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北师版 八年级下
第一章 三角形的证明
3 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
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B
5
(1)垂直平分线 (2)端点
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A
见习题
10
B
12
垂直平分线
A
见习题
D
11
12
见习题
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见习题
13
见习题
1．线段垂直平分线上的点的性质的两要点：
(1)点一定在线段的______________上；
(2)距离指的是点到线段的两个________的距离．
垂直平分线
端点
2．【教材P23习题T1改编】【2020·益阳】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为( )
A．25° B．30°
C．35° D．40°
B
3．【2021·遂宁】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是________．
【点拨】∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC.
∴△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋DC＝AB＋AC＝12.
12
4．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的______________上．
垂直平分线
5．下列说法错误的是( )
A．已知E，D是线段AB的垂直平分线上的两点，则AD＝BD，AE＝BE
B．若AD＝BD，AE＝BE，则直线DE是线段AB的垂直平分线
C．若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上
D．若PA＝PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
D
6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有( )
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分
D．以上都不正确
A
7．【2020·宜昌】如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线，下列说法正确的是( )
A．l是线段EH的垂直平分线
B．l是线段EQ的垂直平分线
C．l是线段FH的垂直平分线
D．EH是l的垂直平分线
A
8．【2021·河北】如图，直线l，m相交于点O，P为这两条直线外一点，且OP＝2.8，若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是( )
A．0 B．5
C．6 D．7
【点拨】如图，连接OP1，OP2，P1P2.
∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2.
∴OP1＝OP＝2.8，OP2＝OP＝2.8.
∵OP1＋OP2>P1P2，∴0
故选B.
【答案】B
【点拨】易因对线段垂直平分线的判定定理理解不透彻而出错．要说明一条直线是已知线段的垂直平分线，需要知道这条直线上的两个点，且这两个点到已知线段两个端点的距离相等，这样才能保证这条直线是已知线段的垂直平分线．
而在实际做题时，有时会把一个点在线段的垂直平分
线上与一条直线是线段的垂直平分线混为一谈．
9．如图，在△ABC中，D为BC上一点，连接AD，点E在线段AD上，且∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：AD垂直平分BC.
证明：∵∠1＝∠2，∴EB＝EC，
∴点E在线段BC的垂直平分线上．
又∵∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC.
10．如图，已知点P为∠MON内一点，点P与点A关于直线ON对称，点P与点B关于直线OM对称．若AB的长为15 cm，求△PCD的周长．
解：∵点P与点A关于直线ON对称，
点P与点B关于直线OM对称，∴DA＝DP，CP＝CB.
∴△PCD的周长＝PD＋CD＋PC＝AD＋DC＋CB＝AB＝15 cm.
11．【教材P21随堂练习变式】【2021·长沙】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE.
(1)求证：∠B＝∠ACB；
证明：∵AD⊥BC，BD＝CD，
线段BC的垂直平分线为AD，∴AB＝AC.
∴∠B＝∠ACB.
(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE，BE，BE⊥AE，延长AE，BC交于点F.求证：
(1)AD＝FC；
证明：∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF.
∵E为CD的中点，∴DE＝CE.
又∵∠AED＝∠FEC，
∴△ADE≌△FCE(ASA)．
∴AD＝FC.
(2)AB＝BC＋AD.
证明：由(1)知△ADE≌△FCE，∴AE＝FE.
又∵BE⊥AF，∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝FB.
∵CF＝AD，
∴AB＝FB＝BC＋CF＝BC＋AD.
13．如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AB于点N，交BC的延长线于点M.
(1)求∠NMB的度数；
解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠B＝70°.
∵MN是AB的垂直平分线，∴∠BNM＝90°，
∴∠NMB＝90°－∠B＝20°.
(2)如图②，如果将(1)中∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB的度数；
解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝70°，
∴∠B＝55°.
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠BNM＝90°，
∴∠NMB＝90°－∠B＝35°.
(3)根据(1)(2)的计算，你能发现其中蕴含的规律吗？请写出你的猜想并证明；
解：能，猜想：∠NMB＝ ∠A.
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝90°－ ∠A.
∵MN是AB的垂直平分线，∴∠BNM＝90°，
∴∠NMB＝90°－∠B＝ ∠A.
(4)如图③，将(1)中的∠A改为钝角，其余条件不变，该规律是否需要加以修改？请你把∠A代入一个钝角度数验证你的结论．
解：不需要修改．
验证(代入度数不唯一)：若∠A＝100°，
∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝40°.
∵MN是AB的垂直平分线，∴∠BNM＝90°，
∴∠NMB＝90°－∠B＝50°＝ ∠A.(共26张PPT)
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第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
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4
B
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SAS；ASA；SSS；AAS；对应边；对应角
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平分线；中线；高线
见习题
10
B
见习题
底角；同一
C
见习题
B
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12
见习题
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见习题
1．判定两个三角形全等的三条基本事实为________、____________、____________，一条判定定理为__________．全等三角形的__________相等、__________相等．
SAS
ASA
SSS
AAS
对应边
对应角
2．【教材P35复习题T13变式】【2021·重庆】如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，添加一个条件，不能证明△ABC和△DCB全等的是( )
A．∠ABC＝∠DCB
B．AB＝DC
C．AC＝DB
D．∠A＝∠D
【点拨】在△ABC和△DCB中，∠ACB＝∠DBC，BC＝BC.
A：当∠ABC＝∠DCB时，△ABC≌△DCB(ASA)，故A能证明；
B：当AB＝DC时，不能证明两三角形全等，故B不能证明；
C：当AC＝DB时，△ABC≌△DCB(SAS)，故C能证明；
D：当∠A＝∠D时，△ABC≌△DCB(AAS)，故D能证明．
故选B.
【答案】B
3．【2021·杭州】在①AD＝AE；②∠ABE＝∠ACD；
③FB＝FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在AB边上(不与点A，点B重合)，点E在AC边上(不与点A，点C重合)，连接BE，CD，BE与CD相交于点F.若__________________________________，
求证：BE＝CD.
AD＝AE或∠ABE＝∠ACD或FB＝FC.
解：AD＝AE或∠ABE＝∠ACD或FB＝FC.
证明：选择条件AD＝AE.
∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴BE＝CD.
选择条件∠ABE＝∠ACD.
∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴BE＝CD.
选择条件FB＝FC.
∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.
∵FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB，
∴∠ABC－∠FBC＝∠ACB－∠FCB，即∠ABE＝∠ACD.
在△ABE和△ACD中，
∴△ABE≌△ACD(ASA)，
∴BE＝CD.
4．等腰三角形的两________相等，简称：“等边对等角”．这里要注意：“等边对等角”是在________三角形中．
底角
同一
【点拨】∵AB∥CD，∠ABC＝30°，∴∠C＝∠ABC＝30°.
∵CD＝CE，∴∠D＝∠CED.
∵∠C＋∠D＋∠CED＝180°，即30°＋2∠D＝180°，
∴∠D＝75°.故选B.
5．【2021·赤峰】如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为( )
A．85° B．75°
C．65° D．30°
B
6．【教材P3随堂练习T1改编】已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为( )
A．50° B．80°
C．50°或80° D．40°或65°
C
7．等腰三角形顶角的________、底边上的________及底边上的________互相重合．
平分线
中线
高线
8．【中考·湖州】如图，AD，CE分别是△ABC的中角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是( )
A．20° B．35°
C．40° D．70°
B
9．【教材P5习题T6变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长CB至点E，延长BC至点F，使BE＝CF，连接AE，AF.
求证：AD平分∠EAF.
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD平分∠BAC，∠ABD＝∠ACD.
∴∠ABE＝∠ACF.
在△ABE和△ACF中，
∴△ABE≌△ACF(SAS)．
∴∠BAE＝∠CAF.
∴∠BAE＋∠BAD＝∠CAF＋∠CAD，
即∠EAD＝∠FAD.
∴AD平分∠EAF.
10．【2021·温州】如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使DB＝DE.
(1)求证：DE∥BC；
证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC.
∵DB＝DE，∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，∴DE∥BC.
解：∵DE∥BC，∴∠C＝∠AED＝45°.
在△ABC中，∵∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°－∠A－∠C＝180°－65°－45°＝70°.
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝ ∠ABC＝35°.
(2)若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．
11．【2021·无锡】已知：如图，AC，DB相交于点O，AB＝DC，∠ABO＝∠DCO.求证：
(1)△ABO≌△DCO；
证明：在△ABO和△DCO中，
∴△ABO≌△DCO(AAS)．
(2)∠OBC＝∠OCB.
证明：由(1)知，△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC.
∴∠OBC＝∠OCB.
12．【2020·黔东南州】如图①，△ABC和△DCE都是等边三角形．
探究发现
(1)△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．
解：全等．证明如下：
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE( SAS)．
(2)若B，C，E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．
解：由(1)得△BCD≌△ACE，∴BD＝AE.
∵△DCE是等边三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2.
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝30°＋60°＝90°.
在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，
(3)若B，C，E三点在一条直线上(如图②)，且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．
解：如图，过点A作AF⊥CD于点F.
∵B，C，E三点在一条直线上，
∴∠BCA＋∠ACD＋∠DCE＝180°.
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°.
在Rt△ACF中，设CF＝x，(共33张PPT)
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第一章 三角形的证明
4 角平分线
第1课时 角平分线的性质与判定
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B
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相等；MK；PB；＝
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D
见习题
10
见习题
2.4
见习题
A
见习题
距离；平分线；垂直；相等
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见习题
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见习题
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见习题
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见习题
15
见习题
16
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见习题
见习题
1．角平分线上的点到这个角的两边的距离________．如图，用数学语言表述：
∵∠1＝∠2，且MH⊥PA，______⊥______，
∴MH______MK.
相等
MK
PB
＝
2．【2021·青海】如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A．8 B．7.5
C．15 D．无法确定
【答案】B
【点拨】过D点作DE⊥BC于E，如图．
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，
∴DE＝DA＝3，∴△BCD的面积＝ ×5×3＝7.5.
故选B.
3．【2021·长沙】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为________．
2.4
4．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，求：
(1)S△ACD；
(2)AC的长．
解：过点D作DF⊥AC于点F.
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DF＝DE＝2.
∵S△ACD＝3，∴ ×AC×2＝3，解得AC＝3.
5．在一个角的内部，到角的两边________相等的点在这个角的__________上．因此，判定角平分线，需要满足两个条件：“________”和“________”，其一般思路是“作垂直，证相等”．
距离
平分线
垂直
相等
6．如图，DA⊥AC，DE⊥EC，若AD＝DE＝5 cm，∠ACD＝30°，则∠DCE为( )
A．30° B．40°
C．50° D．60°
A
7．【教材P29例1改编】如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是( )
A．一定相等
B．当BD＝CD时相等
C．一定不相等
D．当DE＝DF时相等
D
8．如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：如图，过点F分别作AE，BC，AD的垂线FP，FM，FN，P，M，N分别为垂足．
∵CF是∠BCE的平分线，∴FP＝FM.
同理FM＝FN.∴FP＝FN.
又∵FP⊥AE，FN⊥AD，
∴点F在∠DAE的平分线上．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，且AD交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝6 cm，求△DEB的周长．
解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE，∠C＝∠DEA＝90°.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．
∴AC＝AE.
∵CD＝DE，∴BC＝CD＋DB＝DE＋DB.
又∵AC＝BC，∴AE＝AC＝DE＋DB.
∴DE＋DB＋BE＝AB＝6 cm.
∴△DEB的周长为6 cm.
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝CF.求证：BD＝DF.
证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC＝DE.
在△DCF和△DEB中，
∴△DCF≌△DEB，∴BD＝DF.
证明：过点G作GH⊥AC于点H，如图所示．
方法一：∵AE∥CF，BD⊥AE，且BD交CF于点D，∴GD⊥CF.
∵AG，CG分别平分∠EAC和∠FCA，
∴∠BAG＝∠GAH，∠GCH＝∠GCD.
易得∠BGA＝∠HGA，∠HGC＝∠DGC.
11．【教材P29例1变式】如图，AE∥CF，AG，CG分别平分∠EAC和∠FCA，过点G的直线BD⊥AE，交AE于点B，交CF于点D.求证：AB＋CD＝AC.
又由CD⊥GD，CH⊥GH，AH⊥GH，AB⊥GB，
易得CD＝CH，AB＝AH.
∴AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
方法二：∵AE∥CF，BD⊥AE，且BD交CF于点D，
∴GD⊥CF.
∵AG平分∠EAC，BG⊥AE，GH⊥AC，
∴BG＝HG.
在Rt△AGH和Rt△AGB中，
∴Rt△AGH≌Rt△AGB(HL)．
∴AH＝AB.同理可得CD＝CH.
∴AB＋CD＝AH＋CH＝AC.
12．【中考·长春】感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.易知DB＝DC.
探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD<90°.求证： DB＝DC.
证明：如图，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，且DF交AC的延长线于点F.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∵∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠ABD＝∠FCD.
在△DFC和△DEB中，
∴△DFC≌△DEB(AAS)．
∴DB＝DC.
13．如图，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°.
求证：OP平分∠AOB.
证明：过点P作PE⊥AO，PF⊥OB，垂足分别为E，F，则∠AEP＝∠BFP＝90°.
∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠PBO＝180°，∴∠1＝∠PBO.
在△PAE和△PBF中，
∴△PAE≌△PBF(AAS)．∴PE＝PF. ∴OP平分∠AOB.
14．如图，已知F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG＝MN，△PFG和△PMN的面积相等．试判断点P是否在∠AOB的平分线上，并说明理由．
解：点P在∠AOB的平分线上．
理由：如图，过P分别作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.
∵S△PFG＝ FG·PD，S△PMN＝ MN·PE，S△PFG＝S△PMN，
∴ FG·PD＝ MN·PE.
∵FG＝MN，∴PD＝PE.
∴点P在∠AOB的平分线上．
15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线相交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H.
(1)若点P到直线BA的距离是5 cm，求点P到直线BC的距离；
解：过点P作PF⊥BE于点F，如图所示．
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于点H，PF⊥BE于点F，
∴PF＝PH＝5 cm，
即点P到直线BC的距离为5 cm.
(2)求证：点P在∠HAC的平分线上．
证明：如图，连接AP.
∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于点D，PF⊥BE于点F，
∴PF＝PD.
由(1)知PH＝PF，∴PD＝PH.
又PH⊥BA，PD⊥AC，∴AP平分∠HAC，
即点P在∠HAC的平分线上．
16．【教材P29例1拓展】如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC.求证：
(1)CO平分∠ACD；
证明：如图，过点O作OE⊥AC于点E.
∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，∴OB＝OE.
∵O为BD的中点，∴OB＝OD. ∴OE＝OD.
∵∠D＝90°，OE⊥AC，∴点O在∠ACD的平分线上，
即CO平分∠ACD.
(2)AB＋CD＝AC.
证明：∵OE⊥AC，∠B＝90°，∴∠B＝∠AEO.
∵AO平分∠BAC，∴∠OAB＝∠OAE.
在△OAB和△OAE中，
∴△OAB≌△OAE(AAS)．∴AB＝AE.
同理，CD＝CE. ∵AE＋CE＝AC，∴AB＋CD＝AC.
17．如图，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分别为E，F，BF交CE于点D，BD＝CD.
(1)求证：点D在∠BAC的平分线上．
证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)． ∴DE＝DF.
∴点D在∠BAC的平分线上．
(2)若将条件“BD＝CD”与(1)中结论“点D在∠BAC的平分线上”互换，命题成立吗？试说明理由．
解：成立．理由如下：
∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
∵点D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
在△BDE与△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(ASA)．
∴BD＝CD.(共11张PPT)
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第一章 三角形的证明
素养集训
3．“三线合一”在等腰三角形中应用的六种常见题型
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见习题
见习题
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解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°，AD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝40°，∠BAD＝∠CAD＝50°.
1．如图，已知屋架的顶角∠BAC＝100°，立柱AD垂直于横梁BC于点D，斜梁AB＝AC.求∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数．
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E.若BC＝12，且△BDC的周长为36，求AE的长．
解：∵△BDC的周长＝BD＋BC＋CD＝36，BC＝12，
∴BD＋DC＝24.
∵AD＝BD，∴AD＋DC＝24，即AC＝24.
∵AB＝AC，∴AB＝24.
又∵DE⊥AB，∴AE＝EB＝ AB＝12.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在△ABC外，CE⊥AE于点E，CE＝ BC.求证：∠ACE＝∠B.
证明：过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝AC，∴BD＝ BC.
又∵CE＝ BC，∴BD＝CE.
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(HL)．∴∠ACE＝∠B.
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.求证：DE＝DF.
证明：连接AD.
∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.
在△ABD中，∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝45°，
∴∠B＝∠BAD.∴BD＝AD.
又∵BD＝CD，∴AD＝CD.
∴∠DAC＝∠C＝45°.
∴∠B＝∠DAC.
又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF(SAS)．
∴DE＝DF.
5．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.
证明：如图，过点E作EF⊥AC于点F.
∵AE＝EC，∴AF＝ AC.
又∵AB＝ AC，∴AF＝AB.
∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE.
又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEB(SAS)．
∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.
证明：如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC.
又∵∠ABC＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C.
而∠AEB＝∠CAE＋∠C，∴∠CAE＝∠C.
∴CE＝AE＝AB.
又∵AD⊥BC，∴DE＝BD.∴CD＝CE＋DE＝AB＋BD.
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝AB＋BD.
解：∵△AOD≌△OBC，
∴∠OCB＝∠ADO＝35°.
∵OD∥BC，
∴∠DOC＝∠OCB＝35°.(共20张PPT)
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第一章 三角形的证明
素养集训
3．等腰三角形中作辅助线的八种常用方法
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1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点 .
(1)连接OA，直接写出点O到△ABC的三个顶点A，B，C的距离OA，OB，OC的大小关系；
解：OA＝OB＝OC.
(2)若点M，N分别是AB，AC上的点，且BM＝AN，试判断△OMN的形状，并证明你的结论．
解：△OMN是等腰直角三角形．
证明：∵AB＝AC，O为BC的中点，∠BAC＝90°，
∴AO⊥BC，∠B＝∠C＝45°，
∠OAC＝∠OAM＝ ∠BAC＝45°.
∴∠C＝∠OAC.∴OA＝OC.
∵BM＝AN，∴AB－BM＝AC－AN，即AM＝CN.
在△OAM和△OCN中，
∴△OAM≌△OCN(SAS)．
∴OM＝ON，∠AOM＝∠CON.
又∵∠CON＋∠AON＝90°，
∴∠AOM＋∠AON＝90°，即∠MON＝90°.
∴△OMN是等腰直角三角形．
证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠CAE.
又∵BD⊥AC，∴∠CAE＋∠C＝∠DBC＋∠C＝90°.
∴∠CAE＝∠DBC.
∴∠BAC＝2∠DBC.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.
求证：∠BAC＝2∠DBC.
证明：如图，过点E作EG∥AC，且EG交BC于点G，
∴∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB.
∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B.
∴∠B＝∠EGB. ∴BE＝EG.
∵BE＝CF，∴EG＝CF.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF.
求证：DE＝DF.
在△EGD和△FCD中，
∴△EGD≌△FCD(AAS)．
∴DE＝DF.
4．如图，在等边三角形ABC中，D在AC上，延长BC至E，使CE＝AD，DG⊥BC于G.求证：
(1)DB＝DE；
证明：如图，过点D作DF∥BC，DF交AB边于点F.
∵△ABC是等边三角形，DF∥BC，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠AFD＝∠ADF＝∠A＝60°.
∴△ADF是等边三角形．∴AD＝DF＝AF. ∴CD＝BF.
∵AD＝CE，∴FD＝CE.
又∵∠DFB＝∠DCE＝120°，
∴△BFD≌△DCE(SAS)．
∴DB＝DE.
证明：∵DB＝DE，DG⊥BC，
∴BG＝EG.
(2)BG＝EG.
5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.
【点拨】本题运用了倍长中线法，通过延长中线构造全等三角形解决问题．
证明：如图，延长CE到点F，使EF＝CE，
连接FB，则CF＝2CE.
∵CE是△ABC的中线，∴AE＝BE.
在△BEF和△AEC中，
∴△BEF≌△AEC(SAS)．
∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.
∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝∠EBF＋∠ABC＝∠CBF.
∵CB是△ADC的中线，∴AB＝BD.
又∵AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.
在△CBF和△CBD中，
∴△CBF≌△CBD(SAS)．
∴CF＝CD.
∴CD＝2CE.
6．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BF，且CD交BF的延长线于点D.求证：BF＝2CD.
【点拨】由角平分线与高线重合，补形构造等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”证明线段的倍分关系．
证明：如图，延长BA，CD，交于点E.
∵BF平分∠ABC，∴∠DBC＝∠DBE.
∵CD⊥BD，∴∠BDC＝∠BDE＝90°.
又∵BD＝BD，∴△BDC≌△BDE(ASA)．∴BC＝BE.
又∵BD⊥CE，∴CE＝2CD.
∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∠AFB＝∠DFC，
∴∠ABF＝∠DCF.
又∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝90°，
∴△ABF≌△ACE(ASA)． ∴BF＝CE. ∴BF＝2CD.
7．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC于点D，M为BC的中点．求证：DM＝ AB.
【点拨】由∠ABC＝2∠C，AD⊥BC，延长CB构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解决问题．
证明：如图，延长CB到点E，使BE＝BA，连接AE，则∠E＝ ∠ABC.
∵∠ABC＝2∠C，即∠C＝ ∠ABC，∴∠E＝∠C.∴AE＝AC.
∵AD⊥BC，∴CD＝DE.
∵点M为BC的中点，∴BM＝MC.
∴DE＝EB＋BD＝AB＋BD＝AB＋(BM－DM)，
CD＝DM＋MC＝DM＋BM.
∵CD＝DE，∴AB＋(BM－DM)＝DM＋BM. ∴DM＝ AB.
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.
证明：如图，延长BD至E，使BE＝AB，连接CE，AE.
∵∠ABE＝60°，BE＝AB，∴△ABE为等边三角形．
∴∠AEB＝60°，AB＝AE.
又∵∠ACD＝60°，∴∠ACD＝∠AEB.
∵AB＝AC，AB＝AE，∴AC＝AE.
∴∠ACE＝∠AEC.
∴∠DCE＝∠DEC.
∴DC＝DE.
∴AB＝BE＝BD＋DE＝BD＋CD，
即BD＋DC＝AB.(共29张PPT)
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第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
第3课时 等腰三角形的判定
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B
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相等；等边
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结论；矛盾；一定
③④①②
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A
C
B
见习题
见习题
①③
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13
见习题
1．有两个角________的三角形是等腰三角形，简称：“等角对________”．
相等
等边
2．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝45°，则下列判断错误的是( )
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是锐角三角形
C．△ABC是等腰三角形
D．∠A和∠B互余
B
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中等腰三角形共有( )
A．4个 B．5个
C．6个 D．2个
C
4．【2021·扬州】如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A，B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【点拨】分情况讨论：
①AB为等腰直角三角形ABC的底边时，符合条件的C点有0个；
②AB为等腰直角三角形ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个，如图．
【答案】B
5．【教材P9随堂练习T1拓展】如图，在△ABC(不是等腰三角形)中，BF，CF分别平分∠ABC和∠ACB，过点F作DE∥BC分别交AB于点D，交AC于点E，那么有下列结论：
①△BDF和△CEF都是等腰三角形；
②∠DFB＝∠EFC；
③△ADE的周长等于AB与AC的和；
④BF＝CF.
其中，正确的是________(填序号)．
【点拨】∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB.
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴△BDF，△CEF都是等腰三角形，∴①正确．
∵△ABC不是等腰三角形，∠ABC≠∠ACB，
∴∠DFB≠∠EFC，∴②错误．
∵△BDF，△CEF都是等腰三角形，∴DF＝DB，FE＝EC，
∴DE＝DF＋FE＝DB＋EC，
∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝AD＋AE＋DB＋EC＝AB＋AC，∴③正确．
∵△ABC不是等腰三角形，∴∠ABC≠∠ACB，
∴∠FBC≠∠FCB，∴BF≠CF，
∴④错误．故正确的是①③.
【答案】①③
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，F是BE，CD的交点．请写出图中两对全等的三角形，并选出其中一对加以证明．
解：△ABE≌△ACD，△DBC≌△ECB，△BFD≌△CFE(写出两对即可)．
选证△ABE≌△ACD(也可以选其他两对中的一对进行证明)．
证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
7．反证法：先假设命题的________不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相________的结果，从而证明命题的结论________成立．这种证明方法称为反证法．
结论
矛盾
一定
8．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设( )
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
A
9．已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°.
下面写出了用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠B＋∠C＋∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾；
②所以∠B＜90°；③假设∠B≥90°；
④那么由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序是__________.
【点拨】用反证法证明命题一般分三步：(1)假设命题结论的反面是正确的；(2)在假设的条件下经过推理，推出与基本事实、已有定理、定义或其他已知条件相矛盾的结论；(3)利用矛盾说明假设不成立，进而得出原命题正确．
【答案】③④①②
10．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.
(1)若∠C＝42°，求∠BAD的度数．
解：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADC＝90°.
又∵∠C＝42°，
∴∠BAD＝∠CAD＝90°－∠C＝90°－42°＝48°.
(2)若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F.求证：AE＝FE.
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵EF∥AC，∴∠F＝∠CAD.
∴∠BAD＝∠F，∴AE＝FE.
11．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BD为△ABC的一条角平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，过点D作DH⊥BE，垂足为H，连接DE.
(1)求证：H为BE的中点．
证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠4.
∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2.
∵CE＝CD，∴∠3＝∠E.
∵∠4＝∠3＋∠E，∠ABC＝∠1＋∠2， ∴∠2＝∠E，
∴BD＝ED，即△BDE为等腰三角形．
∵DH⊥BE，∴H为BE的中点．
解：当∠A＝90°时，AD＝HC.证明如下：
由题知，在△ABD和△HBD中，
∴△ABD≌△HBD(AAS)，∴AD＝DH.
∵AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠4＝45°.
∵∠DHC＝90°，∴△DHC为等腰直角三角形，
∴DH＝HC，∴AD＝HC.
(2)探究：当∠A为多少度时，AD＝HC？请加以证明．
12．【教材P10习题T2变式】如图，点E在△ABC的边AC的延长线上，点D在边AB上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图．
∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB.
在△GDF和△CEF中，
∴△GDF≌△CEF(ASA)，∴GD＝CE.
∵BD＝CE，∴BD＝GD，∴∠B＝∠DGB，∴∠B＝∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠ABC，且BE交AC于点E.
(1)求证：BC＝BE＋AE.
证明：如图，在BC上截取BD＝BE，连接DE.
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝(180°－100°)÷2＝40°.
∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°.
∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2＝80°.
又∵∠BDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，
∴∠CED＝40°＝∠C. ∴DE＝DC.
过点E作EM⊥BA，且EM交BA的延长线于点M，
过点E作EN⊥BC于点N.
∵BE平分∠ABC，EM⊥BA，EN⊥BC，∴易得EM＝EN.
∵∠BAC＝100°，∴∠CAM＝180°－100°＝80°.
在△EMA和△END中，
∴△EMA≌△END(AAS)．
∴EA＝ED.
又∵DE＝DC，∴EA＝DC.
∴BC＝BD＋DC＝BE＋AE.
(2)探究：若∠A＝108°，则BC的长等于哪两条线段长的和呢？试说明理由．
解：BC＝CE＋AB.理由如下：
如图，在CB上截取CP＝CE，连接PE.
∵AB＝AC，∠A＝108°，
∴∠ABC＝∠C＝(180°－108°)÷2＝36°.
∵CP＝CE，∴∠CPE＝(180°－36°)÷2＝72°.
∴∠BPE＝180°－72°＝108°. ∴∠BPE＝∠A.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠PBE.
在△ABE和△PBE中，
∴△ABE≌△PBE(AAS)．
∴BA＝BP.
∴BC＝CP＋BP＝CE＋AB.(共16张PPT)
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第一章 三角形的证明
素养集训
1．全等三角形应用的四种类型
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证明：如图①，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，
则∠BEO＝∠CFO＝90°.
∴Rt△BOE≌Rt△COF(HL)．∴∠ABO＝∠ACO.
1．已知：点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB＝OC.
(1)如图①，若点O在边BC上，求证：∠ABO＝∠ACO；
(2)如图②，若点O在△ABC的内部，求证：∠ABO＝∠ACO.
证明：如图②，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，
则∠BEO＝∠CFO＝90°.
∵
∴Rt△BOE≌Rt△COF(HL)．
∴∠ABO＝∠ACO.
2．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线EF，AM⊥EF于点M，BN⊥EF于点N.
(1)求证：MN＝AM＋BN.
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM＋∠BCN＝90°.
又∵AM⊥EF，BN⊥EF，
∴∠AMC＝∠CNB＝90°.
∴∠BCN＋∠CBN＝90°.
∴∠ACM＝∠CBN.
在△ACM和△CBN中，
∴△ACM≌△CBN(AAS)．∴MC＝NB，MA＝NC.
∵MN＝MC＋CN，∴MN＝AM＋BN.
解：(1)中的结论不成立，结论为MN＝AM－BN.理由如下：
易得△ACM≌△CBN，
∴CM＝BN，AM＝CN.
∵MN＝CN－CM，
∴MN＝AM－BN.
(2)如图②，若过点C作直线EF与线段AB相交，AM⊥EF于点M，BN⊥EF于点N，(1)中的结论是否仍然成立？说明理由．
3．【中考·铜仁】已知：如图，点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.求证：AE∥FB.
证明：∵AD＝BC，
∴AD＋DC＝BC＋CD，即AC＝BD.
在△ACE和△BDF中，
∴△ACE≌△BDF(SSS)．
∴∠A＝∠B.
∴AE∥FB.
4．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F是CD的中点．求证：AF⊥CD.
证明：连接AC，AD.
在△ABC和△AED中，
∴△ABC≌△AED(SAS)．
∴AC＝AD.
∵F是CD的中点，∴CF＝DF.
在△ACF和△ADF中，
∴△ACF≌△ADF(SSS)．∴∠AFC＝∠AFD.
又∵∠AFC＋∠AFD＝180°，
∴∠AFC＝∠AFD＝90°.
∴AF⊥CD.
5．如图，点B，C在直线BE上，CD平分∠ACE，DB＝DA，DM⊥BE于点M.
(1)求证：AC＝BM＋CM；
证明：如图，过点D作DN⊥AC于点N，则∠DNC＝90°.
∵DM⊥BE，∴∠DMC＝90°.
∴∠DNC＝∠DMC.
∵CD平分∠ACE，∴∠DCN＝∠DCM.
又∵CD＝CD，∴△CDN≌△CDM(AAS)．
∴DN＝DM，CN＝CM.
在Rt△ADN和Rt△BDM中，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM(HL)．
∴AN＝BM.
∵AC＝AN＋CN，
∴AC＝BM＋CM.
解：由(1)可知AC＝BM＋CM，
∴AC＝BC＋2CM.
∵AC＝2，BC＝1，
∴CM＝0.5.
(2)若AC＝2，BC＝1，求CM的长．
6．【中考·南充】如图，O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.
(1)求证：△AOD≌△OBC；
证明：∵O是线段AB的中点，∴AO＝OB.
∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC.
在△AOD和△OBC中，
∴△AOD≌△OBC(SAS)．
解：∵△AOD≌△OBC，
∴∠OCB＝∠ADO＝35°.
∵OD∥BC，
∴∠DOC＝∠OCB＝35°.
(2)若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．(共11张PPT)
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第一章 三角形的证明
素养集训
2．角平分线中作辅助线的四种常用方法
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证明：∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴∠BAM＝∠MAD，∠CDM＝∠ADM.
∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°，∴∠MAD＋∠ADM＝90°.
∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.
1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC.
求证：(1)AM⊥DM；
(2)M为BC的中点．
证明：如图，过点M作MN⊥AD于点N.
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD.
又∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM.
∴BM＝CM，即M为BC的中点．
2．如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC.求证：∠C＋∠BAD＝180°.
【点拨】本题运用转化思想进行证明．当遇到证明两角的和是180°的问题时，往往将其转化为证明平角或三角形内角和的问题．本题根据角平分线的性质想到从点D向∠ABC的两边作垂线，构造直角三角形，证明两个直角三角形全等，从而将两个角的和转化为一个平角，进而得出结论．
证明：如图，过点D作DE⊥AB，且DE交BA的延长线于点E，
作DF⊥BC于点F.
∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF.
在Rt△EAD和Rt△FCD中，
∴Rt△EAD≌Rt△FCD(HL)．∴∠EAD＝∠C.
∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∴∠C＋∠BAD＝180°.
3．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D是AB上一点，AE⊥CD，AE交CD的延长线于点E，且AE＝ CD，BD＝8 cm.求点D到AC的距离．
【点拨】本题综合考查了三角形全等的判定与性质和角平分线的性质，解决本题的关键是证明CD平分∠ACB.可以通过添加辅助线构造全等三角形来证得角相等，再由角平分线的性质求得结论．
解：如图，分别延长AE，CB，两线相交于点F，过点D作DM⊥AC于点M.
∵∠ABC＝90°，AE⊥CD，∴∠FAB＋∠F＝90°，∠FCE＋∠F＝90°. ∴∠FAB＝∠FCE.
在△ABF和△CBD中，
∴△ABF≌△CBD(ASA)．∴AF＝CD.
∵AE＝CD，∴AE＝AF＝EF.
在△ACE和△FCE中，
∴△ACE≌△FCE(SAS)．∴∠ACE＝∠FCE.
又∵DM⊥AC，DB⊥BC，BD＝8 cm，
∴DM＝DB＝8 cm，即点D到AC的距离为8 cm.
4．【教材P32习题T1变式】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B.
求证：AC＋CD＝AB.
【点拨】本题也可看成将△ACD沿AD折叠，使点C落在AB边上的点E处．
证明：如图，在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△AED≌△ACD.
∴ED＝CD，∠AED＝∠C.
∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB.
又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝∠EDB.
∴BE＝DE.
∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD，即AC＋CD＝AB.(共10张PPT)
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第一章 三角形的证明
素养集训
2．用特殊角构造含30°角的直角三角形的三种常用技巧
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1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE＝8.求CE的长．
解：如图，连接AD.
∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝ ×120°＝60°.
在Rt△ADE中，∵∠CAD＝60°，∴∠ADE＝30°.
∴AD＝2AE＝16.
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°.
∴∠B＝∠C＝30°. ∴AC＝2AD＝2×16＝32.
∴CE＝AC－AE＝32－8＝24.
2．【教材P34复习题T11改编】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB交AB于点D，交BC于点E.求证：CE＝2BE.
证明：如图，连接AE.
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.
∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE.
∴∠BAE＝∠B＝30°.
∴∠EAC＝120°－30°＝90°.
∵∠C＝30°，∴CE＝2AE.
又∵BE＝AE，∴CE＝2BE.
解：如图，延长AD，BC交于点E.
∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°，AE＝2BE.
又∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝180°－120°＝60°.
∴△DCE是等边三角形．
设CD＝CE＝DE＝a，则有2(1＋a)＝4＋a，
解得a＝2. ∴CD的长为2.
3．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°.求CD的长．
4．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠DAB，∠DAB＝30°.求证：AD＝2BC.
证明：如图，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
∵DC∥AB，∠DAB＝30°，
∴∠DCA＝∠BAC，∠CDE＝∠DAB＝30°.
在Rt△CDE中，∠CDE＝30°，∴CD＝2CE.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC＝∠DCA.
∴AD＝CD. ∴AD＝2CE.
∵CE⊥AE，CB⊥AB，AC平分∠DAB，∴BC＝CE.
∴AD＝2BC.
证明：如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延
长线于点E，则∠AEB＝90°.
∵∠BAD＝30°，∴BE＝ AB.
∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°. ∴∠AEB＝∠DAC.
又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，∴△BED≌△CAD(AAS)．
∴BE＝CA. ∴AC＝ AB.
5．如图，在△ABC中，BD＝DC，AD⊥AC，∠BAD＝30°.求证：AC＝ AB.(共41张PPT)
北师版 八年级下
第一章 三角形的证明
全章热门考点整合专训
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1．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．
证明：假设两个不相等的角所对的边相等，则根据等腰三角形的性质定理“等边对等角”，知它们所对的角也相等，这与题设两个角不相等相矛盾，因此假设不成立，故原命题成立．
2．有下列命题：
①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；
③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；
④相等的角都是直角；
⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；
⑥两直线平行，内错角相等．
(1)③和⑤是互逆命题吗？
解：由于③的条件是a＋b>0，而⑤的结论是ab>0，故⑤不是由命题③交换条件和结论得到的，所以③和⑤不是互逆命题．
解：③的逆命题：如果a>0，b>0，那么a＋b>0；
⑤的逆命题：如果ab>0，那么a>0，b>0.
(2)你能说明③和⑤的逆命题各是什么吗？
(3)请指出哪几个命题是互逆命题．
①与④、②与⑥分别是互逆命题．
3．下列三个定理中，存在逆定理的有( )个．
①有两个角相等的三角形是等腰三角形；
②全等三角形的周长相等；
③同位角相等，两直线平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
C
4．写出下列命题的逆命题，并判断原命题与其逆命题是不是互逆定理．
(1)全等三角形的对应边相等；
解：逆命题：三条边对应相等的两个三角形全等．原命题与其逆命题都是真命题且都是定理，所以它们是互逆定理．
解：逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角是同一个角．原命题是真命题，但其逆命题是假命题，所以它们不是互逆定理．
(2)同角的补角相等．
5．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交DE，AD于点F，M.若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度数．
解：∵∠D＝25°，∠AED＝105°，∴∠DAE＝50°.
又∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠D＝25°，∠BAC＝∠DAE＝50°.
∵∠DAC＝10°，∴∠BAD＝60°.
∴∠AMF＝∠BAD＋∠B＝60°＋25°＝85°.
∴∠DFB＝∠AMF－∠D＝85°－25°＝60°.
6．【2020·绍兴】问题：如图，在△ABD中，BA＝BD.在BD的延长线上取点E，C，作△AEC，使EA＝EC.若∠BAE＝90°，∠B＝45°，求∠DAC的度数．
答案：∠DAC＝45°.
思考：(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？说明理由．
解：∠DAC的度数不会改变．理由如下：
∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠C.
∵∠BAE＝90°，
∴∠B＝180°－∠BAE－∠EAC－∠C＝90°－2∠C.
∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA.
∴∠BAD＝ [180°－(90°－2∠C)]＝45°＋∠C.
∴∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－(45°＋∠C)＝45°－∠C.
∴∠DAC＝∠DAE＋∠EAC＝45°.
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数．
7．【中考·怀化】如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
(1)求证：△ABE≌△DCE；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°.
∵△EBC是等边三角形，
∴EB＝BC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝∠BEC＝60°.
∴∠EBA＝∠ECD＝30°.
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(SAS)．
(2)求∠AED的度数．
解：由(1)可知，AB＝BE，∠ABE＝30°，
∴∠BAE＝∠BEA＝75°.
同理，∠CDE＝∠CED＝75°.
∴∠AED＝360°－75°－75°－60°＝150°.
8．【2021·乐山】如图，已知直线l1，l2，l3两两相交，且l1⊥l3，若α＝50°，则β的度数为( )
A．120° B．130°
C．140° D．150°
C
证明：如图，连接AM.
∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM. ∴∠MAB＝∠B.
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.
∴∠MAB＝30°. ∴∠MAC＝90°.
∵∠C＝30°，∴CM＝2AM. ∴CM＝2BM.
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N.求证：CM＝2BM.
10．【中考·东营】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D.若BD＝3，AC＝10，则△ACD的面积是__________．
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11．【中考·咸宁】已知：∠AOB.
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.
(1)如图①，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
(2)如图②，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，
OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧交于点D′；
(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.
根据以上作图步骤，请你证明∠A′O′B′＝∠AOB.
证明：由作法得OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′.
在△OCD和△O′C′D′中，
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS)．
∴∠COD＝∠C′O′D′，即∠A′O′B′＝∠AOB.
证明：如图所示．
∵DE∥AC，∴∠1＝∠3.
∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2. ∴∠2＝∠3.
∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°.
∴∠B＝∠BDE.
∴BE＝DE，即△BDE是等腰三角形．
12．【中考·内江】如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD.求四边形ABCD的面积．
解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，
∴AC＝
又∵AB＝3，BC＝4，∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2.
∴∠B＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ ×AB×BC＋ ×AC×CD＝ ×3×4＋ ×5×12＝6＋30＝36.
14．【中考·株洲】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；
证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M.
∵四边形OECF是正方形，
∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于点E，OF⊥AC于点F.
∵BD平分∠ABC，∴OM＝OE＝OF.
∵OM⊥AB于点M，OF⊥AC于点F，
∴点O在∠BAC的平分线上．
(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．
解：在Rt△AOM和Rt△AOF中，
∴Rt△AOM≌Rt△AOF(HL)．∴AM＝AF.同理，BM＝BE.
∵AC＝5，BC＝12，∠C＝90°，∴AB＝13.
设OE＝x，则AF＝AM＝5－x，BE＝BM＝12－x.
∵BM＋AM＝AB＝13，∴12－x＋5－x＝13，解得x＝2.
∴OE＝2.
15．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上(除B，C外)的任意一点，∠ADE＝60°，且DE交△ABC的外角∠ACF的平分线CE于点E.求证：
(1)∠1＝∠2；
证明：∵△ABC是等边三角形，∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝∠B＝60°.
又∵∠ADC＝∠2＋∠ADE＝∠1＋∠B，
∴∠1＝∠2.
(2)AD＝DE.
证明：如图，在AB上取一点M，使BM＝BD，连接MD，则∠BMD＝∠BDM.
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝BC.
∴∠BMD＝60°. ∴∠AMD＝120°.
∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝120°.
∵CE是∠ACF的平分线，∴∠ECA＝∠ECF＝60°.
∴∠DCE＝120°. ∴∠AMD＝∠DCE.
∵BA－BM＝BC－BD，∴MA＝CD.
在△AMD和△DCE中，
∴△AMD≌△DCE(ASA)．
∴AD＝DE.
16．如图，已知AD＝AE，BD＝CE，试探究AB和AC的大小关系，并说明理由．
解：AB＝AC.理由如下：
∵AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形．
取线段DE的中点F，连接AF，则AF既是△ADE的中线又是底边上的高，即AF⊥DE，DF＝EF.
又∵BD＝CE，∴BD＋DF＝CE＋EF，即BF＝CF.
∴AF是线段BC的垂直平分线．
根据线段的垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，可得AB＝AC.
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，BD＝CD，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC.
(1)求证：∠APO＋∠DCO＝30°；
证明：如图，连接OB.
∵AD⊥BC，BD＝CD，∴OB＝OC，AB＝AC.
∴∠BAD＝ ∠BAC＝ ×120°＝60°.
∴∠ABC＝90°－∠BAD＝30°.
∵OP＝OC，∴OB＝OC＝OP.
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO.
∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°.
解：△OPC是等边三角形．理由如下：
∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，∠PBC＝30°，
∴∠APC＋∠DCP＝150°.
∵∠APO＋∠DCO＝30°，∴∠OPC＋∠OCP＝120°.
∴∠POC＝180°－(∠OPC＋∠OCP)＝60°.
又∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形．
(2)判断△OPC的形状，并说明理由．
18．如图所示，AP，CP分别是△ABC的外角∠MAC，∠NCA的平分线，AP，CP相交于点P，过点P作PD⊥BM，垂足为D，作PF⊥BN，垂足为F.求证：BP是∠ABC的平分线．
证明：如图所示，过点P作PE⊥AC，垂足为E.
∵AP，CP分别平分∠MAC，∠NCA，且PD⊥BM，PF⊥BN，
∴PD＝PE，PF＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．∴PD＝PF.
又∵PD⊥BM，PF⊥BN，
∴点P在∠ABC的平分线上(在一个角的内部，
到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)．
∴BP是∠ABC的平分线．
19．如图，A，B两点在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大．写出作法，并说明理由．
解：如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长，交直线l于点C，则点C即为所求．
理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，
连接CA，C′A，C′A′，C′B.
∵点A，A′关于直线l对称，∴直线l为线段AA′的垂直平分线．
∴CA＝CA′. ∴CA－CB＝CA′－CB＝A′B.
又∵点C′在直线l上，∴C′A＝C′A′.
在△A′BC′中，C′A′－C′B∴点C到点A，B的距离之差最大．(共30张PPT)
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第一章 三角形的证明
2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
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互余；直角三角形
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(1)互逆命题；逆命题 (2)逆定理
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斜边的平方；第三边
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1．直角三角形的两个锐角________；反之，有两个角互余的三角形是______________．
互余
直角三角形
2．【2021·黔东南州】将一副直角三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的直角边和含45°角的三角尺的直角边垂直，则∠1的度数为( )
A．45° B．60°
C．70° D．75°
【点拨】如图，由题意得△DEF为直角三角形，∠B＝45°，∠E＝30°，
∴∠GFB＝∠EFD＝90°.
∴∠AGE＝∠BGF＝45°.
∵∠1＝∠E＋∠AGE，
∴∠1＝30°＋45°＝75°.
故选D.
【答案】D
3．由下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A．∠A＝37°，∠C＝53°
B．∠A－∠C＝∠B
C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5
D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5
C
4．直角三角形两条直角边的平方和等于____________；反之，如果三角形两边的平方和等于__________的平方，那么这个三角形是直角三角形．
斜边的平方
第三边
5．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则下列关系式错误的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2
D．∠B＝90°－∠A
C
6．【2021·山西】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图所示的图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是( )
A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
C
7．【教材P16随堂练习T1变式】【2021·襄阳】我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”(丈、尺是长度单位，1丈＝10尺)其大意为：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，
如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．问水的深度是多少？则水深为( )
A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺
C
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是Rt△ABC的中线，MN⊥AB，垂足为N，求证：AN2－BN2＝AC2.
证明：∵MN⊥AB，
∴BN2＝BM2－MN2，AN2＝AM2－MN2，
∴AN2－BN2＝AM2－BM2.
又∵∠C＝90°，∴AM2＝AC2＋CM2，
∴AN2－BN2＝AC2＋CM2－BM2.
又∵AM是Rt△ABC的中线，∴BM＝CM，
∴AN2－BN2＝AC2.
9．(1)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为__________，其中一个命题称为另一个命题的__________．
(2)如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的________．
互逆命题
逆命题
逆定理
10．下列说法正确的有( )
①每个命题都有逆命题；②互逆命题的真假性一致；③每个定理都有逆定理．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B
11．【教材P16随堂练习T3改编】写出命题“互为倒数的两个数的乘积为1”的逆命题：____________________________________________．
如果两个数的乘积为1，那么这两个数互为倒数
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．求：
(1)AB的长；
(3)CD的长．
(2)△ABC的面积；
13．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由；
解：AP＝CQ.
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠ABC＝60°.
∵∠PBQ＝60°，
∴∠ABP＝∠ABC－∠PBC＝∠PBQ－∠PBC＝∠CBQ.
又∵BP＝BQ，∴△ABP≌△CBQ(SAS)．
∴AP＝CQ.
解：△PQC是直角三角形．
理由：由PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，可设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a(a＞0)．
在△PBQ中，
∵PB＝BQ＝4a，∠PBQ＝60°，∴△PBQ是等边三角形．
∴PQ＝4a.
(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，试判断△PQC的形状，并说明理由．
又由(1)知AP＝CQ，
∴PQ2＋QC2＝PQ2＋AP2＝16a2＋9a2＝25a2＝PC2.
∴△PQC是直角三角形．
(1)求A，D两点之间的距离；
(2)求隧道AB的长度．
15．【2020·苏州】问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°.求证：AB＋CD＝BC.
证明：∵∠B＝∠APD＝90°，
∴∠BAP＋∠APB＝90°，∠APB＋∠DPC＝90°，
∴∠BAP＝∠DPC.
又∵PA＝PD，∠B＝∠C，
∴△BAP≌△CPD，
∴BP＝CD，AB＝PC，
∴BC＝BP＋PC＝AB＋CD.即AB＋CD＝BC.
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°.求 的值．
解：如图，过点A作AE⊥BC于E，
过点D作DF⊥BC于F，
类比(1)可知，EF＝AE＋DF.
∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝45°， (共14张PPT)
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第一章 三角形的证明
素养集训
1．三角形中的五种常见证明类型
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见习题
见习题
见习题
1．【教材P34复习题T2拓展】【2021·黄石】如图，D是△ABC的边AB上一点，CF∥AB，DF交AC于E点，DE＝EF.
(1)求证：△ADE≌△CFE；
证明：∵CF∥AB，∴∠ADE＝∠F，∠A＝∠ECF.
在△ADE和△CFE中，
∴△ADE≌△CFE(AAS)．
(2)若AB＝5，CF＝4，求BD的长．
解：∵△ADE≌△CFE，
∴AD＝CF＝4.
∴BD＝AB－AD＝5－4＝1.
2．【2021·福建】如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF，求证：∠B＝∠C.
证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°.
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE(SAS)，∴∠B＝∠C.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，G是EF的中点．求证：DG⊥EF.
证明：如图，连接ED，FD.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
在△BDE和△CFD中，
∴△BDE≌△CFD(SAS)．∴DE＝DF.
又∵G是EF的中点，∴DG⊥EF.
4．如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.
求证：BP＝2PQ.
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB，∠C＝∠BAC＝60°.
在△ACD和△BAE中，
∴△ACD≌△BAE(SAS)．
∴∠CAD＝∠ABE.
∵∠CAD＋∠BAP＝∠BAC＝60°，∴∠ABE＋∠BAP＝60°.
∴∠BPQ＝60°.
∵BQ⊥AD，∴∠BQP＝90°.
∴∠PBQ＝90°－∠BPQ＝30°.
∴BP＝2PQ.
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.
求证：AC＝AB＋BD.
证明：如图，延长CB至点E，使BE＝BA，
连接AE，则∠BAE＝∠E.
∴∠ABC＝∠BAE＋∠E＝2∠E.
又∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C. ∴AE＝AC.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.
∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，
∴∠BAE＝∠C.
又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，
∠EDA＝∠C＋∠DAC，
∴∠EAD＝∠EDA.
∴AE＝DE.
∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD.
6．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC.求证：AB－AC＞PB－PC.
证明：如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
在△AEP和△ACP中，
∴△AEP≌△ACP(SAS)．
∴PE＝PC.
在△PBE中，BE ＞PB－PE，
即AB－AC ＞PB－PC.(共24张PPT)
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第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
第2课时 等边三角形的性质
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C
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相等；相等；相等
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A
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D
见习题
(1)3 (2)60°
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B
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见习题
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见习题
1．等腰三角形两底角的平分线________，两腰上的高________，两腰上的中线________．
相等
相等
相等
2．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，则下列结论不一定正确的是( )
A．BD＝CE
B．OB＝OC
C．OC＝DC
D．∠ABD＝∠ACE
···
C
3．如图，若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为100°，则顶角的度数为( )
A．50°
B．80°
C．100°
D．130°
B
4．【教材P5例1变式】如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线．若BD＝3，则CE＝________．
3
5．(1)等边三角形是轴对称图形，它有________条对称轴；
(2)等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于________．
3
60°
6．下列性质中，等边三角形具有且等腰三角形也具有的是( )
A．三条边相等 B．三个内角相等
C．有三条对称轴 D．是轴对称图形
D
7．【2021·益阳】如图，AB∥CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝40°，则∠EAB等于( )
A．40°
B．30°
C．20°
D．15°
【点拨】∵AB∥CD，
∴∠DCA＋∠CAB＝180°，即∠DCE＋∠ECA＋∠EAC＋∠EAB＝180°.
∵△ACE为等边三角形，∴∠ECA＝∠EAC＝60°，
∴∠EAB＝180°－40°－60°－60°＝20°.
故选C.
【答案】C
8．【中考·福建】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
A
9．【教材P7习题T3变式】已知：如图，在等边三角形ABC中，D为BC延长线上一点，E为CA延长线上一点，且AE＝CD.
求证：AD＝BE.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠EAB＝∠DCA＝120°.
在△EAB和△DCA中，
∴△EAB≌△DCA(SAS)，∴AD＝BE.
10．【教材P7习题T3拓展】如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.
(1)求证：AD＝CE；
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC.
又∵AE＝BD，
∴△AEC≌△BDA(SAS)．
∴AD＝CE.
(2)求∠DFC的度数．
解：由(1)知△AEC≌△BDA，
∴∠ACE＝∠BAD.
∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACE＝∠FAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°.
11．如图，B是AC上一点，△ABD和△DCE都是等边三角形．
(1)求证：AC＝BE.
证明：∵△ABD和△DCE都是等边三角形，
∴AD＝BD，CD＝ED，∠ADB＝∠CDE＝60°，
∴∠ADB＋∠BDC＝∠CDE＋∠BDC，
即∠ADC＝∠BDE，∴△ADC≌△BDE，
∴AC＝BE.
(2)直接写出BE，BD，CB三条线段之间的长度关系．
解：BE＝BD＋CB.
12．如图，A，C，B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N.有如下结论：
①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；
③AC＝DN.
其中正确结论的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【点拨】∵△DAC和△EBC都是等边三角形，∴AC＝DC，∠DCA＝∠BCE＝60°，CE＝CB.
又∵∠ACE＝∠DCA＋∠DCN，∠DCB＝∠DCN＋∠BCE，∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB(SAS)，故①正确；
由△ACE≌△DCB可得∠CAM＝∠CDN.∵∠ACD＋∠DCN＋∠BCE＝60°＋∠DCN＋60°＝180°，
∴∠DCN＝∠DCA＝60°.
又∵AC＝DC，∴△ACM≌△DCN(ASA)，∴CM＝CN.故②正确；
由△ACM≌△DCN可得AM＝DN.若AC＝DN，则AC＝AM.又∠DCA＝60°，∴△ACM为等边三角形，
∴∠CAM＝60°，显然不符合题意，故③错误．
【答案】B
13．如图，在等边三角形ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边向上作等边三角形EDC，连接AE.
(1)求证：AE∥BC.
证明：∵△ABC和△EDC均为等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，
∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°.
∴∠BCD＋∠ACD＝∠ACD＋∠ACE.
∴∠BCD＝∠ACE.
在△BCD和△ACE中，
∴△BCD≌△ACE(SAS)．
∴∠B＝∠CAE.
又∵∠B＝∠ACB，∴∠CAE＝∠ACB.
∴AE∥BC.
(2)当点D运动到什么位置时，BC⊥EC？为什么？
解：当点D运动到AB的中点时，BC⊥EC.理由如下：
∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，∴CD⊥AB.
∴∠BDC＝90°. ∴∠BCD＝30°，
∴∠BCE＝∠BCD＋∠DCE＝30°＋60°＝90°.
∴BC⊥EC.(共11张PPT)
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第一章 三角形的证明
4 角平分线
第2课时 三角形的角平分线
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B
5
三条边的距离
6
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见习题
见习题
D
C
D
D
1．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到________________相等．
三条边的距离
2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下列结论正确的是( )
A．∠1>∠2
B．∠1＝∠2
C．∠1<∠2
D．不能确定
B
3．如图，它是尺规作图的痕迹，下列说法不正确的是( )
A．AE，BF是△ABC的内角平分线
B．CG也是△ABC的一条内角平分线
C．点O到△ABC三边的距离相等
D．AO＝BO＝CO
D
4．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则∠BOC的度数为( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
C
5．【教材P32习题T4变式】如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )
A．1处 B．2处
C．3处 D．4处
D
6．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是30，40，50，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )
A．1∶1∶1
B．1∶2∶3
C．2∶3∶4
D．3∶4∶5
D
7．如图，BP，CP分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P.求证：点P在∠BAC的平分线上．
证明：过点P分别作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G.
∵BP，CP分别是△ABC的外角平分线，
∴PE＝PG，PG＝PF.
∴PE＝PF.
∴点P在∠BAC的平分线上．
8．如图，某公园角落里有一块三角形的草地，工作人员想在草地上安装一个自动喷水头进行浇灌．现有两种方案：
(1)作∠BAC，∠ABC的平分线，交点为P，建在点P处．
(2)作AB，AC的垂直平分线，交点为Q，建在点Q处．
解：如图①②所示．
方案(2)更合理．要使三角形的草地都能浇到水，水就必须能洒到三角形的各个顶点处，所以自动喷水头安装在三角形的三边垂直平分线的交点处更合理．
请你在图①②中分别确定出点P，Q，并结合实际情况，说明哪种方案更合理．(共20张PPT)
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第一章 三角形的证明
3 线段的垂直平分线
第2课时 三角形三边的垂直平分线
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B
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垂直平分线；顶点
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D
略
10
D
B
B
见习题
见习题
见习题
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见习题
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见习题
1．三角形三条边的______________相交于一点，并且这一点到三个________的距离相等．
垂直平分线
顶点
2．【教材P24例2改编】平面内到不在同一条直线上的三个点A，B，C的距离相等的点有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B
3．在正方形网格中，△ABC的位置如图，且顶点在格点上，在△ABC内部有E，F，G，H四个格点，则到△ABC三个顶点距离相等的点是( )
A．点E B．点F
C．点G D．点H
B
4．已知△ABC三边的垂直平分线的交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
B
5．如图，P为△ABC三边垂直平分线的交点．
(1)若∠PAC＝20°，∠PCB＝30°，求∠PAB的度数；
(2)直接写出∠APB与∠ACB的数量关系：________________.
解：∵P为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴PA＝PC＝PB，∴∠PCA＝∠PAC＝20°，∠PBC＝∠PCB＝30°，∠PAB＝∠PBA，
∴∠PAB＝ ×(180°－2×20°－2×30°)＝40°.
∠APB＝2∠ACB
6．【中考·北京】阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小芸的作法如下：
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是__________________________________________________________________________________________.
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线
7．已知△ABC(AC＜AB＜BC)，用尺规在线段BC上确定一点P，使得PA＋PC＝BC，则符合要求的作图痕迹是( )
D
8．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为( )
A．90° B．95°
C．100° D．105°
D
略．
9．【教材P25例3改编】如图，已知线段a，b，求作一等腰三角形，使高为a，腰长为b.(a10．【教材P26随堂练习拓展】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，与AC，BC分别交于点D，E，连接AE.
(1)求∠ADE的度数；(直接写出结果)
解：∠ADE＝90°.
(2)当AB＝3，BC＝4时，求△ABE的周长．
解：由题意知MN是线段AC的垂直平分线，∴AE＝EC.
∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC＝7，即△ABE的周长为7.
11．如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD交PE于点F.求证：DF＝DC.
证明：连接PA，则PA＝PB，∴∠B＝∠PAB＝22.5°.
∴∠APD＝45°.
又∵AD⊥BC，∴PD＝AD，∠PDF＝∠ADC＝90°，
∠DPF＋∠PFD＝90°.
∵PE⊥AC，∴∠AFE＋∠DAC＝90°.
又∵∠AFE＝∠PFD，∴∠DPF＝∠DAC.
在△PDF和△ADC中，
∴△PDF≌△ADC(ASA)．
∴DF＝DC.
12．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且DE⊥DF.求证：BE＋CF＞EF.
证明：如图，延长ED至点M，使DM＝ED，
连接MC，MF，则EF＝FM.
在△BDE和△CDM中，
∴△BDE≌△CDM(SAS)．
∴BE＝CM.
∵CF＋CM ＞MF，
∴BE＋CF ＞EF.(共25张PPT)
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第一章 三角形的证明
2 直角三角形
第2课时 直角三角形全等的判定
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B
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斜边；直角边；斜边、直角边；HL
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C
A
见习题
D
见习题
SSS，SAS，ASA，AAS；HL，SSS，SAS，ASA，AAS
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见习题
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见习题
13
见习题
1．__________和一条__________分别相等的两个直角三角形全等，可以简写成“______________”或“______”．
斜边
直角边
斜边、直角边
HL
2．【教材P20随堂练习T1改编】下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是( )
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．斜边和一条直角边对应相等
D．斜边和一锐角对应相等
B
3．如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A．AB＝AC
B．∠BAC＝90°
C．BD＝AC
D．∠B＝45°
A
4．如图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，AC与BD交于点O.
求证：OB＝OC.
证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB，
∴∠ACB＝∠DBC，∴OB＝OC.
5．判定两三角形全等的方法有4种，分别是________，________，________，________；判定两直角三角形全等的方法有5种，分别是________，________，________，________，________.
SSS
SAS
ASA
AAS
HL
SSS
SAS
ASA
AAS
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD，CE相交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有( )
A．3对 B．4对
C．5对 D．6对
D
7．如图，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC.下列结论：
①BD＝AD；②BC＝AC；
③BH＝AC；④CE＝CD.
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
8．【中考·凉山州】如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.下列结论：
①EM＝FN；②CD＝DN；
③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM.
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
9．【中考·南京】如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为( )
A．a＋c
B．b＋c
C．a－b＋c
D．a＋b－c
【点拨】∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A＋∠D＝90°，∠C＋∠D＝90°.
∴∠A＝∠C.
又∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE(AAS)．
∴AF＝CE＝a，DE＝BF＝b.
∵EF＝c，∴AD＝AF＋DF＝a＋(b－c)＝a＋b－c.
【答案】D
10．【中考·镇江】如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.
(1)求证：△ACB≌△BDA；
证明：∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形．
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)．
(2)若∠ABC＝35°，则∠CAO＝________.
20°
11．【中考·南充】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求证：
(1)△AEF≌△CEB；
证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEF＝∠CEB＝90°，∠BCE＋∠CFD＝90°，
∠BCE＋∠B＝90°.
∴∠CFD＝∠B.
∵∠CFD＝∠AFE，∴∠AFE＝∠B.
在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB(AAS)．
(2)AF＝2CD.
证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
∴Rt△ADB≌Rt△ADC(HL)．
∴BD＝CD.∴BC＝2CD.
∵△AEF≌△CEB，∴AF＝CB. ∴AF＝2CD.
12．【教材P21习题T2改编】【2021·南充】如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F.求证：AF＝BE.
证明：∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠FAC＝90°.
∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE＋∠EBA＝90°，∴∠EBA＝∠FAC.
在△ACF和△BAE中，
∴△ACF≌△BAE(AAS)，
∴AF＝BE.
13．【2021·鄂州】如图，四边形ABDC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥BD于点D.若BD＝2，CD＝4 ，则线段AB的长为______．
【点拨】如图，过点C作CE⊥CD交AD于E，记AD与BC的交点为F，则∠ECD＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ECD，
∴∠ACB－∠BCE＝∠ECD－∠BCE，即∠ACE＝∠BCD.
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠AFC＋∠CAE＝90°.
∵∠AFC＝∠DFB，∴∠DFB＋∠CAE＝90°.
∵∠ADB＝90°，∴∠DFB＋∠CBD＝90°，∴∠CAE＝∠CBD，
14．【2021·台州】如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10 .
(1)求证：△ABC≌△ADC；
证明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS)．
(2)当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．
解：过点B作BE⊥AC于点E，如图所示．
∵∠BCA＝45°，BC＝10 ，∴易得BE＝10.
又∵在Rt△ABE中，AB＝20，BE＝10， ∴∠BAE＝30°.
∵△ABC≌△ADC，∴∠BAE＝∠DAE.
∴∠BAD＝∠BAE＋∠DAC＝2∠BAE＝2×30°＝60°.(共28张PPT)
北师版 八年级下
第一章 三角形的证明
1 等腰三角形
第4课时 等边三角形的判定
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C
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相等；60°
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C
见习题
10
D
A
A
D
见习题
斜边的一半
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12
见习题
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见习题
13
见习题
1．三个角都________的三角形是等边三角形；有一个角等于________的等腰三角形是等边三角形．
相等
60°
2．如图，等边三角形ABC的边长为2，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥BC，则△ADE的周长为( )
A．2 B．2.5
C．3 D．4
C
3．【教材P13习题T3变式】如图，D，E，F分别是等边三角形ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是( )
A．等边三角形
B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形
D．不等边三角形
A
4．【中考·内江】如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3.6，∠B＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为( )
A．1.6 B．1.8
C．2 D．2.6
A
5．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于______________．
斜边的一半
6．【2021·福建】如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于( )
A．2 km B．3 km
C．2 km D．4 km
D
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB，AD交BC于点D，AD＝4，则BC的长为( )
A．8 B．4
C．12 D．6
C
8．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，EF交BC的延长线于点F.若CD＝2，则DF的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
D
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：DE＝DF；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD(AAS)．
∴DE＝DF.
解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形．
∴∠B＝60°.
∵∠BED＝90°，∴∠BDE＝30°.∴BE＝ BD.
∵BE＝1，∴BD＝2.
∴BC＝2BD＝4.
∴△ABC的周长为12.
(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AE＝BE，D为EC的中点．
(1)求∠CAE的度数；
解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝ ×(180°－120°)＝30°.
∵AE＝BE，∴∠BAE＝∠B＝30°.
∴∠CAE＝120°－30°＝90°.
(2)求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠B＝30°.
由(1)知∠EAC＝90°，
∴AE＝ EC，∠AEC＝90°－∠C＝60°.
又∵D为EC的中点，∴ED＝ EC＝AE.
∵ED＝AE，∠AEC＝60°，∴△ADE是等边三角形．
11．【2020·烟台】如图，在等边三角形ABC中，点E是AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.
【问题解决】
如图①，若点D在BC上，求证：CE＋CF＝CD.
证明：在CD上截取CH＝CE，连接EH，如图①所示．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°.
∴△CEH是等边三角形．
∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°.
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝FE，∠DEF＝60°.
∴∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF＝60°.
∴∠DEH＝∠FEC.
在△DEH和△FEC中，
∴△DEH≌△FEC(SAS)．
∴DH＝CF.
∴CD＝CH＋DH＝CE＋CF.
∴CE＋CF＝CD.
【类比探究】
如图②，若点D在BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是CF＝CD＋CE.
理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°.
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图②所示．
∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝∠DCG＝60°.
∴△GCD为等边三角形． ∴DG＝CD＝CG.
∵△EDF为等边三角形，∴ED＝FD，∠EDF＝∠GDC＝60°.
∴∠EDG＝∠FDC.
在△EGD和△FCD中，
∴△EGD≌△FCD(SAS)．
∴EG＝CF.∵EG＝CG＋CE＝CD＋CE，∴CF＝CD＋CE.
12．如图，等边三角形ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD＝2，求AF的长；
(2)当AD取何值时，DE＝EF
13．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到点D，延长BA到点E，并且使AE＝BD，连接CE，DE.
求证：EC＝ED.
证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，AB＝BC.
如图，以BE为边，∠B为内角作等边三角形BEF.
∴BE＝BF＝EF，∠F＝60°.
∵AE＝BD，∴BE－AE＝BF－BD，即AB＝DF. ∴BC＝DF.
在△ECB和△EDF中，
∴△ECB≌△EDF(SAS)． ∴EC＝ED.