等差数列及其通项公式
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(共23张PPT)
等差数列及其通项公式
一、复习引入
1.什么是数列 什么是数列的项
按一定次序排成的一列数叫数列.数列中 的每一个数都叫做这个数列的项.
2.通项公式的概念
如果数列{an}的第n 项an与项数n之间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式.
(1) 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15
从第二项起每一项与它前一项的差都等于2
(2)-3 , 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18
从第二项起每一项与它前一项的差都等于3
(3)70 , 60 , 50 , 40 , 30 , 20 , 10
从第二项起每一项与它前一项的差都等于-10
它们有什么共同的特点？
3.观察下列数列：
二、新课
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等差数列的公差。
即：an+1-an = d (n∈N﹡)
等差数列的定义如何用数学符号表示
它们都是等差数列 吗
（1）5，5，5，5，5，5，5，5，5
（2）0，2，4，6，8，10，12
（3）-1，1，-1，1，-1，1，-1，1
（4）1，2，3，5，7，9，11，13
是
是
不是
这些特别的数列有没有通项公式呢？？
不是
2.等差数列的递推公式
an+1 = an + d (n∈N﹡)
3.等差数列的通项公式
通 项 公 式 的 推 导1（归纳猜想）
设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有：
a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…
所以有：
an=a1+(n-1)d 当n=1时，上式也成立。
所以等差数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d（n∈N*）
问an=
通过观察：a2， a3，a4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数有什么特点？
a1 、an、n、d知三求一
…
a2=a1+ d,
a3=a1+2d,
a4=a1+3d,
…
an=a1+(n-1)d
a2=a1+d,
a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d
a4=a3+d = (a1+2d) +d =a1+3d
叠加得
…
等差数列的通项公式推导2（叠加）
由an+1-an = d (n∈N﹡)得:
等差数列的通项公式：
①an=a1+(n-1)d（n∈N*）
②an=am+(n-m)d（n∈N*）
求公差的方法：
①d = an+1－ an (n∈N﹡)
②d= (n∈N﹡)
③ d= (n、m∈N﹡)
a1 、an、n、d知三求一
③ -12，____, 0
在下列两数之间插入一个什么数，使三数成等差数列？它和前后两数之间有什么关系？
① 2，_____, 4
② -1，____, 5
3
-6
2
4.等差中项
定义：
如果a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项。
定义：
如果a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项。且
或 2A＝a+b
注意： ①在一个等差数列中，从第2项起，每
一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项
与后一项的等差中项.
可见：如果三个数成等差数列，那么等差中
项等于另两项的算术平均数.
在等差数列：
a1，a2，a3，…an-1，an，an+1…中
如：在1，3，5，7，9，11，……中
2×5＝3+7； 2×9＝7+11 。。。。
即：在等差数列中｛an｝中，对任意连续的
三项， 都有
②三个数a，A，b成等差数列
A是a、b的等差中项。
例１：
指出下列数列中的等差数列，并求出公差和通项公式
（1）１，５，９，１３，１７，
（2）１，４，１６，６４，２５６，
（3）２，２，２，２，２，２，
例2.
（1）求等差数列8，5，２，…的第20项.
（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
例3.在等差数列｛an｝中,已知a3=10, a9=28,
求a12 。
解：由题意得
a1+2d=10
a1+8d=28
所以 a12=4+(12-1) ×3=37
解得： a1=4
d=3
变式：
已知a5=11, a8=5, 求等差数列｛an｝的通项公式.
例4. 课本P12.
例5.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算。
（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式
（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
解:（1）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列。这个数列的通项公式为
an=1896+4(n-1)
=1892+4n(n∈N*)
(2) 假设an=2008, 由 2008=1892+4n, 得 n=29.
假设an=2050,2050=1892+4n 无正整数解．
答：所求通项公式为 an= 1892+4n(n∈N*) ，
2008年北京奥运会是第29届，2050年不举行奥运会
例6：某滑轮组由直径成等差数列的６个滑轮组成．已知最 小与最大的滑轮的直径分别为15和25cm,求中间四个滑轮的直径．
解：用｛an｝表示滑轮的直径所构成的等差数列，根据题意知
a1=15,a6=25
由等差数列的通项公式，得
a6=a1+(6-1)d,
即 25=15+5d,
d=2
由此得：a2=17,a3=19,a4=21,a5=23
答：中间的四个滑轮的直径顺次为17cm，19cm，21cm，23cm.
三、小结
1.等差数列的定义：
an+1-an = d (n∈N﹡)
2.等差数列的递推公式：
an+1 = an + d (n∈N﹡)
3.等差数列的通项公式：
①an=a1+(n-1)d（n∈N*）
②an=am+(n-m)d（n∈N*）
4.求公差的方法：
①d = an+1－ an (n∈N﹡)
②d= (n∈N﹡)
③ d= (n、m∈N﹡)
5.等差中项：
①如果a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项。且
②在等差数列：
a1，a2，a3，…an-1，an，an+1…中
②三个数a，A，b成等差数列
A是a、b的等差中项。
四、练习
课本：P13
五、作业
《练习册》P.3-A组-1～7，9，10，12
等差数列及其通项公式
一、复习引入
1.什么是数列 什么是数列的项
按一定次序排成的一列数叫数列.数列中 的每一个数都叫做这个数列的项.
2.通项公式的概念
如果数列{an}的第n 项an与项数n之间的关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式.
(1) 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , 13 , 15
从第二项起每一项与它前一项的差都等于2
(2)-3 , 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 , 18
从第二项起每一项与它前一项的差都等于3
(3)70 , 60 , 50 , 40 , 30 , 20 , 10
从第二项起每一项与它前一项的差都等于-10
它们有什么共同的特点？
3.观察下列数列：
二、新课
1.等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d，那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等差数列的公差。
即：an+1-an = d (n∈N﹡)
等差数列的定义如何用数学符号表示
它们都是等差数列 吗
（1）5，5，5，5，5，5，5，5，5
（2）0，2，4，6，8，10，12
（3）-1，1，-1，1，-1，1，-1，1
（4）1，2，3，5，7，9，11，13
是
是
不是
这些特别的数列有没有通项公式呢？？
不是
2.等差数列的递推公式
an+1 = an + d (n∈N﹡)
3.等差数列的通项公式
通 项 公 式 的 推 导1（归纳猜想）
设一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,则有：
a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…
所以有：
an=a1+(n-1)d 当n=1时，上式也成立。
所以等差数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d（n∈N*）
问an=
通过观察：a2， a3，a4都可以用a1与d 表示出来；a1与d的系数有什么特点？
a1 、an、n、d知三求一
…
a2=a1+ d,
a3=a1+2d,
a4=a1+3d,
…
an=a1+(n-1)d
a2=a1+d,
a3=a2+d = (a1+d) + d = a1+ 2d
a4=a3+d = (a1+2d) +d =a1+3d
叠加得
…
等差数列的通项公式推导2（叠加）
由an+1-an = d (n∈N﹡)得:
等差数列的通项公式：
①an=a1+(n-1)d（n∈N*）
②an=am+(n-m)d（n∈N*）
求公差的方法：
①d = an+1－ an (n∈N﹡)
②d= (n∈N﹡)
③ d= (n、m∈N﹡)
a1 、an、n、d知三求一
③ -12，____, 0
在下列两数之间插入一个什么数，使三数成等差数列？它和前后两数之间有什么关系？
① 2，_____, 4
② -1，____, 5
3
-6
2
4.等差中项
定义：
如果a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项。
定义：
如果a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项。且
或 2A＝a+b
注意： ①在一个等差数列中，从第2项起，每
一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项
与后一项的等差中项.
可见：如果三个数成等差数列，那么等差中
项等于另两项的算术平均数.
在等差数列：
a1，a2，a3，…an-1，an，an+1…中
如：在1，3，5，7，9，11，……中
2×5＝3+7； 2×9＝7+11 。。。。
即：在等差数列中｛an｝中，对任意连续的
三项， 都有
②三个数a，A，b成等差数列
A是a、b的等差中项。
例１：
指出下列数列中的等差数列，并求出公差和通项公式
（1）１，５，９，１３，１７，
（2）１，４，１６，６４，２５６，
（3）２，２，２，２，２，２，
例2.
（1）求等差数列8，5，２，…的第20项.
（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？
例3.在等差数列｛an｝中,已知a3=10, a9=28,
求a12 。
解：由题意得
a1+2d=10
a1+8d=28
所以 a12=4+(12-1) ×3=37
解得： a1=4
d=3
变式：
已知a5=11, a8=5, 求等差数列｛an｝的通项公式.
例4. 课本P12.
例5.第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算。
（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式
（2）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
解:（1）由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列。这个数列的通项公式为
an=1896+4(n-1)
=1892+4n(n∈N*)
(2) 假设an=2008, 由 2008=1892+4n, 得 n=29.
假设an=2050,2050=1892+4n 无正整数解．
答：所求通项公式为 an= 1892+4n(n∈N*) ，
2008年北京奥运会是第29届，2050年不举行奥运会
例6：某滑轮组由直径成等差数列的６个滑轮组成．已知最 小与最大的滑轮的直径分别为15和25cm,求中间四个滑轮的直径．
解：用｛an｝表示滑轮的直径所构成的等差数列，根据题意知
a1=15,a6=25
由等差数列的通项公式，得
a6=a1+(6-1)d,
即 25=15+5d,
d=2
由此得：a2=17,a3=19,a4=21,a5=23
答：中间的四个滑轮的直径顺次为17cm，19cm，21cm，23cm.
三、小结
1.等差数列的定义：
an+1-an = d (n∈N﹡)
2.等差数列的递推公式：
an+1 = an + d (n∈N﹡)
3.等差数列的通项公式：
①an=a1+(n-1)d（n∈N*）
②an=am+(n-m)d（n∈N*）
4.求公差的方法：
①d = an+1－ an (n∈N﹡)
②d= (n∈N﹡)
③ d= (n、m∈N﹡)
5.等差中项：
①如果a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项。且
②在等差数列：
a1，a2，a3，…an-1，an，an+1…中
②三个数a，A，b成等差数列
A是a、b的等差中项。
四、练习
课本：P13
五、作业
《练习册》P.3-A组-1～7，9，10，12