隐圆（含阿氏圆）求最值问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题解析版（全国通用版）
专题13 隐圆（含阿氏圆）求最值问题
1．（2020·北京市中考模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，对称轴与轴交于点，点，点，点是平面内一动点，且满足，是线段的中点，连结．则线段的最大值是（ ）．
A．3 B． C． D．5
【答案】C
【分析】
解方程x2 8x＋15＝0得A（3，0），利用抛物线的性质得到C点为AB的中点，再根据圆周角定理得到点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（ 4，0），接着计算出AQ＝5，⊙Q的半径为2，延长AQ交⊙Q于F，此时AF的最大值为7，连接AP，利用三角形的中位线性质得到CM＝AP，从而得到CM的最大值．
【详解】
解方程x2 8x＋15＝0得x1＝3，x2＝5，则A（3，0），
∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，
∴C点为AB的中点，
∵∠DPE＝90°，
∴点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（ 4，0），
AQ＝＝5，⊙Q的半径为2，
延长AQ交⊙Q于F，此时AF最大，最大值为2＋5＝7，
连接AP，
∵M是线段PB的中点，
∴CM为△ABP为中位线，
∴CM＝AP，
∴CM的最大值为．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和圆周角定理．
2．（2021·天津河北·中考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（I）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（II）为第一象限内抛物线上的一个点，过点作轴于点，交于点，连接，当线段时，求点的坐标；
（III）以原点为圆心，长为半径作，点为上的一点，连接，，求的最小值．
【答案】（I），抛物线的顶点坐标为；（II）点的坐标为；（III）的最小值为．
【分析】
（1）根据对称轴公式可求得抛物线的解析式，再写出顶点坐标即可
（2）先写出A、B、C的坐标再写出直线BC的解析式，利用两点之间的距离公式列方程即可求解;
(3)先证明，再由当，，三点共线时，的值最小，最小值即为的值，利用勾股定理即可
【详解】
（I）∵ ，，
∴．
∴抛物线的解析式为 ．
∴，
∴抛物线的顶点坐标为；
（II）连接，过点作于点，
∵，令，则，
∴．
令，即，
解得，．
∴，．
设直线的解析式为，
将，代入，
得，解得，
∴直线的解析式为．
∵点在抛物线上，点在上，轴，
∴设点的坐标为，点坐标为，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴，即，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
当时，，
∴点的坐标为．
（III）如图，连接，在上截取，
使得，
连接，，此时，．
∵，，
∴．
∴，即．
∴．
∴当，，三点共线时，的值最小，最小值即为的值．
∴，
∴的最小值为．
【点睛】
本题考查抛物线解析式及顶点坐标、有抛物线的对称轴，相似三角形、最值问题、勾股定理，一元二次方程，熟练进行等角的转换是关键
3．（2021·河南·中考试题研究）如图，直线：与轴，轴分别相交于、两点，抛物线过点．
（1）该抛物线的函数解析式；
（2）已知点是抛物线上的一个动点并且点在第一象限内，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值；
（3）在（2）的条件下，当取得最大值时，动点相应的位置记为点．
①写出点的坐标；
②将直线绕点按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转，在旋转过程中，直线与线段交于点，设点，到直线的距离分别为，，当最大时，求直线旋转的角度（即的度数）．
【答案】（1）；（2），S的最大值为；（3）①，；②45°
【分析】
（1）利用直线的解析式求出点坐标，再把点坐标代入二次函数解析式即可求出的值；
（2）设的坐标为，然后根据面积关系将的面积进行转化；
（3）①由（2）可知，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；
②可将求最大值转化为求的最小值．
【详解】
解：（1）令代入，
，
，
把代入并解得：，
二次函数解析式为：；
（2）令代入，
，
或3，
抛物线与轴的交点横坐标为和3，
在抛物线上，且在第一象限内，
，
令代入，
，
的坐标为，
由题意知：的坐标为，
，
当时，取得最大值．
（3）①由（2）可知：的坐标为，；
②过点作直线，过点作于点，
根据题意知：，
此时只要求出的最大值即可，
，
点在以为直径的圆上，
设直线与该圆相交于点，
点在线段上，
在上，
当与重合时，
可取得最大值，
此时，
，，，，
由勾股定理可求得：，，，
过点作于点，
设，
由勾股定理可得：，
，
，
，
，，
，
∴．
【点睛】
本题属于二次函数的综合问题，考查待定系数求二次函数解析式，求三角形面积，圆的相关性质等知识，内容较为综合，学生需要认真分析题目．
4．已知抛物线与轴交于点、（点在点的右侧），与轴交于点．
（1）如图1，点为抛物线顶点，以点为圆心，1为半径作⊙A，点为⊙A上的动点，连接、，求的最小值；
（2）如图2，若点是直线与抛物线对称轴的交点，以为圆心，以1为半径作⊙H，点是⊙H上一动点，求的最小值；
（3）如图3，点是抛物线上的点，且横坐标为2，过点作轴于点，点是以为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接、，求的最大值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）先求出，，，将拋物线解析式化为顶点式为，得出，先证明，推出，当、、三点共线时，，即取得最小值，最小值为的长，根据，求出点坐标为，根据，，求出，即可得出的最小值；
（2）先求出由直线的解析式为，然后求出点坐标为（1，2），连接，与交于点，在上截取，过点作轴于点，设抛物线对称轴与轴交于点，连接交于点，先证明，得出，从而得出，要使最小，则取最小值．即点、、三点在一条直线上时，值最小，最小值为的长，易得直线的解析式为，设点横坐标为，则其纵坐标为，根据，求出，根据轴，轴，得出，求出，可得点坐标为，根据点的坐标为（3，0），即可求出AN，可得出答案；
（3）先证明四边形为矩形，在上取一点，使得，连接并延长交于点，连接，证明，得出，当点在的延长线上时，的值最大，最大值为的长，根据，，求出，，即可求出，即可得出答案．
【详解】
解：（1）令，则，
解得，，
∴，，
∴，
将拋物线解析式化为顶点式为，
∴，
如图，在轴上截取，则，
设抛物线对称轴与轴交于点，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴当、、三点共线时，，
即取得最小值，最小值为的长，
∵，
∴，
∴点坐标为，
∴，，
∴，
∴的最小值为；
（2）由抛物线，
可得拋物线对称轴为直线，
设直线的解析式为，
将，代入，
易得直线的解析式为，
∵点为直线与抛物线对称轴的交点，
∴点坐标为（1，2），
如图，连接，与交于点，在上截取，
过点作轴于点，设抛物线对称轴与轴交于点，连接交于点，
∵，
∴，，
∴，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
要使最小，则取最小值．即点、、三点在一条直线上时，值最小，最小值为的长，
易得直线的解析式为，
∵点在直线上，
∴设点横坐标为，则其纵坐标为，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
解得，
∴点坐标为，
∵点的坐标为（3，0），
∴，
∴的最小值为；
（3）∵点是抛物线上的点，且横坐标为2，
∴，
∵，
∴轴，
∵轴，
∴易证四边形为矩形，
∴，
如图，在上取一点，使得，连接并延长交于点，连接，
易得直线的解析式为，
∴，
∵，，且，
∴，
∴，
∴，
当点在的延长线上时，的值最大，最大值为的长，
∵，，
∴，，
∴，
∴的最大值为．
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键
5．（2021·湖南·长沙市开福区中考二模）已知二次函数的图象经过点A（2，0），B（，0），C（0，4），点为二次函数第二象限内抛物线上一动点，轴于点，交直线于点，以为直径的圆⊙M与交于点．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）当三角形周长最大时．求此时点点坐标及三角形的周长；
（3）在（2）的条件下，点N为⊙M上一动点，连接BN，点Q为BN的中点，连接HQ，求HQ的取值范围．
【答案】（1）；（2）F（，4），△EFD的周长为；（3）．
【分析】
（1）根据A、B点的坐标可设交点式，然后代入C点坐标求解即可；
（2）由题意可直接判断出△FDE∽△BCO，从而可知，然后通过设点表示出FD的长度，从而列出关于△FDE周长的二次函数解析式，利用二次函数的性质进行求解判断求解即可；
（3）连接ON，根据（2）的条件可确定出HQ为△BON的中位线，由此可先确定ON的取值范围，从而确定HQ的取值范围即可．
【详解】
（1）∵抛物线与x轴交于A（2，0），B（，0）两点，
∴设抛物线的解析式为：，
由抛物线经过C（0，4），
∴将C（0，4）代入，解得：，
∴抛物线的解析式为：，
即：；
（2）∵轴，
∴FH∥y轴，∠FDE=∠BCO，
∴△FDE∽△BCO，则，
根据B（，0），C（0，4），可得直线BC的解析式为：，
设，则，
∴，
在△BCO中，OB=OC=4，，
∴，
∴，
整理得：，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
将代入抛物线解析式可得：，
∴点F的坐标为F（，4），△EFD的周长为；
（3）由（2）可知，F（，4），D（-2，2），
∴H（-2,0），BH=OH，即H为BO的中点，
∵FD为⊙M的直径，
∴M（-2，3），
∵Q为BN的中点，
∴如图所示，连接ON，则HQ为△BON的中位线，
∴，即求出ON的取值范围即可，
①∵点N在⊙M运动，
∴当O、M、N三点共线的时候，ON最长，如图所示，
此时，ON=OM+MN，
∵，MN=MD=1，
∴ON=；
②当O、N、M三点共线时，ON最短，如图所示，
此时，ON=OM-MN，即：，
∴可得ON的取值范围是：，
∴由，得HQ的取值范围是：．
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题，相似三角形的判定与性质，灵活求解函数解析式，熟练掌握函数法求几何图形面积或周长的最值问题，以及数形结合的思想进行转化是解题关键．
6．（2021·四川·成都实外九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线， y与轴交于A、B两点，与轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）如图1，连接BC，点D是抛物线上一点，若∠DCB=∠ABC，求点D的坐标；
（3）如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出CP+BP的最小值．
【答案】（1），，；（2），；（3）
【分析】
（1）通过解方程=0可得A点和B点坐标，再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标；
（2）根据题意可得两种情况：①AB//CD，点C与点D关于抛物线对称轴对称，由点C坐标可得点D坐标；②AB与CD不平行时，求出CD的解析式，联立方程组求解即可；
（3）证明△得，，根据三点共线即可得到结论．
【详解】
解：（1）将y=0代入得，=0，
解得x1=-2，x2=8，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）；
将x=0代入得y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）；
（2）如图，
①∵∠ABC=∠BCD1
∴AB//CD1
∴点C与点D1关于抛物线对称轴对称，
由A，B两点坐标可知抛物线的对称轴为
∵C（0，-4）
∴D1（6，-4）
②当∠ABC=∠BCD2时，CD2与x轴交于E，则有CE=BE，
设BE=CE=x，则OE=8-x
在Rt△OCE中，
∴，解得，x=5
∴OE=8-5=3
∴E(3，0)
设CD2的解析式为y=kx+b
把C(0，-4)，E(3，0)代入得
解得，
∴CD2的解析式为
联立得，
解得，
∴
（3）在OC上截取OM，使OM=OP=1，
∵∠，，
∴△，
∴，
∴，
当三点共线时，，最短，
根据勾股定理，最小值为．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，三角形相似的判断和性质等，第（3）问，构造相似三角形求解是关键．
7．（2021·广东·铁一中学中考二模）如图，抛物线y=ax2－2ax+c与x轴分别交于点A、B(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，连接BC，点(，a－3)在抛物线上．
（1）求c的值；
（2）已知点D与C关于原点O对称，作射线BD交抛物线于点E，若BD=DE，①求抛物线所对应的函数表达式 ；②过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，以的长为半径作⊙C，点T为⊙C上的一个动点，求TB+TF的最小值．
【答案】（1）；（2）①抛物线的解析式为；②
【分析】
（1）将代入中即可求得c的值；
（2）①根据题意，设点，则点，将两点坐标代入中即可求得a的值，进而即可求得函数解析式；
②根据题意，令y=0求出，再由及勾股定理求得，接着由得到，再根据当点F，T，G三点共线时，的值最小，最小值为线段的长进而即可求得最小值．
【详解】
解：（1）∵点在抛物线上
；
（2）①如图，由题意，得点
点与点关于原点对称
点
设点，则点
将，代入抛物线
得
解得
抛物线的解析式为；
②∵抛物线
抛物线的对称轴为直线
令，则
解得或
如图，设直线与轴的交点为，则
，
又
在中，，，由勾股定理得
在上截取，，取
，
又
，即
点为定点
当点F，T，G三点共线时，的值最小，最小值为线段的长
在中，，，由勾股定理得：．
【点睛】
本题主要考查了二次函数及圆的几何综合，熟练掌握函数解析式的求解方法，三角形全等及相似的性质与判定，几何最值问题的求解方法等相关内容是解决本题的关键．
8．（2021·江苏·沭阳县怀文中学九年级月考）如图，直线与抛物线交于、两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，抛物线的对称轴与直线交于点．
（1）当四边形是菱形时，求点的坐标；
（2）若点为直线上一动点，求的面积；
（3）作点关于直线的对称点，以点为圆心，为半径作，点是上一动点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）3；（3）
【分析】
（1）根据菱形的性质可得OD=OC=m，求出m=，则D点坐标可求出；
（2）联立直线与抛物线求出交点A、B的坐标，然后求出AB的长，再根据AB∥OD求出两平行线间的距离，最后根据三角形的面积公式列式计算即可；
（3）根据A、B的坐标求出AM、BM的长，再求出点M的坐标，从而得到⊙M的半径为2，取MB的中点N，连接QB、QN、QB′，然后利用两边对应成比例夹角相等两三角形相似求出△MNQ和△MQB相似，再根据相似三角形对应边成比例求出QN=QB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边判断出Q、N、B′三点共线时QB′+QB最小，然后根据勾股定理列式计算即可．
【详解】
(1) ，， 菱形
(2)①与抛物线交于两点，
∴联立，，
解得，
∵点在点的左侧
，
∴直线的解析式为，直线的解析式为
，两直线之间距离
(3) ，
，
由点坐标，点坐标可知以为半径的圆的半径为
取的中点，连接，
则，
，，
，
，
由三角形三边关系，当三点共线时最小，
∵直线的解析式为，
∴直线与对称轴夹角为45°，
∵点关于对称轴对称，
，
由勾股定理得，最小值
故答案为：.
【点睛】
本题是二次函数综合题型，考查了二次函数解析式的转化，联立两函数解析式求交点坐标，勾股定理的应用，三角形的面积的求解，相似三角形的判定与性质，作辅助线构造出相似三角形是解题的关键．
9．（2021·广西柳江·中考二模）如图，抛物线经过点，，直线AC的解析式为，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作轴交AC于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点H是y轴上一动点，连结EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形 求出此时点E，H的坐标；
（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为上以动点，求的最小值．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】
（1）直接利用待定系数法求解即可
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，可判断出，当四边形是平行四边形时，可使四边形是矩形，分别设出点，点，点的坐标，在利用中点坐标公式求解即可；
（3）先去的中点，进而判断出，即可得出，连接交圆于点，再求出点的坐标即可得出结论．
【详解】
（1）将点，代入抛物线得：
解得：
∴抛物线的解析式为．
（2）如图：
设直线的解析式为则
∴
∴直线的解析式为
又∵直线的解析式为
∴
∴当四边形是平行四边形时，可使四边形是矩形，此时对角线与互相平分
设，则
∵
∴
解得
∴，
(3)如图：
由（2）知，，
∴，
设交于点,取的中点，则
设，
∴．
∴或（舍去）．
∴
∵
∴
连接交于点，连接EM．
则
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴的最小值为．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，极值的确定，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用中点坐标公式构建方程，以及构造相似三角形．
10．（2021·广东深圳·中考一模）如图1，经过点B(1，0)的抛物线与y轴交于点C，其顶点为点G，过点C作y轴的垂线交抛物线对称轴于点D，线段CO上有一动点M，连接DM、DG．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求的最小值以及相应的点M的坐标；
（3）如图2，在（2）的条件下，以点A(﹣2，0)为圆心，以AM长为半径作圆交x轴正半轴于点E．在y轴正半轴上有一动点P，直线PF与⊙A相切于点F，连接EF交y轴于点N，当PF∥BM时，求PN的长．
【答案】（1）；（2）最小值，M(0，)；（3） ．
【分析】
（1）将点B的坐标代入解析式即可求出a的值，即可确定函数解析式；
（2）过点O作直线l与x轴夹角为α，且，α＝45°，过点M作MH⊥直线l于H，推出，则当D、M、H共线时，的值最小，最后求出DH的长即可解答；
（3）连接BM，延长FA交y轴于J．想办法求出FJ，根据tan∠FPJ＝tan∠OMB，可得＝，由此构建方程求出PF，再证明PN＝PF即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵抛物线，经过点B(1，0)，
∴0＝4a﹣，
∴a＝
∴．
（2）如图1：过点O作直线l与x轴夹角为α，且，α＝45°，过点M作MH⊥直线l于H，
则有，
∴，
∴，
∴，
∴当D，M，H共线时，的值最小，
∵D(﹣1，﹣)，直线l的解析式为y＝﹣x，
∴直线DH的解析式为y＝x﹣，
由，解得，
∴H(，﹣)，M(0，)，
∴DH＝＝，
∵DG＝﹣+＝，
∴的最小值==．
（3）如图2中，连接BM，延长FA交y轴于J．
∵A(﹣2，0)，M(0，﹣)，
∴AM＝AF＝＝，
∵B(1，0)，
∴直线BM的解析式为y＝x﹣，
∵PF是⊙A的切线，
∴PF⊥AF，
∵PF∥BM，
∴AF⊥BM，
∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣，
∴J(0，﹣)，
∴AJ＝＝，
∴FJ＝AF+AJ＝，
∵PF∥BM，
∴∠FPJ＝∠OMB，
∴tan∠FPJ＝tan∠OMB，
∴＝，
∴＝，
∴PF＝，
∵AF＝AE，
∴∠AFE＝∠AEF，
∵∠AFE+∠PFN＝90°，∠AEN+∠ONE＝90°，∠PNF＝∠ENO，
∴∠PFN＝∠PNF，
∴PN＝PF＝ ．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、一次函数的性质、垂线段最短，解直角三角形等知识，正确利用垂线段最短解决最值问题是解答本题的关键．
11．（2020·湖北黄冈·中考二模）如图，一条抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线的顶点，点在轴上．
（1）求抛物线解析式；
（2）若，求点的坐标；
（3）过点作直线交抛物线于，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）坐标平面内一点到点的距离为1个单位，求的最小值．
【答案】（1）；（2）或（6，0）；（3）Q（2，3）或或；（4）．
【分析】
解：（1）把A，B，C三点坐标代入求出解析式即可；
（2）先求出直线DB的解析式，再分①当点P在点B左侧时，②当点P在点B右侧时，分别求出P点坐标即可；
（3）分①当四边形APQC为平行四边形时，②当四边形AQPC为平行四边形时两种情况求出Q点坐标；
（4）先证△MBE∽△OBM得到，则当点D、M、E在同一直线上时，最短，求出最小值即可.
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，
∴设此抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将点C（0，3）代入，得a=-1，
∴，
（2）∵，
∴顶点D（1，4），
设直线DB解析式为y＝kx+b，
将D（1，4），B（3，0）代入得，，
解得：k＝﹣2，b＝6，
∴直线DB解析式为y＝﹣2x+6，
①如图1﹣1，当点P在点B左侧时，
∵∠PCB＝∠CBD，
∴CP∥BD，
设直线CP解析式为y＝﹣2x+m，
将C（0，3）代入，得m＝3，
∴直线CP解析式y＝﹣2x+3，
当y＝0时，，
∴，
②如图1﹣2，当点P在点B右侧时，
作点P关于直线BC的对称点N，延长CN交x轴于点P'，此时∠P'CB＝∠CBD，
∵C（0，3），B（3，0），
∴OC＝OB，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠CPB＝45°，
∴∠NBC＝45°，
∴△PBN为等腰直角三角形，
∴，
∴，
将C（0，3），代入直线CN解析式y＝nx+t，
得：，
解得，，t＝3，
∴直线CN解析式为，
当y＝0时，x＝6，
∴P'（6，0）；
综上所述，点P坐标为或（6，0）；
（3）①如图2﹣1，当四边形APQC为平行四边形时，
∴CQ∥AP，CQ＝AP，
∵yC＝3，
∴yQ＝3，
令﹣x2+2x+3＝3，
解得：x1＝0，x2＝2，
∴Q（2，3），
②如图2﹣2，当四边形AQPC为平行四边形时，
AC∥PQ，AC＝PQ，
∴yC﹣yA＝yP﹣yQ＝3，
∵yP＝0，
∴yQ＝﹣3，
令﹣x2+2x+3＝﹣3，
解得，，，
∴，
综上所述，点Q的坐标为Q（2，3）或或；
（4）∵点M到点B的距离为1个单位，
∴点M在以点B为圆心，半径为1的圆上运动，如图3
在x轴上作点，连接BM、EM、DE，
∴，
∵BM＝1，
∴，
∵∠MBE＝∠OBM，
∴△MBE∽△OBM，
∴，
∴，
∴，
∴当点D、M、E在同一直线上时，最短，
∵D（1，4），
∴，
∴的最小值为．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，本题难度较大，属于中考压轴题．
12．（2021·湖南·长沙市九年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰，使（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标；
②求FD长度的取值范围．
【答案】（1）；（2）当M运动到 时，线段MN的长度最大为；（3）①；②．
【分析】
（1）先求得直线与坐标轴的交点坐标，然后代入到抛物线解析式即可求解；
（2）设设，则，则，整理可得，可求得当时，的最大值为，进而求得坐标；
（3）①由（1），（2）可求得，从而求得点坐标；②根据点的运动情况，来确定点的运动轨迹，是与点半径相等的圆，圆心为，作射线，与⊙交于，，从而确定的范围．
【详解】
解：（1）∵直线与轴、轴分别交于，两点，
∴当时，，所以，
当时，，所以，
∵抛物线经过，两点，
∴，，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）令，
∴，
解得：，，
∴，
∴直线BC的解析式为：，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴当M运动到 时，线段MN的长度最大为．
（3）①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②连接，，
由①可得，又已知是等腰直角三角形，
，，
∴，
∴，
∴当点在⊙B上运动时，点在以为圆心，半径为的圆上，
∴作射线，与⊙交于，两点，
情况一：当交点为时，为最小值，
即，
已知，，，
∴,,
∴在中， ,
即，
∴；
情况二：当交点为时，为最大值，
即，
已知，，，
∴,,
∴在中， ,
即，
∴；
综上．
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题，待定系数法确定函数解析式，抛物线与线段最值问题，以及瓜豆原理在二次函数中的应用问题，其中利用点，确定点的运动轨迹是本题的解题关键．
13．（2021·湖南·长沙市九年级月考）我们约定：对角线相等的四边形称之为：“等线四边形”．
（1）①在“平行四边形、菱形、矩形、正方形”中一定是“等线四边形”的是___________________；
②如图1，若四边形是“等线四边形”， 分别是边的中点，依次连接，得到四边形，请判断四边形的形状：______________________；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知，以为直径作圆，该圆与轴的正半轴交于点，若为坐标系中一动点，且四边形为“等线四边形”．当的长度最短时，求经过三点的抛物线的解析式；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，四边形是“等线四边形”， 在轴的负半轴上，在轴的负半轴上，且．点分别是一次函数与轴，轴的交点，动点从点开始沿轴的正方向运动，运动的速度为2个单位长度/秒，设运动的时间为秒，以点为圆心，半径，单位长度作圆，问：①当与直线初次相切时，求此时运动的时间；②当运动的时间满足且时，与直线相交于，求弦长的最大值．
【答案】（1）①矩形，正方形；②菱形；（2）；（3）①；②当时，有最大值
【分析】
（1）①依据矩形，正方形的性质即可得出结论；②根据三角形中位线定理，菱形的判定定理可知它一定是菱形；
（2）连接CP，与圆相交于一点，当点Q在直线PC上时，PQ的长度为最短；利用勾股定理先求出C点坐标，再求出直线PC的方程，从而算出点Q的坐标，然后得到抛物线的解析式；
（3）根据题意可知点B、C坐标，设出点A、D坐标，由AD=，课求得A、D坐标，然后求得点P的坐标，再分别讨论BC与圆P的关系，从而求出时间；再求出弦MN的长度的最大值.
【详解】
解：（1）①在我们学习过的四边形中，矩形和正方形属于等对角线四边形；
故答案为；矩形，正方形.
②如图，四边形ABCD是等线四边形，E、F、G、H分别是各边中点，
∵E、F、G、H分别是各边中点，
∴EF=GH=，EH=FG=，
∵AC=BD
∴EF=GH=EH=FG，
∴四边形EFGH是菱形.
（2）如图，连接CP与圆E相交于一点，连接CE，
∵A(-2，0)，B（8,0）
∴圆心坐标为，，
∴中，
∴点坐标为，
∴直线解析式为，
∴圆心E（3,0）刚好在PC上.
当点在线段上时最小，此时点Q在第四象限，
∴，
解得：
点坐标为，
∴设过抛物线为则
，
∴；
（3）依题，如图
由直线方程令x=0，y=0可得，坐标分别为，
设点坐标为，
∵AC=BD，
∴点坐标为，
∴中，，
∴（舍去），，
∴点坐标分别为，
∴点坐标为；
①∴当与初次相切时，
∴；
②当时，逐渐增大，
当时，，此时，
当时，，过作于点，
则
∴
∴当时，有最大值．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题和二次函数的综合问题，解题的关键是利用直线方程与圆方程求出动点坐标，然后根据动点的运动情况，得出弦MN的最大值.
