北师大版八年级数学上册 4.4 利用两个一次函数的图象解决问题（教案）

义务教育课程标准北师大版数学教科书八年级上册
教案：确定一次函数的表达式
一、目标确定的依据
1.课程标准相关要求
结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式；
会利用待定系数法确定一次函数的表达式。
2.教材分析
《确定一次函数表达式》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》第七节，本节内容安排了1个课时完成。主要是通过对具体情境的分析比较，探索利用不同的方法确定一次函数的表达式。这一内容是上一课时内容的自然发展，上一课时探索了函数与方程之间的关系，并获得了方程组的图像解法，本节课研究利用多种方法确定一次函数的表达式，这样更为全面地理解函数与方程、图形与代数表达式之间的关系，从而发展学生数形结合的意识。
3.学情分析
通过前面的学习，学生已经熟练掌握了二元一次方程组的解法，同时在第四章也学习了部分确定一次函数的表达式的基本方法，在上一节课又学习了二元一次方程组的图像解法，这些知识为本节课的学习作好了很好的铺垫，由于上节课的惯性，学生易在图像法上停留，因为图像法很直观，容易接受，因此本节课对代数方法的渗透应有一个循序渐进的过程。
二、目标
1. 通过复习确定简单的一次函数表达式的基本方法，体会数学中的转化思想和数形结合思想。
2. 通过感受现实生活情境，经历应用不同方法确定一次函数表达式的探究过程，计算一次函数表达式中k和b的具体数值，领悟这两个常数在具体问题中的实际意义，进一步体会一次函数的实际意义。
3. 经历应用问题多种解法的探究过程，在探究中学会解决应用问题的一些基本方法和策略，培养学生的观察能力、识图能力以及语言表达能力，发展学生的模型思想、创新意识和应用意识。
三、评价任务
1. 通过已知条件确定简单的一次函数表达式，理解“点在图像上”即“点的坐标满足一次函数表达式”这一基本事实。
2. 用待定系数法或方程法求实际问题中涉及到的一次函数的表达式，概括确定一次函数表达式的一般步骤，用自己的语言总结出待定系数法的定义，解释具体情境中k和b的实际意义，并说明其算法。
3. 合理选择恰当的方法解决综合问题，说出解决问题的关键点，并清楚表达解题思路。
四、教学过程
环节一：复习回顾 设计意图：
请用适当方法解决下列问题： 1.已知一次函数y=kx，当x=2时，y=4，则这个一次函数的表达式是____________; 2.已知一次函数y=kx—3的图象经过点（1，4），则这个一次函数的表达式是______________. （评价任务1） 1.准确理解何种形式的表达式是“确定”的； 2.体会转化思想和数形结合思想。
环节二：新知探究
例：某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数，已知李明带了60kg的行李，交了行李费5元；张华带了90kg的行李，交了行李费10元。 （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？ （评价任务2） 1.探索用多种方法解决该问题，培养学生的创新意识； 2.探索并总结待定系数法的定义，总结该方法的步骤； 3.体会待定系数法与方程法的互逆性，明确k和b的实际意义，体会该问题中可以抽象出一次函数的合理性； 4.比较两种方法的优劣，理解待定系数法作为确定函数表达式的通法的合理性。
总结： 1.待定系数法的定义：像这样，先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法。 2.用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤：设（表达式）——列（方程组）——解（求k和b的值）——验（是否符合实际）——答（确定了的表达式） 板书待定系数法的一般步骤，突出本节课的重点。
环节三：能力提升
练习：A、B两地相距100km，甲、乙两人骑车同时分别从A、B两地相向而行，假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离s（km）都是骑车时间t（h）的一次函数，1h后乙距离A地80km；2h后甲距离A地30km。经过多长时间两人将相遇？ （评价任务3） 1.通过独立思考与小组合作的方式尽可能多地找出解决问题的不同方法，比较各种方法的优劣，体会数学的严谨性； 2.巩固待定系数法，强化理解该方法的合理性。
环节四：课堂小结
请学生自主发言，谈谈本节课的收获：
1.本节课学到了那些方法与知识？ 2.本节课学到了哪些数学思想？感悟到了什么？
五、作业布置
学案“练习巩固”部分的习题
作业要求：待定系数法书写步骤完整规范；选择合适的方法解决问题。
六、板书设计
七、教学反思
本节课的重点是要学生了解一次函数表达式的确定需要两个条件，能根据已知条件利用待定系数法求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题。本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法、综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础。探究的过程由浅入深，利用了常见的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到一次函数就在我们身边，应用非常广泛。教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求一次函数表达式的一般方法，并探究到不同方法之间的关系，从而体会一次函数中两个系数的实际意义。
学生处理例题的能力没有预期的好，多数学生能够独立解决但是计算较慢，还有少部分学生完全没有任何解题思路，所以必须要进行整体的讲解，探究两种方法之间的关系从而发现k与b的实际意义这部分内容是本节课的难点，学生处理起来很困难，课堂引导的时候有些混乱，没有将学生准确的引导到位，造成了一些不必要的混乱，等到处理能力提升的题目时，时间比较紧张，学生没办法在单位时间内发现解决问题的多种方法，只能凭借经验选择最快的方法，虽然做出了题目，但是没有完全达到预期的“能力提升”的效果，课堂时间整体调控做的不是很到位。
附录
课题：确定一次函数表达式（学案）
活动一：复习回顾
请用适当方法解决下列问题：
1.已知一次函数y=kx，当x=2时，y=4，则这个一次函数的表达式是____________;
2.已知一次函数y=kx—3的图象经过点（1，4），则这个一次函数的表达式是______________.
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活动二：新知探究
例：某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（kg）的一次函数，已知李明带了60kg的行李，交了行李费5元；张华带了90kg的行李，交了行李费10元。
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
活动三：能力提升
练习：A、B两地相距100km，甲、乙两人骑车同时分别从A、B两地相向而行，假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到A地的距离S（km）都是骑车时间t（h）的一次函数，1h后乙距离A地80km；2h后甲距离A地30km。
经过多长时间两人将相遇？
活动四：练习巩固
练习1：在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数。当所挂物体的质量为1kg时，弹簧长15cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm。写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4kg时，弹簧的长度。
练习2：汽车出发前油箱有油50L，行驶若干小时后，在加油站加油若干升。图象表示的是从出发后，油箱中剩余油量y（L）与行驶时间t（h）之间的关系。
（1）汽车行驶_______h后加油，中途加油_________L；
（2）求加油前邮箱剩余油量与行驶时间t的函数关系式；
（3）已知加油前、后汽车都以70km/h匀速行驶，如果加油站距目的地210km，那么要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由
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