湖南省常德市淮阳中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

常德淮阳中学2021-2022学年高二上学期期中考试
数学试卷
第I卷（选择题）
1、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题的给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．已知上函数 ，则“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在下列命题中，①若为复数，则为非负数；②互为共轭的两个复数的差为纯虚数；③若（，），则（是虚数单位），一定正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（ ）.
A．1 B． C． D．
6．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C．， D．
7．已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
8．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分。）
9．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140和60～90.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80为标准值.记某人的血压满足函数式，其中为血压（），t为时间（），其函数图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． B．收缩压为120
C．舒张压为70 D．每分钟心跳80次
10．下列四个关于圆锥曲线的命题中，结论正确的是（ ）：
A．双曲线与有相同的焦点；
B．设、为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线；
C．方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
D．动圆过定点且与定直线：相切，则圆心的轨迹方程是．
11．设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与C交于A，B两点，若为正三角形，则（ ）
A． B．C的焦距为
C．C的离心率为 D．的面积为
12．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A．直三棱柱的侧面积是
B．直三棱柱的外接球表面积是
C．三棱锥的体积与点的位置有关
D．的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知点，点是直线上的动点，则的最小值是_____________．
14．顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______．
15．以双曲线的右焦点为圆心，为半径的圆与的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率为_________．
16．十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”.如果把顶角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示.在一个黄金三角形中，（黄金分割比），根据这些信息，可以得出°=___________.
4、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．某校有高中生2000人，其中男女生比例约为5：4，为了获得该校全体高中生的身高信息，采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为n的样本，得到频数分布表和频率分布直方图.
身高（单位：cm）
频数 m p q 6 4
（1）根据图表信息，求p，q并补充完整频率分布直方图.估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）
（2）若身高在的6人中，男生有3人，女生有3人，选出2人参加团委活动，求选出的2人性别不同的概率.
18．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理吨垃圾，最多要处理吨垃圾，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为.
（1）写出自变量的取值范围；
（2）为使每吨平均处理成本最低（如处理吨垃圾时每吨垃圾平均处理成本为），该厂每月垃圾处理量应为多少吨？
19．已知中，分别为角的对边，且．
（1）求；
（2）若为边的中点，，求的面积．
20．如图所示的多面体是由一个直四棱柱被平面所截后得到的，其中，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21．已知抛物线的焦点为F，为抛物线C上的点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线与抛物线C相交于A，B两点，求弦长.
22．已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过作斜率分别为的两条直线，分别交椭圆于点，且，证明：直线过定点.
参考答案
1．A
2．B
3．A
4．A
5．D
6．D
7．A
8．B
9．BCD
10．AC
11．ACD
12．ABD
13．
14．
15．
16．
17．（1），，频率分布直方图答案见解析，身高均值为167.2；（2）.
【详解】
（1）∵身高在区间的频率为，频数为4，
∴样本容量为，则，，，
∴身高在的频率为，小矩形的高为0.032，
身高在的频率为，小矩形的高为0.012，
由此补全频率分布直方图：
由频率分布直方图可知：样本的身高均值为，
∴由样本估计总体可知，估计该校高中生的身高均值为167.2.
（2）把男生样本记为：，，，把女生样本记为：，，，
从6人中选2人有15种：，，，，，，，，，，，，，，.
同为男生有3种：，，.
同为女生有3种：，，.
∴.
18．
（1）
（2）400吨
【分析】
（1）由题可直接写出的取值范围；
（2）依题意得每吨平均处理成本为，结合基本不等式即可求解.
（1）
；
（2）
依题意，每吨平均处理成本元，
因为，
当且仅当即时，等号成立，
所以，
所以该厂每月垃圾处理量为400吨时，
每吨平均处理成本最低为100元.
19．（1）；（2）．
【详解】
（1）中由正弦定理及条件，
可得，∵，，∴，
∵，∴，
或，
又∵，∴，∴，，∴
（2）为边的中点，，，得，
中，由余弦定理得
，
∴，
∴，∵，∴，
．
20．（1）证明见解析；（2）.
【详解】
（1）证明：在中，因为，，
所以由余弦定理得，，
所以，
所以，即，
在直四棱柱中，平面，平面，
所以，
因为平面，平面，，
所以平面.
（2）因为，，两两相互垂直，
所以以为坐标原点，分别以，，为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由，得，，
所以有，，，，
，，，
设为平面的一个法向量，
则，即，
令，解得，
因为，，
设直线与平面所成角为，且，
所以
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21．（1）；（2）.
【详解】
（1），
所以，即抛物线C的方程.
（2）设，
由得
所以，
所以
.
22．（1）；（2）证明见解析.
【详解】
（1）椭圆过点，即，；
，又，，
椭圆的方程为：.
（2）当直线斜率不存在时，设直线方程为，则，
则，，解得：，
直线方程为；
当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立方程组得：，
设，则，（*），
则，
将*式代入化简可得：，即，整理得：，
代入直线方程得：，
即，联立方程组，解得：，，
直线恒过定点；
综上所述：直线恒过定点.