椭圆的标准方程
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(共26张PPT)
椭圆的标准方程
生活中的椭圆
地球绕着太阳旋转
压扁
将一个圆进行均匀压缩变形后，所得的图形也像椭圆．
椭圆？
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？
生活中的椭圆
一.问题情境
教学目标：
1．掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程。
2．能用标准方程判定曲线是否是椭圆。
问题1：它们是不是数学概念上
的椭圆？怎样定义数学
上的椭圆？
问题2：如何建立椭圆的方程？
椭圆定义
求曲线方程
检查自学效果
请大家到课本中寻找
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数
（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
F1
F2
P
椭圆上的点到两个焦点的距离之和记为2a ；
两焦点之间的距离（焦距）记为2c,即:F1F2＝2c.
说明
注意
a > c > 0
检查自学效果
演示椭圆画法
椭圆标准方程的推导：
建立直角坐标系
列等式
求椭圆的方程可分为哪几步？
设点坐标
代入坐标
化简方程
检查自学效果
学生活动
O
x
y
O
x
y
O
x
y
M
F1
F2
方案一
F1
F2
方案二
O
x
y
M
O
x
y
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线
作为坐标轴。)
如何建立适当的直角坐标系？
建立直角坐标系
方程的推导
y
x
o
·
F1
·
F2
P
以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图坐标系。
化简方程
建立直角坐标系
设点坐标
代入坐标
列等式
F1F2 ＝ 2c
检查自学效果
方程的推导
y
x
o
·
F1
·
F2
P
设P(x,y)为椭圆上的任意一点，
∵F1F2＝2c(c>0),
则：F1(-c,0)、F2(c,0)
以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图坐标系。
化简方程
建立直角坐标系
设点坐标
代入坐标
列等式
方程的推导
∴
∴
∴
∴
设
∴
则，椭圆的方程为：
化简方程
建立直角坐标系
设点坐标
代入坐标
列等式
方程的推导
方程的推导
P
F2
F1
o
y
x
以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立坐标系。
方程的推导
P
F2
F1
o
y
x
设P(x,y)为椭圆上的任意一点，
∵F1F2＝2c(c>0),
则：F1(0，-c)、F2(0，c)
∵
∴
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式
焦点在y轴：
焦点在x轴：
2)椭圆的标准方程
1
o
F
y
x
2
F
M
1
2
y
o
F
F
M
x
检查自学效果
a为最大，且满足
图 形
方 程
焦 点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
MF1+MF2=2a (2a>2c>0)
定 义
1
2
y
o
F
F
M
x
1
o
F
y
x
2
F
M
3)两类标准方程的对照表
注:
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大.
焦点在y轴的椭圆 项分母较大.
1、已知椭圆的方程为：
则a＝____，b＝____，c＝___， 焦点坐标为：___ ，焦距等于____。该椭圆上一点P到焦点F1的距离为8，则点P到另一个焦点F2的距离等于______。
10
6
8
(0,-8)、(0,8)
16
12
问题：已知椭圆的标准方程，如何判断焦点所在的坐标轴？
焦点在分母大的那个轴上
（1）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（4，0），
椭圆上的一点P到焦点的距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，- 2），（0，2），
并且椭圆经过点（-3/2，5/2）。
F1
F2
M
x
y
O
x
y
o
F2
F1
M
表示焦点在x轴，焦点为
F1（-c,0），F2（c,0）
表示焦点在y轴，焦点为
F1（0, -c），F2（0, c）
求适合下列条件的椭圆的标准方程。
解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为
由已知，2a=10, 2c=8
故可得，a=5
c=4,b=3
求得椭圆的标准方程为：
（1）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（4，0），
椭圆上的一点P到焦点的距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，- 2），（0，2），
并且椭圆经过点（-3/2，5/2）。
1、求适合下列条件的椭圆的标准方程。
解：（2）因椭圆的焦点在y轴上，故可设椭圆的标准方程为
由椭圆的定义与两点间距离公式可求得2a=
由已知，c=2，并可求得b=6
小结：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a, b的值.
例2、已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16，
求顶点A的轨迹方程。
课堂练习
y
o
B
C
A
x
.
解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为 ：
∵ 2a=10, 2c=6
∴ a=5, c=3
∴ b2=a2－c2=52－32=16
∴所求椭圆的标准方程为
课堂练习:
课本106页1、2、3
练习题讲解
3. 标准方程的简单应用
一种方法（待定系数系法）
两种思想（数形结合、分类讨论）
1.两类方程（焦点分别在x轴,y轴上的标准方程）
2.椭圆标准方程焦点位置的判断方法：焦点在分母大的那个轴上
4 . F1、F2是椭圆的“定位”条件，决定了椭圆的类型，知道了焦点位置，椭圆的标准方程就确定了。若不知道了焦点的位置，椭圆的标准方程有两种形式。a，b确定了椭圆的形状和大小，是“定形”条件。
作业
1、教材P106页习题8.1第2,3,4题
2、预习椭圆的有关应用
3、观察以下两个椭圆，形状不同原因
在哪里？请大家改变绳长或变换焦
点位置再画椭圆进行研究.
76页练习1、解答：设两个定点A、B的长度为
以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐
标系，则A（－4，0）、B（4，0）
讲 评
练习题
A
y
o
B
M
x
.
∵椭圆的焦点在x轴上
∴设它的标准方程为:
∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为
2、如果椭圆 上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一焦点F2的距离为 。
14
3、说出适合下列条件的椭圆标准方程
（1） ，焦点在x 轴上；
（2） ，焦点在y 轴上。
（3）a+b=10，
椭圆的标准方程
生活中的椭圆
地球绕着太阳旋转
压扁
将一个圆进行均匀压缩变形后，所得的图形也像椭圆．
椭圆？
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？
生活中的椭圆
一.问题情境
教学目标：
1．掌握椭圆的标准方程，能根据已知条件求椭圆的标准方程。
2．能用标准方程判定曲线是否是椭圆。
问题1：它们是不是数学概念上
的椭圆？怎样定义数学
上的椭圆？
问题2：如何建立椭圆的方程？
椭圆定义
求曲线方程
检查自学效果
请大家到课本中寻找
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数
（大于F1F2）的点的轨迹叫椭圆
定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
F1
F2
P
椭圆上的点到两个焦点的距离之和记为2a ；
两焦点之间的距离（焦距）记为2c,即:F1F2＝2c.
说明
注意
a > c > 0
检查自学效果
演示椭圆画法
椭圆标准方程的推导：
建立直角坐标系
列等式
求椭圆的方程可分为哪几步？
设点坐标
代入坐标
化简方程
检查自学效果
学生活动
O
x
y
O
x
y
O
x
y
M
F1
F2
方案一
F1
F2
方案二
O
x
y
M
O
x
y
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；
(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线
作为坐标轴。)
如何建立适当的直角坐标系？
建立直角坐标系
方程的推导
y
x
o
·
F1
·
F2
P
以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图坐标系。
化简方程
建立直角坐标系
设点坐标
代入坐标
列等式
F1F2 ＝ 2c
检查自学效果
方程的推导
y
x
o
·
F1
·
F2
P
设P(x,y)为椭圆上的任意一点，
∵F1F2＝2c(c>0),
则：F1(-c,0)、F2(c,0)
以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图坐标系。
化简方程
建立直角坐标系
设点坐标
代入坐标
列等式
方程的推导
∴
∴
∴
∴
设
∴
则，椭圆的方程为：
化简方程
建立直角坐标系
设点坐标
代入坐标
列等式
方程的推导
方程的推导
P
F2
F1
o
y
x
以直线F1F2为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立坐标系。
方程的推导
P
F2
F1
o
y
x
设P(x,y)为椭圆上的任意一点，
∵F1F2＝2c(c>0),
则：F1(0，-c)、F2(0，c)
∵
∴
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式
焦点在y轴：
焦点在x轴：
2)椭圆的标准方程
1
o
F
y
x
2
F
M
1
2
y
o
F
F
M
x
检查自学效果
a为最大，且满足
图 形
方 程
焦 点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
c2=a2-b2
MF1+MF2=2a (2a>2c>0)
定 义
1
2
y
o
F
F
M
x
1
o
F
y
x
2
F
M
3)两类标准方程的对照表
注:
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆 项分母较大.
焦点在y轴的椭圆 项分母较大.
1、已知椭圆的方程为：
则a＝____，b＝____，c＝___， 焦点坐标为：___ ，焦距等于____。该椭圆上一点P到焦点F1的距离为8，则点P到另一个焦点F2的距离等于______。
10
6
8
(0,-8)、(0,8)
16
12
问题：已知椭圆的标准方程，如何判断焦点所在的坐标轴？
焦点在分母大的那个轴上
（1）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（4，0），
椭圆上的一点P到焦点的距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，- 2），（0，2），
并且椭圆经过点（-3/2，5/2）。
F1
F2
M
x
y
O
x
y
o
F2
F1
M
表示焦点在x轴，焦点为
F1（-c,0），F2（c,0）
表示焦点在y轴，焦点为
F1（0, -c），F2（0, c）
求适合下列条件的椭圆的标准方程。
解：（1）因为椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为
由已知，2a=10, 2c=8
故可得，a=5
c=4,b=3
求得椭圆的标准方程为：
（1）两个焦点的坐标分别是（- 4，0）、（4，0），
椭圆上的一点P到焦点的距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是（0，- 2），（0，2），
并且椭圆经过点（-3/2，5/2）。
1、求适合下列条件的椭圆的标准方程。
解：（2）因椭圆的焦点在y轴上，故可设椭圆的标准方程为
由椭圆的定义与两点间距离公式可求得2a=
由已知，c=2，并可求得b=6
小结：求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a, b的值.
例2、已知△ABC的一边BC固定，长为6，周长为16，
求顶点A的轨迹方程。
课堂练习
y
o
B
C
A
x
.
解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。 根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为 ：
∵ 2a=10, 2c=6
∴ a=5, c=3
∴ b2=a2－c2=52－32=16
∴所求椭圆的标准方程为
课堂练习:
课本106页1、2、3
练习题讲解
3. 标准方程的简单应用
一种方法（待定系数系法）
两种思想（数形结合、分类讨论）
1.两类方程（焦点分别在x轴,y轴上的标准方程）
2.椭圆标准方程焦点位置的判断方法：焦点在分母大的那个轴上
4 . F1、F2是椭圆的“定位”条件，决定了椭圆的类型，知道了焦点位置，椭圆的标准方程就确定了。若不知道了焦点的位置，椭圆的标准方程有两种形式。a，b确定了椭圆的形状和大小，是“定形”条件。
作业
1、教材P106页习题8.1第2,3,4题
2、预习椭圆的有关应用
3、观察以下两个椭圆，形状不同原因
在哪里？请大家改变绳长或变换焦
点位置再画椭圆进行研究.
76页练习1、解答：设两个定点A、B的长度为
以AB所在直线为x轴，以AB的中垂线为y轴，建立直角坐
标系，则A（－4，0）、B（4，0）
讲 评
练习题
A
y
o
B
M
x
.
∵椭圆的焦点在x轴上
∴设它的标准方程为:
∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为
2、如果椭圆 上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一焦点F2的距离为 。
14
3、说出适合下列条件的椭圆标准方程
（1） ，焦点在x 轴上；
（2） ，焦点在y 轴上。
（3）a+b=10，