岳池县2021年秋季高二期中考试
数学（文科） 参考答案与评分标准
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.
1.【答案】A
1+3
【解析】∵直线 AB的斜率 k＝ ＝2，∴直线 AB的方程为 y＋3＝2x，即 2x－y－3＝0.
2 0
2.【答案】B
【解析】∵A（2，－1，3），B（－4，1，－1），
∴ = 2 + 4 2 + 1 1 2 + 3 + 1 2=2 14.
3.【答案】D
【解析】由图象知，直线 l1，l2的倾斜角为锐角，∴k1＞0，k2＞0.
又由正切函数的单调性可知 k1＜k2.
由图象可知，直线 l3的倾斜角为钝角，∴k3＜0.
综上，k3＜k1＜k2.
4.【答案】A
【解析】∵直线 l1：ax＋y＋3＝0与 l2：2x＋（a－1）y ＋1＝0平行，
∴k 21＝k2，即 a＝ ，解得 a＝－1或 a＝2. 1
5.【答案】A
【解析】圆 C的圆心为 C（0，0），半径为 2，点 C关于直线 l的对称点为 C′（1，1），
故关于直线 l对称的圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4.
6.【答案】D
【解析】设 A（a，0），B（0，b）.
2 = +0， ＝ 4，
∵P为线段 AB的中点，∴ 2
3 = +0
解得
， ＝6，
2
∴直线 l的方程为 + = 1，即 3x－2y＋12＝0.
4 6
7.【答案】C
1 2
【解析】设直线的方程为 + = 1，则 + = 1，即 + 2 = .
1
又 |ab|＝4，∴ =± 8.
2
高二·数学（文科） 第 1 页 （共 6 页）
+ 2 = ， = 2， = 2+ 2 2， = 2 2 2，联立 解得 或 或
=± 8， = 4 = 4 4 2 = 4 + 4 2.
因此满足条件的直线条数为 3．
8.【答案】B
【解析】∵圆 C：x2＋y2＋6x－2y＋1＝0的标准方程为（x＋3）2＋（y－1）2＝9，
∴圆 C的圆心为（－3，1）.
∵圆 C上存在 P，Q两点关于直线 l对称，∴直线 l：x＋my＋4＝0过圆心（－3，1），
故－3＋m＋4＝0，解得 m＝－1.
9.【答案】C
【解析】∵直线 kx－y＋2＝0 恒过定点 A（0，2），且 kAM＝－3，kAN＝1，∴直线的斜率 k
的取值范围是 3≤ ≤1.
10.【答案】A
【解析】圆 C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0 的标准方程为（x＋1）2＋（y＋4）2＝25，表示以
点 C1（－1，－4）为圆心，半径 r1=5 的圆；圆 C2：x2＋y2－4x＋4y－8＝0 的标准方程为
（x－2）2＋（y＋2）2＝16，表示以点 C2（2，－2）为圆心，半径 r2=4 的圆，∴两圆的圆
心距为 d= 2+ 1 2 + 2 + 4 2 = 13.∵r1＋r2=9，r1－r2=1，∴r1－r2＜d＜r1＋r2，∴这
两个圆相交.
11.【答案】C
【解析】如图，设点 Q与点 O关于直线 x＋y－4＝0对称，连接 AQ，则|AQ|－1即为“将军
饮马”的最短总路程.
高二·数学（文科） 第 2 页 （共 6 页）
+ 4 = 0，
设 Q（x，y），则 2 2
＝4，
解得 ∴Q（4，4）.= 1， ＝4，
∵点 A（4，－3），
∴“将军饮马”的最短总路程为|AQ|－1＝7－1＝6.
12.【答案】D
【解析】设 z |3x 4y a| |3x 3 4 + |3 4 9|＝ － ＋ ＋ －4y－9|＝5 + ，故|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|
32+42 32+42
可以看作点 P（x，y）到直线 m：3x－4y＋a＝0与直线 l：3x－4y－9＝0距离之和的 5倍.
∵|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的值与 x，y的取值无关，
∴这个距离之和与点 P在圆上的位置无关.
如图，当圆在直线 m和直线 l内部时，点 P与直线 m，l的距离之和均为直线 m，l的距离.
3 4+
当直线 m与圆相切时， = 1，化简得|a－1|＝5，解得 a＝6或 a＝－4（舍去），
32+42
∴a≥6.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.
13.【答案】－7
【解析】设直线 l的方程为 y＝kx＋b.∵直线 l的倾斜角为 45°，∴直线 l的斜率 k＝tan 45°＝1.
又∵直线过点（2，－5），∴－5＝2＋b，解得 b＝－7.
14. 2【答案】
3
【解析】当 a＝1时，直线 l1：x＋2y＋6＝0，直线 l2：x＝0，显然两直线不垂直.
当 a≠1时，由斜率之积等于－1，得 · 1 ＝ 1，解得 a 2＝ .
2 1 3
15.【答案】8
【解析】由题意知，圆心 C（1，－1），半径 r＝1.
高二·数学（文科） 第 3 页 （共 6 页）
∵对于圆 C π上的任意一点 M，∠AMB≥ ，且要使|AB|的值最小，
2
∴点 M距离直线 l π最远，且∠AMB＝ ，
2
∴需直线 MC垂直平分 AB，
∴△AMB为等腰直角三角形.
3+4+8
又∵点 C到直线 l的距离 d＝ = 3，∴此时点 M到直线 l的距离为 d＋r＝4，
9+16
且|AB|min＝2（d＋r）＝8.
16.【答案】2 7
【解析】圆 M：（x－1）2＋y2＝1的圆心为 M（1，0），半径 r＝1.
x M MD 1 1在 轴上点 的右侧取 ＝ ，则 = = ，且∠CMD＝∠AMC，
3 3
∴△CMD∽△AMC，∴ = 3 ，∴ + 3 = 3 + 3| |≥3| |.
又∵点 B 1 3 4的坐标为（ ， ），点 D的坐标为 ，0 ，
3
2 2
∴ = 4 1 + 0 3 = 2 7，∴3 = 2 7，
3 3
∴| | + 3| |≥2 7.∴| | + 3| |的最小值为 2 7.
三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.
= 3 3 π17.解：∵直线 + 3的斜率为 ，∴它的倾斜角为 ， ……………………3分
3 3 6
π
∴直线 l的倾斜角为 ， …………………………………………………………………5分
3
π
∴直线 l的斜率为 tan ＝ 3， ………………………………………………………7分
3
∴直线 l的方程为 y－4＝ 3（x＋2），即 3x－y＋4＋2 3＝0. ……………………10分
18.解：由题意知，过圆心和点 A（1，2）的直线 l与直线 2x＋y＝4垂直，
1
∴直线 l的斜率为 ， …………………………………………………………………2分
2
高二·数学（文科） 第 4 页 （共 6 页）
1
∴直线 l的方程为 y－2＝ （x－1），即 x－2y＋3＝0. ………………………………4分
2
又∵所求圆的圆心 C在直线 y＝－x上，
2 + 3＝0， ＝ 1，
解方程组 得 …………………………………………………6分
＝ ， ＝1.
∴圆心 C的坐标为（－1，1）. …………………………………………………………8分
2 2
∴半径 ＝ （1 + 1） +（2 1） ＝ 5， ……………………………………10分
∴圆 C的方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝5. ……………………………………12分
19. 解：（1）设圆 C的圆心坐标为（a，1），
依题意，有 2 + 12＝ ( 1)2 + 22，
解得 a＝2. …………………………………………………………………………………3分
∴圆 C的半径 ＝ 2 + 12＝ 5，
∴圆 C的方程为（x－2）2＋（y－1）2＝5. ……………………………………………6分
2 2
2
（ ）依题意，圆心 C到直线 l的距离 d= ( 5)2 ＝2.
2
显然直线 x＝0符合题意. …………………………………………………………………8分
当直线 l的斜率存在时，设其方程为 y＝kx，即 kx－y＝0.
2 1 3
∴ ＝2，解得 ＝ .
2+1 4
∴直线 l的方程为 y＝ 3x，即 3x＋4y＝0. ……………………………………11分
4
综上，直线 l的方程为 x＝0或 3x＋4y＝0. ……………………………………12分
20.（1）证明：直线 l的方程为（2－m）x＋（2m＋1）y＋3m＋4＝0，其中 m∈R，
可化为 m（－x＋2y＋3）＋（2x＋y＋4）＝0. ………………………………………3分
+ 2 + 3＝0， ＝ 1，
令 解得
2 + + 4＝0， ＝ 2，
∴直线 l恒过定点 Q（－1，－2）. ……………………………………………………6分
（2）解：当 m变化，PQ⊥直线 l时，点 P（3，1）到直线 l的距离最大， ……9分
距离的最大值为 ( 1 3)2 + ( 2 1)2＝5. ……………………………………12分
21. 解：（1）∵B（2，1），C（－2，3），∴k 3 1 1BC＝ = ， ………………………2分 2 2 2
∴BC 1边所在直线的方程为 y－3＝ （x＋2），即 x＋2y－4＝0. ……………………5分
2
高二·数学（文科） 第 5 页 （共 6 页）
（2）由题意，得|BC|= (2 + 2)2 + (1 3)2＝2 5，
S 1∵ △ABC＝ |BC| h 7
1
＝ ，∴ × 2 5 = 7 7，解得 h＝ ， …………………………………7分
2 2 5
+2 4 7
由点到直线的距离公式，得 = ，
1+4 5
化简,得 m＋2n＝11或 m＋2n＝－3， ………………………………………………………9分
+ 2 ＝11， + 2 ＝ 3， ＝3， ＝ 3，
解 或 得 或
2 3 + 6＝0 2 3 + 6＝0， ＝4 ＝0，
∴点 A的坐标为（3，4）或（－3，0）. ………………………………………………12分
22.（1）解：若直线 l的斜率不存在，则直线 l的方程为 x＝1，
此时直线 l与圆 C相切，故 x＝1符合题意. ……………………………………………1分
若直线 l的斜率存在，设斜率为 k，其方程为 y＝k（x－1）＋3，即 kx－y－k＋3＝0.
∵直线 l与圆 C相切，∴圆心（0，0）到直线 l的距离为 1，
+3
则 ＝1 4，解得 ＝ ，
2+1 3
4
∴直线 l的方程为 y＝ （x－1）＋3，即 4x－3y＋5＝0. …………………………………4分
3
综上，直线 l的方程为 x＝1或 4x－3y＋5＝0. …………………………………………5分
（2）证明：由（1）可知，直线 l与圆 C有两个交点时，斜率存在，
此时设直线 l的方程为 + 3＝0，
+ 3＝0，
联立 消去 y，得（1＋k2 22 2 ）x －（2k
2－6k）x＋k2－6k＋8＝0，
+ ＝1，
则 ＝（2k2－6k）2－4（1＋k2 4）（k2－6k＋8）＝24k－32＞0，解得 > . ……………8分
3
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
2 2
+ = 2 6 = 6 +8则 1 2 2 ， 1 2 2 ，①1+ 1+
∴ 1 + =
1 + 2 = 1 1 +3 + 2 1 +32 = 2 +
3 + 3 = 2 + 3 1+ 2 2 .②
1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1+ 2 +1
……………………………………………………………11分
18 6 2
将①代入②并整理，得 1 + 2 = 2 + = .9 3
故 k 21＋k2为定值 . ………………………………………………………………12分3
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岳池县2021年秋季高二期中考试
数学(文科
(试卷
考试时
己的姓名、准考证号填
题卡
毛
答案标号涂黑.如需
答案写在答题
写在本
本试卷
第
选
线方程为(
在空间直角坐标系
则线段AB的长
知平面直角坐标系中的三条直线
图所示,设它们的斜率分别为
Aki知直线
平
4关于直线
对称的圆的方程为
学
线l经过点P(-2,3)
y轴分别
两点,当P为线段AB的中点
线
的方程为(
两
成
形面积为4的直线的条数
知直线
y+4=0
存在P,Q两点关于直线l对称
值为
C
知直线
和以
为端点的线段相
实数k的取值范围
是(
交
C.内切
D相离
唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含
着一个有趣的数学问题—“将军饮
题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到
边饮
走才能使总路程最短
角坐标系
设军营所在区域
为x2
将军从点A(4
发,河岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将
要到达军营所在区域即
营,则“将军饮马”的
程为(
C.6
园(
任意一点P(x,y)
的取值无关,则实数a的取值范围是()
学
第Ⅱ卷
填空题:本题共4小题,每小题5分
知直线l的倾斜角是45°,且过点(2,-5),则直线l在y轴上的截距是
.若直线
直线
两个动点,若对于
C上的任意一点M,满
则AB的最小值为
为圆M:(x-1)
坐标为(4,0)
则AC+3BC的最小值为
本题共
共70分.解答应写
程或演算步骤
0分)直线
倾斜角是直线
的倾斜角的2倍,求直线
方程
(12分)已知圆C与直
相切于点
并且圆心C在直线y=-x上,求圆C
2分)已知圆
)求圆C的方程
线l经过原点O,且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程
学
知直线l的方程为(
证
线l恒过
求点
到直线l的距离的最大值
(12分)已知△ABC的
)求BC边所在直线的方程
线AD所在直线的方程为2x
22.(12分)已知点
直线过点
)若直线
勺方程
(2)若直线
两点A
设直线MA
斜率分别为k
明:k1+k2为定
学
