岳池县 2021 年秋季高一期中考试
数学 参考答案与评分标准
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．C 【解答】由集合 B中不等式变形得 x（x 2）＞0，解得 x＜0或 x＞2，即 B＝{x|x＜0或 x＞2}.∵A＝{ 1，0，1，
2，3}，∴A∩ ＝{ 1，3}．故选 C．
1 1
2．C 【解答】设幂函数的解析式为 y＝xα，α为实数，其图象过点 2， ，则 2α4 = 4，解得α＝ 2，所以函数的解析
式为 y＝ 2．故选 C．
3．D 【解答】集合 = , , ， = 1,0,1 ，若 : → 是映射，且 = 0，所以 = 1,0,1，共 3种， = 1,0,1，
共 3种，这样的映射共有 3 × 3 = 9 个，故选 D．
4．D 【解答】 = log 21 在定义域内为减函数； = 在定义域内为减函数； = 2在( ∞,0)上为减函
3 3
数，在(0, + ∞)上为增函数； = 3 在其定义域内为增函数．故选 D．
1 1 1
5．C 【解答】由题意，得 f = log2 = 1，∴ ＝ 1 ＝3 12 =
1
2 2 3
．故选 C．
6 1 1．C 【解答】对于 A，函数 = 满足 ( ) = ≠ ( )，可得函数不是偶函数，故 A选项不符合题意；对于 B，
函数 = e 满足 ( ) = e ≠ ( )，可得函数不是偶函数，故 B选项不符合题意；对于 C，函数 = 2 + 1满足 (
) = ( )2 + 1 = 2 + 1 = ( )，∴函数 = 2 + 1 在 上是偶函数，又∵函数 = 2 + 1的图象是开口向下的
抛物线，关于 轴对称，∴当 ∈ (0， +∞)时，函数为减函数，故 C选项符合题意；对于 D，当 ∈ (0， +∞)时，函
数 = lg| | = lg ，底数 10 > 1，∴函数 = lg| |在区间(0， +∞)上是单调递增的函数，故 D选项不符合题意.故选 C．
1 4 ≥ 0， ≥ 2，
2 3 1 3 1 3 3
7．B 【解答】依题意，得 1 + log2 2 1 ≠ 0，∴
≠ ，
4 ∴ > 且 ≠ ，即 ∈ ， ∪ ， +∞ .故选 B．2 4 2 4 4
1
2 1 > 0， > ，2
8．C 【解答】由题意，前 5个小时过滤了 90%的污染物，∵P＝P0 e-kt，∴（1 90%） ＝ e-5k0 0 ，∴0.1＝e-5k，即 5k
＝ln 0.1 1，∴k= ln 0.1 P e-kt e ln 0.1 1 = e5ln 0.1，∴ ＝ 0 ＝ 0 5 ，则由 0 0 ，即 0.01 = e5
ln 0.1
，∴ ln 0.1 = ln 0.01，
5 100 5
得 t＝10．∴要使其能够按规定排放废气，至少还需要再过滤 10 5＝5（小时）．故选 C．
1
9．D 【解答】由函数 = ， = log +
1
，当 > 1 时，可得 = 1 1
2
是递减函数，图象恒过点(0,1)， = log + 2
1 1 1
是递增函数，图象恒过点 , 0 ；当 0 < < 1 时，可得 = 是递增函数，图象恒过点(0,1)， = log + 是递减函数，2 2
1
图象恒过 , 0 ．∴满足要求的图象为 D选项．故选 D．
2
10．A 【解答】当 = 0时， ( ) = + 1，满足在区间(0， 2)内单调递减；当 > 0 时，函数图象开口向上，其对
+1 1
称轴左侧的图象单调递减，∴ ≥ 2，∴0 < ≤ ；当 < 0 时，函数图象开口向下，其对称轴右侧的图象单调递减，
2 3
+1 ≤ 0 1 ≤ < 0 1 ≤ ≤ 1∴ ，∴ .综上， ．故选 A．
2 3
11．D 【解答】∵ 在 上是奇函数，且 在 0, + ∞ 上是增函数，∴ 在 ∞, 0 上也是增函数.∵ 3 = 0，
> 0， < 0，
得 3 = 3 = 0，即 3 = 0．由 < 0 或 解得 0 < < 3 或 3 < < 0，
< 0 > 0，
∴ ( ) < 0 的解集为 3 < < 0或 0 < < 3 .故选 D．
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12．C 【解答】∵ + 2 = + 1 = ( )，∴ ( )是以 2为周期的函数.又∵当 ∈ ( 1, 0]时， ( ) = ，∴ ∈
(0, 1]时， ( ) = ( 1) = 1.
考虑 = ( )的图象与函数 = log3| |的图象的交点个数的情况即可．图象如图：
观察可知， = ( )的图象与函数 = log3| |的图象的交点个数有 3个．故选 C．
二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分）
13．3 【解答】∵ ( + 1) = 2 + 2 + 4 = ( + 1)2 + 3，∴ ( ) = 2 + 3．当 = 0 时， ( )的最小值为 3．
14．b＜a＜c 【解答】∵1＝0.30＞0.30.2＞0.30.3＞0.20.3，∴0.20.3＜0.30.2＜1，且 log0.30.2＞log0.30.3＝1，∴b＜a＜c．
5
15． 【解答】∵ + 1 为奇函数，∴ ( )关于点 1，0 中心对称，且 (1) = 0.∵ + 2 为偶函数，∴ 关于
2
+ = 0，
直线 = 2 对称，∴ ( + 4) = ( )，∴ (3) = (1) = 0， (0) = (2)，∴ (2) = 6，∴ (2) = 6，∴
4 + = 6，
= 2，
∴ 故 9 = 1 = 3 = 2 × 9 + 2 = 5．
= 2， 2 2 2 4 2
16．（ ∞， 2
【解答】任取 x ，x 2 21 2∈（0，+∞），且 x1＜x2，则 ＞1， ＜0， 1 1
2 2 + ＝ ＝ ＝ 22 1 1 1 1 1 ＜0，即 2 ＜ 1 ，1 1 1
由此得到 f（x）是（0，+∞）上的减函数．
不等式 2 21 + 2 ≤ 1 2 + 恒成立等价于
不等式 21 + 22 ≤ 1 2 恒成立，
2+ 21 2
即 2 + 21 2 ≥a 1 2恒成立，即 a≤ ， 1 2
min
2+ 21 2
2
1+
2
2 2 1 2+2 1 2 2
= = 1 2 +2 1 2 ≥ 2 1 ∵ 2 = 2，当且仅当 x1＝x2时取等号， 1 2 1 2 1 2 1 2
∴a≤ 2，即 a∈（ ∞， 2]．
三、解答题（本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解：（1）m＝2时，B＝{x|1≤x≤5}.而 A＝{x| 2≤x≤4}，∴A∪B＝{x| 2≤x≤5}，
RB＝{x|x＜1或 x＞5}，∴A∩（ RB）＝{x| 2≤x＜1 }． ……………………………………………………………………4 分
（2）∵A∪B＝A，∴B A，
第 2 页 共 4 页
∴①B＝ 时，m 1＞2m+1，解得 m＜ 2；
≥ 2，
②B≠ 时， 1 ≥ 2，解得 1 ≤ ≤
3
2．
2 + 1 ≤ 4，
综上，实数 m的取值范围为 | ＜ 2或 1 ≤ ≤ 32 ． ……………………………………………………………6 分
3 4 1 1 4
18．解：（1）原式= 1 + 34+ (22)
3 + (22 24)3 = 1 + 3 14+ 4+ 2 = 4. ………………………………………………6 分
（2）原式＝4 + 4 + 2lg 5 + lg 2 lg 5 + 1 + lg 2 2
＝8 + 2lg 5 + lg 2 lg 5 + 1 + lg 2
＝8 + 2 lg 2 + lg 5
＝8 + 2
＝10． ………………………………………………………………6 分
19．解：（1）函数 的图象如图所示：
…………………………………………………………………………………………6 分
2 ，0 ≤ ≤ 2，
（2） =
8 2 ，2 < ≤ 4，
当 0 ≤ ≤ 2时， = 2 ≥ 2，可得 1 ≤ ≤ 2，
当 2 < ≤ 4时， = 8 2 ≥ 2，可得 2 < ≤ 3．
∴ 的取值范围为 |1 ≤ ≤ 3 ． ………………………………………………………………………………………………………………………6 分
20． 0 (1)解：∵ ( ) = 2+ +1过点 0，0 ，∴ = 0，∴ = 0．0+0+1
( 1) = (1) 1 1 ∵ ，∴ = ，整理得 2 + = 0，
1 +1 1+ +1
= 0，
∴ 解得 = = 0．……………………………………………………………………………………………………………5 分
2 + = 0，
(2)证明：由(1)知 ( ) = 2 ，在 1，1 上任取 +1 1， 2，且 1 < 2，
则 ( 1) (
1 2
2) = 2 +1 21 2+1
= 1(
2
2+1)
2
2( 1+1)
( 2 21+1)( 2+1)
= ( 1 2 1)( 2 1).
( 21+1)(
2
2+1)
由 1 < 2可知 2 1 > 0，
∵ 1 < 1 < 2 < 1，∴ 1 2 1 < 0，∴ ( 1) ( 2) < 0，
∴函数 ( )在( 1, 1)上单调递增． ……………………………………………………………………………………………………………7 分
21．解：(1)由4 1 > 0，解得 > 0，∴函数 的定义域是(0， +∞)． ………………………………………………3 分
(2)设 = 4 1,则 = log1 ，
4
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∵ = 4 1在(0, + ∞)上单调递增， = log1 在其定义域内单调递减，
4
∴ ( )在(0, + ∞)上单调递减． …………………………4 分
(3) 1∵ ( )在区间 , 2 上单调递减，
2
1 1
∴ ( )在区间 ， 2 上的最大值为log1 42 1 = log11 = 0，最小值为log1(16 1) = log115，
2 4 4 4 4
1
∴ ( )在区间 ， 2 上的值域为 log115, 0 ． …………………………52 分4
22．（1 1）证明：∵ ( + ) = 1=
1
( + ) 1，
( ) = 1 1 = +1 ∴ （a∈R 且 x≠a），
∴ ( )+ (2 ) = +1 2 +1 + 2 +
+ 1 + 1
= +
+ 1 + 1
=
2
=
= 2． …………………………………………………………………………………………………3 分
（2 1）解：∵a+ 2 ≤x≤ + 1，
1
∴ 1≤a x≤ 2，即 2≤
1
≤ 1，亦即 3 ≤ 1 +
1
≤ 2，
+1
∴ 3≤ ≤ 2，故 ( )的值域为[ 3， 2]． ……………………………………………………………………………3 分
2 + + 1 ≥ 1且 ≠ ，
（3）解：g( )＝x2+|x+1 a|=
2 1+ ＜ 1 ，
1 2 3
+ + ≥ 1且 ≠ ，
= 2 4
1 2 5
+ ＜ 1 ，
2 4
2
①当 ≥ 1且 ≠ 时， ( ) = + 1 + 3 ，
2 4
∵ ≥ 1 1，∴ 1 ≥ ，
2 2
≥ 1即 时，函数在[ 1, )和( , +∞)上单调递增，
2
min( ) = ( 1) = ( 1)2．
2
②当 ≤ 1 1时， ( ) = + 5，
2 4
1 ≤ 1 1当 ，即 ≤ ≤ 3时， ( )在( ∞, 1]上为减函数，
2 2 2
min( ) = ( 1) = ( 1)2．
1 3 1 5
当 1 > ，即 > 时，
2 2 min
( ) = = ；
2 4
3 2
当 > 时，( 1)2 5 = 3 > 0，即( 1)2 > 5．
2 4 2 4
1 3
综上所述，当 ≤ ≤ 时， ( )的最小值是( 1)2；
2 2
当 > 3时， ( ) 5的最小值是 ． …………………………6分
2 4
第 4 页 共 4 页绝密★启用
岳池县2021年秋季高一期中考试
数学
卷
考试时
生的签:有答
题卡上对应题目的答案标号涂黑
用橡皮擦干净
他答案标
选择题
将答案
卡上.写在本试卷上无
考试结束后,将本试卷和答题卡
第I卷(选择题
题(本题共12小题,每小题
出的四个选
知集
2若幂函数的图象经过点(2,则其解析式为(
)
知集合
满足f(b)=0的映射共有(
个
4.下列函数中,是增函数的
5已知函数f(x
是(
6下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是(
数f(x)
的定义域为(
某工厂产生的废
规定排放时污染物的残留含量不得超过
在过滤过程
污染物的残留数量P(单位
升)与过滤时间t(单
的函数关系为
为正的常数,P为原污染物数量).若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%,那
要能够按规定排放废气,至少还需要过滤()
直角坐标
(a>0
)的图象可能是(
0已知函数f(x)
内单调递减,则实数a的取值范围是()
1
在R上是奇函数
∞)内是增函数,又f(3
的解集是
数f(x)对
f(x)的图象
图象的
数有(
学第
第Ⅱ卷(非选择题
填空题(本题共4小题
题5分,共
知f(x+1)
(x)的最小值为
知
的大小关系是
(请用
连接
设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x
石
则()
6已知函数f(x)的定义域为(0,+=)
+f(a)恒成
解答题(本题共6
分.解答应写
明过程或演算步骤
知集合A
求A
(2)若A∪B=A,求实数m的取值范
(12分)计算下列各式的亻
0+(g2)
(12分)已知函数
数
图象
取值范围
20.(12分
数f(x)
(2)证明:f(x)在区间(-1,1)上单调递
分)已知函数f(x)
(1)求f(x)的定义域
(2)讨论f(x)的单调性
(3)求f(x)在区
域
22.(12分)已知函数f(x)满足f(x+a)
若f(x)的定义域为
f(x)+f(2a-x)
定义域内所有
都成立
(2)若f(x)的定义域
求f(x)的值域
义域为(
)U(a,+∞),设函数g(x)=x2+1(x-a)f(x),当
(x)的最