2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学下册 5.9弧长及扇形面积 同步达标测评 （word版含解析）

2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5.9弧长及扇形面积》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（　　）
A．5 B．π C． D．π
2．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，点C，D在直径AB的两侧．若∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，CD＝4，则的长为（　　）
A．2π B．4π C． D．π
3．若扇形的弧长是5π，半径是18，则该扇形的圆心角是（　　）
A．50° B．60° C．100° D．120°
4．挂钟的分针长10cm，经过45分钟，它的针尖经过的路程是（　　）
A．cm B．15πcm C．cm D．75πcm
5．如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E．若AB＝8，∠CAB＝30°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣ B．π﹣2 C．π﹣ D．π﹣2
6．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．﹣ B．π﹣ C．﹣2 D．π﹣2
7．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣1 B．﹣1 C．π﹣ D．﹣
二．填空题（共6小题，满分30分）
8．如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为　 　（结果保留π）．
9．如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为　 　．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，以AB为直径的⊙O，交AC于E点，交BC于D点．若劣弧DE的长为，则∠BAC＝　 　．
11．如图，在三角形广场ABC的三个角处各建一个半径相等的扇形草坪，草坪的半径长为20m，则草坪的总面积为　 　．（保留π）
12．如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为　 　．
13．如图，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆，连接AB．若阴影部分的面积为（π﹣1），则AC＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分55分）
14．如图，的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°．
（1）求弦AB的长．
（2）求的长．
15．如图，在⊙O中，AB＝AC．
（1）求证：OA平分∠BAC．
（2）若＝3：2，试求∠BAC的度数．
16．在平行四边形ABCD中，∠ABC是锐角，过A、B两点以r为半径作⊙O．
（1）如图，对角线AC、BD交于点M，若AB＝BC＝2，且过点M，求r的值；
（2）⊙O与边BC的延长线交于点E，DO的延长线交于⊙O于点F，连接DE、EF、AC，若∠CAD＝45°，的长为r，当CE＝AB时，求∠DEF的度数．（提示：可再备用图上补全示意图）
17．如图，A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求的长．
18．如图，已知Rt△ABC中，∠A＝90°，将斜边BC绕点B顺时针方向旋转至BD，使BD∥AC，过点D作DE⊥BC于点E．
（1）求证：△ABC≌△EDB；
（2）若CD＝BD，AC＝3，求在上述旋转过程中，线段BC扫过的面积．
19．如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，求此扇形的面积．
20．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2．如图，点K为优弧AKB上一点．
（Ⅰ）求∠HKA的度数；
（Ⅱ）求CH的长；
（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；
（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m的值．
参考答案
一．选择题（共7小题，满分35分）
1．解：连接OC、OA，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴的长＝＝π，
故选：D．
2．解：∵∠AOC：∠AOD：∠DOB＝2：7：11，∠AOD+∠DOB＝180°，
∴∠AOD＝×180°＝70°，∠DOB＝110°，∠COA＝20°，
∴∠COD＝∠COA+∠AOD＝90°，
∵OD＝OC，CD＝4，
∴2OD2＝42，
∴OD＝2，
∴的长是＝＝，
故选：D．
3．解：∵扇形的弧长，
∴5π＝，
∴n＝50，
∴该扇形的圆心角是50°．
故选：A．
4．解：∵分针经过60分钟，转过360°，
∴经过45分钟转过270°，
则分针的针尖转过的弧长是l＝＝＝15π（cm）．
故选：B．
5．解：∵OD⊥AC，
∴∠ADO＝90°，＝，AD＝CD，
∵∠CAB＝30°，OA＝4，
∴OD＝OA＝2，AD＝OA＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOE﹣S△ADO＝﹣×2＝﹣2，
故选：D．
6．解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝﹣
＝π﹣2．
故选：D．
7．解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，
∴四边形CDOE是矩形，
连接OC，
∵点C是的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC＝OA＝，
∴OE＝1，
∴图中阴影部分的面积＝﹣1×1＝﹣1，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分30分）
8．解：在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ADB＝∠CDB，CD＝AD＝1，
∴∠ABC＝60°，
∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，
∴BD⊥AC，且AO＝CO，
∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，
在Rt△BCD中，∵∠CBD＝30°，
∴BD＝2CD＝2，
在Rt△COD中，∵∠ACD＝30°，
∴OD＝CD＝，
∴OB＝BD﹣OD＝2﹣＝，
∴的长为：＝，
故答案为．
9．解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′＝＝＝2，
的长l＝＝，
∴阴影部分周长的最小值为2+＝．
故答案为：．
10．解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC＝2，
∴∠CAD＝∠BAD，
连接OE，OD，
设∠DOE＝α，
∵劣弧DE的长为，
∴＝，
∴α＝30°，
∴∠CAD＝15°，
∴∠BAC＝2∠CAD＝30°，
故答案为：30°．
11．解：S草坪＝＝200π（m2），
故答案为200πm2．
12．解：∵∠ACB＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵OD∥AB，
∴S△ABD＝S△ABO，
∴S阴影＝S扇形AOB＝．
故答案为：．
13．解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示：
由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+S2＝π﹣1，
∵BC为直径，
∴∠CDB＝90°，即CD⊥AB，
故CD＝DB＝DA，
∴D点为中点，由对称性可知与弦CD围成的面积与S3相等．
设AC＝BC＝x，
则S扇形ACB﹣S3﹣S4＝S1+S2，
其中，
，
故：，
所以：x1＝2，x2＝﹣2（舍去）
故答案为：2．
三．解答题（共7小题，满分55分）
14．解：（1）∵的半径OA＝2，OC⊥AB于点C，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA sin60°＝2×＝，
∴AB＝2AC＝2；
（2）∵OC⊥AB，∠AOC＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴的长是：＝．
15．（1）证明：延长半径AO交⊙O于D，
∴
∵AB＝AC，
∴，
∴，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴OA平分∠BAC；
（2）解：∵＝3：2，
∴
∴∠BAC＝45°；
16．解：（1）如图1，在 ABCD中，AB＝BC＝2，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD．
∴∠AMB＝90°，
∴AB为⊙O的直径，
∴r＝AB＝1；
（2）如图2，设圆心为如图点O，连接OA，OB，OC，OD，OE，直线OC与AD交于点N，则OA＝OB＝OE＝r．
在⊙O中，的长＝．
∵的长为r，
∴＝r，
∴n＝90°．即∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°．
在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝45°．
∴∠ABE＝∠ACB＝45°．
∴∠BAC＝90°，AB＝AC．
∴在Rt△ABC中，BC＝AB，
∵CE＝AB，
∴BC＝CE．
又∵OB＝OE，
∴OC⊥BE，
∴∠OCB＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠OCB＝∠ONA＝90°．
∴OC⊥AD．
在 ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝45°．
∴AC＝CD．
∴AN＝ND．
即直线OC垂直平分AD，
∴OA＝OD．
∴点D在⊙O上，
∴DF为⊙O的直径．
∴∠DEF＝90°．
17．解：连接OB．
∵四边形OABC是菱形，
∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC，
∴△AOB，△BOC都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴的长＝＝
18．解：（1）∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵AC∥BD，
∴∠A＝∠ABD＝∠DEB＝90°，
∵∠ABC+∠CBD＝90°，
∴∠CBD+∠BDE＝90°，
∴∠ABC＝∠BDE，
∵BC＝BD，
∴△ABC≌△EDB（AAS）．
（2）∵CD＝BD＝BC，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠CBD＝60°，∠ABC＝90°﹣∠CBD＝30°，
∵AC＝3，
∴BC＝2AC＝6，
∴线段BC扫过的面积＝6π．
19．解：连接AC，
∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
即AC＝2，
∴AB＝BC＝，
∴扇形的面积为：＝．
20．解：（Ⅰ）连接BH，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AHB＝90°，
∵AB＝4，AH＝2，
∴sin∠ABH＝＝＝，
∴∠ABH＝30°，
∴∠HKA＝∠ABH＝30°；
（Ⅱ）∵∠AHB＝90°，∠ABH＝30°，
∴∠BAH＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝2AB＝8，
∴CH＝AC﹣AH＝6；
（Ⅲ）连接OH，则△AOH是等边三角形，
∴AO＝AH＝2，∠AOH＝60°，
过H作HE⊥AO于E，则HE＝，
∵AC＝8，CD＝AB＝4，
∴AD＝4，
∴图中阴影部分的面积＝×44﹣（﹣×2×）＝9﹣π；
（Ⅳ）过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P，
∵⊙O的半径＝2，则PQ＝OQ＝1，
∵OA＝2，
∴AQ＝，
∴AK＝2AQ＝2，
∴m＝2．