广东省湛江第二十一高级中学校2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版含答案）

湛江市第二十一中学 2021-2022 学年高一上学期数学测试
考生须知：
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形
码信息；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 已知集合 A = x x 1 ，B = x 1 x 1 ，则（ ）
A． A = B B． A B C．B A D． A B =
1
2．命题“ x (0,+ )， x + 3”的否定是（ ）
x
1 1
A． x (0,+ )， x + 3 B． x (0,+ )， x + 3
x x
1 1
C． x (0,+ )， x + 3 D． x (0,+ )， x + 3
x x
0
3．函数 y = 2x 1 (4x 3) 的定义域为（ ）
1 3 3 1 3 3
A． , ,+ B． , ,+ 2 4 4 2 4 4
1 3 3
C． , D． , ,+
2 4 4
4．若函数 y＝f(x)在 R上单调递减，且 f(2m－3) > f(－m)，则实数 m的取值范围是（ ）
A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
x, x 1

5．若函数 f (x) = 2 ，则 f f ( 2) =（ ）
x + 7, x 1
x
A．-2 B．2 C．-4 D．4
8 1
6．已知正数 x, y满足 + =1，则 x + 2y 的最小值是（ ）
x y
A．18 B．16 C．8 D．10
2 m2+2m 3
7．已知函数 f (x) = (m m 1) x 是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则
实数m =（ ）
A．-1 B．2 C．3 D．2 或-1
试卷第 1 页，共 4 页
8．若定义在R 的奇函数 f (x)在 ( ,0)单调递减，且 f (2) = 0，则满足 xf (x 1) 0的 x 的
取值范围是（ ）
A． 1,0 1,3 B． 3, 1 0,1 C． 1,3 D． 1,1 3,+ )
二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）
9．已知 p : x 1，则下列选项中是 p 的充分不必要条件的是（ ）
A． x 1 B． x 2 C． 8 x 2 D． 10 x 3
10．下列结论正确的是（ ）
1
A． x R, 且 x 0，使得 x + 2
2
B． x0 R,使得 x0 +1 2x0
x
x2 + y2 x + y 2 1
C．若 x 0, y 0, 则 D．函数 y = x + 2 + 的最小值为 2
2 2 x2 + 2
11．已知函数 f (x) = x 的图像经过点 (9,3)，则下列结论正确的有（ ）．
1
A． = B． f (x)为偶函数
2
C． f (x)为增函数 D．若 x 1，则 f (x) 1
a,a b 2
12．对任意两个实数a，b ，定义min (a,b) = ，若 f (x) = 2 x ，g (x) = x
2 2，下
b,a b
列关于函数F (x) = min f (x) , g (x) 的说法正确的是（ ）
A．函数F (x)是偶函数
B．方程F (x) = 0有两个实数根
C．函数F (x)在 ( 2,0)上单调递增，在 (0, 2 )上单调递减
D．函数F (x)有最大值为 0，无最小值
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知函数 f (x) = 2x 1，则 f (x +1) = ______.
2 1
14．已知函数 f (x)为偶函数，且当 x 0时， f (x) = x + ,则 f ( 1) = ____________.
x
．若命题 x , x215 “ R kx +1 0”是真命题，则 k 的取值范围是________(结果用区间表示)
16．已知集合 A、B、U，满足 A U ， B U ，且 A B =U 时，称集合对 (A, B)为集
合 U的最优子集对若U ={1,2}，则集合 U的最优子集对的对数为________.
试卷第 2 页，共 4 页
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．(本题 10 分) 已知非空集合 A = x a 2 x 2+ a ，B = x | x 1或 x 4 ．
（1）当 a = 3 时，求 A B， A (CRB)
（2）若 A B = ，求实数a的取值范围．
18．(本题 12 分) 若关于 x 的不等式ax2 2x +b 0的解集为 (-3，1)
（1）求a,b的值；
（2）求不等式bx2 + ax 2 0的解集.
x
19．(本题 12 分)函数 f (x) = 是定义在 ( 1,1)上的函数
1+ x2
（1）证明函数 f (x)的奇偶性；
（2）利用函数单调性的定义证明： f (x)是其定义域上的增函数.
试卷第 3 页，共 4 页
2
20. (本题 12 分) 已知函数 f (x) = x + (a 1) x + a，其中a R .
（1）若函数 f (x)为偶函数，求a的值；
（2）求函数 f (x)在区间 1,3 上的最大值；
21．(本题 12 分) 某公司计划在报刊与网络媒体上共投放 30 万元的广告费，根据计划，报
刊与网络媒体分别至少要投资 4 万元．根据市场前期调研可知，在报刊上投放广告的收益 P
与广告费 x 满足P = 2 2x 4，在网络媒体上投放广告的收益Q与广告费 y 满足
1
Q = y + 2，设在报刊上投放的广告费为 x (单位：万元)，总收益为 f (x) (单位：万元).
2
(1)当在报刊上投放的广告费是 18 万元时，求此时公司总收益；
(2)试问如何安排报刊、网络媒体的广告投资费，才能使总收益最大
22. (本题 12 分) 已知二次函数 f (x) = ax2 +bx+ c ，满足 f (0) = 2， f (x +1) f (x) = 2x 1.
（1）求函数 f (x)的解析式；
（2）求函数 f (x)在区间 1，2 上的值域；
（3）若函数 g (x) = f (x) mx在区间 1，2 上不是单调函数，求实数 m的取值范围.
试卷第 4 页，共 4 页
湛江市第二十一中学 2021-2022学年高一上学期数学测试答案
一、选择题
1.C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.A 7.A 8.A
二、选择题
9.BD 10.BC 11.ACD 12.ABD
三、填空题
13．2x 1 14．2 15． ( 2,2) 16．9
四、解答题
17．（1）∵ a 3， A x a 2 x 2 a ∴ A 1,5
∵ B x | x 1或 x 4 ∴ A B 4,5 ， ( ) = ( 1,4)
∴. A ∪ ( ) = ( 1,5]
（2）∵ A B ，集合 A x a 2 x 2 a 为非空集合， B x | x 1或 x 4
a 2 1
∴ ，解得1 a 2 .
a 2 4
18．（1）由题意可知，方程ax2 2x b 0的两根为 3,1
2 b
由根与系数的关系可知， 3 1 , 3 ，解得a 1,b 3
a a
（2）由（1）可知，a 1,b 3
2
3x2 x 2 0，即 (3x 2)(x 1) 0，解得 x 1
3
2
即该不等式的解集为 ,1
3


19．（1）因为定义域为(－1,1)， f(-x)= f(x)
x
∴ f x 是奇函数.
1 x2
(2)设 x1, x2 为（-1,1）内任意两个实数，且 x1 x2，
2
x x x1 1 x2 x2 1 x 21 x1 x2 1 x1x2
则 f x1 f x
1
2
2
1 x 2 1 x 2
1 2 1 x 21 1 x 22 1 x 21 1 x 22
又因为 1 x1 x2 1，所以 x1 x2 0,1 x1x2 0
所以 f x1 f x2 0即 f x1 f x2
所以函数 f x 在（-1,1）上是增函数.
20.（1）由 f (x) x
2 a 1 x a为偶函数，
则 f ( x) x2 (a 1)x a f (x) x2 (a 1)x a，
所以 (a 1) (a 1)，即a 1 .
试卷第 1 页，共 2 页
a 1
（2）由函数 f (x) x
2 a 1 x a知，对称轴方程为 x ，
2
a 1
当 1，即a 3时， f (x) 在[1,3]上单调递减，
2
所以当 x 1时， f (x)max f (1) 2a 2 .
a 1 a 1 (a 1)2
当1 3时，即3 a 7时， f (x) ,
2 max
f ( )
2 4
a 1
当3 时，即7 a时， f (x) 在[1,3]上单调递增，
2
所以 x 3时， f (x)max f (3) 4a 12 ,
2a 2,a 3

(a 1)2
综上， f (x)max ,3 a 7 .
4
4a 12,a 7
1
21．(1)当 x 18时，此时在网络媒体上的投资为 12 万元，总收益 f 18 2 2 18 4 12 2 16 (万元).
2
(2)由题知，在报刊上投放的广告费为 x 万元，则在网络媒体上投放广告费为 30 x 万元，
x 4
依题意得 ，解得4 x 26，
30 x 4
1 1
所以 f x 2 2x 4 30 x 2 x 2 2x 13，4 x 26
2 2
1 2 1 2
令 t x ，则 t 2,4 ，所以 y t 2 2t 13= t 2 2 17 .
2 2
当 t 2 2 ，即 x 8万元时， y 的最大值为 17 万元．
所以，当在报刊上投放的 8 万元广告费，在网络媒体上投放 22 万元广告费时，总收益最大，且最大总收
益为 17 万元．
22.（1）由 f 0 2 ，得c 2，
由 f x 1 f x 2x 1，得2ax a b 2x 1，
2a 2 a 1
故 ，解得 ，
a b 1 b 2
所以 f x x2 2x 2 .
2
（2）由（1）得： f x x2 2x 2 x 1 1，
则 f x 的图象开口向上，对称轴方程为 x 1， f 1 1
又 f 1 5， f 2 2，
所以 f x 在区间 1,2 上的值域为 1,5 ；
m 2
（3） g(x) x2 (m 2)x 2，对称轴 x ，
2
m 2
1 2 m ( 4,2) .
2
试卷第 2 页，共 2 页