2021—2022学年度上学期孝感市普通高中协作体
期中联合考试
高三数学参考答案及评分细则
选择题：1~8.DCBAB CDD 9.BD 10.AB 11.BC 12.ABD
填空题：13．6 14．{x|x>2且x≠3}（也可用区间表示） 15．36π 16． 2
解答题：标注的分数表示解答到这一步的累计得分,如果学生用其它解法，酌情给分
17．解：(1)因为cos B＝，0
由正弦定理知＝，所以AB＝＝＝5. ………………（5分）
(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)， …………………………（6分）
于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos＝－cos Bcos＋sin Bsin， …………（7分）
又cos B＝，sin B＝，故cos A＝－×＋×＝－. ……………………（8分）
因为0因此，cos＝cos Acos ＋sin Asin ＝－×＋×＝.…（10分）
18．解：(1)设数列的公比为q，由题意可得a3＝16， ……………………（2分）
∵a3－a2＝8，则a2＝8，∴q＝2.∴an＝2n＋1. ……………………………………（6分）
(2)由(1)可知a＝4n＋1，从而数列{ a}是首项为16、公比为4的等比数列 ……（8分）
Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（a1＋a2＋…＋an）＋（a＋ a＋…＋ a） …………（10分）
＝(22＋23＋…＋2n＋1) ＋(42＋43＋…＋4n＋1)
＝＋＝＋2n＋2－ …………………………………（12分）
19．解：(1)由题意得K2＝＝≈5.556>5.024， ………………（3分）
所以有97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关． ……………………（6分）
(2)在选择做几何题的8名女同学中任意抽取2名，抽取的方法有C＝28种， （7分）
其中甲、乙2名女同学都没有被抽到的抽取方法有C＝15种；恰有1名被抽到的抽
取方法有C·C＝12种；2名女同学都被抽到的抽取方法有C＝1种．
所以X的所有可能取值为0，1，2， …………………………………………（8分）
P(X＝0)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝. …………………………………（10分）
X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝. …………………………………………（12分）
20．解：(1)证明：如图，连接AC交BD于O，连接OE. …………………………（2分）
由题意可知，PE＝EC，AO＝OC，所以PA∥EO， ……………………………（3分）
又PA 平面BED，EO 平面BED，所以PA∥平面BED. ……………………（6分）
(2)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角
坐标系D xyz，不妨令PD＝CD＝1，AD＝a(a>0)， …………………………（7分）
则D(0，0，0)，B(a，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，
＝(a，1，0)，＝(a，1，－1)，＝(0，1，－1)． ……………………（8分）
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
由得所以可取n＝(0，1，1)．
由直线BD与平面PBC所成的角为30°，得|cos〈，n〉|＝＝＝，
解得a＝1或a＝－1(舍去)． ……………………………（10分）
可得平面PBD的一个法向量m＝(－1，1，0)，
所以cos＝＝＝.
因为二面角C PB D为锐二面角．所以二面角C PB D的大小为60°. ………（12分）
21．解：(1)由已知可得y1＝x，y2＝x， ………………………………（2分）
所以y1－y2＝x－x＝(x1＋x2)(x1－x2)＝2(x1－x2)， ………………………………（5分）
此时直线l的斜率k＝＝2. ………………………………（6分）
(2)因为OB⊥l，所以kOB＝－，又因为kOB＝＝eq \f(x,x2)＝x2，所以x2＝－，
又由(1)可知，x1＋x2＝＝k，从而x1＝k－x2＝k＋， ……………………（8分）
所以|AB|＝|x1－x2|＝，
|OB|＝eq \r(x＋y)＝eq \r(x＋x)＝ ＝. ……………………………（10分）
因为|AB|＝3|OB|，所以＝，
化简得|k3＋2k|＝3，解得k＝±1，所以|AB|＝＝3. …………（12分）
22．解：(1) f ′(x)＝－，由f ′(x)＝0可得x＝1， ………………………………（2分）
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表所示：
x (0，1) 1 (1，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 －
f (x) ?↗ 极大值1 ?↘
由表可知函数f (x)的极大值为f (1)＝1，无极小值． …………………………（5分）
(2) 不妨设x1>x2>0，f (x1)＝f (x2) ＝a，则ln x1＝ax1－1，ln x2＝ax2－1， ……（6分）
所以ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2) －2，ln x1－ln x2＝a(x1－x2)，所以＝a，（8分）
欲证x1＋x2＞＋，只需证x1x2>1，即证ln x1＋ln x2>0.
因为ln x1＋ln x2＝a(x1＋x2)－2＝(x1＋x2)－2＝ln－2
＝eq \f(＋1, －1)ln－2，故只需证ln>eq \f(2（－1）, ＋1), ……………………………（10分）
令c＝(c>1)，则所证不等式变为ln c>.
令h(c)＝ln c－，c>1，则h′(c)＝－＝>0，
所以h(c)在(1，＋∞)上单调递增，所以h(c)>h(1)＝ln 1－0＝0，
即ln c－>0(c>1)，因此原不等式得证． ……………………………（12分）2021—2022 学年度上学期
孝感市普通高中协作体期中联合考试
高三数学试卷
考试时间：2021 年 11 月 12 日下午 2:30—4:30 本试卷满分 150 分
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题
卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和
答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|x2＜9}，则 A∩B＝( )
A．{－2，－1，0，1，2，3} B．{－2，－1，0，1，2}
C．{1，2，3} D．{1，2}
2．设复数 z 满足 z＋i＝3－i，则 z ＝( )
A．－1＋2i B．1－2i C．3＋2i D．3－2i
→ → →
3．已知向量 AB＝a＋3b，BC＝5a＋3b，CD＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线
C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线
x2
4．已知双曲线 2a2－y ＝1（a > 0）的离心率是 5，则 a＝( )
1
A．2 B．2 C．4 D． 6
【孝感市普通高中协作体期中联合考试·高三数学试卷（共 4 页）第 1 页】
π
5．函数 f(x)＝tan 2x－ 3 的单调递增区间是( )
kπ π kπ 5π kπ π kπ 5πA． 2 －12， 2 ＋12 (k∈Z) B．
2 －12，
2 ＋12 (k∈Z)
π 2π π 5πC． kπ＋6，kπ＋ 3 (k∈Z) D． kπ－12，kπ＋12 (k∈Z)
6．若样本数据 x1，x2，…，x10 的标准差为 8，则数据 2x1－1，2x2－1，…，2x10－1 的标准差为( )
A．8 B．15 C．16 D．32
π π7．函数 f (x)＝asin x－bcos x，若 f 4－x ＝f
4＋x ，则直线 ax－by＋c＝0 的倾斜角为( )
π π 2π 3π
A．4 B．3 C． 3 D． 4
8．若过点(a，b)可以作曲线 y＝ln x 的两条切线，则( )
A．a＜ln b B．b＜ln a C．ln b＜a D．ln a＜b
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项是
符合题目要求的。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．已知 sin(θ＋π) < 0，cos (θ－π) > 0，则下列不等关系中成立的是( )
A．sin θ < 0 B．sin θ > 0 C．cos θ > 0 D．cos θ < 0
1 1
10．甲、乙两人下棋，和棋的概率为 2，乙获胜的概率为 3，则下列说法正确的是( )
1 2
A．甲获胜的概率是 6 B．甲不输的概率是 3
2 1
C．乙输的概率是 3 D．乙不输的概率是 2
x2 y2
11．已知椭圆 a2＋b2＝1(a＞b＞0) (a＞b＞0)的离心率为 e， F1、F2分别为椭圆的两个焦点，若椭
圆上存在点 P 使得∠F1PF2 是钝角，则满足条件的一个 e 的值可以是( )
2 3 3 2
A． 3 B． 4 C． 2 D． 2
12．已知在菱形 ABCD 中，∠BAD＝60°，AC 与 BD 相交于点 O，将△ABD 沿 BD 折起来，使顶
点 A 至点 M 的位置．在折起的过程中，下列结论正确的是( )
A．BD⊥CM
B．存在一个位置，使△CDM 为等边三角形
C．DM 与 BC 不可能垂直
D．直线 DM 与平面 BCD 所成的角的最大值为 60°
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三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．等差数列 {an}的前 7 项和等于前 2 项和，若 a1＝1，ak＋a4＝0，则 k＝________．
1
14．函数 f (x)＝log x 的定义域为________． 2（ －2）
15．一个与球心距离为 3的平面截球所得的圆周长为 2 6π，则球的表面积为________．
16．函数 f (x) ax＝|ax－1|＋e （a＜0）的最小值为________．
四、解答题：本大题共 6小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
4 π
17．（本小题满分 10 分）在△ABC 中，AC＝6，cos B＝5，C＝4．
(1)求 AB 的长；
π
(2)求 cos A－6 的值。
18．（本小题满分 12 分）在等比数列 {an}中，a1>0，n∈N*，且 a3－a2＝8，又 a1、a5 的等比中项
为 16．
(1)求数列 {an}的通项公式；
(2)设 b ＝a 2n n＋an，求数列 {bn}的前 n 项和为 Sn．
19．（本小题满分 12 分）心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为
了验证这个结论，按分层抽样的方法从数学兴趣小组中抽取 50 名同学(男 30 女 20)，给这些
同学每人一道几何题和一道代数题，让每名同学自由选择一道题进行解答，则选题情况如表
所示。
几何题 代数题 总计
男同学 22 8 30
女同学 8 12 20
总计 30 20 50
(1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间想象能力与性别有关？
(2)现从选择做几何题的 8 名女同学(包含甲、乙)中任意抽取 2 名，对这 2 名女同学的答题情
况进行研究，记甲、乙 2 名女同学被抽到的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望 E(X)．
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附：
P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2 n（ad－bc）
2
K ＝
（a＋b）（c＋d）（a＋c ． ）（b＋d）
20．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，
PD＝DC，点 E 是 PC 的中点。
(1)求证：PA∥平面 BDE；
(2)若直线 BD 与平面 PBC 所成的角为 30°，求二面角 C PB D 的大小。
21．（本小题满分 12 分）斜率为 k(k≠0)的直线 l 与抛物线 y＝x2交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O
为坐标原点。
(1)当 x1＋x2＝2 时，求 k；
(2)若 OB⊥l，且|AB|＝3|OB|，求|AB|．
1＋ln x
22．（本小题满分 12 分）已知函数 f (x)＝ x ．
(1)求 f (x)的极值；
1 1
(2)若两个不相等正数 x1，x2 满足 f (x1)＝f (x2)，证明：x1＋x2＞x ＋1 x ． 2
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