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专题03 圆的基本性质（要点梳理+重难点题型）
【要点梳理】
要点一：圆的定义、性质及与圆有关的角
1.圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
重难点题型
【经典真题】
例1.（2019·浙江·湖州市第五中学一模）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（ ）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
例2．（2021·湖北黄冈·一模）经过已知点M和N的圆的圆心的轨迹是_____．
【经典变式】
1．（2021·全国·九年级专题练习）已知及点P，点P到圆的最大距离为8，点P到圆的最小距离为6，则的半径为_________．
2．（2020·安徽界首·一模）在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心．
已知：．
求作：所在圆的圆心．
曈曈的作法如下：如图2，
（1）在上任意取一点，分别连接，；
（2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点．点就是所在圆的圆心．
老师说：“曈曈的作法正确．”
请你回答：曈曈的作图依据是_____．
3．（2021·全国·九年级单元测试）尺规作图．试将已知圆的面积四等分．（保留作图痕迹，不写作法）
4．（2021·全国·九年级课时练习）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧．用直尺和圆规作出所在圆的圆心O（要求保留作图痕迹，不写作法）；
【知识拓展】 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2.圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）如图，为的直径，弦，垂足为，，，则的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
例2．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）如图，在中，作出劣弧的中点D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【经典变式】
1．（2021·黑龙江·鸡西市第一中学校九年级期中）如图，是的直径，弦于点，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．16
2．（2021·湖北鄂州·中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
3．（2021·广西柳州·中考真题）往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·山东巨野·一模）上体育课时，老师在运动场上教同学们学习掷铅球，训练时，李力同学掷出的铅球在场地上砸出了一个坑口直径约为10cm，深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为（ ）
A．20cm B．19.5cm C．14.5cm D．10cm
5．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（ ）
A．13寸 B．12寸 C．10寸 D．8寸
6．（2021·青海西宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______．
7．（2021·贵州黔东南·中考真题）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在园的半径为 _________cm．
8．（2021·湖北恩施·中考真题）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆形木材的直径___________寸；
9．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，内一点P，求作：中经过点P的最短弦．（保留作图痕迹，不写作法）
10．（2021·山东黄岛·一模）已知：如图，M，N分别是∠BAC两边AB，AC上的点，连接MN．求作：⊙O，使⊙O满足以线段MN为弦，且圆心O到∠BAC两边的距离相等．
【知识拓展】在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
4.与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）如图，已知内接于，是的直径，平分，交于，若，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
例2．（2021·江苏·九年级专题练习）下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【经典变式】
1．（2021·四川巴中·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若∠BDC＝50°，，则∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
3．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·甘肃武威·中考真题）如图，点在上，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·辽宁兴城·二模）如图，在中，，，则的度数为（ ）
A．10° B．20°
C．30° D．40°
6．（2021·江苏溧阳·一模）已知是半径为1的的一条弦，且，以为一边在内作等边三角形，D为上不同于点A的一点，且，的延长线交于点E，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
7．（2021·江苏·九年级专题练习）图中圆心角，点是弧的中点，则__________．
8．（2021·山东崂山·二模）如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于69°，则的度数为______°．
9．（2021·湖南张家界·中考真题）如图，内接于，，点是的中点，连接，，，则_________．
10．（2021·河南涧西·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，
下面是运用“补短法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，延长到点F，使得，连接DA，DB，DC和DF．
∵是的中点
∴
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分：
（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，．于点，则的周长是______．
【知识拓展】(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
要点二：点与圆的位置关系
设⊙O的半径为，OP=，则有
点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·湖北宜昌·模拟预测）如图，在中，，，，是它的中线，以C为圆心，为半径作，则点M与的位置关系为（ ）
A．点M在上 B．点M在内
C．点M在外 D．点M不在内
例2．（2021·上海·中考真题）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
【经典变式】
1．（2021·广西覃塘·三模）如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等边，若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．5
2．（2021·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
3．（2021·广西田林·一模）若⊙O的半径为5，点P到圆心的距离为d，当点P在圆上时，则有（ ）
A．d＜5 B．d＞5 C．d = 5 D．d =
4．（2021·全国·九年级专题练习）已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2021·江苏·南通市启秀中学九年级月考）已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A． B．C．D．
6．（2021·四川宜宾·中考真题）如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是______．
7．（2021·青海·中考真题）点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是______．
8．（2021·广东·九年级专题练习）如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为_____．
9．（2021·江苏滨海·八年级期中）如图，在矩形纸片ABCD中，边AB=12，AD=5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合，将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为___．
10．（2021·全国·九年级专题练习）若⊙A半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P与⊙A位置关系为_____．
【知识拓展】点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
要点三：三角形的外接圆、圆内接四边形
1.三角形的外心、重心、垂心
(1)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
(2)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
(3)垂心：是三角形三边高线的交点.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·广西梧州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（ ）
A．34 B．12 C．6+3 D．6
例2．（2021·湖南怀化·中考真题）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A． B．AD一定经过的重心
C． D．AD一定经过的外心
【经典变式】
1．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）如图，是等边的外接圆，点是弧上的点，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·福建省福州外国语学校三模）如图，内接于，D是的中点，连接并延长交于点E，连接，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·西藏·中考真题）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交 O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（ ）
A．40° B．55° C．70° D．110°
4．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点是的外心，∠，连结，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2021·福建海沧·一模）如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（ ）
A．△ABC的内心 B．△ABC的外心 C．△ACD的外心 D．△ACD的重心
6．（2021·广东南沙·一模）如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为___．
7．（2021·四川·一模）设方程的两根为Rt△ABC的两条直角边的长，则Rt△ABC外接圆的半径是____．
8．（2021·江苏鼓楼·一模）如图，点O是的外心，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则_______．
9．（2021·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使．
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使．
（3）在图③中，连结MA、MC，使．
10．（2021·山西孝义·二模）阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．由于三角形的三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心．下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点．
如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，且AD与BE相交于点P．连接CP并延长，交AB于点F．
求证：CF⊥AB．
证明：分别过点A，B，C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，N，Q．分别连接PM，PN，PQ．
∵MNBC，MQAB，NQAC，
∴四边形MABC，四边形ANBC，四边形ABQC都是平行四边形．
∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．
∵AD⊥BC，
∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN．
∴PM=PN．
…
学习任务：
（1）请将上面剩余的证明过程补充完整；
（2）点P是△MNQ的 ．（填出字母代号即可）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
（3）若∠CAB=40°，则∠MPN= °．
【知识拓展】三角形的外心：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
2.圆内接四边形
四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．64° B．128° C．120° D．116°
例2．（2021·广东实验中学三模）如图，四边形内接于，如果，则的度数是（ ）
A．115° B．130° C．65° D．50°
【经典变式】
1．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）如图，内接于⊙O，，，为的中点，连接并延长交⊙O于点，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB为圆O的直径，若∠AOD＝40°，弦AC平分∠DAB，则∠ADC＝（ ）
A．140° B．125° C．110° D．105°
3．（2021·湖北当阳·一模）如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校三模）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（ ）
A．36° B．60° C．72° D．75°
5．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若∠BDC＝50°，，则∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
6．（2021·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·四川德阳·中考真题）如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝_____度．
8．（2021·湖南·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，四边形内接于，若它的一个外角，则另一个外角________．
9．（2021·贵州毕节·中考真题）如图1，在中，，，D为内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．
（1）求证：，；
（2）如图2．连接AF，DC，已知，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．
10．（2021·广西·模拟预测）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：
圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形内接于，则有______．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为_______．
（2）已知，如图2，四边形内接于，平分，，求证：．
【知识拓展】1.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；
2.如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
要点四：圆中有关计算
圆的面积公式：，周长.
圆心角为、半径为R的弧长.
圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·宁夏·银川市第三中学一模）如图，正方形中，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为（ ）
A． B． C． D．
例2．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）如图， ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【经典变式】
1．（2021·江苏·连云港市新海实验中学三模）如图，以BC为直径的⊙O与ABC的另两边分别相交于D、E，若∠A=60°，BC=6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．3π
2．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则______．
3．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若AD＝BD＝，∠BDC＝，则弧BC的长是______．
4．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）如图，矩形的边长，．把绕逆时针旋转，使恰好落在上的点处，则的长是________（结果保留）．
5．（2021·江苏南京·九年级月考）在边长为的正方形OABC中，D为边BC上一点，且CD＝1，以O为圆心，OD为半径作圆，分别与OA、OC的延长线交于点E、F，则阴影部分的面积为__．
6．（2021·江苏灌云·九年级期中）一个扇形的半径长为6，面积为，这个扇形的圆心角是_______度．
7．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校二模）已知扇形的面积为15πcm2，弧长为5πcm，则该扇形的圆心角是______度．
8．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为____________．
9．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）如图，在扇形中，，，点在半径上，沿折叠，圆心落在上，则图中阴影部分的面积是______．
10．（2021·内蒙古东胜·二模）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为的，的长为，弓形（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为________．
【知识拓展】(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
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专题03 圆的基本性质（要点梳理+重难点题型）
【要点梳理】
要点一：圆的定义、性质及与圆有关的角
1.圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
重难点题型
【经典真题】
例1.（2019·浙江·湖州市第五中学一模）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（ ）
A．0或3或4 B．0或1或3 C．0或1或3或4 D．0或1或4
【答案】C
【分析】根据四个点在平面上不同的位置确定有四种情况，分别讨论构成圆的个数即可得到答案.
【详解】如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．
故选：C．
【点睛】此题考查点构成圆的个数，点的位置关系，正确分析点的位置关系是解题的关键.
例2．（2021·湖北黄冈·一模）经过已知点M和N的圆的圆心的轨迹是_____．
【答案】线段MN的垂直平分线．
【分析】要求作经过已知点M和点N的圆的圆心，则圆心应满足到点M和点N的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．
【详解】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点M和点N的距离相等，即经过已知点M和点N的圆的圆心的轨迹是线段MN的垂直平分线．
故答案为线段MN的垂直平分线．
【点睛】此题考查了点的轨迹问题，熟悉线段垂直平分线的性质是解题关键．
【经典变式】
1．（2021·全国·九年级专题练习）已知及点P，点P到圆的最大距离为8，点P到圆的最小距离为6，则的半径为_________．
【答案】1或7
【分析】点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解．
【详解】解：如图，分为两种情况：
①当点P在圆内时，最小距离为6，最大距离为8，则直径是14，因而半径是7；
②当点P在圆外时，最小距离为6，最大距离为8，则直径是2，因而半径是1．
故此圆的半径为1或7，
故答案为：1或7．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
2．（2020·安徽界首·一模）在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：确定图1中所在圆的圆心．
已知：．
求作：所在圆的圆心．
曈曈的作法如下：如图2，
（1）在上任意取一点，分别连接，；
（2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点．点就是所在圆的圆心．
老师说：“曈曈的作法正确．”
请你回答：曈曈的作图依据是_____．
【答案】①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）
【分析】（1）在上任意取一点，分别连接，；
（2）分别作弦，的垂直平分线，两条垂直平分线交于点．点就是所在圆的圆心．
【详解】解：根据线段的垂直平分线的性质定理可知：，
所以点是所在圆的圆心（理由①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）：）
故答案为①线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等②圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆）
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．（2021·全国·九年级单元测试）尺规作图．试将已知圆的面积四等分．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】若将已知圆的面积四等分，则可转化为作两条互相垂直的直径即可满足题意．
【详解】如图所示：直线m和n是互相垂直的直径，把圆O分成的四部分面积相等．
【点睛】此题考查复杂作图，熟练掌握垂径定理以及线段垂直平分线的作法是解题的关键．
4．（2021·全国·九年级课时练习）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧．用直尺和圆规作出所在圆的圆心O（要求保留作图痕迹，不写作法）；
【答案】见解析.
【分析】根据垂径定理的推论可知：弦的垂直平分线过圆心，只需连接AC、BC，尺规作线段AC和BC的垂直平分线，其交点即为所求.
【详解】解：如图所示：
圆心O即为圆弧所在圆的圆心．
【点睛】本题考查了尺规作线段的垂直平分线和垂径定理，属于基础题型，熟练掌握垂径定理和线段垂直平分线的尺规作图是关键.
【知识拓展】 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2.圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）如图，为的直径，弦，垂足为，，，则的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．无法确定
【答案】C
【分析】连接OA，由垂径定理得AE=3，设OA=OC=x，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．
【详解】连接OA，
∵为的直径，弦，
∴AE=AB=3，
设OA=OC=x，则OE=x-1，
∴，解得：x=5，
∴的半径为5．
故选C．
【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
例2．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）如图，在中，作出劣弧的中点D．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】连接AB，作AB的垂直平分线即可得到劣弧AB的中点D.
【详解】解：如图所示：
连接AB，分别以A、B为圆心，以大于AB长的一半为半径画弧，两弧交于M点，连接OM交圆于点D，即为所求.
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【经典变式】
1．（2021·黑龙江·鸡西市第一中学校九年级期中）如图，是的直径，弦于点，，，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．16
【答案】C
【分析】根据垂径定理得出CM=DM，再由已知条件得出圆的半径为5，在Rt△OCM中，由勾股定理得出CM即可，从而得出CD．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM=DM，
∵AM=2，BM=8，
∴AB=10，
∴OA=OC=5，
在Rt△OCM中，OM2+CM2=OC2，
∴CM==4，
∴CD=8．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握定理的内容并熟练地运用是解题的关键．
2．（2021·湖北鄂州·中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．米 C．2米 D．米
【答案】B
【分析】连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解．
【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC﹣OD=4﹣，
即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米，
故选：B．
【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
3．（2021·广西柳州·中考真题）往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出CD的长．
【详解】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过O点作AB的垂线，由此即可求解．
4．（2021·山东巨野·一模）上体育课时，老师在运动场上教同学们学习掷铅球，训练时，李力同学掷出的铅球在场地上砸出了一个坑口直径约为10cm，深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为（ ）
A．20cm B．19.5cm C．14.5cm D．10cm
【答案】C
【分析】根据垂径定理，构造直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，设出未知数，列出方程，即可求出铅球的直径．
【详解】解：根据题意，画出图形如图所示，
由题意知，，，是半径，且，
，
设铅球的半径为，则，
在中，根据勾股定理，，
即，
解得：，
所以铅球的直径为：cm，
故选：C．
【点睛】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
5．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为，寸，寸，求直径的长”．依题意，长为（ ）
A．13寸 B．12寸 C．10寸 D．8寸
【答案】C
【分析】连接OA，则AE=EB=3，OE=OC-CE=OA-CE=OA-1，在直角三角形AOE中，根据勾股定理计算即可．
【详解】如图，连接OA，∵为的直径，弦，寸，寸，
∴AE=EB=3，OE=OC-CE=OA-CE=OA-1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理，得,
∴,
解得 2OA=10．
故选C．
【点睛】
本题考查了垂径定理，勾股定理，平方差公式，连接半径，熟练运用垂径定理，构造直角三角形，为勾股定理的使用创造条件，这是解题的关键．
6．（2021·青海西宁·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______．
【答案】
【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案．
【详解】解：由题意，设半径为r，
则，
∵，
∴，
∵是的直径，弦于点E，
∴点E是CD的中点，
∵，
∴，
在直角△OCE中，由勾股定理得
，
即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题．
7．（2021·贵州黔东南·中考真题）小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在园的半径为 _________cm．
【答案】4
【分析】圆的两弦的中垂线的交点，就是圆心；连接AC，作AC的中垂线，与直线CD的交点就是圆心，已知圆心即可作出圆；连接圆心与A，根据勾股定理即可求得半径．
【详解】如图，
连接OA，
∵CD是弦AB的垂直平分线，
∴，
设圆的半径是r．在直角△ADO中， ．
根据勾股定理得， ，
∴
故答案为：4
【点睛】本题主要考查圆的确定和垂径定理，熟练掌握垂径定理得出关于半径的方程是解题的关键．
8．（2021·湖北恩施·中考真题）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深等于1寸，锯道长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆形木材的直径___________寸；
【答案】26
【分析】延长DC，交⊙O于点E，连接OA，由题意易得DE即为⊙O的直径，寸，寸，则有寸，设OA=x寸，最后根据垂径定理及勾股定理可进行求解．
【详解】解：延长DC，交⊙O于点E，连接OA，如图所示：
由题意得CD⊥AB，点C为AB的中点，寸，寸，
∴DE为⊙O的直径，
∴寸，
设OA=x寸，则寸，
∴在Rt△AOC中，，即，
解得：，
∴圆形木材的直径为26寸；
故答案为26．
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
9．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，内一点P，求作：中经过点P的最短弦．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】作直线，过点P作直线交于A，B．
【详解】解：如图，线段即为所求作．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（2021·山东黄岛·一模）已知：如图，M，N分别是∠BAC两边AB，AC上的点，连接MN．求作：⊙O，使⊙O满足以线段MN为弦，且圆心O到∠BAC两边的距离相等．
【答案】见解析
【分析】作线段MN的垂直平分线DE，作∠BAC的角平分线AP，AP交DE于点O，以O为圆心OM为半径作⊙O即可．
【详解】解：如图，⊙O即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
【知识拓展】在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
4.与圆有关的角
(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数.
(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.
②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）如图，已知内接于，是的直径，平分，交于，若，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】连接，由平分，可得，根据圆周角定理推论得为等腰直角三角形，，计算即可．
【详解】解：如图：
连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
故选：．
【点睛】本题考查角平分线的定义，圆周角定理推论，等腰三角形的判定等相关知识点，牢记定理内容是解题关键．
例2．（2021·江苏·九年级专题练习）下列四个命题：
①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．
真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】利用圆的有关性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①同圆或等圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
②同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，正确，是真命题，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的弦的弦心距相等，正确，是真命题，符合题意；
④同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
【点睛】考查了真假命题的判断，解题的关键是掌握圆的有关性质，难度不大．
【经典变式】
1．（2021·四川巴中·中考真题）如图，AB是⊙O的弦，且AB＝6，点C是弧AB中点，点D是优弧AB上的一点，∠ADC＝30°，则圆心O到弦AB的距离等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根据垂径定理求出AE=3，然后证明三角形OAC是等边三角形，从而可以得到∠OAE=30°，再利用三线合一定理求解即可.
【详解】解：如图所示，连接OA，AC，OC，OC交AB于E，
∵C是弧AB的中点，AB=6，
∴OC⊥AB，AE=BE=3，
∵∠ADC=30°，
∴∠AOC=2∠ADC=60°，
又∵OA=OC，
∴△OAC是等边三角形，
∵OC⊥AB,
∴，,
∴
∴
∴圆心O到弦AB的距离为，
故选C.
【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
2．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若∠BDC＝50°，，则∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【答案】B
【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC=100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
【详解】解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．
3．（2021·湖北武汉·中考真题）如图，是的直径，是的弦，先将沿翻折交于点．再将沿翻折交于点．若，设，则所在的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明，从而可得到弧AC的度数，由弧AC的度数可求得∠B的度数．
【详解】解：将⊙O沿BC翻折得到⊙O′，将⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，则⊙O、⊙O′、⊙O″为等圆．
∵⊙O与⊙O′为等圆，劣弧AC与劣弧CD所对的角均为∠ABC，
∴．
同理：．
又∵F是劣弧BD的中点，
∴．
∴．
∴弧AC的度数=180°÷4=45°．
∴∠B=×45°=22.5°．
∴所在的范围是；
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．
4．（2021·甘肃武威·中考真题）如图，点在上，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．
【详解】解： 点在上，，
故选：
【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键．
5．（2021·辽宁兴城·二模）如图，在中，，，则的度数为（ ）
A．10° B．20°
C．30° D．40°
【答案】B
【分析】根据圆心角定理：等弧对等角，根据条件求出相应角的角度，作适当的辅助线，找到的关系，即得答案．
【详解】如图，连接，
，根据等弧对等角，
，
在中，，
是等腰三角形，
，
同理在中，得出：，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆心角定理，在同圆或等圆中，相等的弧长对应相等的圆心角，解题的关键是：理解并掌握定理，需要把所求角转化为两个角之差．
6．（2021·江苏溧阳·一模）已知是半径为1的的一条弦，且，以为一边在内作等边三角形，D为上不同于点A的一点，且，的延长线交于点E，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．a
【答案】B
【分析】通过证，得，从而求出的长．
【详解】解：连接OE，OA，OB，
是等边三角形，
，；
，
，
；
，
；
四边形内接于，
，即；
又，
，即是等腰三角形；
在等腰和等腰中，，
，
；
．
故选：B．
【点睛】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得是解答此题的关键．
7．（2021·江苏·九年级专题练习）图中圆心角，点是弧的中点，则__________．
【答案】
【分析】求出∠AOD，再根据∠C＝∠AOD计算即可；
【详解】解：∵点B是弧AD的中点，
∴，
∴∠AOB＝∠BOD＝30°，
∴∠AOD＝60°
∵∠ACO＝∠AOD，
∴∠C＝×60°＝30°．
故答案为30°．
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角的性质，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识进行推理计算．
8．（2021·山东崂山·二模）如图，四边形是的内接四边形，平分，连结，，，若等于69°，则的度数为______°．
【答案】34.5
【分析】根据圆的内切四边形，对角互补，求出，再利用三角形全等的判定定理及性质，证明三角形为等腰三角形，最后根据性质可求解．
【详解】解：，
连接，且交于点，如下图：
为等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了圆的性质，全等三角形的判定定理及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解题的关键是：熟练掌握以上相关的性质．
9．（2021·湖南张家界·中考真题）如图，内接于，，点是的中点，连接，，，则_________．
【答案】
【分析】圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答案．
【详解】解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，
，
，
，
为等腰三角形，
又点是的中点，根据等腰三角形三线合一，
为的角平分线，
，
故答案是：．
【点睛】本题考查了弦长所对应的圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：根据性质求出，再利用角平分线或三角形全等都能求出解．
10．（2021·河南涧西·三模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是的中点，则从点向所作垂线的垂足是折弦的中点，即，
下面是运用“补短法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，延长到点F，使得，连接DA，DB，DC和DF．
∵是的中点
∴
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分：
（2）填空：如图3，已知等边内接于，，为上一点，．于点，则的周长是______．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题意证明，得，再证明得。进一步可得结论；
（2）在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，结合已知即可证明△ABF≌△ACD，可得AF=AD，再根据等腰三角形的性质可得CD+DE=BE，进而由求出BE的长，再求的周长即可．
【详解】解：（1）证明：∵是的中点
∴
∵，AE=CF
∴
∴
在和中
∴
∴
∴
（2）如图，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，
根据题意得，AB=AC，,
在△ABF和△ACD中，
∴△ABF≌△ACD
∴AF=AD
∵AE⊥BD
∴FE=DE
∴CD+DE=BF+FE=BE
∵
∴
∴BD+CD=2BE=
∵是等边三角形，且AB=BC=6
∴的周长为：
故答案为：
【点睛】此题主要考查了圆的有关知识的综合运用，涉及了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
【知识拓展】(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
要点二：点与圆的位置关系
设⊙O的半径为，OP=，则有
点P在⊙O 外； 点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·湖北宜昌·模拟预测）如图，在中，，，，是它的中线，以C为圆心，为半径作，则点M与的位置关系为（ ）
A．点M在上 B．点M在内
C．点M在外 D．点M不在内
【答案】A
【分析】根据题意可求得CM的长，再根据点和圆的位置关系判断即可．
【详解】∵由勾股定理得
∵CM是AB的中线，
∴CM = 5cm，
∴d=r
所以点M在OC上，
故选：A．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，解决的根据是点在圆上圆心到点的距离=圆的半径．
例2．（2021·上海·中考真题）如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ）
A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外
C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】C
【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可
【详解】
∵圆A与圆B内切，，圆B的半径为1
∴圆A的半径为5
∵<5
∴点D在圆A内
在Rt△ABC中，
∴点C在圆A上
故选：C
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键
【经典变式】
1．（2021·广西覃塘·三模）如图，线段绕点旋转，线段的位置保持不变，在的上方作等边，若，，则在线段旋转过程中，线段的最大值是（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【分析】首先构造以OB为边的等边△，再证明，证明AO=O’P，因为OA的长度不变，所以动点A在以O为圆心，半径为1的圆上运动，因为O’P的长度不变，O’不动，所以动点P在以O’为圆心，半径为1的圆上运动，当三点O,O’,P共线时，OP最大，即可求得．
【详解】如图，以OB为边作等边，连接O’P，
∴OB=O’B,
∵△PAB为等边三角形，
∴AB=BP,∠1+∠2==60°,
∴∠1=∠3，
在△OBA和中
∴
∴OA=O’P，
点A在以O为圆心，半径的1的圆上运动，P在以O’为圆心，半径为1的圆上运动，
当O,O’,P三点共线时，OP最大，
此时OP,
故选：B．
【点睛】本题考查构造手拉手全等三角形和求线段最大值，通过构造全等发现动点在圆上运动，进而求得线段最值，通过构造手拉手全等是解题关键．
2．（2021·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（ ）
A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定
【答案】A
【分析】根据点A的坐标，求出OA=2，根据点与圆的位置关系即可做出判断．
【详解】解：∵点A的坐标为（1，），
∴由勾股定理可得：OA=，
又∵⊙O的半径为2，
∴点A在⊙O上．
故选：A．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，点和圆的位置关系是由点到圆心的距离和圆的半径间的大小关系确定的：（1）当时，点在圆外；（2）当时，点在圆上；（3）当时，点在圆内．
3．（2021·广西田林·一模）若⊙O的半径为5，点P到圆心的距离为d，当点P在圆上时，则有（ ）
A．d＜5 B．d＞5 C．d = 5 D．d =
【答案】C
【分析】当点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外；当点到圆心的距离等于圆的半径时，点在圆上；当点到圆心的距离小于圆的半径时，点在圆内；根据点与圆的这种位置关系，可确定d的值．
【详解】由于点P在圆上，所以点P到圆心的距离等于圆的半径，即d=5．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，当点在圆上时，点到圆心的距离等于圆的半径，关键是熟悉点与圆的位置关系，取决于点到圆心的距离与半径的大小．
4．（2021·全国·九年级专题练习）已知的半径为4，点在外，的长可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】解：∵O的半径为4，点P在⊙O外，
∴OP＞4，
故选：D．
【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．
5．（2021·江苏·南通市启秀中学九年级月考）已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点到直线的距离和圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系即可
【详解】解：∵⊙O的半径OA长1，若OB＝，
∴OA＜OB，
∴点B在圆外，
故选：D．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据数据判断出点到圆心的距离和圆的半径的大小关系，难度不大．
6．（2021·四川宜宾·中考真题）如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是______．
【答案】
【分析】连接OQ，以OA为直径作⊙C，确定出点Q的运动路径即可求得路径长．
【详解】解：连接OQ．
在⊙O中，
∵AQ=PQ，OQ经过圆心O，
∴OQ⊥AP．
∴∠AQO=90°．
∴点Q在以OA为直径的⊙C上．
∴当点P在⊙O上运动一周时，点Q在⊙C上运动一周．
∵AB=4，
∴OA=2．
∴⊙C的周长为．
∴点Q经过的路径长为．
故答案为：
【点睛】本题考查了垂径定理的推论、圆周角定理的推论、圆周长的计算等知识点，熟知相关定理及其推论是解题的基础，确定点Q的运动路径是解题的关键．
7．（2021·青海·中考真题）点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是______．
【答案】或
【分析】分点在外和内两种情况分析；设的半径为，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解】设的半径为
当点在外时，根据题意得：
∴
当点在内时，根据题意得：
∴
故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．
8．（2021·广东·九年级专题练习）如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为_____．
【答案】-．
【分析】先证点C在半径为1的⊙B上，可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，根据三角形的中位线定理可得结论．
【详解】解：∵A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，
∵点C为坐标平面内一点，BC=1，
∴C在⊙B上，且半径为1，
如图，在x轴上取OD=OA=2，连接CD，
∵M为线段AC的中点，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=CD，
当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，
当C在线段DB上时，OM最小，
∵OB=OD=2，∠BOD=90°，
∴BD=OB=2，
∴CD=2-1，
∴OM=CD=-，
即OM的最小值为-，
故答案为：-．
【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最小值时点C的位置是关键．
9．（2021·江苏滨海·八年级期中）如图，在矩形纸片ABCD中，边AB=12，AD=5，点P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合，将纸片沿AP折叠，则CD′的最小值为___．
【答案】8
【分析】先分析出点的运动轨迹是以A为圆心，5为半径的圆弧，要求的最小值，只要求出点C到圆心的距离再减去半径即可．
【详解】解：∵折叠，
∴，
∴点的运动轨迹就是以A为圆心，5为半径的圆弧，
∵，，
∴由勾股定理得，
∴．
故答案是：8．
【点睛】本题考查矩形与折叠，线段最值的求解，解题的关键是分析出动点的轨迹，再根据点到圆上一点最短距离的求解方法进行求解．
10．（2021·全国·九年级专题练习）若⊙A半径为5，圆心A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），那么点P与⊙A位置关系为_____．
【答案】点P在⊙A内
【分析】先求出PA的长，然后比较PA与半径的大小，再根据点与圆的关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵点A的坐标是（1，2），点P的坐标是（5，2），
∴PA＝4＜5，
∴点P在圆A内，
故答案为：点P在⊙A内．
【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．也考查了坐标与图形性质．
【知识拓展】点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.
要点三：三角形的外接圆、圆内接四边形
1.三角形的外心、重心、垂心
(1)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.
(2)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.
(3)垂心：是三角形三边高线的交点.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·广西梧州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（ ）
A．34 B．12 C．6+3 D．6
【答案】A
【分析】如图，作的外接圆 连接 过作轴于 作轴于 则四边形是矩形，再证明是等边三角形，再分别求解即可得到答案.
【详解】解：如图，作的外接圆 连接 过作轴于 作轴于 则四边形是矩形，
是等边三角形，
故选：
【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理分应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
例2．（2021·湖南怀化·中考真题）如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A． B．AD一定经过的重心
C． D．AD一定经过的外心
【答案】C
【分析】根据题意易得AD平分∠BAC，然后根据三角形的重心、外心及三边关系可排除选项．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴，故C正确；
在△ABD中，由三角形三边关系可得，故A错误；
由三角形的重心可知是由三角形三条中线的交点，所以AD不一定经过的重心，故B选项错误；
由三角形的外心可知是由三角形三条边的中垂线的交点，所以AD不一定经过的外心，故D选项错误；
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图，熟练掌握三角形的重心、外心及角平分线的尺规作图是解题的关键．
【经典变式】
1．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）如图，是等边的外接圆，点是弧上的点，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，根据圆周角定理得到∠BCD=∠BAD=40°，进而可求出∠ACD的度数．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，
∵∠CAD=20°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=40°，
∵，
∴∠BCD=∠BAD=40°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=100°，
故选：D．
【点睛】本题考查的是三角形的外接圆和外心、圆周角定理、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
2．（2021·福建省福州外国语学校三模）如图，内接于，D是的中点，连接并延长交于点E，连接，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据半径相等求出，根据垂径定理的推论求出、由圆周角定理即可得．
【详解】解：，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握圆周角定理、垂径定理．
3．（2021·西藏·中考真题）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交 O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（ ）
A．40° B．55° C．70° D．110°
【答案】B
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠D＝140°，根据垂径定理得到∠COA，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA（180°﹣70°）＝55°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
4．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点是的外心，∠，连结，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合题意，根据三角形外接圆的性质，作；再根据圆周角和圆心角的性质分析，即可得到答案．
【详解】的外接圆如下图
∵∠
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外接圆、圆周角、圆心角的性质，从而完成求解．
5．（2021·福建海沧·一模）如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（ ）
A．△ABC的内心 B．△ABC的外心 C．△ACD的外心 D．△ACD的重心
【答案】B
【分析】如图（见解析），先利用勾股定理分别求出的长，再根据三角形外心、重心、内心的定义即可得．
【详解】解：如图，连接，
由勾股定理得：，，
点在的垂直平分线上，
点是的外心，
，
点既不是的外心，也不是的重心，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外心、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形的外心定义是解题关键．
6．（2021·广东南沙·一模）如图，在直角坐标系中，点A（0，6）、B（0，﹣2）、C（﹣4，6），则△ABC外接圆的圆心坐标为___．
【答案】
【分析】先根据点的坐标可得是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点即可得．
【详解】解：，
，
是直角三角形，
则外接圆的圆心坐标为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的外接圆的圆心，熟练掌握直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点是解题关键．
7．（2021·四川·一模）设方程的两根为Rt△ABC的两条直角边的长，则Rt△ABC外接圆的半径是____．
【答案】
【分析】解方程求出直角三角形的两条直角边的长，根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：方程，
解得：，，
则Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，
由勾股定理得，Rt△ABC的斜边为，
Rt△ABC外接圆的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心、一元二次方程的解法，掌握直角三角形的斜边长等于这个直角三角形的外接圆的直径是解题的关键．
8．（2021·江苏鼓楼·一模）如图，点O是的外心，，垂足分别为D、E，点M、N分别是、的中点，连接，若，则_______．
【答案】8
【分析】连接DE，由点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC得到DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理即可求得BC．
【详解】解：连接DE，
∵O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴AD=BD，AE=CE，
∴DE=BC，
∴BC=2DE，
∵M、N分别是OD、OE的中点，
∴MN=DE，
∴DE=2MN，
∴BC=4MN，
∵MN=2，
∴BC=8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了三角形外接圆与圆心，三角形中位线定理，正确作出辅助线并熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键．
9．（2021·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：
（1）在图①中，连结MA、MB，使．
（2）在图②中，连结MA、MB、MC，使．
（3）在图③中，连结MA、MC，使．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）由勾股定理可求得AM=BM=，即可得点M的位置；
（2）由勾股定理可求得AB=BC=，AC=，即可得 ，再由勾股定理的逆定理可判定△ABC为等腰直角三角形，点M即为斜边AC的中点，由此可得点M的位置；
（3）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为M，M即为△ABC外接圆的圆心，连接AM，CM，根据圆周角定理可得，由此即可确定点M的位置．
【详解】（1）如图①所示，点M即为所求．
（2）如图②所示，点M即为所求．
（3）如图③所示，点M即为所求．
【点睛】本题考查了基本作图，解决第（3）题时，确定△ABC外接圆的圆心是解决问题的关键．
10．（2021·山西孝义·二模）阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．由于三角形的三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心．下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点．
如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，且AD与BE相交于点P．连接CP并延长，交AB于点F．
求证：CF⊥AB．
证明：分别过点A，B，C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，N，Q．分别连接PM，PN，PQ．
∵MNBC，MQAB，NQAC，
∴四边形MABC，四边形ANBC，四边形ABQC都是平行四边形．
∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．
∵AD⊥BC，
∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN．
∴PM=PN．
…
学习任务：
（1）请将上面剩余的证明过程补充完整；
（2）点P是△MNQ的 ．（填出字母代号即可）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
（3）若∠CAB=40°，则∠MPN= °．
【答案】（1）见解析；（2）B；（3）80°
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一以及中垂线的性质，即可得到结论；
（2）根据三角形外心的定义，即可得到答案；
（3）构造△MNQ的外接圆，根据平行四边形的性质和圆周角定理，即可求解．
【详解】（1）∵BE⊥AC，
∴∠EBQ=∠BEA=90°，即EB⊥NQ．
∴PN=PQ．
∴PM=PQ．
∴PC⊥MQ，
∴∠CFB=∠FCM=90°．
∴CF⊥AB．
（2）∵PM=PQ=PN，
∴点P是△MNQ的外心，
故选B．
（3）∵四边形ABQC都是平行四边形，
∴∠BQC=∠CAB=40°，
∵点P是△MNQ的外心，
∴∠MPN=2∠BQC=2×40°=80°，
故答案是：80°．
【点睛】本题主要考查三角形的垂心，外心，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，添加合适的辅助线构造平行四边形和三角形的外接圆，是解题的关键．
【知识拓展】三角形的外心：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部
2.圆内接四边形
四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE＝64°，那么∠BOD的度数为（ ）
A．64° B．128° C．120° D．116°
【答案】B
【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵∠DCE=64°，
∴∠BCD=180°-∠DCE=116°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A=180°-∠BCD=64°，
由圆周角定理，得∠BOD=2∠A=128°，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
例2．（2021·广东实验中学三模）如图，四边形内接于，如果，则的度数是（ ）
A．115° B．130° C．65° D．50°
【答案】A
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出，再根据圆内接四边形对角互补即可求出．
【详解】解：由同弧所对的圆周角等于圆心交的一半可知：
，
由圆内接四边形对角互补可知：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，属于基础题，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决本类题的关键．
【经典变式】
1．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）如图，内接于⊙O，，，为的中点，连接并延长交⊙O于点，连接，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，，由等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，根据垂径定理得到，得到，根据等腰三角形的性质求出，由圆周角定理求出，根据角的和差即可求出．
【详解】解：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，根据垂径定理和等腰三角形的性质证得是解决问题的关键．
2．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB为圆O的直径，若∠AOD＝40°，弦AC平分∠DAB，则∠ADC＝（ ）
A．140° B．125° C．110° D．105°
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理求出，求出∠CAB，求出∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠B＋∠ADC＝180°，再求出答案即可．
【详解】，
，
平分，
，
是圆O的直径，
，
，
四边形ABCD是圆O的内接四边形，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识点，注意：直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的对角互补．
3．（2021·湖北当阳·一模）如图，四边形内接于，是的直径，连接，若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，然后利用直径所对的圆周角是直角确定，然后利用直角三角形的两个锐角互余求得答案即可．
【详解】解：∵四边形内接与，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补．
4．（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校三模）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P为上的一点，则∠APC的度数为（ ）
A．36° B．60° C．72° D．75°
【答案】C
【分析】根据正多边形内角和定理求出∠ABC=108°，再根据圆内接四边形的性质求出∠APC的度数即可．
【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴
∵点A，B，C，P均在圆O上，
∴四边形ABCP是⊙O的内接四边形
∴
∴
故选：C
【点睛】本题考查正多边形和圆、圆内搪四边形的性质，解题的关键是求出 ．
5．（2021·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD．若∠BDC＝50°，，则∠ADC的度数是（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【答案】B
【分析】连接OA，OB，OC，根据圆周角定理得出∠BOC=100°，再根据得到∠AOC，从而得到∠ABC，最后利用圆内接四边形的性质得到结果．
【详解】解：连接OA，OB，OC，
∵∠BDC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BDC＝100°，
∵，
∴∠BOC＝∠AOC＝100°，
∴∠ABC＝∠AOC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝130°．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，圆内接四边形的性质，关键在于画出半径，构造圆心角．
6．（2021·吉林·中考真题）如图，四边形内接于，点为边上任意一点（点不与点，重合）连接．若，则的度数可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆内接四边形的性质得度数为，再由为的外角求解．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵为的外角，
∴，只有D满足题意．
故选：D．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题关键是熟练掌握圆内接四边形对角互补．
7．（2021·四川德阳·中考真题）如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝_____度．
【答案】70
【分析】先利用多边的内角和得到∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，则可计算出∠B=110°，然后根据圆内接四边形的性质求∠CDA的度数．
【详解】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，
∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E=540°，
∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E=430°，
∴∠B=540°-430°=110°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠CDA=180°，
∴∠CDA=180°-110°=70°．
故答案为70．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．
8．（2021·湖南·长沙市雅礼实验中学九年级月考）如图，四边形内接于，若它的一个外角，则另一个外角________．
【答案】58
【分析】直接利用圆内接四边形的性质对角互补即可得出答案．
【详解】解：∵∠DCE＝122°，
∴∠BCD＝180° 122°＝58°，
∴∠BAD＝180° 58°＝122°，
∴∠FAD＝180° 122°＝58°．
故答案为：58．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，正确掌握对角关系是解题关键．
9．（2021·贵州毕节·中考真题）如图1，在中，，，D为内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F．
（1）求证：，；
（2）如图2．连接AF，DC，已知，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析
【分析】（1）首先根据旋转的性质，判断出∠DAE=90°，AD=AE，进而判断出∠BAD=∠CAE；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△ABD≌△ACE，即可判断出BD=CE．再证明，即可证明；
（2）由得 ，再证明A，D，F，E在以DE为直径的圆上，即可证明，从而可证明AF//CD．
【详解】解（1）由旋转的性质，可得∠DAE=90°，AD=AE，
∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=90°，∠CAE+∠DAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，
∵
∴，即
∴
∴
∴，即;
（2），理由如下：
∵
∴
由（1）知，
∴A，D，F，E在以DE为直径的圆上，如图，
∵AD=AE
∴弧AD=弧AE，
∴
∴
∴；
【点睛】此题主要考查了旋转的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．另外此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及四点共圆的知识，要熟练掌握．
10．（2021·广西·模拟预测）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
克罗狄斯·托勒密（约90年－168年），古希腊天文学家、地理学家和光学家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的内容如下：
圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．即：如图1，若四边形内接于，则有______．
任务：（1）材料中划横线部分应填写的内容为_______．
（2）已知，如图2，四边形内接于，平分，，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【分析】（1）由托勒密定理可直接求解；
（2）连接AC，通过证明△ACD是等边三角形，可得AC=AD=CD，由AC BD=AB CD+BC AD，可求解．
【详解】解：（1）由托勒密定理可得：
故答案为：
（2）如图，连接
∵，
∴
∵平分
∴
∴
∴是等边三角形
∴，
∵四边形是圆内接四边形
∴
∴．
【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆的有关知识，阅读理解题意是本题的关键．
【知识拓展】1.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；
2.如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
要点四：圆中有关计算
圆的面积公式：，周长.
圆心角为、半径为R的弧长.
圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
重难点题型
【经典真题】
例1．（2021·宁夏·银川市第三中学一模）如图，正方形中，分别以，为圆心，以正方形的边长为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由图可知，树叶形图案的面积是两个圆心角为90°，且半径为a的扇形的面积与正方形的面积的差，可据此求出树叶形图案的面积．
【详解】解：树叶形图案的面积为：
．
故选：B．
【点睛】本题利用了扇形的面积公式，正方形的面积公式求解，得出树叶形图案的面积等于 是解题的关键．
例2．（2021·安徽·合肥市第四十五中学三模）如图， ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠B的度数，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角与内角的关系，可以得到∠AOB的度数，再根据弧长公式l＝，即可计算出的长．
【详解】解：连接OE，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠B＝70°，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝70°，
∴∠AOE＝∠B+∠OEB＝70°+70°＝140°，
∵AB＝2，AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB＝OE＝1，
∴的长为：，
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、弧长的计算、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确弧长公式和平行四边形的性质，利用数形结合的思想解答．
【经典变式】
1．（2021·江苏·连云港市新海实验中学三模）如图，以BC为直径的⊙O与ABC的另两边分别相交于D、E，若∠A=60°，BC=6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．3π
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=120°，结合等腰三角形求出∠BOD+∠COE=120°，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】∵△ABC中,∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180° 60°=120°，
∵△OBD、△OCE是等腰三角形，
∴∠DBO=∠BDO，∠ECO=∠CEO，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BOD+∠COE=360° (∠BDO+∠CEO) (∠ABC+∠ACB)=360° 120° 120°=120°，
∵BC=6，
∴OB=OC=3，
∴S阴影=
故选D．
【点睛】考查三角形的内角和以及扇形的面积公式，等腰三角形性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
2．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图，传送带的一个转动轮的半径为，转动轮转，传送带上的物品被传送，则______．
【答案】108
【分析】根据传送的距离等于转动了的圆弧的长，进而即可求得．
【详解】
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的公式的应用，牢记弧长公式是解题的关键．
3．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）如图，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若AD＝BD＝，∠BDC＝，则弧BC的长是______．
【答案】
【分析】根据AD＝BD＝，可以求出圆的直径AB的长度为10，圆的周长为，∠BDC＝，得出，即可求出弧BC的长为．
【详解】解：由题意得，连接OC，
∵AB为⊙O的直径 ，
∴；
∵AD＝BD，
∴是等腰直角三角形，
∵AD＝BD＝
∴AB=10；
∴⊙O的周长为：，
∵,
∴，
∴，
∴弧BC的长是: ，
故：答案为．
【点睛】熟练掌握圆周角定理以及弧长公式的计算是解本题的关键．
4．（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）如图，矩形的边长，．把绕逆时针旋转，使恰好落在上的点处，则的长是________（结果保留）．
【答案】
【分析】连接BE，根据矩形的性质和好30度直角三角形的性质可以得到∠CBE=∠AEB=30°，然后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接BE，
由题意可知，BE=BC=2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AE∥BC
∵AB=1，BE=2，
∴∠AEB=30°，
∴∠CBE=∠AEB=30°，
∴ ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，弧长公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
5．（2021·江苏南京·九年级月考）在边长为的正方形OABC中，D为边BC上一点，且CD＝1，以O为圆心，OD为半径作圆，分别与OA、OC的延长线交于点E、F，则阴影部分的面积为__．
【答案】3﹣﹣
【分析】根据勾股定理求出OD，根据直角三角形的性质求出∠COD，证明Rt△COD≌Rt△AOG，得到AG＝CD＝1，∠AOG＝∠COD＝30°，根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：如图所示：
在Rt△OCD中，OD＝，
∴∠COD＝30°，
在Rt△COD和Rt△AOG中，
，
∴Rt△COD≌Rt△AOG（HL）
∴AG＝CD＝1，∠AOG＝∠COD＝30°，
∴∠DOG＝30°，
∴阴影部分的面积＝×﹣×1××2﹣＝3﹣﹣；
故答案为：3﹣﹣．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．（2021·江苏灌云·九年级期中）一个扇形的半径长为6，面积为，这个扇形的圆心角是_______度．
【答案】80
【分析】设这个扇形的圆心角是n°，根据S扇形=，求出这个扇形的圆心角为多少即可．
【详解】设这个扇形的圆心角为n°，
则＝8π，
解得，n＝80，
故答案为：80．
【点睛】本题主要考查了弧长和扇形面积的基本概念，掌握求弧长和扇形的面积公式是解题的关键．
7．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校二模）已知扇形的面积为15πcm2，弧长为5πcm，则该扇形的圆心角是______度．
【答案】150
【分析】设扇形圆心角的度数为n，半径为r，再由扇形的面积公式求出r的值，根据弧长公式即可得出结论．
【详解】解：设扇形圆心角的度数为n，半径为r，
∵扇形的弧长为5π，面积为15π，
∴15π＝×5πr，解得r＝6．
∵，
∴n＝150°
故答案为：150．
【点睛】本题考查扇形的面积公式、弧长公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
8．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为____________．
【答案】15π
【分析】由三视图可知这个立体图形是底面半径为3，高为4的圆锥，利用勾股定理求出其母线长，据此可以求得侧面积．
【详解】由三视图可知圆锥的底面半径为3，高为4，
所以母线长为=5，
所以侧面积为== 3× 5π= 15π，
故答案为：15π．
【点睛】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积，涉及勾股定理，牢记公式是解题的关键，难度不大．
9．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）如图，在扇形中，，，点在半径上，沿折叠，圆心落在上，则图中阴影部分的面积是______．
【答案】
【分析】连接、，根据折叠性质可知△是等边三角形，然后再求出、、，即可求解．
【详解】解：如图，连接、，交于点，
由折叠的性质可得，，，，
又∵，
∴，
是等边三角形，
，
，
．
，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题是扇形面积的综合练习题，考查了折叠的性质，以及扇形面积的公式，正确作出辅助线是解决本题的关键．
10．（2021·内蒙古东胜·二模）如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为的，的长为，弓形（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为________．
【答案】()
【分析】连接OA、OB，先求出∠AOB的度数，根据三角形的面积公式求出S△AOB，根据扇形面积公式求出扇形ACB的面积，计算即可．
【详解】解：连接OA、OB，设∠AOB=x°，
∵的长为，
∴，
∴，
∴∠AOB=90°
∴=，
，
则弓形ACB胶皮面积为()．
故答案为：()．
【点睛】本题主要考查了弧长公式和扇形面积的计算，掌握扇形面积公式是解题的关键．
【知识拓展】(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系：.
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