2021-2022学年数学人教B版（2019）选择性必修第一册1.1.1 空间向量及其运算基础过关练（Word含答案解析）

第一章　空间向量与立体几何
1.1　空间向量及其运算
1.1.1　空间向量及其运算
基础过关练
题组一　空间向量的概念及其加减运算
1.(2019山东德州高二月考)如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,与向量的模一定相等的向量有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.0个 B.3个 C.7个 D.9个
2.(2020甘肃兰州一中高二期末)已知空间中任意四个点A,B,C,D,则+-=(　　)
A. B. C. D.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:
①(-)-;
②(+)-;
③(-)-2;
④(+)+.
其中能够化简为向量的是　　　　(填序号).
4.(2019上海延安中学高二期中)给出以下结论:
①空间中任意两个共起点的向量都是共面的;
②两个相等向量就是长度相等的两条有向线段表示的向量;
③空间向量的加法满足结合律:(a+b)+c=a+(b+c);
④首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.
其中正确的结论是　　　　(填序号).
题组二　空间向量的线性运算
5.(2019北京高二期末)在空间四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,则+(-)=(　　)
A. B. C. D.
6.化简:(a+2b-3c)+5-3(a-2b-c)=　　　　.
7.(2019山东禹城第一中学高二期中考试)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
(1)化简:--;
(2)设E是棱DD1上的点,且=,若=x+y+z,试求实数x、y、z的值.
题组三　空间向量的数量积运算
8.(2019安徽合肥高二期末)在正方体ABCD-A'B'C'D'中,<,>等于(　　)
A.30° B.60° C.90° D.120°
9.若|a|=1,|b|=2,c=a+b且c⊥a,则向量a与b的夹角是(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
10.已知向量e1,e2,e3是两两垂直的单位向量,且a=3e1+2e2-e3,b=e1+2e3,则(6a)·=(　　)
A.15 B.3 C.-3 D.5
11.已知a·b=0,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)·(λa-b)=0,则λ=(　　)
A. B.- C.± D.1
能力提升练
题组一　空间向量的加法、减法及数乘运算
1.(2019湖南常德一中高二月考,)在空间四边形ABCD中,连接AC,BD,若△BCD是正三角形,且E为其重心,则+--的化简结果是(　　)　　　　　　　　　　　　
A. B.2
C.0 D.2
2.(2018山东临沂一中高二月考,)在正三棱柱ABC-A1B1C1中, M为△A1B1C1的重心,若=a,=b,=c,则=　　　　.
题组二　空间向量的数量积、模和夹角问题
3.(2019山东烟台高二期末,)在棱长为2的正四面体A-BCD中,E,F分别是BC,AD的中点,则·=(　　)
A.0 B.-2 C.2 D.-3
4.(2019广东广州高二期末,)设A,B,C,D是空间中不共面的四个点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD是(　　)
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.等边三角形
5.(2020江西宜春高二期末,)如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则下列向量的数量积等于a2的是　(　　)
A.2· B.2·
C.2· D.2·
6.(多选)(2019山东菏泽高二期末,)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列结论正确的是(　　)
A.四边形ABC1D1的面积为||||
B.与的夹角为60°
C.(++)2=3
D.·(-)=0
7.(2019东北育才学校高二月考,)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=60°,AD=4,AB=3,AA1=5,则||=　　　　.
8.(2020湖南长沙一中高二期末,)已知向量a,b,c之间的夹角都是60°,且|a|=|b|=|c|=1,则|a-2b+c|=　　　　.
9.(2020重庆西南大学附中高二期末,)如图,已知线段AB⊥平面α,BC α,CD⊥BC,DF⊥平面α,且∠DCF=30°,D与A在α的同侧,若AB=BC=CD=2,求A,D两点间的距离.
10.(2020山东临沂蒙阴实验中学高二期末,)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC的边长为.
(1)设侧棱长为1,试用向量法证明:AB1⊥BC1;
(2)设AB1与BC1的夹角为,求侧棱的长.
答案全解全析
基础过关练
1.C　向量的模相等即长度相等,根据平行六面体的性质可知,与向量的模一定相等的向量有,,,,,,,共7个.故选C.
2.D　由题意得+-=(+)-=-=.故选D.
3.答案　①②
解析　①中,(-)-=-=;
②中,(+)-=-=;
③中,(-)-2=-2≠;
④中,(+)+=+=≠.
4.答案　①③④
解析　①中,两个向量共起点,与两向量终点共有3个点,易知三点共面,则两向量共面,故正确;
②中,两个向量相等是指两个向量的大小相等、方向相同,故错误;
③中,空间向量的加法满足结合律,故正确;
④中,由向量加法的三角形法则可知正确.
故答案为①③④.
5.C　∵-=,∴(-)==,
∴+(-)=+=.
6.答案　a+b+c
解析　原式=a+b+×(-3)+5×-3×
(-1)c=a+b+c.
7.解析　(1)∵+=,
∴--=-(+)=-=-=.
(2)∵=+=+
=+(+)
=++
=--,
∴x=,y=-,z=-.
8.D　如图所示,
连接A'D,BD,则=,
∴<,>是∠DBA'的补角,
∵A'D=A'B=BD,
∴∠DBA'=60°,
∴<,>=120°,故选D.
9.C　因为c⊥a,所以c·a=(a+b)·a=0,所以a·b=-1,所以cos==-,故向量a与b的夹角是120°.
10.B　(6a)·=3a·b=3×(3e1+2e2-e3)·(e1+2e3)=9|e1|2-6|e3|2=3.故选B.
11.A　∵(3a+2b)·(λa-b)=0,
∴3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=0,
即12λ-18=0,解得λ=.故选A.
能力提升练
1.C　如图所示,取BC的中点F,则=,又E为正三角形BCD的重心,即DF上靠近F的三等分点,所以=,则+--=+--=+-=-=0.
2.答案　c+-
解析　如图,连接C1M并延长,交A1B1于点D,
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,M为△A1B1C1的重心,=a,=b,=c,
∴=+=c+=c+×(+)=c+(-b+-)=c+(-b+a-b)
=c+-.
3.B　如图所示,
因为在棱长为2的正四面体A-BCD中,E,F分别是BC,AD的中点,
所以·=(+)·(+)=(·+·+·+·)
=(2×2×cos 120°+2×2×cos 90°+2×2×cos 180°+2×2×cos 120°)=-2,故选B.
4.B　因为·=0,·=0,·=0,
所以·=(-)·(-)=·-·-·+=>0,
∴cos B=>0,故∠B是锐角,
同理·>0,·>0,可得∠D,∠C都是锐角,故△BCD是锐角三角形,故选B.
5.C　由题意可知,<,>=<,>=<,>=120°,
∴2·=2||||cos 120°= -a2,
2·=2||||cos 120°=-a2.
∵点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,
∴FG∥AC且FG=AC,EF∥BD且EF=BD,
∴2·==a2,2·=·=||||cos 120°=-a2.
故选C.
6.ACD　由AB⊥面BB1C1C,得AB⊥BC1,所以四边形ABC1D1的面积为||||,故A正确;
∵△ACD1是等边三角形,∴∠AD1C=60°,又∵A1B∥D1C,∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°,但是向量与的夹角为120°,故B错误;
由向量加法的运算法则可以得到++=,∵A=3A1,∴(++)2=3,故C正确;
易得-=,∵在正方体ABCD-A1B1C1D中,D1B1⊥面AA1C1C,∴D1B1⊥A1C,∴·=0,故D正确.故选ACD.
7.答案　
解析　∵六面体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体,且=++,
∴||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·.
又∵∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=60°,AD=4,AB=3,AA1=5,
∴||2=25+9+16+2×5×4×cos 60°+2×5×3×cos 60°+2×3×4×
cos 60°=97,
∴||=.
8.答案　
解析　因为|a-2b+c|2=a2+4b2+c2-4a·b-4b·c+2a·c=1+4+1-4×1×1×cos 60°-4×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°=3,所以|a-2b+c|=.
9.解析　因为=++,所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·=12+2×(2×2×cos 90°+2×2×cos 120°+2×2×cos 90°)=8,所以||=2,即A,D两点间的距离为2.
10.解析　(1)证明:=+,=+.
因为BB1⊥平面ABC,所以·=0,·=0,
又因为△ABC为正三角形,
所以<,>=π-<,>=π-=.
所以·=(+)·(+)=·+·++·=||·||cos<,>+=-1+1=0.
所以⊥,∴AB1⊥BC1.
(2)由(1)知·=||·||·cos<,>+=-1.
又||===||,
所以cos<,>==,
所以||=2,即侧棱的长为2.