5.3.2函数的极值与最大（小）值 同步练习（含解析）

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5.3.2函数的极值与最大（小）值同步练习
人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、单选题
已知函数在处取得极值，若，则的最小值为
A. B. C. D.
下列结论中，正确的是
A. 若在上有极大值，则极大值一定是上的最大值．
B. 若在上有极小值，则极小值一定是上的最小值．
C. 若在上有极大值，则极大值一定是在和处取得．
D. 若在上连续，则在上存在最大值和最小值．
已知函数，，若成立，则的最小值是
A. B. C. D.
已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是
A. 在上为减函数
B. 在处取得最大值
C. 在上为减函数
D. 在处取得最小值
已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
已知函数，若对任意，有，则
A. B. C. D.
已知函数的导函数的两个零点为，，则下列结论正确的是
A. B. 在区间的最大值为
C. 有个零点 D. 的极大值是正数
函数有极小值，且极小值为，则的最小值为
A. B. C. D.
函数的零点个数为
A. B. C. D.
已知函数，若在上既有极大值，又有最小值，且最小值为，则的取值范围为
A. B. C. D.
二、多空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知函数有两个不同的极值点，，则的取值范围 ；且不等式恒成立，则实数的取值范围 ．
若对于恒成立，当时，的最小值为 ；当时，的最小值是 ．
函数的最大值为 ，函数的极小值为
已知函数，则 ；若直线与函数的图象有交点，则的取值范围为 ．
三、解答题
已知函数，其中．
若函数的极小值为，求实数的值；
当时，恒成立，求实数的取值范围．
已知函数，其中是自然对数的底数．
设直线是曲线的一条切线，求的值；
若，使得对恒成立，求实数的取值范围．
已知函数，
当时，讨论函数单调性；
设，是函数的两个极值点，当时，求的最小值．
已知函数．
当时，求函数的极值；
求函数的单调区间；
若恒成立，求实数的取值范围．
已知函数．
Ⅰ若是的极值点，求的单调区间；
Ⅱ若恒成立，求的取值范围．
已知函数在处有极值．求，的值；
求函数在区间上的最大值．
已知函数，．
若，求 的极值；
若对于任意的，，都有 ，求实数的取值范围．
已知函数，且．
求；
证明：存在唯一的极大值点，且．
已知函数．
若函数在区间内是单调递增函数，求实数的取值范围；
若函数有两个极值点，，且，求证：注：为自然对数的底数
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数法研究函数的单调性、极值和最值，属于基础题．
先求导，根据在处取得极值，得到，再根据导数的正负确定函数的单调性，从而得到函数的最小值．
【解答】
解：，因为在处取得极值，
所以即，所以，
则
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当，则的最小值为．
故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的极值和最值，属于基础题．
逐一判断选项的对错即可得结果．
【解答】
解：中，极大值不一定是最大值，故错误；
中，极小值不一定是最小值，故错误；
中，极大值不一定在区间端点取得，故错误；
中，闭区间上的连续函数图象，必存在最大值和最小值，故正确．
故选D．

3.【答案】
【解析】解：不妨设，
，
即有，，
可得，
令，
，在上是增函数，
且，
当时，，
当时，，
即当时，取得极小值同时也是最小值，
此时，
即的最小值为．
故选：．
根据得到，的关系，利用消元法转化为关于的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．
本题主要考查导数的应用，利用消元法进行转化，构造函数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键，属难题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查导数研究函数的单调性、极值和最值问题，属于中档题．
先求导，得到的单调性，以及时，函数取得极大值，根据题意，得到的不等式组，解得的取值范围．
【解答】
解：，令，则，
则当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减
当时，，函数单调递增，
所以时，函数取得极大值，
且当时，，
要使函数在区间上存在最大值，
则必有：．
故选．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，极值，属于难题．
根据条件，得到，根据是函数的唯一极值点，得到在上无解，或有唯一解，即可求出结果．
【解答】
解：，
，
因为是函数的唯一极值点，
在上无解，或有唯一解，
当为其唯一解时，，令，，
当时，，即的单调递减区间为，
当时，，即的单调递增区间为，
在处，取得极小值，
时，是的唯一极值点；
当在上无解，
设，
则，
当时，，即的单调递减区间为，
当时，，即的单调递增区间为，
在处，取得极小值，也是其最小值，，
又在上无解，
，
综上，．
故选A．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于基础题．
结合图象，求出函数的单调区间，再判断函数的最值即可．
【解答】
解：当或时，，故函数在，上单调递减，
当或时，，故函数在上单调递增，
故A错误，C正确，
当或时函数取的极大值，当时函数取得极小值，
但函数的最值与端点值的大小有关，故未必是最大值，未必是最小值，
故BD错误．
故选C．
7.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查函数的零点个数求参数取值的问题，属于难题．
本题转化为有两个实根，转化为，重新构造函数，即可求参数的取值范围．
【解答】
解：，得到，
令，，
令，解得：，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
并且，所以当时函数取得最大值，如图为的图象，
当与图象有两个不同交点时，，
故选D．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查最值的概念，极值的定义，函数导数符号和函数单调性的关系，通过构造函数比较两个式子大小的方法．
由，知是函数的极值点，所以，从而得到，作差：，所以构造函数，通过导数可求得，即，所以，所以．
【解答】
解：，
由题意可知，在处取得最小值，即是的极值点；
，
，即；
令，
则；
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
；
，
即；
故，
故选A．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值，利用导数研究闭区间上函数的最值以及函数的零点与方程根的关系，属于中档题，有一定难度．
根据题意，得到，以及，解之得到、关于的表达式，注意到，可判断选项A是否正确；由此于是函数可化为，其中，由此对求导判断的单调性，当时，可求得在区间的最大值，进而判断选项B是否正确；根据上述分析，可求得极值点，根据极值点正负性和函数单调性可判断选项C是否正确，根据针对选项B和的分析，容易判断选项D是否正确．
【解答】
解：由题意，对函数求导，得，
因为导函数的两个零点为，，故有
即得，于是，其中，
对：因为，又，得，故选项A错误；
对：由上分析可知函数与函数单调性完全相反，
对求导，得，
令，得，令，得，
于是当时，可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，故在区间的最大值为和中最大者，
因为，，于是可知在区间的最大值为，故选项B正确；
对：由分析可知，注意到，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，又，，注意到在区间上单调递减，因此仅有个零点 ，故选项C不正确；
对：由、选项可知，函数在处取得极大值，但，故选项D不正确．
故选B．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导函数求极值，以及利用导数求最值，属于中档题．
根据题意可设极小值点，可得构造函数 ，利用的单调性即可得答案．
【解答】
解：由 ，得．
因为有极小值点，记为，则，即．
又，所以 ，即 ，所以．
设 ，当时， ，
所以 在上单调递增，又，
所以的最小值为．
故选B．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了利用导数来判断函数零点的问题，并结合函数的单调性与根的存在性定理，即可得到结果，属于基础题．
利用导数研究函数单调性、极值与最值，进而得到函数的零点个数．
【解答】
解：的定义域为，
又，
令，，
当；当，
在单调递减，在单调递增，
当时，函数取得极小值即最小值，
而，
当且时，；当时，．
可简要画出原函数图象看出：
函数的图象与轴有个交点，
故零点个数为个．
故选：．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值和函数的最值，先得出的零点为和，由，得，再结合端点值，可得的取值范围．
【解答】
解：的零点为和，
因为，所以，且，
解得．
故选C．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的恒成立问题及利用导数研究函数的极值与最值，同时还涉及了根与系数的关系，属中档题．
由是函数的两个不同的极值点可得，进而得到 ，构造函数求解即可．
【解答】
解：，
因为函数 有两个不同的极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有解得．

，
设，
，故在上单调递增，
故，所以．
因此实数的取值范围是．
故答案是；．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式恒成立问题，注意运用转化思想和构造函数，结合导数判断单调性、极值和最值，考查数形结合思想，属于中档题．
构造函数，求得导数，判断单调性、极值和最值，作出的图象，运用函数图象的性质数形结合确定的最小值即可．
【解答】
解：设，
，
当时，，单调递增
当时，，单调递减，
可得在处取得极大值，且为最大值，且时，，
故当时，，则的最小值为，
作出的图象，满足题意时，的图象恒在的图象的上方，
当时，可令，即，
故取到最小值时，直线在轴上的截距最大，再令，可得，，
由此推得的最小值是，
故答案为：；．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究函数的最值和极值问题，根据函数解析式求导，利用导数判断函数的单调性，根据函数的单调性即可得出答案，属于中档题．
【解答】
解：，定义域为
，
当时，单调递增，
时，单调递减，
故
，
，
时，单调递增，
时，单调递减；
时，单调递减，
时，单调递增，
故的极小值为．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值最值，考查函数图像的交点与方程根的关系，考查零点定理，属于中档题．
利用余弦函数的有界性得，设，则，利用的符号变化求得的最大值，又当时，，所以，利用零点定理得到，存在使得，从而求得的范围．
【解答】
解：函数定义域为，
设，则，
设，则，
所以在单调递减，注意到，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
所以时，取得极大值，也是最大值，，
又当时，，
所以，
，，
存在实数使得，
所以的范围是
故答案为；
17.【答案】解：，
由，得或．
所以，当或时，；
当时，，
因此在，上单调递增，在上单调递减，
从而在时取到极小值．
由，解得．
由知，函数在，上单调递增，在上单调递减，
又，
所以区间上的最小值为．
由恒成立，知，即．
因此．
【解析】本题考查运用导数研究函数的单调性和极值，不等式恒成立问题，考查了分析和转化能力，属于中档题．
求出函数的导数，利用导数可得函数的极小值为，即可解得．
不等式转化为在区间上的最小值恒成立，即可得范围．
18.【答案】解：，
设切点横坐标为，则
消去，得，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以方程只有唯一的解，代入可得．
设，则，
当时，，在上单调递增，
又，故不符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
于是，
设，
，
因为在上单调递增，且时，
所以时，；时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因此，实数的取值范围为．
【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性和极值，导数中的恒成立问题，属于困难题．
设切点横坐标为，则，从而得，再利用导数研究函数的零点即可；
分类讨论的取值，得出的最小值，运用分离参数法可得，再利用导数研究的最小值即可．
19.【答案】解：因为，且，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当或时，由得，
极大值 极小值
所以在与上是单调递增的，在上是单调递减的．
综上所述，
当时，在与上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
由，
知，，又，
所以，即，
所以，
所以当时，，，，
故当，时，的最小值为．
【解析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、最值及极值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
当时，得，求出其导函数，根据导数与函数的单调性的关系，即可求得的单调性；
由，由，利用韦达定理可推出，则，由二次函数的性质可得的最小值．
20.【答案】解：当时，，
，则：
函数的极大值为，无极小值；
，
当时，恒成立，故在上单调递增
当时，对，在上单调递增，
对，在上单调递减，
综上，当时，单调增区间为，无单调减区间；
当时，单调增区间为，单调减区间为；
要使得恒成立，则，
由可知，当时，在上单调递增，不存在最大值；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值即为的最大值，
，
实数的取值范围为．
【解析】本题考查利用导数研究函数单调性、极值与最值及恒成立问题，属于中档题．
解决问题的关键是：
求解导函数，列表，得到其单调性，求解极值；
由题，对分类讨论，求解单调性；
问题转化为，结合得仅时，即为的最大值，求解不等式即可．
21.【答案】解：Ⅰ由题意知函数的定义域为，
，
是的极值点，
，解得，
当时，，
当变化时，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
Ⅱ要使得恒成立，即当时，恒成立，
设，则，
(ⅰ)当时，由得单减区间为，
由得单增区间为，
故，得；
当时，由得单减区间为，
由得单增区间为，，
此时，不合题意；
当时，在上单调递增，此时，不合题意；
当时，由得单减区间为，
由得单增区间为，，
此时，不合题意．
综上所述，的取值范围为．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查导数中的恒成立问题，考查运算能力与逻辑推导能力，属于中档题．
Ⅰ对函数求导，根据求出，进而根据得到函数的增区间，根据得到函数的减区间即可；
Ⅱ恒成立可等价转化为时，恒成立，构造函数，求出函数的导数，分类讨论参数的范围，求出函数的最小值，令其大于等于，即可得到的取值范围．
22.【答案】解：函数在处取得极值，
，解得．
由得：，

令，解得：，
令，解得：或，
故在递减，在递增，
故的最大值是或，
而，
故函数的最大值是．
【解析】本题考查利用导数研究函数单调性、极值及最值，属于中档题．
由题意得，即可解得，，
由得：，故在递减，在递增，故函数的最大值是．
23.【答案】解： 的定义域为，
当时， ．
，
，
当时，， 是增函数，
当时，， 是减函数．
有极小值 ，没有极大值．
，
．
当时，，
在上是单调递增函数，．
对于任意的，， 恒成立，即对任意， 恒成立，
即恒成立．
令，则．
当时，，当时，，
在上是增函数，在上是减函数，
当时，的最大值为，
，
即的取值范围是．
【解析】本题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究闭区间上函数的最值，恒成立问题等知识，属中档题．
求出导函数，然后求出导函数的零点，并判断导函数在零点左右两侧的符号，若异号，则有极值，若同号，则无极值；
先求出在区间上的最大值，将恒成立问题转化为，即对任意的恒成立，构造函数通过导数求出最值即可解决．
24.【答案】解：解：的定义域为．
设，则
，等价于．
因为，，故，而，
所以，得．
若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以是的极小值点，故．
综上，．
证明：由知，．
设，则．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
又，，，
所以在有唯一零点，在有唯一零点，且当时，；当时，；当时，．
因为，所以是的唯一极大值点．
由得，故
由得．
因为是在的最大值点，由，得．
所以．
【解析】本题考查利用导数的单调性研究函数的极值，考查利用导数研究函数的恒成立问题，属于较难题．
把转换为即可．
求导，利用函数的单调性证明．
25.【答案】解：根据题意知：在上恒成立．
即在区间上恒成立．
令，
则时取等号．
；
经检验：当时，，．
的取值范围是．
在区间上有两个不相等的实数根，
即方程在区间上有两个不相等的实数根．
记，
则有，解得：，
，，，，
，
令，，
，
记，
，
由在内单调递增，，
且，，
即存在唯一使得．
当，；当时，．
而在单调递减，在单调递增，
，，
当，
在单调递减，
又，，
即．
【解析】本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、极值和最值，难点是多次构造函数求导，本题还用到消元的方法，难度较大．
已知原函数在区间内是单调递增，得到导函数的值非负，从而求出参数的范围；
利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数构造函数求导，通过对单调性的研究，从而得到原函数的取值范围，即证得不等式．
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