初中数学华师大版八年级上学期第14章勾股定理单元测试
一、单选题
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，9，12 B．-9，40，41 C．9，12，13 D．7，24，25
2．若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是（ ）
A．b2=c2-a2 B．a2=c2-b2 C．b2=a2-c2 D．c2=a2+b2
3．（2021八下·滨江期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”时，首先假设这个三角形中（ ）
A．三个内角都小于60° B．只有一个内角大于或等于60°
C．至少有一个内角小于60° D．每一个内角都小于或等于60°
4．（2021八上·牡丹月考）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 ，当他把绳子的下端拉开 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.间水深几何.”（丈、尺是长度单位，1丈 尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
6．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余
B．三角形内角和等于180°
C．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
D．如果三角形两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形
7．如图所示，在△ABC中，∠A+∠B=∠C， BC=，AB=4则AC的长是（ ）
A．9 B．4 C．5 D．3
8．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为（ ）mm．
A．90 B．100 C．120 D．150
9．如图所示，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
10．下列选项中，不能用来验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AB=25，AC=20，则BC=
12．（2021八下·咸宁期末）如图是一参赛队员设计的机器人在比赛时行走的路径，机器人从 处先往东走 ，又往北走 ，遇到障碍后又往西走 ，再转向北走 往东拐，仅走 就到达了 .问 、 两点之间的距离为 .
13．（2021八上·滕州月考）如图，已知圆柱的底面周长为10cm，高 为12cm， 是底面的直径，一只蚂蚁沿着圆柱侧面爬行觅食从点 爬到点 ，则蚂蚁爬行的最短路线为 cm．
14．（2021八上·槐荫月考）如图，正方形 的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形 的边长分别为 和2，则正方形 的面积为 ．
15．如图所示，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，0M=4，则点C到射线OA的距离为
16．（2020八上·鄞州期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 .
三、解答题
17．（2021八上·泰州月考）勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位.它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要.学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法.请你利用如图图形证明勾股定理：
已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD.
求证：AB2＝BE2+AE2.
18．如图所示是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
19．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，有AB，CD，EF，GH四条线段，端点都在格点上，你能选取其中三条线段组成一个直角三角形吗？请说明理由．
四、综合题
20．如图所示，隔湖有两点A，B，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=50m，CB=40 m．
（1）求A，B两点间的距离；
（2）你能求点B到直线AC的距离吗？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、62+92≠122，故A不满足题意；
B、-9不属于正整数，故B不满足题意；
C、92+122≠132，故C不勾股数满足题意；
D、72+242=252，故D满足题意.
故答案为：D.
【分析】就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数 （a +b =c ） ，据此判断.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形，斜边长为c，
∴c2=a2+b2 ， 即b2=c2-a2 ， a2=c2-b2 .
故答案为：C.
【分析】直角三角形中，斜边长为c，根据勾股定理列等式，然后再变形把a2和b2表示出来，即可判断.
3．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】∵要证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”，
∴用反证法证明时，首先假设这个三角形中三个内角都小于60°，
故答案为：A.
【分析】反证法的步骤：①假设结论不成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此判断即可.
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，画出图形，BC=5m，如下图：
设旗杆的高为： ，则绳子AC的长为 ，
在 中，由勾股定理得： ，即
，
解得： ，
即旗杆的高为12m．
故答案为：A．
【分析】设旗杆的高为： ，则绳子AC的长为 ，再利用勾股定理即可求出AB的长，即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设水池里的水深为x尺，由题意得：
解得：x=12
故答案为：C.
【分析】设水池里的水深为x尺，可表示出这根芦苇的高，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵(3m)2+( 4m)2=(5m)2，
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断。
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【解答】 在△ABC中，∠A+∠B+∠C =180°， ∠A+∠B=∠C，
∴∠C=90°，
∴AC2=AB2-BC2=42-7=9，
∴AC=3.
故答案为：D.
【分析】先利用三角形的内角和及已知，求出∠C=90°，即得△ABC为直角三角形，然后利用勾股定理求出解即可.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由题意得：BC=180-60=120mm，AC=150-60=90mm，
由勾股定理得AB==150mm.
故答案为：D.
【分析】由题意先求出AC、BC的长，然后利用勾股定理求出AB即可.
9．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
在直角三角形ABE中，AB=2.4，BE=0.7
∴AE2=AB2+BE2=2.42+0.72=6.25
∴DE2=AE2=6.25
在直角三角形ECD中，CD=2
∴EC===1.5
∴BC=BE+EC=0.7+1.5=2.2
【分析】根据勾股定理求EC的长度，继而利用线段的和差关系求出BC的值即可。
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、∵大正方形的面积=c2=4×a（a+b）+（b-a）2，∴a2+b2=c2，正确；
B、大正方形的面积=（a+b）2=4×ab+c2，∴a2+b2=c2，正确；
C、梯形的面积=（a+b）（a+b）=2×ab+c2，∴a2+b2=c2，正确；
D、无法确定大正方形的边长，不能利用a、b、c来构造等式，错误；
故答案为：D.
【分析】勾股定理的验证一般是用拼图法来验证，其基本思想是借助于图形的面积来验证，依据是对图形进行割补、拼接后面积不变的原理，根据拼接法利用面积相等分别列式验证即可解答.
11．【答案】15
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴BC=，
故答案为：15.
【分析】根据勾股定理列式计算即可.
12．【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，如图，
，
根据题意可得，A处与B处水平距离为8-4+1=5，竖直距离为3+9=12，
∴AC=5，BC=12，
∴AB= =13，
故答案为13.
【分析】过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，由题意可得A处与B处水平距离AC和竖直距离BC的值，然后在直角三角形ABC中，用勾股定理可求解.
13．【答案】13
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】把圆柱沿母线AB剪开后展开，点C展开后的对应点为C′，则蚂蚁爬行的最短路径为AC′，如图，
∵AB＝12， BC′＝5，
在Rt△ABC′，AC′＝
∴蚂蚁爬行的最短路程为13cm．
故答案是：13
【分析】先利用勾股定理求出AC'=13，再求解即可。
14．【答案】3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠EDF=90°，EF=2，DE=1，
∴DF2=EF2 DE2=3，
∴正方形 的面积为3，
故答案为3．
【分析】根据正方形A、B、C的边长分别为直角三角形的三边长，则有DF2=EF2 DE2代入即可。
15．【答案】3
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】过点C作CF⊥OA于点F，
∵CM⊥OB，OC=5，OM=4 ，
∴CM=，
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB ，
∴CF=OM=3，
即点C到射线OA的距离为3.
【分析】过点C作CF⊥OA于点F，先利用勾股定理求出CM，再根据角平分线的性质得出CF=OM，即得结论.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BF，过B作BH⊥AC于H，
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC的中垂线，
∴BF=CF，
∴CF+EF=BF+EF≤BH，
∵AD=,
∵BH×AC=BC×AD，
∴BH=.
故答案为： .
【分析】连接BF，过B作BH⊥AC于H，根据垂直平分线的性质把CF转化为BF，由两点之间线段最短可得当B、F、E在同一条直线上时， CF+EF有最小值，最后利用面积法求出BF的长即可.
17．【答案】证明：连接AC，
∵△ABE≌△BCD，
∴AB=BC，AE=BD，BE=CD，∠BAE=∠CBD，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠ABC=90°，
∴S四边形ABCD= ，
又∵S四边形ABCD= ，
，
∴AB2=AE2+BD BE-BE DE，
∴AB2=AE2+（BD-DE） BE，即AB2=BE2+AE2.
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】连接AC，由全等三角形的性质可得AB=BC，AE=BD，BE=CD，∠BAE=∠CBD，推出∠ABC=90°，然后根据四边形ABCD面积的两种不同表示形式结合三角形的面积计算方法即可证明.
18．【答案】解：如图所示，连接AC．
因为AD=4 m，CD=3 m，∠ADC= 90°，
所以AC= =5(m)．
所以S△ACD= 6(m2)．
在△ABC中，
因为AC=5 m，BC=12 m，AB=13 m，
所以AC2+ BC2= AB2．
所以△ABC为直角三角形，且∠ACB= 90°．
所以Rt△ABC的面积为30(m2)．
所以四边形ABCD的面积=30-6= 24(m2)．
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理求出AC的长度，继而根据AC，BC，AB的长度求出三角形ABC为直角三角形，将两个直角三角形的面积作差，求出答案即可。
19．【答案】解：能．由题意，得EF2=5，
CD2=20，
AB2=8，
GH2=13，
因为5+8=13，
所以EF2+AB2=GH2，
所以选取EF，AB，GH能组成直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理判断得到答案即可。
20．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，因为∠B=90°，
所以AB2+ BC2= AC2．
所以AB2=AC2- BC2=502 - 402 = 900．
所以AB=30 m．
答：A，B两点间的距离为30 m。
（2）解：如图所示，过点B作BD⊥_AC于点D．
在Rt△ABC中，
S△ABC= AB·BC= AC·BD．
BD= = 24(m)．
答：点B到直线AC的距离是24 m．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】(1)由题意知∠B=90°，利用勾股定理列式解答即可；
(2)利用等积法列等式即可求解.
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期第14章勾股定理单元测试
一、单选题
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，9，12 B．-9，40，41 C．9，12，13 D．7，24，25
【答案】D
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A、62+92≠122，故A不满足题意；
B、-9不属于正整数，故B不满足题意；
C、92+122≠132，故C不勾股数满足题意；
D、72+242=252，故D满足题意.
故答案为：D.
【分析】就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数 （a +b =c ） ，据此判断.
2．若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是（ ）
A．b2=c2-a2 B．a2=c2-b2 C．b2=a2-c2 D．c2=a2+b2
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形，斜边长为c，
∴c2=a2+b2 ， 即b2=c2-a2 ， a2=c2-b2 .
故答案为：C.
【分析】直角三角形中，斜边长为c，根据勾股定理列等式，然后再变形把a2和b2表示出来，即可判断.
3．（2021八下·滨江期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”时，首先假设这个三角形中（ ）
A．三个内角都小于60° B．只有一个内角大于或等于60°
C．至少有一个内角小于60° D．每一个内角都小于或等于60°
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】∵要证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于60”，
∴用反证法证明时，首先假设这个三角形中三个内角都小于60°，
故答案为：A.
【分析】反证法的步骤：①假设结论不成立，②从假设出发推出矛盾，③假设不成立，则结论成立，据此判断即可.
4．（2021八上·牡丹月考）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 ，当他把绳子的下端拉开 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，画出图形，BC=5m，如下图：
设旗杆的高为： ，则绳子AC的长为 ，
在 中，由勾股定理得： ，即
，
解得： ，
即旗杆的高为12m．
故答案为：A．
【分析】设旗杆的高为： ，则绳子AC的长为 ，再利用勾股定理即可求出AB的长，即可得出答案。
5．（2021·襄阳）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiǎ）生其中，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.间水深几何.”（丈、尺是长度单位，1丈 尺，）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度是多少？则水深为（ ）
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设水池里的水深为x尺，由题意得：
解得：x=12
故答案为：C.
【分析】设水池里的水深为x尺，可表示出这根芦苇的高，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值.
6．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（ ）
A．直角三角形两个锐角互余
B．三角形内角和等于180°
C．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
D．如果三角形两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵(3m)2+( 4m)2=(5m)2，
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断。
7．如图所示，在△ABC中，∠A+∠B=∠C， BC=，AB=4则AC的长是（ ）
A．9 B．4 C．5 D．3
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【解答】 在△ABC中，∠A+∠B+∠C =180°， ∠A+∠B=∠C，
∴∠C=90°，
∴AC2=AB2-BC2=42-7=9，
∴AC=3.
故答案为：D.
【分析】先利用三角形的内角和及已知，求出∠C=90°，即得△ABC为直角三角形，然后利用勾股定理求出解即可.
8．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为（ ）mm．
A．90 B．100 C．120 D．150
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由题意得：BC=180-60=120mm，AC=150-60=90mm，
由勾股定理得AB==150mm.
故答案为：D.
【分析】由题意先求出AC、BC的长，然后利用勾股定理求出AB即可.
9．如图所示，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
在直角三角形ABE中，AB=2.4，BE=0.7
∴AE2=AB2+BE2=2.42+0.72=6.25
∴DE2=AE2=6.25
在直角三角形ECD中，CD=2
∴EC===1.5
∴BC=BE+EC=0.7+1.5=2.2
【分析】根据勾股定理求EC的长度，继而利用线段的和差关系求出BC的值即可。
10．下列选项中，不能用来验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】解：A、∵大正方形的面积=c2=4×a（a+b）+（b-a）2，∴a2+b2=c2，正确；
B、大正方形的面积=（a+b）2=4×ab+c2，∴a2+b2=c2，正确；
C、梯形的面积=（a+b）（a+b）=2×ab+c2，∴a2+b2=c2，正确；
D、无法确定大正方形的边长，不能利用a、b、c来构造等式，错误；
故答案为：D.
【分析】勾股定理的验证一般是用拼图法来验证，其基本思想是借助于图形的面积来验证，依据是对图形进行割补、拼接后面积不变的原理，根据拼接法利用面积相等分别列式验证即可解答.
二、填空题
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AB=25，AC=20，则BC=
【答案】15
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，
∴BC=，
故答案为：15.
【分析】根据勾股定理列式计算即可.
12．（2021八下·咸宁期末）如图是一参赛队员设计的机器人在比赛时行走的路径，机器人从 处先往东走 ，又往北走 ，遇到障碍后又往西走 ，再转向北走 往东拐，仅走 就到达了 .问 、 两点之间的距离为 .
【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，如图，
，
根据题意可得，A处与B处水平距离为8-4+1=5，竖直距离为3+9=12，
∴AC=5，BC=12，
∴AB= =13，
故答案为13.
【分析】过点B作BC垂直A所在水平直线于点C，由题意可得A处与B处水平距离AC和竖直距离BC的值，然后在直角三角形ABC中，用勾股定理可求解.
13．（2021八上·滕州月考）如图，已知圆柱的底面周长为10cm，高 为12cm， 是底面的直径，一只蚂蚁沿着圆柱侧面爬行觅食从点 爬到点 ，则蚂蚁爬行的最短路线为 cm．
【答案】13
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】把圆柱沿母线AB剪开后展开，点C展开后的对应点为C′，则蚂蚁爬行的最短路径为AC′，如图，
∵AB＝12， BC′＝5，
在Rt△ABC′，AC′＝
∴蚂蚁爬行的最短路程为13cm．
故答案是：13
【分析】先利用勾股定理求出AC'=13，再求解即可。
14．（2021八上·槐荫月考）如图，正方形 的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形 的边长分别为 和2，则正方形 的面积为 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠EDF=90°，EF=2，DE=1，
∴DF2=EF2 DE2=3，
∴正方形 的面积为3，
故答案为3．
【分析】根据正方形A、B、C的边长分别为直角三角形的三边长，则有DF2=EF2 DE2代入即可。
15．如图所示，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，0M=4，则点C到射线OA的距离为
【答案】3
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】过点C作CF⊥OA于点F，
∵CM⊥OB，OC=5，OM=4 ，
∴CM=，
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB ，
∴CF=OM=3，
即点C到射线OA的距离为3.
【分析】过点C作CF⊥OA于点F，先利用勾股定理求出CM，再根据角平分线的性质得出CF=OM，即得结论.
16．（2020八上·鄞州期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 .
【答案】
【知识点】垂线段最短；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BF，过B作BH⊥AC于H，
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC的中垂线，
∴BF=CF，
∴CF+EF=BF+EF≤BH，
∵AD=,
∵BH×AC=BC×AD，
∴BH=.
故答案为： .
【分析】连接BF，过B作BH⊥AC于H，根据垂直平分线的性质把CF转化为BF，由两点之间线段最短可得当B、F、E在同一条直线上时， CF+EF有最小值，最后利用面积法求出BF的长即可.
三、解答题
17．（2021八上·泰州月考）勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位.它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要.学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法.请你利用如图图形证明勾股定理：
已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD.
求证：AB2＝BE2+AE2.
【答案】证明：连接AC，
∵△ABE≌△BCD，
∴AB=BC，AE=BD，BE=CD，∠BAE=∠CBD，
∵∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠ABC=90°，
∴S四边形ABCD= ，
又∵S四边形ABCD= ，
，
∴AB2=AE2+BD BE-BE DE，
∴AB2=AE2+（BD-DE） BE，即AB2=BE2+AE2.
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【分析】连接AC，由全等三角形的性质可得AB=BC，AE=BD，BE=CD，∠BAE=∠CBD，推出∠ABC=90°，然后根据四边形ABCD面积的两种不同表示形式结合三角形的面积计算方法即可证明.
18．如图所示是一块地的平面图，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，∠ADC=90°，求这块地的面积．
【答案】解：如图所示，连接AC．
因为AD=4 m，CD=3 m，∠ADC= 90°，
所以AC= =5(m)．
所以S△ACD= 6(m2)．
在△ABC中，
因为AC=5 m，BC=12 m，AB=13 m，
所以AC2+ BC2= AB2．
所以△ABC为直角三角形，且∠ACB= 90°．
所以Rt△ABC的面积为30(m2)．
所以四边形ABCD的面积=30-6= 24(m2)．
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理求出AC的长度，继而根据AC，BC，AB的长度求出三角形ABC为直角三角形，将两个直角三角形的面积作差，求出答案即可。
19．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，有AB，CD，EF，GH四条线段，端点都在格点上，你能选取其中三条线段组成一个直角三角形吗？请说明理由．
【答案】解：能．由题意，得EF2=5，
CD2=20，
AB2=8，
GH2=13，
因为5+8=13，
所以EF2+AB2=GH2，
所以选取EF，AB，GH能组成直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理判断得到答案即可。
四、综合题
20．如图所示，隔湖有两点A，B，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=50m，CB=40 m．
（1）求A，B两点间的距离；
（2）你能求点B到直线AC的距离吗？
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，因为∠B=90°，
所以AB2+ BC2= AC2．
所以AB2=AC2- BC2=502 - 402 = 900．
所以AB=30 m．
答：A，B两点间的距离为30 m。
（2）解：如图所示，过点B作BD⊥_AC于点D．
在Rt△ABC中，
S△ABC= AB·BC= AC·BD．
BD= = 24(m)．
答：点B到直线AC的距离是24 m．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】(1)由题意知∠B=90°，利用勾股定理列式解答即可；
(2)利用等积法列等式即可求解.
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