第一章 空间向量与立体几何__2021-2022学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 重难点练习（Word含答案解析）

第一章 空间向量与立体几何
重点练习
1.如图所示，在平行六面体中，设，，，N是BC的中点，用a，b，c表示为( )
A. B. C. D.
2.已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为( )
A.0 B. C.9 D.
3.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，，，M在EF上，且平面BDE，则点M的坐标为( )
A. B. C. D.
4.如图，在正方体中，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.在长方体中，，，Q是线段上一点，且，则点Q到平面的距离为____________.
6.已知，，若，，且平面ABC，则___________.
7.如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，，，平面平面ABCD，E为棱PB上一点（不与P、B重合），平面ADE交棱PC于点F.
（1）求证：；
（2）若平面BAC与平面ACE夹角的余弦值为，求点B到平面AEC的距离.
难点练习
8.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
9.如图，在平行六面体中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等.给出下列结论：
①；
②；
③平面；
④平面.
其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.已知O为原点，，，，点Q在直线OP上运动，则取得最小值时，点Q的坐标为( )
A. B. C. D.
11.已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为( )
A.2 B. C. D.
12.如图，正方体的棱长为1，中心为O，，，则四面体的体积为( )
A. B. C. D.
13.已知点P是棱长为1的正方体的底面上一点（包括边界），则的取值范围是____________.
14.已知点E，F分别在正方体的棱，上，且，，则平面AEF与平面ABC所成角的正切值为________________.
15.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，且，平面平面ABCD，，E为线段PC的中点，F是线段AB上的一个动点.
（1）求证：平面平面PBC；
（2）设平面CDE与平面EDF的夹角为，试判断在线段AB上是否存在这样的点F，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
答案以及解析
1.答案：A
解析：是BC的中点，
.故选A.
2.答案：D
解析：不能构成空间的一个基底，共面，则，其中，则，
解得故选D.
3.答案：C
解析：连接OE.设点M的坐标为，因为，所以，
又，，所以，，
因为平面BDE，所以，所以
所以M点的坐标为.故选C.
4.答案：B
解析：设正方体的棱长为2，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，设，
则，，，设平面的一个法向量为，则即令，得，所以.因为，所以，所以，由于，所以，故选B.
5.答案：
解析：如图，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
由，得，
，
设平面的法向量为，
由得
取，则，，，
点Q到平面的距离.
6.答案：
解析：已知，由题意，可得，.
利用向量数量积的运算公式，可得解得
.
7.答案：（1）证明：底面ABCD为矩形，
，
又平面PBC，平面PBC，
平面PBC.
又平面ADE，平面平面，.
（2）如图，取AD的中点O，连接PO，过点O作交BC于点H.
侧面PAD为正三角形，，
平面平面ABCD，且交线为AD，
平面ABCD，底面ABCD为矩形，
，.
以O为原点，OA，OH，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则，，，，，，.
设，
则，
.
设平面AEC的法向量为，
则
令，则，.
平面AEC的一个法向量为.
易知是平面ABC的一个法向量.
，
解得，，
.
又平面AEC的一个法向量，
点B到平面AEC的距离为.
8.答案：C
解析：，，
.
易知，，
，故选C.
9.答案：C
解析：，，，从而，平面，平面，平面，同理平面，故①③④正确.又与不平行，与不平行，故②不正确.故选C.
10.答案：C
解析：点Q在直线OP上运动，设，则，，
，当时，最小，此时，，故选C.
11.答案：D
解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO、DO，因为，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面ACD，如图建系，则，，，，
所以，，.
设平面BCD的法向量为，则即
令，得，，则，易知平面CDA的一个法向量为，所以，故选D.
12.答案：D
解析：如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，因此，，，所以，，.
易得，所以.
设平面EBF的一个法向量为，则
令，得，
所以点O到平面EBF的距离为，所以四面体的体积.
13.答案：
解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则，，.
设.
则，，
.
，当，时，有最小值.
当点P取，，，时，有最大值1.
的取值范围是.
14.答案：
解析：如图，以点D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设，由已知条件得，，，，，则，，.
设平面AEF的法向量为，
平面AEF与平面ABC所成角为，
由得
令，则，，
所以，
易得平面ABC的一个法向量，
则，
又，所以，所以.
15.答案：（1）证明：四边形ABCD是正方形，
.
平面平面ABCD，平面平面，平面PCD.
平面PCD，.
，E为线段PC的中点，
.
又，平面PBC.
又平面DEF，
平面平面PBC.
（2）由（1）知平面PCD，
，
平面PCD.
在平面PCD内过点D作交PC于点G，
，故DA，DC，DG两两垂直，以D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
，，.
平面PCD，则，，，.
又E为PC的中点，，
.
假设在线段AB上存在这样的点F，使得，设，则，
设平面EDF的法向量为，则
令，则，，
则.
平面PCD，平面PCD的一个法向量，
，.
，.
，
，.