4.4数学归纳法 同步练习（含解析）

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4.4数学归纳法同步练习
人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、多选题
已知，且，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
二、解答题
平面上有个点，其中任何三点都不在同一条直线上过这些点中任意两点作直线，这样的直线共有多少条证明你的结论．
已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
若数列满足，，，则称为斐波那契数列．
试用数学归纳法证明其通项公式为
用数学归纳法证明：
设为正实数，为大于的正整数，若数列，，，，，的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
用数学归纳法证明：如果是一个公差为的等差数列，那么对任何都成立．
已知数列的前项和满足：，且，．
Ⅰ求，，；
Ⅱ猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．
设数列满足，．
计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明；
求数列的前项和．
已知数列的前项和，且．
求，的值，并猜想数列的通项公式；不需要证明
用数学归纳法证明：当，时，．
用数学归纳法证明：
已知数列的前项和，为正整数．
求，并猜想数列的通项公式不必证明；
若数列为中猜想的通项公式，试比较与的大小，并用数学归纳法证明．
已知数列的前项和为，且是与的等差中项．
Ⅰ求数列的前三项
Ⅱ猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
已知数列满足关系式，，
用表示，，；
猜想的表达式用和表示，并证明你的结论．
记数列的前项和为，，且当时，．
分别计算，，，，并由此猜想的表达式；
用数学归纳法证明你的猜想．
当时，，．
求，，，；
猜想与的关系，并用数学归纳法证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列的递推关系，数列的函数特征，利用数学归纳法证明数列的通项，属较难题．
由题设条件得，由此能够求出，，，的值．猜想，然后用数学归纳法进行证明即可判定，再由的函数特征判断．
【解答】
解：由，得，因为，求得，猜想接下来用数学归纳法证明该结论：
证明：当时，猜想成立．
设当时时，猜想成立，即，
则当时，有，
所以当时猜想也成立．
综合，对任何都成立．
所以A错误；B正确；
由，可得在单调递增，所以，故C错误；
因为，所以，所以，故D正确．
故选BD．

2.【答案】解：当时，过个点中任意两点作直线，这样的直线有条，
当时，共有个点，记它们为，，，，过点，，中任意两点，有条直线，过，，中任意一点与作直线，共有条，因此共有条直线
当时，同理可知有条直线猜想，过个点任意三点不共线中任意两点作直线，共有条．
下面用数学归纳法证明：
当时，由上述过程知，命题成立．
假设当时命题成立，即过个点任意三点不共线中任意两点作直线，这样的直线共有条，
当时，共有个点，，，，，任意三点不共线，过个点，，，中的任意两点作直线，
这样的直线共有条过这个点中的任意一点与第个点作直线，这样的直线共有条，因此，过个点中任意两点作直线，这样的直线共有条．
所以当时命题成立由可知，对于个点，相应的直线共有--条．
【解析】本题考查数学归纳法和归纳推理，考查推理能力和计算能力，属于难题．
第一步先求出，，，猜想；再用数学归纳法证明先求证时等式成立，再假设当时成立，从而求证时成立即可．
3.【答案】解：由，可得
由，
可得．
同理可得
，，．
归纳上述结果，猜想
下面用数学归纳法证明这个猜想．
当时，式左边，右边，猜想成立．
假设当时，式成立，，
那么
，
即当时，猜想也成立．
由可知，猜想对任何都成立．
【解析】本题考察数列通项公式以及数学归纳法证明．
解：先将数列的递推关系化为，通过计算，，，的值，
归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法先验证时等式成立，再去假设时成立，去求的值证明猜想．
4.【答案】证明：
易验证当，时命题成立．
假设当时命题成立，即
则当时，
，
当时，命题也成立．
由可知，裴波那契数列的通项公式为
即证。
【解析】本题考查数学归纳法证明，属于中档题．
假设存在，，，三项成等比数列，利用等比数列的性质和斐波那契数列的性质可得答案．
利用数学归纳法证明即可先去检验当时，猜想成立；再去假设当时，，猜想成立，最后去证明时猜想也成立应用上归纳假设，综上所述，即可证得猜想成立．
5.【答案】证明：当时，式的左边，右边，所以式成立．
假设当时，式成立，即，
在上式两边同时加上，有
，
即当时，式也成立．
由可知，式对任何都成立．
【解析】本题考察利用数学归纳法证明相关等式，
用数学归纳法证明时，第一步先验证当时，式的左边右边，
第二步要证明的是一个以“当时，式成立”为条件，得出“当时，式也成立”的命题，证明时必须用上上述条件．
6.【答案】解：由已知可得．
当时，，由，可得
当时，，由，可得．
由此，我们猜想，当，且时，．
下面用数学归纳法证明这个猜想．
当时，由上述过程知，不等式成立．
假设当，且时，不等式成立，即，
由，可得，所以．
于是
，
所以，当时，不等式也成立．
由可知，不等式对任何大于的正整数都成立．
【解析】本题考察利用数学归纳法证明不等关系，属于中档题．
该问题中涉及两个字母和，是正实数，是大于的正整数先去检验第一项时，不等式成立再去假设当，且时，不等式成立，进而去证明时不等式也成立．
7.【答案】证明：当时，左边，右边，式成立．
假设当时，式成立，即，
根据等差数列的定义，有，
于是
，
即当时，式也成立．
由可知，式对任何都成立．
【解析】本题考察数学归纳法证明．
因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明时命题成立．
第二步要明确证明的目标，即要证明一个新命题：如果时式是正确的，那么时式也是正确的，由此得证．
8.【答案】解：Ⅰ，所以，
又因为，所以；
，
又因为，所以；
，
又因为，所以；
Ⅱ由Ⅰ猜想，．
下面用数学归纳法加以证明：
当时，由Ⅰ知成立；
假设时，成立，
当时，
，
所以，
又，解得，
即当时猜想也成立．
综合可知，猜想对一切都成立．
【解析】本题考查数列的通项公式的求法，考查数学归纳法的运用，以及推理能力、运算能力，属于中档题．
Ⅰ分别令，，，解方程可得所求值；
Ⅱ由Ⅰ猜想，用数学归纳法加以证明，注意由假设成立，结合数列的递推式，推得也成立．
9.【答案】解：数列满足，，
则，，，
猜想的通项公式为．
证明如下：当，，时，显然成立，
假设时，成立，
当时，
，故时成立，
由知，，猜想成立，
所以的通项公式．
令，
则数列的前项和为
，
两边同乘得，
，
得，
，
所以．
【解析】本题考查数列递推关系式的应用，归纳推理，数学归纳法的证明，错位相减法求和，考查了转化思想和计算能力，属较综合的中档题．
利用数列的递推关系式求出，，猜想的通项公式，然后利用数学归纳法证明即可；
化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的前项和．
10.【答案】 解：时，，得，
时，，得．
猜想：；
当时，左边，不等式成立．
假设时，不等式成立，
即．
当时，


，
因为，所以．
所以，
所以当时，不等式也成立．
由可知，当，时，不等式成立．
【解析】本题主要考查数列的递推关系与数学归纳法的应用．
求出数列的前项， 即可得出结论；
证明时不等式成立；假设时不等式成立，再证明时不等式成立，即可得出结论．
11.【答案】证明：当时，左式，右式，所以时命题成立；
假设时，命题成立，即：．
则当时，左式右式，
所以当时，命题也成立．
由可知，对任意，都有成立．
证明：当时，左式，右式，所以时命题成立；
假设时，命题成立，即：．
则当时，左式右式，
所以当时，命题也成立．
由可知，对任意，都有成立．
证明：当时，左式，右式，所以时命题成立；
假设时，命题成立，即：．
则当时，左式
右式，
所以当时，命题也成立．
由可知，对任意，都有成立．
【解析】本题考查数学归纳法的应用，属于中档题．
第一步，验证时命题成立；第二步，假设时，命题成立，然后证明时命题也成立．继而可证得结论．
12.【答案】解：令，可得，解得；
令，可得，解得；
令，可得，解得；
令，可得，解得；
猜想：，；
，，
，
只要比较与的大小，
猜想：时，，即，
证明：时，显然，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，，
而
，
所以，当时，猜想成立；
综上可知，对任意的时，成立，即成立．
【解析】本题考查数学归纳法在证明中的应用，属于中档题．
根据所给的递推式，令，，，求出相应的值，找出规律即可求解；
首先猜想大小关系，运用数学归纳法证明即可．
13.【答案】解：Ⅰ因为是与的等差中项，则，
由，；
由，；
由，；
Ⅱ猜想，
证明：当时，，猜想成立；
假设时，猜想成立，即，
当时，
，
，
即，
所以，当时，猜想也成立．
由知，对任意，猜想都成立．
【解析】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数学归纳法证明，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
运用等差数列的中项的性质，可得，再令，，，计算即可得到所求值；
猜想，运用数学归纳法证明，注意由假设时，猜想成立，运用，化简整理即可得证．
14.【答案】解：，
，
．
因为，，，
猜想，．
下面用数学归纳法证明：
当时，因为，猜想成立；
假设当时猜想成立，即，
所以当时，
，
所以当时猜想也成立，
根据与可知猜想对一切都成立．
【解析】本题考查数学归纳法的应用，数列的递推关系式的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力，属于较难题．
利用已知条件逐步求解，，；
猜想的表达式，利用数学归纳法的证明步骤，结合已知条件推出结果即可．
15.【答案】解：当时，，
所以，
同理可得，
因为，
所以猜想；
证明：当时，，猜想成立；
假设当时，猜想成立，，
，
即，
所以当时，也成立，
根据，可以断定，对任何正整数都成立．
【解析】本题主要考查了数列的递推式，考查数学归纳法．
根据题设条件，可求，，，的值，猜想的表达式．
利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明．
16.【答案】解：当时，
，
，
，，
，；
猜想：，
即
，
下面用数学归纳法证明：
当时，已证，
假设时，，
即：
，
则：

，
由，可知，对任意，都成立．
【解析】本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．
由已知直接利用，，求出，，，的值；
利用的结果，直接猜想，然后利用数学归纳法证明，验证时猜想成立；假设时，，通过假设证明时猜想也成立即可．
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