江西南昌外国语学校2013届上学期高三8月月考数学理试题

江西南昌外国语学校
2012—2013学年上学期8月月考
数学（理）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2．函数的图像 （ ）
A．关于原点对称 B．关于直线对称
C．关于轴对称 D．关于直线对称
3．命题命题，则是成立的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设随机变量的分布列为：
1 2 3
若，则 （ ）
A． B． C． D．
5．若，其中，则 （ ）
A． B．
C． D．
6．在4次独立重复试验中，随机事件恰好发生一次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件在一次试验中发生的概率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
7．已知是函数的零点，若，则的值满足 （ ）
A． B． C． D．的符号不确定
8．函数，若，则的所有可能值为 （ ）
A． B． C． D．
9．将两名男生、五名女生的照片排成一排贴在光荣榜上，恰有三名女生的照片贴在两名男生的照片之间的概率为 （ ）
A． B． C． D．
10．对于函数（其中，），选取的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是 （ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在答题卡上中的横线上．
11．函数对于任意实数满足条件，若，则 ．
12．甲、乙两人独立解同一个问题，甲解出这个问题的概率是，乙解出这个问题的概率是，那么恰好有一人解出这个问题的概率是 ．
13．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则 ．
14．曲线在点处的切线与两坐标轴的交点为、，向圆
内随机投一点，则该点落在内的概率是 ．
15．设有两个命题、，其中命题对于任意的，不等式恒成立；命题在上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
学校推荐学生参加某著名高校的自主招生考试，经过申请、资格认定后初选，已确定甲班有4名同学入围，还有包括乙班在内的三个班各有2名同学入围，若要从这些入围的同学中随机选 出４名同学参加该校的自主招生考试．
（1）求在已知甲班恰有2名同学入选的条件下乙班有同学入选的概率；
（2）求甲班入选人数的期望．
17．（本小题满分12分）
已知，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知函数的图像与函数的图像关于点对称．
（1）求函数的解析式；
（2）若，且在区间上的值不小于，求实数的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若在点处的切线斜率为，求实数的值；
（2）若在处取得极值，求函数的单调区间．
20．（本小题满分13分）
已知函数（、均为正常数）．
（1）证明函数在内至少有一个零点；
（2）设函数在处有极值，对于一切，不等式总成立，求的取值范围；
21． （本小题满分14分）
已知函数．
（1）若函数在区间上不是单调函数，试求的取值范围；
（2）设函数，如果存在 ，对任意都有成立，试求的最大值．
参考答案
一、选择题
BABAB；ACCDD
二、填空题
11.；12.；13.；14.；15..
三、解答题
16.解：（1）已知甲班恰有２名同学入围的情况，下另２名从其余班内选出，
此时乙班有同学入选的概率:……………………………4分
（2）可取值：……………………………………………………………6分
……………………………………………………………7分
……………………………………………………………8分
……………………………………………………………9分
……………………………………………………………10分
……………………………………………………………11分
………………………………………………………………………………12分
17.解：∵是的必要不充分条件，
∴是的充分不必要条件……………………………………………………………2分
由，得……………………………6分
∴，
由，得………………………………………………………9分
∵是的充分不必要条件
∴是的真子集………………………………………………………………………10分
即…………………………………………………………………12分
18.解：（1）设函数图像上任意一点坐标为…………………………………1分
则点关于点对称点为在图像上……………………4分
∴…………………………………………………………………5分
即…………………………………………………………………6分
（2）∵……………………………………8分
∴，即……………………………10分
∵，∴…………………………………………………………………12分
19.解：（1）……………………………………2分
∵在点处的切线斜率为
∴，∴…………………………………………………………………4分
（2）∵在处取得极值，∴………………………………………5分
即…………………………………………………………………………………6分
……………………………………………………………7分
或…………………………………………………………8分
递增 极大值 递减 递减 极小值 递增
……………………………………………………10分
∴的单调增区间是和；
单调减区间是和……………………………………………………12分
20.解：（1）∵…………………………………………………………………2分
…………………………4分
∴函数在内至少有一个零点……………………………………………6分
（2）∵，∴…………………………………7分
由题意得，即……………………………………8分
问题等价于对一切恒成立…………………………9分
记，
则……………………………………10分
∵………………………………………………………11分
∴
即
∴，即在上是减函数……………………………………………12分
∴，于是，故的取值范围是………………………13分
21.解:（1）由题意知，在区间内有不重复的零点…………1分
由，得………………………………………………2分
∵，∴…………………………………………………………3分
令，…………………………………………………4分
故在区间上是增函数………………………………………………5分
其值域为，∴的取值范围是……………………………………6分
（2）∵，
由已知得：在区间上恒成立，
即…①…………………………………………7分
当时，不等式①成立………………………………………………………………8分
当时，不等式①化为：…②………………9分
令，由于二次函数的图像是开口向下的抛物线，
故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又………………10分
∴不等式②恒成立的充要条件是，即，
，∵这个关于的不等式在区间上有解，
∴，即，………………………11分
，又，故……………………12分
从而，此时唯有符合条件……………………………………14分