密★启用前
岳池县2021年秋季高二期中考试
数学(理科)
分:150分考
卷前,考生务必将自己的
准考证号填
卡
案后,用
把答题
的答案
橡皮擦
再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡.
卷上无效
本试卷
z
第I卷(选择题,共
择题:本题共12小题,每
土
公A
有
符
两点
C
0.√13)
学(理科
在双曲
C
C
知双H
为
为棉圆
∠
0及肉点P(
与
0
F1F2=30°;②离,
学(理科
第Ⅱ卷(非选择题,共90分
真空题:本题
题,每小题
知园x2
程为
重
C
过程或演算步骤
7.(10
体ABCD
CID
(1)求
(2)求点N的坐
求
学(理科
(1)求直线l的方
(2)
程
20.(
A(-3,0)
轴
(1)水椭园C的方
(2)过点D(1,0)的线与椭C相欠于A,B
最人值
22.(
0)
B(0,1)
Q
数
学(理科岳池县 2021年秋季高二期中考试
( ) 答案与解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
1.【答案】A
【解析】由题意知，直线 AB 的方程为 y＋3＝√3(x－2√3).
把 x＝0 代入，得 y＋3＝－6.∴y＝－9.
2.【答案】C
【解析】∵P(0，0，5)，Q(3，4，5)，
∴| | = √(3 0)2 + (4 0)2 + (5 5)2 = 5.
3.【答案】C
【解析】∵l1⊥l2，∴a·a＋(－1)×(a＋2)＝0，即 a2－a－2=0，解得 a＝－1 或 a＝2.
4.【答案】D
【解析】由题意知，C1(0，0)，r1＝3，C2(1，－2)，r2＝6，
圆心距| 21 2| = √(1 0) + ( 2 0)2 = √5.
∵r2－r1＝3，∴|C1C2|＜r2－r1，
∴圆 C1 和圆 C2 的位置关系是内含.
5.【答案】B
3
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为 y＝ x，
2
2 2
∴可设双曲线的方程为 = ， ＞0.
9 4
∵双曲线的上焦点为(0，√13)，∴9λ＋4λ＝13，解得 λ＝1，
2 2
∴双曲线的方程为 = 1.
9 4
6.【答案】C
【解析】将点 P(2，2)代入圆(x－1)2＋y2＝5 恒成立，则点 P 在圆上，即过点 P(2，2)的直
线与圆(x－1)2＋y2＝5 相切的只有一条.
令过点 P(2，2)的切线方程为 y－2＝k(x－2)，即 kx－y－2k＋2＝0.
∵切线与直线 ax－y＋1＝0 平行，∴k＝a 且－2k＋2≠1.
| 0 2 +2|
由圆心到切线的距离等于圆的半径，得 = √5.
√12+ 2
高二·数学(理科） 第 1页(共 8页)
1 1
解得 k＝ ，即 a＝ .
2 2
7.【答案】A
2 2 5
【解析】∵双曲线 C： 2 = 1的离心率为 ， 16 3
√ 2+16 5
∴ = ，解得 a＝3，c＝5.
3
∵|PF1|＝10，∴|PF2|＝±2a＋10，∴|PF2|＝4 或 16.
8.【答案】B
【解析】由圆(x－1)2＋(y＋2)2＝9 的方程可得圆心坐标为(1，－2)，
2 2 ＝ 2 + 4， 联立直线 2x＋y－4＝0 与圆(x－1) ＋(y＋2) ＝9，得{
( 1)2 + ( + 2)2＝9，
26 12
整理，得 5x2－26x＋28＝0，∴x1＋x2＝ ，y1＋y2＝－2(x1＋x2)＋8＝ ，
5 5
13 6
∴弦的中点坐标为( ， ).
5 5
13 6
由题意知，该直径经过点(1，－2)和点( ， )，
5 5
6
+2
∴所在的直线方程为 + 2 = 513 ( 1)，
1
5
整理，得 x－2y－5＝0.
9.【答案】B
2 2
【解析】∵双曲线 2 = 1的焦点在 x 轴上， 16
直线 x＋y＝5 与 x 轴的交点为(5，0)，∴c＝5.
∴16＋a2＝25，解得 a＝3，
2 2
∴双曲线的方程为 = 1，
9 16
4
其渐近线方程为 y＝± x.
3
10.【答案】D
【解析】设椭圆的左焦点为 M，则 M(－c，0)，∴|OM|＝c.
又|OP|＝|OF|＝c，且∠POF＝120°，∴|OP|＝|OM|＝c，∠POM＝60°，
√3
∴△POM 是边长为 c 的等边三角形，∴点 P 的坐标为( ， ).
2 2
由椭圆的定义可得|PM|＋|PF|＝2a，
高二·数学(理科） 第 2页(共 8页)
2
√
2 √3 2
即 + ( ) + ( 0) ＝c＋√3c＝2a，∴ = = = √3 1.
2 2 √3+1
∴椭圆的离心率为√3 1.
11.【答案】B
【解析】∵直线 ax＋y＋1＝0 经过定点 A(0，－1)，作出图象如图所示，
2+1 2 1 1
∴kAQ＝ ＝1，kPQ＝ ＝ .
3 0 3+2 5
∵直线 l：ax＋y＋1＝0 的斜率为－a，直线 l 与线段 PQ 的延长线相交(不含点 Q)，
1 1
∴ ＜－a＜1，即－1＜a＜－ .
5 5
12.【答案】D
2 1 1
【解析】当 PF2⊥x 轴时，可得| 2| = = | 1 2| = ，此时tan∠ 1 2 = ，故①错误. 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 1+√5
∵| 1 2| = ，∴2 = = ，整理，得 c
2－ac－a2＝0，即 e2－e－1＝0，∴ = ，
2
故②正确.
设△PF1F2 的内切圆半径为 r，由双曲线的定义可得| 1| | 2|＝2a，| 1 2|＝2c，
1 1 1
则 △ = | 1| ·r， △ = | 2| ·r， 1 2 2 2 △ = · 2 ·r. 1 2 2
1 1 1
∵ △ = 1 △ + ，∴ | | ·r= | | ·r＋ · 2 · ·r， 2 △ 1 2 2 1 2 2 2
| 1| | 2| 1 1 √5 1解得 = = = = = ，故③正确.
2 1+√5 2
2
设内切圆与 PF1，PF2，F1F2 的切点分别为 M，N，T，
可得| |＝| |，| 1 |＝| 1 |，| 2 |＝| 2 |，
∴| 1| | 2| = | 1 | | 2 | = | 1 | | 2 | = 2 ，
| 1 2| = | 1 | + | 2 | = 2 ，
∴| 2 |＝ ，∴点 T 的坐标为(a，0)，
∴点 I 的横坐标为 a，∴④正确.
故正确的是②③④.
高二·数学(理科） 第 3页(共 8页)
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.【答案】3x－y－5=0
【解析】由题意知，两个圆的圆心分别为 O(0,0)，C(3,－1)，直线 l 为线段 OC
3 1 1
的垂直平分线，线段 OC 的中点坐标为( ， )，OC 的斜率为 ,故直线 l 的斜
2 2 3
1 3
率为 3，∴直线 l 的方程为 + = 3( )，即 3x－y－5=0.
2 2
14.【答案】√15
2
【解析】圆x2＋y2－8x＝0的圆心是(4，0)，双曲线 2 = 1(a＞0)的右焦点是(√ 2 + 1，0).
2
2
∵双曲线 22 = 1(a＞0)的右焦点与圆 x
2＋y2－8x＝0 的圆心重合，
∴√ 2 + 1＝4，解得 a＝√15.
15.【答案】[1 2√2，3]
【解析】∵曲线 y＝3－√4 2，∴ y－3＝－√4 2，
两边平方，得(x－2)2＋(y－3)2＝4(1≤y≤3，0≤x≤4)，
∴曲线表示以(2，3)为圆心，以 2 为半径的一个半圆.
|2 3+ |
由圆心到直线 y＝x＋b 的距离等于半径 2，可得 = 2，∴b＝1 + 2√2或 b＝1 2√2.
√2
结合图象可得1 2√2≤b≤3.
√5
16.权所【答案】
3
【解析】设椭圆 C 的左焦点为 ′，作出图象如图所示，
高二·数学(理科） 第 4页(共 8页)
2
则| | = | | | | = ，
3
2
| | 1
∴ = 3 = .
| ′| + 2
3
又∵ = 2 ，∴P ′∥QE，
| | 1
∴ ′
| ′
= ，且 P ⊥PF.
| 3
∵| | = ，∴| ′| = .
3
根据椭圆的定义可知，| |＝2a－| ′|＝2a－b.
在 Rt△PF ′中，由勾股定理，得 b2＋(2a－b)2＝(2c)2，
2
化简，得 = ，
3
√5
∴ = √ 2 2 = ，
3
√5
∴ = = .
3
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.
17. 解：(1)∵在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，点 N 为棱 CC1
的中点，
分别以 AB，AD，AA1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，
∴点 A(0，0，0). ……………………………………………………………………1 分
∵点 B 在 x 轴的正半轴上，且|OB|＝4，∴点 B(4，0，0). …………………………2 分
同理得点 D(0，3，0)，A1(0，0，5). ……………………………………………………4 分
∵点 C 在坐标平面 xOy 内，且 BC⊥AB，CD⊥AD，∴点 C(4，3，0). …………5 分
同理得点 B1(4，0，5)，点 D1(0，3，5). ………………………………………………7 分
与点 C 的坐标相比，点 C1 的坐标只有竖坐标与点 C 不同，
且|CC1|＝|AA1|＝5，则点 C1(4，3，5)． ……………………………………………8 分
(2)由(1)知，C(4，3，0)，C1(4，3，5)，
5
∴CC1 的中点 N 的坐标为(4，3， )．…………………………………………………10 分
2
18.解：(1)将圆 C 的方程 x2＋y2－8y＋12＝0 配方得标准方程为 x2＋(y－4)2＝4，则圆 C 的圆
心为(0，4)，半径为 2. …………………………………………………………2 分
∵直线 l：ax＋y＋2a＝0 与圆 C 相切，
|4+2 | 3
∴ = 2，解得 = .
√ 2+1 4
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3
∴当 为 时，直线 l 与圆 C 相切. …………………………………………………5 分
4
(2)∵直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB|＝2√2，
2 2
∴圆心到直线 l 的距离 = √ 2
| | 2√2
( ) = √22 ( ) = √2. ……………………7 分
2 2
|4+2 |
∵圆心到直线 l 的距离 d= ，
√ 2+1
|4+2 |
∴ = √2，
√ 2+1
解得 = 7或 = 1，
∴直线 l 的方程为 7x－y＋14=0 或 x－y＋2=0. ………………………………………12 分
3
19.解：(1)由点斜式写出直线 l 的方程为 y－5＝ (x－2)， …………………………2 分
4
即 3x－4y＋14＝0. ………………………………………………………………………4 分
(2)由直线 m 与直线 l 平行，可设直线 m 的方程为 3x－4y＋c＝0(c≠14)， ……6 分
|3×2 4×5+ |
由点到直线的距离公式，得 = 3， …………………………………………8 分
√32+42
| 14+ |
即 = 3，解得 c＝－1 或 c＝29， ………………………………………………10 分
5
∴直线 m 的方程为 3x－4y－1＝0 或 3x－4y＋29＝0. ……………………………12 分
20.解：(1)由圆 C 的圆心在 x 轴上，设圆 C 的标准方程为(x－a)2＋y2＝r2.
∵圆 C 经过点 A(－3，0)，B(－1，2)，
( 3 )2 = 2，
∴{ 解得{ = 1，
( 1 )2 + 22 = 2， 2 = 4.
∴圆 C 的标准方程为(x＋1)2＋y2＝4. ………………………………………………6 分
3
(2)∵直线 l 过点 P(0，2)，斜率为 ，
4
3
∴直线 l 的方程为 y＝ x＋2. ……………………………………………………………9 分
4
3
| +2|
∴圆心 C(－1，0)到直线 l 的距离 = 4 = 1，
3 2√( ) +1
4
∴| | = 2√ 2 2 = 2√4 12 = 2√3. …………………………………………12 分
2 2
21.解：(1)设椭圆 C 的方程为 2 + 2 = 1(a＞b＞0).
由直线 x＋my－√5＝0 恒过点(√5，0)，∴c=√5. ……………………………………2 分
∵2b＝4，∴b＝2，∴a2＝b2＋c2＝9，
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2 2
∴椭圆 C 的方程为 + = 1. …………………………………………………………4 分
9 4
(2)∵点 D(1，0)在椭圆内部，∴直线 l 与椭圆必有两个不同的交点.
由题意知，当直线 l 垂直于 y 轴时，显然不成立，∴直线 l 与 y 轴不垂直.
设直线 l 的方程为 x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
＝ + 1，
则{ 2 2
+ = 1，
9 4
消去 x，整理得(4m2＋9)y2＋8my－32＝0，
8 32
则 1 + 2 = ， 4 2+9 1
2 = . ……………………………………………7 分 4 2+9
1 1 1 √2 12 2+
2
∴ △ = × | | × | 1 2| = | 1 2| = √( 1 + 2) 4 1 = = 2 2 2 2 4 2+9
12√2+ 2 12
2 = 1 . …………………………………………………………9 分 4(2+ )+1 4√2+ 2+
√2+ 2
令√2 + 2 = ，t≥√2，
1
由 = 4 + 在[√2，+∞)上单调递增，
1 1 9√2
∴4 + ≥4√2 + = ，
√2 2
12 4√2
∴ △ ≤ = ，当且仅当 m＝0 时取“＝”， 9√2 3
2
4√2
∴△OAB 面积的最大值为 . ………………………………………………………12 分
3
22.解：(1)由题意，得 c＝√2，∴a2＋b2＝2.①
√5 1 5 1
∵双曲线 C经过点 T( ， )，∴ 2 2 = 1.② 2 2 4 4
由①②，解得 a＝b＝1， ………………………………………………………………2 分
∴双曲线 C 的标准方程为 x2－y2＝1. …………………………………………………3 分
(2)设 A(m，n)，过点 B 的动直线为 y＝tx＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2).
2 2＝1，
联立{
＝ + 1，
消去 y，得(1－t2)x2－2tx－2＝0， ………………………………………………5 分
高二·数学(理科） 第 7页(共 8页)
1
2 ≠ 0，
= 4 2 + 8(1 2)＞0，
∴ 2
1 + 2 = 2， 1
2
{ 1 2 = 2， 1
由 1－t2≠0，且 ＞0，解得 t2＜2 且 t2≠1. ………………………………………7 分
∵kAP＋kAQ＝λ，
∴ 1 + 2 ＝λ，
1 2
1+1 2+1 即 + ＝λ，
1 2
化简，得(2t－λ)x1x2＋(－mt＋1－n＋λm)(x1＋x2)－2m＋2mn－λm2＝0，
2 2
即(2t－λ)· ( 2)＋(－mt＋1－n＋λm)· 2－2m＋2mn－λm
2＝0，
1 1
化简，得(λm2－2mn)t2＋2(λm－n－1)t＋2λ－2m＋2mn－λm2＝0. ……………9 分
由于上式对无穷多个不同的实数 t 都成立，
2 2 = 0，①
∴{ 1 = 0，
2 2 + 2 2 = 0，②
3 = 2 ，
将①代入②，得 λ＝m，从而{
2 = + 1.
当 m＝0 时， n＝－1，此时 A(0，－1)不在双曲线 C 上，舍去，
∴m≠0，从而 m2＝2n，代入 m2＝n＋1，解得 n＝1，m＝±√2，
此时 A(±√2，1)在双曲线上.
综上，A(√2，1)，λ＝√2或 A(－√2，1)，λ＝－√2. ………………………………12 分
高二·数学(理科） 第 8页(共 8页)
