2021—2022学年开封市五县高二上学期期中联考卷
数学试卷(理科
、单选题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.椭圆,y,!与双助线x=1有相同的焦点,则实数a等于()
-1或1
B
2,祖原理:“幂势既同,则积不容异”意思是说两个同高的几何体,若在等高处的截面积恒
相等,则体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处
的截面积不恒相等,根据祖啦原理可知,p是q的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知x>0y>0,xa,b,y成等差数列,xc,d,y成等比数列,则cd的最大值是()
a+b
4.如图,把椭圆x+=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上
半部分于点B,B,…,B,F是左焦点则+列+…+BF=()
D.42
A.21
B.28
5.在抚顺二中运动会开幕式中,某班级的蝴蝶振翅”节目获得一致称赞,其
形状近似于双曲线,在振翅过程中,双曲线的渐近线与对称轴的夹角a为
某一范围内变动,≤a≤丌,则该双曲线的离心率取值范围是()
3
23
A
B
3
3
6.在△ABC中,角AB,C所对的边分别为ab,,满足 acos a= bcos B,则△ABC的形状
为()
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
7.已知x>0y>-1,且+n1
3,则x+y的最小值为()
A.4
高二期中联考卷数学(理)试卷第1页共1页
8.“a=”是“直线4:2ax+4y+3=0与直线:x-(a-1)y-5=0垂r的()
A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
9.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层中心有一块圆形石板(称为
天心石,环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第
环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中
层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()
A.3699块
3474块
C.3402块
D.339块
10.下列五个命题
①命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a=0,则ab≠0”;②若命题
x∈R,x+x+10,则-:x∈R,x2+x+120;@若命题“→与命题
“P或q都是真命题,则命题q一定是真命题:④命题“若0
lg(a+)个子集”是假命题其中正确命题的序号是()
③
B.①②
C.④⑤
D.③④
1l.太极图被称为中华第一图从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫标记物:从道枹、卦
摊、中医、气功、武术到韩国国旗……太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图,其形
状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为阴阳鱼太极图在某个太极图案中,阴影部分可表示
x2+y2≤4
为A=1xy)x2+(y-)51域{x2+(y+1)24,设点(x,)∈A,则z=3x+4y的最大值与最
X≤0
小值之和为()
B.19
D.20
12.已知点A是椭+2
2*y2=1的上顶点,F,F2分别是椭圆左右焦点,直线y=ax+b(a>0)
将三角形AFF2分割为面积相等两部分,则b的取值范围是()
A.(0,1)
√2
D
二、填空题每题5分,共20分)
13.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义:平面内
到两个定点AB距离之比是常数(2>0.21)的点M的轨迹是圆,若两定点AD的距离为3,
高二期中联考卷数学(理)试卷第2页共2页2021－2022学年开封五县上学期高二联考试题
（理科数学）参考答案
x2 y2
1．D 因为双曲线 1的焦点在横轴上，所以由题意可 4 a2 a2 2 a2 1 a 1，
a2 2
故选：D
2．A“两个同高的几何体，等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几
何体，体积不相等，则等高处的截面积不恒相等”，所以q p；反之“两个同高的几何体，体
积相等，则等高处的截面积恒相等”不成立，即由 p 推不出q，
所以 p 是q的必要不充分条件.故选：A.
3．D 解：∵x，a，b，y 成等差数列，x，c，d，y成等比数列根据等差数列和等比数列的性质
可知：a+b=x+y，cd=xy， cd xy xy 1 当且仅当 x=y 时取“=”，
4．C 设椭圆的右焦点为F ， (a b)2 (x y)2 2 4 则由椭圆的定义，得(2 xy )
P1F P 1F 10，由椭圆 的对称性，知 P1F P7F ，
P1F P7F 10．同理，可知 P2F P6F 10， P3F P5F 10．又 P4F 5，
P1F P2F P7F 35．故选：C．
b π π
5．C 双曲线的渐近线为 y x，由题可知双曲线的渐进线方程倾斜角的范围是 ≤ ≤ ，
a 6 3
3 b 1 c
2 a2 4 2 2 3
3 ， 3，即 e 2， e 2故选：C
2
3 a 3 a 3 3
6．D因为acos A bcos B所以，sin Acos A sin Bcos B ,由二倍角公式得sin 2A sin 2B ,
2A 2B或2A+2B= ， A B或 A B 所以 ABC为等腰三角形或直角三角形.故选：
2
D
4 1 1 1 x 4(y 1)
7．C x y x y 1 1 (x y 1)( ) 1 (4 1 ) 1
x y 1 3 3 y 1 x
1 x 4(y 1) 1 x 4(y 1)
(5 2 ) 1 (5 4) 1 2，当且仅当 ，即x 2(y 1) ，又
3 y 1 x 3 y 1 x
4 1
3，所以 x 2, y 0时，等号成立.故选：C
x y 1
2 1 1
8．A若 l1 l2，则2a 4 a 1 0，解得a 2或 a .所以 a 由可以得到l1 l2，
2 2
1
反之则不然， a 故“”是“l1 l2 ”的充分不必要条件.故选：A.
2
高二期中联考卷 理数试卷答案 第 1 页，共 8 页
9．C 设第 n环天石心块数为an ，第一层共有 n环，则{an}是以 9 为首项，9为公差的等差数
列，an 9 (n 1) 9 9n，设Sn为{an}的前 n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别
为Sn ,S2n Sn ,S3n S2n，因为下层比中层多 729块，所以S3n S2n S2n Sn 729，即
3n(9 27n) 2n(9 18n) 2n(9 18n) n(9 9n)
729 即9n2 729，解得n 9，所以
2 2 2 2
27(9 9 27)
S3n S27 3402 .故选：C
2
10．A对于①，“若a 0，则ab 0 ”的否命题是“若a 0，则ab 0 ”；故①不正确；
对于②，命题 p : x R, x2 x 1 0，则 p : x R, x2 x 1 0；故②正确；
对于③，若命题“ p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题，则命题 p 是假命题，命题q一定是真命题；
1 1
故③正确；对于④，若0 a 1，则a ，所以a 1 1，因为 y loga x单调递减，所以a a
1
loga a 1 log
2
a 1 ，故④不正确；对于⑤，集合 x | x 2x 1 0, x R 1 的子集为
a
和 1 ，子集有 2个故是真命题，所以⑤不正确；故答案为：A
3 z
11．A作出可行域，如图所示： ，因为 y ，越往上移，z 越大，越往
4 4
下移， z 越小，所以，当直线l： z 3x 4y平移至与圆 x2 y2 4相切时， z 最小，即有
z 2
2，解得 z 10或 z 10（舍去）；所以，当直线l：z 3x 4y平移至与圆 x2 y 1 1
32 42
4 z
相切时， z 最大，即有 1，解得 z 9或 z 1（舍去），因此，z 3x 4y 的最大值与
32 42
最小 9 （ 10） 1 值之和为．故选：A．
x2
12．B 解：因为点 2A 是椭圆 y 1的上顶点，F1, F2 分别是椭圆
2
左右焦点，所以 2 ， 2 2 2 2a 2 b 1，从而有c a b 1，所以A 0,1 , F1 1,0 ，F2 1,0 ，由
1 b
题意，三角形 AF1F2 的面积为 F1F2 OA 1，设直线y＝ax+b（a＞0）与 x轴的交点为M ,0 ，
2 a
答案第 2 页，共 8 页
b
由直线 y＝ax+b（a＞0）将三角形AF1F2 分割为面积相等的两部分，可得b 0，所以 0 ，
a
y ax b
故点 M 在射线OF1上．设直线 y＝ax+b和AF2 的交点为N，则由 可得点 N 的坐标为
x y 1
1 b a b
, ．
a 1 a 1
①若点 M和点F1重合，如图：
1 1 1
则点N为线段AF2的中点，故N , ，把F1、N两点的坐标代入直线 y＝ax+b，求得 a＝b ．②
2 2 3
若点 M 在点 O和点F1之间，如图：
1 1
此时b ，点 N 在点F2和点A 之间，由题意可得三角形NMF2的面积等于 ，即
3 2
1 1 1 b a b 1 b2 1 1 1
MF2 yN ，即 1 ，可得 a 0，求得b ，故有 b ．
2 2 2 a a 1 2 1 2b 2 3 2
③若点 M在点F1的左侧，
1 b
则b ，由点 M 的横坐标 1，求得 b＞a．设直线 y＝ax+b 和AF1 的交点为 P，则由
3 a
y ax b 1 b a b 1
求得点 P的坐标为 , ， 此时，由题意可得，三角形APN 的面积等于 ，
y x 1 a 1 a 1 2
1 1 1 1 b 1 b 1 2 2
即 1 b xN xP ，即 1 b ，化简可得2 1 b a 1 ．
2 2 2 a 1 a 1 2
高二期中联考卷 理数试卷答案 第 3 页，共 8 页
1 2
由于此时 2 2 b＞a＞0，所以2 1 b a 1 1 a ．两边开方可得 2 1 b 1 a2 1，
3
1 2 2 1 2 1
所以1 b ，化简可得b 1 ，故有1 b ．综上，b的取值范围应是 1 , .2 2 2 3 2 2
故选：B.
13．4 .以A 为原点，直线AB为 x 轴建立平面直角坐标系，因为两定点A, B的距离为 3，可得
x2 y2
B(3,0)，设M (x, y)，因为动点M 满足 MA 2 MB ，可得 2 ，整理得
(x 3)2 y2
x2 y2 8x 12 0，即(x 4)2 y2 4，所以点M 的轨迹围成区域的面积为S 22 4 .故
答案为：4 .
y 2x x 2
14．如图，平面区域 D 为阴影部分，由 ,得 ,即 A（2，4），直线2x y 9与直
x y 6 y 4
线2x y 12均过区域D，则 p 真 q假，有 p假 q 真，所以①③真②④假．故选①③．
π
15． 0, a,b,c成等差数列， 2b a c ，由余弦定理得：
3
2 2 2 3 a2 2a c b c 2ac 3 a c 1 3 1 1
cos B 2 （当且仅当a c b时取等号）．又
2ac 8ac 8 c a 4 8 4 2
π
B 0, ， B 0, ．故答案为： 0, ．
3 3
2 2 2 2
16． 2 234 y x 4 x 6x 18 x 0 + 0 2 x 3 0 3 ，y 表示点P x,0
到点 A 0,2 和B 3, 3 的距离之和.当点P 为线段AB与 x 轴的交点时， y 取得最小值.
2 2
ymin AB 3 0 3 2 34 .故答案为： 34
2
17．（1）B m m 2 ；（2） ,1 1, .
3
（1）由题意可知，命题 p : x x 1 x 1 ， x2 x m 是真命题，
答案第 4 页，共 8 页
2
所以，m x2 x 1 1 2，故B m m 2 ；
max
（2）由题意可知，A B 且 A .
2 2
①若3a a 2，即当a 1时，A x 3a x a 2 ，所以3a 2，解得a ，此时 a 1；
3 3
②若a 2 3a，即当a 1时，A x a 2 x 3a ，所以a 2 2，解得a 0，此时a 1 .
2
综上所述，实数a的取值范围是 ,1 1, .
3
2
18．(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.(Ⅰ) 2asin A 2b c sin B 2c b sinC， 2a 2b c b 2c b c ,即
b2 c2 a2 1
a2 b2 c2 bc . cos A ， A 120 .
2bc 2
(Ⅱ)sin B sinC sin B sin(60 B)
3 1
cos B sin B sin 60 B ，
2 2
0 B 60 ，∴当60 B 90 即B 30 时，sin B sinC 取得最大值 1.
1 n
19．（ ）a ( )n 11 n ，bn n ；（2）证明见解析.因为 an 是首项为 1的等比数列且a1，3a2 ，9a33 3
2 1
成等差数列，所以6a2 a1 9a3，所以6a1q a
2
1 9a1q ，即9q 6q 1 0，解得q ，所以
3
1 na n
a ( )n 1n ，所以bn
n
3 3 3n
.
1
1 (1 )
3n 3 1（2）证明：由（1）可得Sn (1 )1 2 3n
，
1
3
1 2 n 1 n 1 1 2 n 1 n
T ，① Tn n 2 3 n n 1 ，②
3 32 3n 1 3n 3 3 3 3 3
1 1
(1 )
2 1 1 1 1 n n n 1 1 n
① ②得 Tn
3 3 (1 )
3 3 32 33 3n 3n 1
，
1 n 1 n n 1
1 3 2 3 3
3
3 1 n S 3 1 n 3 1 n
所以T nn (1 ) ，所以Tn (1 ) (1 ) 0
4 3n 2 3n 2 4 3n 2 3n 4 3n
，
2 3n
S
所以Tn
n
.
2
1 2n 2 2 2 1
20．（1）an n ；（2） .（1）设数列{an}的公比为 q,由a3 ＝9a
2
2a6得a3 ＝9a4 ,所以 q ＝ .
3 n 1 9
1 1
由条件可知 q＞0,故 q＝ .由 2a1＋3a2＝1 得 2a1＋3a1q＝1,所以 a1＝ .故数列{an}的通项公式
3 3
高二期中联考卷 理数试卷答案 第 5 页，共 8 页
1
为 an＝ .
3n
n n 1
（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－ .
2
1 2 1 1
故 2 .
bn n n 1 n n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 2n
2 1
b1 b2 bn 2 2 3 n n 1 n 1
1 2n
所以数列 的前 n 项和为
bn n 1
2 2 2 2 2
21.解：解：（1）已知圆C1 : x y 2mx 4my 5m 4 0，圆C2 : x y 1，
圆C1的圆心为C1(m,2m)，半径r1 2，圆C2 的圆心C2(0,0)，半径为r2 1，因为圆C1、C2 相
3 5 5
交，所以圆心距 r1 r2 C1C2 r1 r ，即1 m
2 (2m)22 3，解得： m 或
5 5
5 3 5
m .
5 5
4 5
（2）因为圆C1与直线l : x 2y 4 0相交于M 、N 两点，且 MN ，而圆心C1(m,2m) 到
5
5m 4 2MN (5m 4)
2 4
直线l : x 2y 4 0
的距离d ，结合d 2 2 r ，即 ， 1 4
5 2 5 5
8
解得：m 0或m .
5
（3）已知点P(2,0)，圆C1上一点A ，圆C2 上一点B ，由向量加减运算得 PA PB PA ( PB) ，
2 2 2 2
由 PB联想到作出圆C2 : x y 1关于定点P(2,0)的对称圆C3 : (x 4) y 1，延长BP与
圆C3交于点B1，则 PB PB1 ，
答案第 6 页，共 8 页
所以 PA PB PA ( PB) PA PB1 B1A ，即 PA P B BA 1 就是圆C 上任一点A与圆C1 3
上任一点B 的距离，所以 PA PB B1A C1C3 3 (m 4)
2 (2m)2 3
1
min min
2
4 64 4 2 64 8 5 5m 8m 16 3 5 m 3即当m 时， PA PB 3 3，
5 5 5 min 5 5
8 5
所以 PA PB 的最小值的取值范围是 3,
5
．
22.解：（1）设 A x1, y1 ,B x ，所以 2, y2
3x 2 1 4y
2
1 12
得3 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0
3x 2 2 2 4y2 12
y y
解得k 1 2 1
x1 x2
（2）设直线l的方程为 y kx m， A x1, y1 ,B x 2, y2
3x 4y 12 2
由 得 3+4k x2 8kmx 4m2 12 0
y kx m
8km 4m2 12
所以 x1+x2 , x1x2
3 4k 2 3 4k 2
2
因为OA OB，所以OA·OB 0，即 x1x2 y1y2 1 k x1x2 km x1 x2 m2
2
2 4m 12 8k
2m2 2 2
1 k m2
7m 12 12k
0，
3 4k 2 3 4k 2 3 4k 2
高二期中联考卷 理数试卷答案 第 7 页，共 8 页
12 m2 2 21所以m 1 k 2 ，原点O到直线l的距离d ；
7 1 k 2 7
当直线 l的斜率不存在时，设直线l的方程为 x m，
3
4 m
2 3 4 m2 2
则 A m, , B
m,
3 4 m
，由OA OB m2得 0，
2 2
4
2 21 2 21
解得 m ，所以此时原点O到直线l的距离为 ．
7 7
2 21
综上可知，原点O到直线l的距离为定值 ．
7
答案第 8 页，共 8 页