, ∴OB=CO=5,即∠ABP=45°, ∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°, ∴∠APC=180°-90°=90°, ∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，∴∠ACM1=∠CAM1 ∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形. ∴AH=BH=NH=2, ∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5),A(1，0), ∴ 解得b=5，k=-5, ∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）,∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵ 解得 ,∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2（a，-a+5）,则有：3=，解得a= ,∴-a+5=,∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
29、已经二次函数y＝ax2+bx+1．
（1）如图，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1．
①求二次函数解析式；
②F为线段BC上一点，过F分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为E、F，当四边形OEFG为正方形时，求点F坐标；
（2）其图象上仅有一个点的横坐标、纵坐标互为相反数，且二次函数y＝ax2+bx+1函数值存在负数，求b的取值范围．
【分析】（1）①根据点A的坐标和对称轴解析式，即可得解；
②根据抛物线的对称性得出点B坐标，求出BC解析式，设点，根据正方形的性质求出m的值，即可得点F坐标；
（2）由题意可得﹣x＝ax2+bx+1有两相等实根，y＝ax2+bx+1存在负值，利用根的判别式即可求解．
【解答】解：（1）①由题：
∴二次函数解析式为：；
②设BC解析式为：y＝kx+b，对称轴为直线x＝1．
∵图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，对称轴为直线x＝1．∴点B（3，0），
将B（3，0），C（0，1）代入得：
∴BC解析式为：，
设点，
∵四边形OEFG是正方形，∴EF＝GF，
（2）二次函数的图像其有且只有一个点横、纵坐标之和互为相反数，
∴﹣x＝ax2+bx+1有两相等实根，即ax2+（b+1）x+1＝0有两相等实根，
∵y＝ax2+bx+1存在负值，
∴b2﹣4a＝b2﹣（b+1）2＞0，解得，
综上：且．
30、如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求A，B，C三点的坐标．
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积．
（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．
【分析】（1）通过解析式即可得出C点坐标，令y＝0，解方程得出方程的解，即可求得A、B的坐标．
（2）设M点横坐标为m，则PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，矩形PMNQ的周长＝﹣2m2﹣8m+2，将﹣2m2﹣8m+2配方，根据二次函数的性质，即可得出m的值，然后求得直线AC的解析式，把x＝m代入可以求得三角形的边长，从而求得三角形的面积，
（3）先确定出点D坐标，进而得出FG，再由FG＝4建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知点C（0，3），
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得x＝﹣3或x＝1，
∴点A（﹣3，0），B（1，0）．
（2）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4可知，对称轴为直线x＝﹣1，
设点M的横坐标为m，则PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝（﹣m﹣1）×2＝﹣2m﹣2，
∴矩形PMNQ的周长＝2（PM+MN）＝2（﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2）＝﹣2m2﹣8m+2＝﹣2（m+2）2+10，
∴当m＝﹣2时矩形的周长最大．
∵点A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的函数表达式为y＝x+3，
当x＝﹣2时，y＝﹣2+3＝1，则点E（﹣2，1），∴EM＝1，AM＝1，∴S＝AM EM＝．
（3）∵当矩形PMNQ的周长最大时，点M的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴N（0，0），Q（0，3），∴点N应与原点重合，点Q与点C重合，∴DQ＝DC，
把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，得y＝4，∴点D（﹣1，4）．
∵C（0，3），∴DC＝，∴DQ＝DC＝
∵FG＝2DQ＝2×＝4，
设点F（n，﹣n2﹣2n+3），则点G（n，n+3），
∵点G在点F的上方，
∴（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4，解得n＝﹣4或n＝1．
∴点F（﹣4，﹣5）或（1，0）．