6.7用相似三角形解决问题 同步练习（含答案）

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6.7用相似三角形解决问题同步练习苏科版初中数学九年级下册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理．她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端，标记好脚掌中心位置为，测得脚掌中心位置到镜面中心的距离是，镜面中心距离旗杆底部的距离为，如图所示．已知小丽同学的身高是，眼睛位置距离小丽头顶的距离是，则旗杆的高度等于
A. B. C. D.
如图，某数学活动小组为测量校园内移动信号转播塔的高度，他们先在水平地面上一点放置了一个平面镜，镜子与铁塔底端的距离，当镜子与与观测者小芳的距离时，小芳刚好从镜子中看到铁塔顶端，已知小芳的眼睛距地面的高度，铁塔的高度为根据光的反射原理，
A. B.
C. D.
九章算术是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的．书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何．”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为和，则它的内接正方形的边长为
A. B. C. D.
如图，路灯光源距地面米，身高米的小明从距离灯的底部点米的点处，沿所在的直线行走米到点时，人影的长度
A. 增大米
B. 减小米
C. 增大米
D. 减小米
在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为的竹竿的影长为，某一高楼的影长为，那么这幢高楼的高度是
A. B. C. D.
如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度长为
A.
B.
C.
D.
如图，小东设计两个直角来测量河宽，他量得，，则河宽为
A.
B.
C.
D.
如图，是斜靠在墙上的长梯，梯脚距墙角，梯上点距离墙，长，则梯子的长为
A. B. C. D.
如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面，同时量得，，则旗杆高度
A. B. C. D.
如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为
A. B.
C. D.
如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点，在近岸取，，三点，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上，若测得，，，则河的宽度为
A. B. C. D.
如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为：，且三角板的一边长为，则投影三角板的对应边长为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为的竹竿做测量工具．移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距，与旗杆相距，则旗杆的高为______
如图，小明同学用自制直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，，则树高______．
如图，身高米的小石从一盏路灯下处向前走了米到达点处时，发现自己在地面上的影子长是米，则路灯的高为 米．
如图，小杰同学跳起来把一个排球打在离他米即米远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是米即米，排球落地点离墙的距离是米即米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度的长是_____米．
学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为_____．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
在中，，为边上的一点，且，点为边上的动点不与点，重合，将线段绕点顺时针旋转，交于点．
如图，若为边中点，为边中点，则的值为______；
若为边中点，不是边的中点，
请根据题意将图补全；
小军通过观察、实验，提出猜想：点在边上运动的过程中，中的值不变．小军把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了求的值的几种想法：
想法：过点作交于点，要求的值，需证明∽．
想法：分别取，的中点，，连接，，要求的值，需证明∽．
想法：连接，，要求的值，需证，，，四点共圆．
请你参考上面的想法，帮助小军写出求的值的过程一种方法即可；
若且为正整数，则的值为______用含的式子表示．
小明在某一时刻测得的杆子在阳光下的影子长为，他想测量电线杆的高度，但其影子恰好落在土坡的坡面和地面上，量得，，与地面成，求电线杆的高度．
真身宝塔，位于陕西省扶风法门镇法门寺内，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名．小玲和晓静很想知道真身宝塔的高度，于是，有一天，他们带着标杆和皮尺来到法门寺进行测量，测量方案如下：如图，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿后退，当退行米到处时，恰好在镜子中看到塔顶的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离为米；然后，晓静在处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为米，为米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算真身宝塔的高度．
如图，建筑物上有一根旗杆，小芳计划用学过的知识测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树，小芳沿后退，发现地面上的点、树顶、旗杆顶端恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点、树顶、建筑物顶端恰好在一条直线上，已知旗杆米，米，米，米，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，、均垂直于，请你帮助小芳求出这座建筑物的高．
阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的亮区如图所示，已知亮区到窗口下的墙脚距离，窗口高，求窗口底边离地面的高．
如图，小明要测量一座古塔的高度，从距他的一小块积水处看到古塔的倒影，已知小明的眼部离地面的高度现是，塔底中心到积水处的距离是根据光的反射定律：
和是否相似？为什么？
求古塔的高度．
某兴趣小组开展课外活动．如图，，两地相距米，小明从点出发沿方向匀速前进，秒后到达点，此时他在某一灯光下的影长为，继续按原速行走秒到达点，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为米，然后他将速度提高到原来的倍，再行走秒到达点，此时他在同一灯光下的影长为点，，在一条直线上．
请在图中画出光源点的位置，并画出他位于点时在这个灯光下的影长不写画法；
求小明原来的速度．
如图，是一块锐角三角形余料，其中，高，现在要把它裁成一块正方形材料备用，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，问这块正方形材料的边长是多少？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
根据题意得出∽，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】
解：由题意可得：，，，∽，
则，
即，
解得：，
故旗杆的高度等于．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
利用镜面对称，注意寻找相似三角形，根据比例求出．
【详解】
解：由镜面对称可知：∽，
，
，
米．
故选：．
【点睛】
考查了相似三角形的性质，运用镜面对称性质，得到三角形相似，再由相似比三角形对应边成比例得出最后结果，比较简单．

3.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
设，则，，
，
，，
∽，
，
，
，
正方形的边长为．
故选：．
根据正方形的性质得：，则∽，列比例式可得结论．
此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：设小明在处时影长为，处时影长为．
，，
∽，∽，
，，
则，
，
，
，
，
减少了米．
小明在不同的位置时，均可构成两个相似三角形，可利用相似比求人影长度的变化．
此题考查相似三角形对应边成比例，应注意题中三角形的变化．
5.【答案】
【解析】解：设这幢高楼的高度为米，依题意得：，
解得：．
故这栋高楼的高度为米．
故选：．
设此高楼的高度为米，再根据同一时刻物高与影长成正比列出关于的比例式，求出的值即可．
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】
【分析】
求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
【解答】
解：，，
，
又对顶角相等，
∽，
，
即，
解得．
故选B．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查相似三角形的判定与性质．根据相似三角形对应线段成比例，解题即可．
【解答】
解：根据题意，，，
，
∽
又，，．
，
即河宽为．
故选B．

8.【答案】
【解析】解：，，
，
∽，
，
即：，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．根据镜面反射的性质，∽，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解析】
解：，，
，
，
∽，
，
，
，
故选C．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，比较简单；根据生活常识，墙与地面垂直，则两张视力表平行，两线平行，得到两三角形相似，列比例式，可以计算出结果．根据两线平行，得到两三角形相似，进而得到比例式，代入可得结论．
【解答】
解：由题意得：，
，
，，，
，
，
故选C．
11.【答案】
【解析】解：，，
∽，
，
，，，
，
解得：，
故选：．
由两角对应相等可得∽，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离．
考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查相似三角形的应用．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解．
【解答】
解：设投影三角板的对应边长为，
三角板与投影三角板相似，
：：，
解得，
经检验是原方程的解，
即投影三角板的对应边长为．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以∽，
于是，即，解得：．
旗杆的高为．
易证∽，利用相似三角形的对应边成比例，列出方程求解即可．
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出旗杆的高度．
14.【答案】
【解析】解：在中，，
即：，
，
由题意得：，，
∽，
，
，，，
，
解得：米，
，
．
故答案是：．
首先利用勾股定理计算出长，再证明∽，由相似三角形的性质可得，求出长，进而可得答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握三角形相似对应边成比例．
15.【答案】
【解析】解：由题意知，米，米，米，，
则米，
，
∽
，即，
解得米，
即路灯的高为米；
故答案为：．
根据，得出∽，进而得出比例式求出即可．
此题主要考查了相似三角形的应用，得出∽是解决问题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由题意得：．
，，
．
．
．
即．
米．
故答案为：．
本题主要考查了相似三角形的应用，根据已知条件得出相似三角形是解题的关键．依据题意可得，通过说明，得出比例式可求得结论．
17.【答案】
【解析】解：，，
，
又，
∽，
则，
，，，
，
解得：，
栏杆端应下降的垂直距离为．
故答案为：．
由、知∽，据此得，将已知数据代入即可得．
本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
18.【答案】；
如图所示：
法：如图，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
为边中点，
．
在中，，
，
，
；
法：如图，分别取，的中点，，连接，，
为边中点，
，，．
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
；
法：如图，连接，，
，，
的中点到点，，，的距离相等，
，，，四点共圆，
，
为边中点，
，
，
，
，
；
．
【解析】解：如图，为边中点，为边中点，
，，
又，，
四边形是矩形，
，
，
，
，即，
．
故答案为：；
见答案；
如图所示，过点作交于点，
，
，
．
，
，
，
∽，
，
，
可设，则，，
在中，，
，
，
．
故答案为：．
根据为边中点，为边中点，得出四边形是矩形，再根据，得出，进而得到；
根据题意将图补全即可；法：过点作交于点，要求的值，需证明∽；法：分别取，的中点，，连接，，要求的值，需证明∽；法：连接，，要求的值，需证，，，四点共圆．分别根据三种方法进行解答即可；
先过点作交于点，要求的值，需证明∽，得出，再根据且为正整数，得到即可．
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用．
19.【答案】解：作交延长线于，作于，
由题意可知：，
，
，
，
又某一时刻测得的杆子在阳光下的影子长为，
，
，
四边形为矩形，
，
电线杆的高度．
【解析】考查了相似三角形的应用，注意；影子平行于物体时，影子和物体的实际高度相等；影子垂直于物体时，根据：同一时刻物高与影长成比例进行计算．
先根据的长以及坡角求出落在斜坡上的影长在地面上的实际长度，即可知的总影长，然后根据 杆的影子长为 ，求解电线杆的高度．
20.【答案】解：，，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
即，
，
答：真身宝塔的高度为米．
【解析】根据已知条件推出∽，求得，又根据相似三角形的性质得到，于是得到答案．
本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
21.【答案】解：设为米，为米，
米，
米，
米，
在和中，
，
∽，
，即，
同理可得∽，
，即，
解得．
答：这座建筑物高为米．
【解析】本题主要考查相似三角形的应用，能在实际问题中找出相似三角形，并利用相似三角形的判定和性质来进行解答时解题的关键．首先设为米，为米，易证∽，从而得到，再由∽，得到，最后得方程组，解之即可得到答案．
22.【答案】解：，
∽，
．
，，
．
，
，
，
，即窗口底边离地面的高为．
【解析】因为光线、是一组平行光线，即，所以∽，则有，从而算出的长．
此题主要考查了相似的三角形在实际生活中的应用，利用相似对角线的性质，对应线段成比例解题．难度不大，
23.【答案】解：和是相似的．
因为两组对应角，
，
∽；
∽，
．
．
答：古塔的高度为．
【解析】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出古塔的高度，体现了转化的思想．
根据两组对应角两组对应角与、与分别相等可判断和相似．
根据题目条件，构造出两个相似三角形，利用相似三角形的性质即可解答．
24.【答案】解：如图，点为光源，为影长．
点、、在一条直线上，且，
，，
，，则．
设小明原来的速度为米秒，
则，
解得经检验，是方程的解．
答：小明原来的速度为米秒．
【解析】
【分析】本题考查了中心投影和相似三角形的应用，解题过程中需借助相似三角形的判定与性质．
利用中心投影的定义画图即可；
根据已知条件，利用相似三角形的判定方法可证∽，∽，推出，，所以；然后设小明原来的速度为，则，，，，带入中得，求出方程的解即可．
25.【答案】解：设这块正方形材料的边长为 ，
则的边长上的高为，
，
∽，
，即，
解得，
答：这块正方形的边长为 ．
【解析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出∽是解题关键．
利用相似三角形的判定首先得出∽，再利用相似三角形的性质得出即可．
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