3.2确定圆的条件 同步练习 青岛版初中数学九年级上册

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3.2确定圆的条件同步练习
青岛版初中数学九年级上册
一、选择题
若的半径为，，则点与的位置关系是
A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 内含
如图，中，，是的平分线，是的垂直平分线，交于点若，则外接圆的面积为
A.
B.
C.
D.
如图，王大伯家屋后有一块长、宽的长方形空地，他在以较长边为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最长不超过
A. B. C. D.
如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为
A.
B.
C.
D.
如图，的半径为，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为
A.
B.
C.
D.
已知的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是
A. 点在上 B. 点在内 C. 点在外 D. 无法确定
三角形的外心是
A. 三角形三条边上中线的交点 B. 三角形三条边上高线的交点
C. 三角形三条边垂直平分线的交点 D. 三角形三条内角平行线的交点
三角形的外心是
A. 三条边中线的交点 B. 三条边高的交点
C. 三条边垂直平分线的交点 D. 三个内角平分线的交点
已知点在半径为的圆内，则点到圆心的距离可以是
A. B. C. D.
的半径为，点到圆心的距离为，点与的位置关系是
A. 无法确定 B. 点在外 C. 点在上 D. 点在内
如图，所示的正方形网格中，三点均在格点上，那么的外心是
A. 点
B. 点
C. 点
D. 点
下列命题中是真命题的是
A. 三角形的外心到三角形三边的距离相等
B. 三角形的一个内角的角平分线把三角形分成面积相等的两部分
C. 等腰三角形的高、中线、角平分线三线合一
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
二、填空题
按图填空：
是的______三角形；
是的______圆；
点是的______心；
，，三条线段的长度有关系：______．
如图，内接于，是的直径，，则的度数为______．
已知等腰内接于半径为的，若底边，则的面积为______．
如图，在平面直角坐标系中，点，，都在格点上，过，，三点作一圆弧，则圆心的坐标是______．
如图，的半径为，是的内接三角形，连接，，若与互补，则弦的长是______．
三、解答题
在矩形中，，，以点为圆心为半径作圆，则，，三点分别与有怎样的位置关系？的中点与又有怎样的位置关系？
如图，在中，．
尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点，连接不写作法，保留作图痕迹
若，，求的长．
已知：的半径为，点到圆心的距离为，求过点最短的弦长．
如图，在中，，，点为直线上一点，点为延长线上一点，且，连接，．
求证：≌；
当时，求的度数；
点是的外心，当点在直线上运动，且点恰好在内部或边上时，直接写出点运动的路径的长．
如图，为锐角的外接圆，半径为．
用尺规作图作出的平分线，并标出它与劣弧的交点保留作图痕迹，不写作法
若中的点到弦的距离为，求弦的长．
如图，已知等腰直角三角形，点是斜边上一点不与，重合，是的外接圆的直径．
求证：是等腰直角三角形；
若的直径为，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的半径为，，
点与的位置关系是：点在内．
故选：．
直接利用点与圆的位置关系进而得出答案．
此题主要考查了点与圆的位置关系，正确点在圆外，点在圆上，点在圆内是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，是的平分线，
，，
是的垂直平分线，
点是外接圆的圆心，
，
外接圆的面积为．
故选：．
由等腰三角形的性质得出，，则点是外接圆的圆心，则由圆的面积公式可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外接圆和外心的概念和性质．
3.【答案】
【解析】解：连接，交于点，
在中，，，
所以；
又因为，
所以．
因此拴羊的绳长最长不超过．
故选：．
为了不让羊吃到菜，必须点到圆的最小距离．要确定最小距离，连接交半圆于点，即是最短距离．在直角三角形中，因为，，所以根据勾股定理得那么的长即可解答．
此题考查了点与圆的位置关系，此题确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．
4.【答案】
【解析】解：如图，
点为坐标平面内一点，，
点在以点为的圆心，半径为的圆上，
取，连接，
，，
是的中位线，
，
当最大时，即最大，而当，，三点共线时，在的延长线上时，最大，
，，
，
，
，即的最大值为；
故选：．
根据同圆的半径相等可知：点在半径为的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是关键，也是难点．
5.【答案】
【解析】解：连接，
，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，
过点作轴于点，
则、，
，
又，
，
，
故选：．
由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．
本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
点在外．
故选：．
根据：点在圆外点在圆上点在圆内，即可判断；
本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
7.【答案】
【解析】解：三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点，
故选：．
利用圆的有关性质和三角形外接圆以及外心的性质分析判断即可．
此题主要考查了圆的有关性质和三角形外接圆以及外心的性质，熟练掌握相关定义是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，
故选：．
根据三角形外心的定义可以解答本题．
本题考查三角形外接圆与外心，解答本题的关键是明确三角形外心的定义．
9.【答案】
【解析】解：点在半径为的圆内，
点到圆心的距离小于，
所以只有选项A符合，选项B、、都不符合；
故选：．
直接根据点与圆的位置关系进行判断．
本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
10.【答案】
【解析】解：的半径分别为，点到圆心的距离为，
，
点与的位置关系是：点在外．
故选：．
根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点与的位置关系．
本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查网格三角形，三角形外接圆圆心，线段垂直平分线，掌握网格三角形，三角形外接圆圆心，线段垂直平分线是解题关键．由的外接圆圆心在与的垂直平分线上，根据网格可知所在直线是的垂直平分线，的垂直平分线是点所在直线即可．
【解答】
解：，，三点均在格点上，连结，
的外接圆圆心在与的垂直平分线上，
由网格可知所在直线是的垂直平分线，
的垂直平分线是点所在直线，
点是的外接圆圆心．
故选择：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的外心的性质、三角形的中线的性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，难度不大利用三角形的外心的性质、三角形的中线的性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：、三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角平分线三线合一，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，是真命题，符合题意；
故选D．
13.【答案】内接 外接 外
【解析】解：是的内接三角形；
是的外接圆；
点是的外心；
，，三条线段的长度有关系：；
故答案为：内接；外接；外；．
根据三角形的外接圆与外心的概念解答．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
14.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确掌握圆周角定理是解题关键．直接利用圆周角定理得出，进而得出答案．
【解答】
解：内接于，是的直径，
，
，
．
故答案为：
15.【答案】或
【解析】解：连接，并延长与交于一点，连接，
，的半径为，，
，
，，
的面积为，
同理当在圆心的上方时，三角形的高变为，
的面积为．
故填：或．
根据等腰三角形的性质，以及垂径定理的性质，作出三角形的高，即可求出，应注意底边与圆心可能存在两种位置关系可能．
此题主要考查了垂径定理与等腰三角形的性质，题目有一定代表性，容易出错．
16.【答案】
【解析】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．
故答案为：．
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分线”．
17.【答案】
【解析】解与互补，
，
，
，
过作，垂足为，
，
，
平分，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为．
作弦心距，先根据已知求出，由等腰三角形三线合一的性质得：，利用角所对的直角边是斜边的一半可求得的长，根据勾股定理得的长，最后利用垂径定理得出结论．
本题考查三角形的外接圆与外心、锐角三角函数、垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，还在直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】解：如图，
观察图象可知，点在上，点，点在外．
四边形是矩形，
，
，，
，
，
点在上．
【解析】根据点与圆的位置关系一一判断即可．
本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19.【答案】解：如图，的外接圆即为所求；
连接，
．
是的直径，
，
，，
，
平分，
，
，，
．
答：的长为．
【解析】本题考查了作图复杂作图、角平分线的定义、三角形的外接圆与外心，
作的垂直平分线，即可作的外接圆；再作的角平分线交于点，连接即可；
根据，可得，再根据是的平分线即可求的长．
20.【答案】解：与垂直且过点的弦的长最短，
设该弦为，
在中，
，
即最短弦的长为．
【解析】中的最短弦的长为与过点的弦心距垂直的弦，根据勾股定理和垂径定理可将最短弦的长求出．
本题综合考查了垂径定理和勾股定理的运用，解题的关键是了解什么时候弦最短．
21.【答案】证明：，
，
在和中，
，，，
≌；
若点在线段上时，
，，
，
，
．
≌，
，
若点在延长线上时，
≌，
，
综上所述：的度数为或；
点是的外心，
点在线段的垂直平分线上随点的运动而运动，
如图，过点作于点，
点恰好在的内部，
即为所求的点的运动路径，且，
，
．
即点运动的路径的长．
【解析】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助线解决问题，学会用转化的思想思考问题．
根据边角边即可证明≌；
分两种情况：点在线段上时，点在延长线上时，根据，即可求的度数；
根据点是的外心，可得点在线段的垂直平分线上随点的运动而运动，过点作于点，根据点恰好在的内部，可得即为所求的点的运动路径，且，根据勾股定理求解．
22.【答案】解：尺规作图如图所示．
连接交于，连接．
因为，所以，
易得，所以．
中，，，
所以．
中，，
所以弦的长为．
【解析】本题主要考查作图基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、垂径定理、勾股定理及矩形的判定与性质等知识点．
利用基本作图作平分；
连接交于点，再连接，由可得可推出，最后利用勾股定理求出．
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23.【答案】证明：，，
，
，
是直径，
，
，
，
是等腰直角三角形．
，，
，
≌，
，，
，
．
【解析】只要证明，即可解决问题；
作于，于，则四边形是矩形，可得，由，都是等腰直角三角形，推出，，可得；
本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
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