5.2.1基本初等函数的导数 同步练习（含解析）

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5.2.1基本初等函数的导数同步练习
人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、单选题
若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为
A. B. C. D.
若函数，则的值为
A. B. C. D.
一质点的运动方程为，则时质点的瞬时速度为
A. B. C. D.
设函数，则
A. B. C. D.
过曲线上一点的切线的斜率为，则点的坐标为
A. B. 或
C. D.
下列导数运算正确的是
A. 为常数 B.
C. 为自然对数的底数 D.
函数的导函数是
A. B.
C. D.
若的值为
A. B. C. 或 D. 或
函数的导数为
A. B. C. D.
观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则
A. B. C. D.
函数的导数是
A. B. C. D.
已知函数，，则
A. B. C. D.
二、单空题
下列函数求导运算正确的序号为 ．
；；；；．
函数的导数为
已知函数，则
，则 ．
已知函数，则 ．
三、多空题
函数的图象在点处切线的斜率是 ，切线的方程是 ．
四、解答题
若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的值．
已知函数．
用导数的定义，求函数在处的导数；
过点作的切线，求切线方程．
在曲线上求一点，使得点到直线的距离最短，并求出这个最短距离．
求与曲线在点处的切线垂直，且过点的直线方程．
求下列函数在处的导数：
，；
，；
，．
一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离单位：与时间单位：之间的函数关系为，求时此球在垂直方向的瞬时速度．
求下列函数在指定点处的导数．
，；
，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】设切线与曲线的切点坐标为，得切线斜率为，由直线与直线垂直，得，解得，故切点坐标为，则的方程为，即故选C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
直接根据题意求出的导数，再将代入求解即可．
【解答】
解：，
，
．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的计算，涉及导数的定义，属于基础题．
根据题意，求出的导数，将代入计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，一质点的运动方程为，
其导数，
则有，
即时质点的瞬时速度为；
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的概念和导数的运算，属于简单题．
先求导得到，利用导数的定义即可得结果．
【解答】
解：因为，所以，
所以，
故选B．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．求出原函数的导函数，设出切点坐标，由切点处的导数等于求得答案．
【解答】
解：设切点为，由，得，
，由，解得．
点的坐标为或．
故选B．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导数的运算法则，属于基础题，根据求导公式计算即可．
【解答】
解：因为为常数；
；
为自然对数的底数；
．
所以、、D错误，C正确，
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的基本运算，属于基础题．
利用求导公式直接运算即可．
【解答】
解：因为，
所以．
故选A．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的运算，属容易题．
根据导数运算公式求得导函数，根据列出方程求解．
【解答】
解：，，
又，
，
故选C．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了导数的运算，属于基础题．
利用导数的运算即可求解．
【解答】
解：函数的导数为，
故选D．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是归纳推理，及函数奇偶性的性质，其中根据已知中原函数与导函数奇偶性的关系，得到结论是解答本题的关键，属中档题．
【解答】
解：由中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．
若定义在上的函数满足，则函数为偶函数，
又为的导函数，则奇函数，
故，即．
故选B．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的运算，属于基础题．
利用导数的运算法则进行求解即可．
【解答】
解：，
．
故选B．

12.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，，
则，
，
，
，
则有，
则，
故；
故选：．
根据题意，由导数的计算公式求出、、、的解析式，分析可得，据此可得，将代入计算可得答案．
本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查导数的运算法则，属于基础题．
根据求导法则逐项进行判断即可得到结果．
【解答】
解：对于，因为，所以是错误的；
对于，是正确的；
对于，是正确的；
对于，因为，所以是错误的；
对于，因为，所以是错误的．
故答案为．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数的运算，属基础题．
根据导数运算法则可求解．
【解答】
解：，
所以．
故答案为．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导数运算，属于基础题．
根据题意求解，代入即可求解．
【解答】
解：函数，则，
则，
故答案为．

16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了导数的运算，属于基础题．
根据导数的运算法则即可求解．
【解答】
解：常数，
所以．
故答案为．

17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是导数的运算，属于基础题．
利用导数的运算法则求解即可．
【解答】
解：，
，
故答案为：．

18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，考查运算求解能力．
利用导数的几何意义可求得函数的图象在点处切线的斜率与切线的方程．
【解答】
解：，
函数的图象在点处切线的斜率，
所求切线的方程是，即．
故答案为：；．

19.【答案】解：的导数为，
可得曲线在处的切线的斜率为，
且切点为，，
则切线的方程为，
由，可得；
由，可得，
所以，
解得．
【解析】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及三角形的面积，考查运算能力，属于中档题．
求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程，求出切线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式，可得所求值．
20.【答案】解：，
，
则．
，
设切点，则切线的斜率为，
故切线方程为，
将点代入得，
即，得，解得或，
所以切线方程为或．
【解析】本题考查了导数的基本概念和导数的几何意义，是基础题．
计算，从而求得；
设切点坐标为，利用导数的几何意义得到切线的点斜式方程，将点代入方程，解得，即可得解．
21.【答案】解：由题意可知，当曲线上点的切线与直线平行时点到直线距离最短，
因为，则，
直线斜率为，
故当，即时点的切线与直线平行，
将代入曲线方程得点坐标为，
设最短距离为，
故．
【解析】本题考查了导数的几何意义和导数的运算，点到直线的距离公式，属于基础题．
先分析可得，当点的切线与直线平行时点到直线距离最短，再利用导数的几何意义求出点的坐标，最后利用点到直线的距离公式求解即可．
22.【答案】解：，
．
．
即曲线在点处的切线的斜率为．
适合条件的直线的斜率为．
从而适合条件的直线方程为．
即．
【解析】本题主要考查导数的几何意义，属基础题．
根据导数的几何意义求得在点处的切线的斜率为，由两直线垂直关系可得要求直线斜率为，再根据点斜式求直线方程即可．
23.【答案】解：，
；
，
；
，
．
【解析】根据基本初等函数的求导公式求出导函数，然后即可得出函数在处的导数．
本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
24.【答案】解：球的运动方程为，
该球在的瞬时速度为．
【解析】根据题意，对进行求导，然后令代入即可得到答案．
本题比较容易，考查导数的物理意义，同时考查了运算能力，属基础题．
25.【答案】解：由，故；
由，．
【解析】根据导数的运算性质，求出导数，代入即可．
本题考查了导数的运算，考查运算能力，基础题．
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