7.5解直角三角形 同步练习（含答案）

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7.5解直角三角形同步练习苏科版初中数学九年级下册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
如图，在网格中，小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则的正弦值是
A.
B.
C.
D.
如图，在中，，，，，点在第二象限，与轴交于点，若轴平分，则点的坐标不能表示为
A.
B.
C.
D.
直线与轴相交，所成的锐角的正切值为，则的值为
A. B. C. D. 无法确定
如图，内接于，为上一点，、分别为、中点．若半径为，则的值为
A.
B.
C.
D.
如图，点、、在半径为的上，当时，锐角的正弦值为
A.
B.
C.
D.
在中，，若，，则斜边上的高等于
A. B. C. D.
如图，在中，，，，于，设，则的值为
A. B. C. D.
如图，在中，，，则的值为
A.
B.
C.
D.
如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是　　
A.
B.
C.
D.
在中，，若是上一点，且，则的值为
A. B. C. D.
如图，在中，，，，则等于
A. B. C. D.
如图，在中，，，，则的长是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
如图，中，是的中点，：：：：，则______．
如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是______．
如图，在中，，，则的值为______．
如图所示的网格是正方形网格，则与的大小关系是______．
如图，在中，，，，则的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
如图，已知中，，，求的面积．
如图，已知中，，
利用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交于点，交于点保留作图痕迹，不写作法
在所作的图形中，求．
如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连结，过点作，垂足为．
求证：；
求证：为的切线；
若的半径为，，求的长．
已知：如图，在菱形中，，垂足为，对角线，求：
边的长；
的正弦值．
如图，是的角平分线，以点为圆心，为半径作交于点，当为切线时．
求证：是的切线；
若，，求图中阴影部分面积．结果保留和根号
如图，，切分别于点，，交于点，连接并延长交于点．
求证：；
若的半径为，，求的长．
如图，是的直径，点是上一点，点是的中点，过点作交延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
如图，在中，，平分交于点，，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：过点作于点，过点作于点，则，，如图所示．
，．
，即，
，
．
故选：．
过点作于点，过点作于点，则，，利用勾股定理可求出，的长，利用面积法可求出的长，再利用正弦的定义可求出的正弦值．
本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出，的长度是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：作轴于，交于．
，
，，
，，
∽，
，
，，
，
由题意可证∽，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
作轴于，交于由∽，推出，推出，，推出，由题意可证∽，可得，推出，推出，可得，因为，推出，，可得，由此即可判断；
本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3.【答案】
【解析】解：由直线的解析式可知直线与轴的交点为，与轴的交点为，
直线与轴相交所成锐角的正切值为，
即，
解得．
故选：．
首先确定直线与轴和轴的交点，然后利用直线与轴相交所成锐角的正切值为这一条件求出的值．
本题考查了一次图象上点的坐标特征，解直角三角形等，求得直线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：如图，作的直径，连接，
则，，
、分别为、中点，
，
半径为，
，
，
，
故选：．
作的直径，连接，则，，由、分别为、中点以及半径为，可得．
本题考查圆周角定理，锐角三角函数的定义，三角形中位线定理．解题的关键是添加圆的直径把转化为．
5.【答案】
【解析】解：过点作直径，连接，
，
，，
，
故选：．
过点作直径，连接，可得出，则，答案得出．
本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图所示，，即为斜边上的高，
在中，，，，
，即，
根据勾股定理得：，
，
，
故选：．
如图所示，，即为斜边上的高，利用锐角三角函数定义求出的长，利用勾股定理求出的长，利用面积法求出即可．
此题属于解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出是解题的关键．
根据勾股定理得到，根据余角的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】
解：，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出，的长是解题的关键．
过点作，垂足为，在中可求出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用正弦的定义可求出的值．
【解答】
解：过点作，垂足为，如图所示．
在中，，
，
在中，，，
，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：取格点，，连接，如图，
，
．
，，
在中，．
故选：．
取格点，，连接，可得，利用勾股定理求得线段，，依据余弦的定义可得结论．
本题主要考查了解直角三角形．利用网格的特点巧妙构造直角三角形是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：过点作于点，
，，
，
在中，，
设，则，
，，
，
，
，，
，，
，
设，，
根据勾股定理得，，
解得：，
，
，
．
故选：．
过点作于点，由，设，则，在，，得，表示出，，，由，设，，根据勾股定理得，，解得：，得，再求出，即可求解．
本题考查了锐角三角函数的综合运用，勾股定理，解题关键是构造直角三角形，表示出相关线段的长．
11.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，关键是掌握解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，利用勾股定理求得，再利用锐角三角函数的定义即可求得答案．
【解答】
解：因为 ，，，
所以所以 ．
故选A．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握．
根据及特殊角的三角函数值解题即可．
【解答】
解：在中，，，，，即
．
故选D．
13.【答案】
【解析】解：延长到，使，连接，过点作，垂足为，
是的中点，
，
又，，
≌，
，
：：：：，
设，则，
，
在中，，
，即，
故答案为：．
利用“中线倍长法”构造全等三角形，进而得出等腰三角形，再通过作等腰三角形的高，依据锐角三角函数可求出答案．
本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质以及锐角三角函数等知识，理解直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
14.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，，，
绕点逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
，
图中阴影部分的面积是：，
故答案为：．
由图可知，阴影部分的面积扇形的面积的面积，然后根据题目中的条件，可以计算出、、的长，从而可以解答本题．
本题考查扇形面积的计算、旋转的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，如图所示．
在中，，
；
在中，，，
，
．
故答案为：．
过点作，垂足为，在中可求出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用正弦的定义可求出的值．
本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出，的长是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接、，过作于．
，
，
．
在中，，
在中，，
．
故答案为：．
作辅助线，构建三角形及高线，利用面积法求出高线，再分别求出、的正弦值即可判断．
本题考查了解直角三角形，三角形的面积，作辅助线构建直角三角形，从而利用面积法求出高线的值是解题的关键．
17.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．过作垂直于，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的长，再利用勾股定理求出的长即可．
【解答】
解：过作，
在中，，，
，
在中，，
，即，
根据勾股定理得：，
故答案为．
18.【答案】解：作于点，
在中，，
，，
在中，，
，
，
的面积．
【解析】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
作于点，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
19.【答案】解：如图，为所作；
垂直平分，
，，
在中，，
，
．
【解析】利用基本作图作垂直平分；
根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用三角形函数求出，然后利用勾股定理计算出的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了解直角三角形．
20.【答案】证明：如图，连接，
是的直径，
，又，
；
证明：如图，连接，
，，
是的中位线，
，又，
，
为的切线；
解：，
，
的半径为，
，
，
，
，
，
．
【解析】连接，根据圆周角定理得到，根据线段垂直平分线的性质证明；
连接，根据三角形中位线定理得到，得到，证明结论；
解直角三角形求得，进而根据勾股定理求得、，据正弦的定义计算即可求得．
本题考查的是圆周角定理、切线的判定定理以及三角形中位线定理，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：连接，与相交于点，
四边形是菱形，
，，
中，，
，
；
，
，
，
，
，
．
【解析】首先连接，与相交于点，由四边形是菱形，可得，，又由，可求得的长，然后由勾股定理求得边的长；
由，利用，即可求得的长，继而求得的正弦值．
此题考查了菱形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
22.【答案】证明：过作于，
为切线，
，
是的角平分线，
，
是的切线；
中，，，
，，
，
，
，
，
，
．
【解析】过作于，根据角平分线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
由得，，可得，，根据即可得到结论．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”也考查了扇形面积公式．
23.【答案】证明：切于点，
，
，
，
；
解：过点作于点，连接，
设，
，
，
由勾股定理得：，
，切分别于点，，
，
，，，
知四边形为矩形，
，，
，
在中，，即，
解得：，
．
【解析】根据切线的性质得到，根据，得到，根据垂径定理证明结论；
过点作于点，连接，根据正切的定义用表示出，根据勾股定理计算求出，得到答案．
本题考查的是切线的性质、垂径定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24.【答案】证明：连接，连接交于点，
是的直径，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
又为半径，
是的切线；
解：由可知，
四边形为矩形，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的半径为．
【解析】连接，连接交于点，证明，由垂径定理得出，得出，由切线的判定可得出答案；
证出，设，则，求出，则可得出答案．
本题考查了切线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角函数定义等知识；熟练掌握切线的判定和垂径定理是解题的关键．
25.【答案】解：如图，作于．
在中，，，，
，
．
平分交于点，，于，
，
．
在中，，，，
，
，
．
【解析】作于，解，求出，根据角平分线的性质得出，那么再解，求出，，然后根据勾股定理得到．
本题考查了解直角三角形，角平分线的性质，勾股定理的应用，作出辅助线构造直角三角形求出是解题的关键．
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