【学习笔记】北师大版数学七年级上学期 第五章 一元一次方程（含答案）

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初中数学北师大版学习笔记（数学思想、方法归纳）
七年级上学期第五章一元一次方程
你今年几岁了？
1、方程（含有未知数的等式叫做方程）
2、在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数都是 1，这样的方程 叫做一元一次方程（linear equation with one unknown）． 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。
3、等式的基本性质：
等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。
等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为 0 的数），所得结果仍是等式。
解方程
1、移项
把方程的一项从一边移动到另一边，这种变形叫做移项。
注意：移项的过程要更改符号。
2、解一元一次方程的一般步骤
解一元一次方程，一般要通过①去分母 ②去括号 ③移项 ④合并同类项 ⑤将未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式。
移项解一元一次方程时需注意：
1） 移项的依据是等式的基本性质，移项中强调移动的项必须改变符号；
2） 利用移项解一元一次方程习惯上将含有未知数的项移到方程的左边，不含未知数的项移到方程的右边。
用一元一次方程解决实际问题
用一元一次方程解决实际问题的步骤为：
①找出等量关系式 ②设未知数 ③列方程 ④解方程 ⑤检验
可以简化为五个字：“找、设、列、解、检”来记忆。
水箱变高了
在形积变化问题中，常见问题有以下几种情况：
(1)形状发生改变，而体积不变，相等关系：变化前后体积相等；
(2)形状、面积发生改变，而周长不变，相等关系：变化前后周长相等；
(3)形状、体积不同，但根据题意能找出体积、面积之间的关系，把这个关系作为相等关系.
2、打折销售
(1)利润＝售价－成本价(进价)；
(2)利润率＝×100%；
(3)售价＝成本价＋利润＝成本价×(1＋利润率)；
(4)售价＝原价×。
3、追赶小明
1）相遇问题即相向而行，等量关系：双方所走路程之和＝全部路程；
2）追及问题即同向而行，等量关系：双方行程的差＝原来的路程(开始时双方相距的路程).
3）航行问题即行程问题，等量关系：①船在静水中速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中速度－水速＝船的逆水速度.
四、《一元一次方程》常用的数学思想方法
4.1、数形结合思想
数结合思想：就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。使抽象思维和形象思维结合起来，通过“以形助数”，和“以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.
数形结合思想为什么那么重要呢？因为很多题目只要结合图形，就会变得非常简单，下面我们来看一道例题：
例1、已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试化简：|﹣a|+|a+c|﹣|b﹣2a|+|b﹣c|
∵﹣a＞0，a+c＜0，b﹣2a＞0，b﹣c＜0，
∴|﹣a|+|a+c|﹣|b﹣2a|+|b﹣c|
＝（﹣a）﹣（a+c）﹣（b﹣2a）﹣（b﹣c）
＝﹣a﹣a﹣c﹣b+2a﹣b+c
＝﹣2b．
例2、如图，已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0．
（1）求A、B所表示的数；
（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程2x+1＝x﹣8的解
①求线段BC的长；
②在数轴上是否存在点P，使PA+PB＝BC？求出点P对应的数；若不存在，说明理由．
解：（1）∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，
∴a+3＝0，b﹣2＝0，
解得，a＝﹣3，b＝2，
即点A表示的数是﹣3，点B表示的数是2；
（2）①2x+1＝x/2﹣8
解得，x＝﹣6，
∴BC＝2﹣（﹣6）＝8，
即线段BC的长为8；
②存在点P，使PA+PB＝BC，
设点P的表示的数为m，
则|m﹣（﹣3）|+|m﹣2|＝8，
∴|m+3|+|m﹣2|＝8，
当m＞2时，解得，m＝3.5，
当﹣3＜m＜2时，无解，
当x＜﹣3时，m＝﹣4.5，
即点P对应的数是3.5或﹣4.5．
4.2、分类讨论的思想
分类讨论的思想是指把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，或者有些问题包括多种情况时，要分情况讨论。运用分类讨论思想时要注意：每一次分类要按照同一标准；分类时要做到不重不漏。
例3、已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0
（1）直接写出a、b的值；
（2）P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，当PA＝3PB时，求P运动的时间和P表示的数；
解：（1）∵|4a﹣b|+（a﹣4）2＝0
∴4a﹣b＝0，a﹣4＝0，
解得a＝4，b＝16．
答：a、b的值为4、16．
（2）设P运动的时间为t1秒，P表示的数为x．
根据题意，得
①当P点在A、B之间时，
x﹣4＝3（16﹣x）
解得x＝13．
3t1＝x﹣4＝13﹣4＝9
∴t1＝3．
②当P点在B点右侧时，
x﹣4＝3（x﹣6），解得x＝22，
∴3t1＝x﹣4＝18，∴t1＝6
答：P运动的时间为3或6秒，P表示的数为13或22．
例4、超市在元旦期间对顾客优惠，规定如表：
一次性购物 优惠方法
少于200元 不予优惠
低于400元但不低于200元 购买商品全部九折优惠
400元或超过400元 其中400元部分给予九折优惠，超过400元部分给予八折优惠
（1）若一次性购物500元，实际付款　 　元；
（2）如果顾客在该超市一次性购物x（其中x≥200元）实际付款多少元？（用含x的代数式表示）
（3）如果小明两次购物货款共560元且第一次购物的货款为a元（其中a＜200），求两次购物实际付款共多少元？（用含a的代数式表示）
解：（1）根据题意得：
购物400元的部分实际付款：400×0.9＝360（元），
购物超过400元的部分实际付款：（500﹣400）×0.8＝80（元），
则若一次性购物500元，实际付款：360+80＝440（元），
故答案为：440，
（2）根据题意得：
若200≤x＜400，实际付款：0.9x（元），
若x≥400，实际付款：0.8（x﹣400）+400×0.9＝0.8x+40（元），
答：如果顾客在该超市一次性购物x（其中x≥200元），若200≤x＜400，实际付款0.9x元，若x≥400，实际付款0.8x+400元，
（3）根据题意得：
若0＜a≤160，则560﹣a≥400，两次购物实际付款：0.8（560﹣a）+400+a＝0.2a+488（元），
若160＜a＜200，则200＜560﹣a＜400，两次购物实际付款：0.9（560﹣a）+a＝0.1a+494（元），
答：若0＜a≤160，两次购物实际付款0.2a+488元，若160＜a＜200，两次购物实际付款0.1a+494元．
4.3、特殊与一般的思想
由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一。数学研究也不例外，这种由特殊到一般，再由一般到特殊研究数学问题的基本认识过程就是特殊与一般的思想。
例5、已知方程（2a+1）x＝3ax﹣2有正整数解，求整数a的值
解：（2a+1）x＝3ax﹣2，
移项，合并同类项得：（﹣a+1）x＝﹣2，
因为方程有解，
所以（﹣a+1）≠0，即x＝2/(a-1)， （先解出方程的一般解）
因为方程有正整数解，且a取整数， （再根据方程有正整数解，即特殊解，求出a的值）
所以a﹣1＝1或a﹣1＝2，
解得：a＝2或a＝3，
答：整数a的值为2或3．
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